Διαγώνισμα προσομοίωσης από τον Βασίλη Μποζατζίδη για το lisari.blogspot.gr

1. Σελίδα 1 από 5
ΤΑΞΗ Γ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ
ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ
ΘΕΜΑ Α
Α. Για ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού
χώρου Ω να δείξετε ότι ισχύει
P(A – B) = P(A) – P(A ∩ B)
Μονάδες 10
Β. Να διατυπώσετε τον κλασικό ορισμό της
πιθανότητας ενός ενδεχομένου Α.
Μονάδες 5
Γ. Να συμπληρώσετε Σ για τις Σωστές και Λ για
τις Λάθος προτάσεις:
α. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε σημείο xo
του πεδίου ορισμού της όταν )()(lim
0
o
x
xfxf =
→ .
Μονάδες 2
β. Μια συνάρτηση f με f’
(xo) = 0, παρουσιάζει
ακρότατο στο xo.
Μονάδες 2
γ. Η μέση τιμή ακέραιων αριθμών δεν μπορεί
να είναι δεκαδικός.
Θέματα προσομοίωσης – by askisiologio.gr

2. Σελίδα 2 από 5
ΤΑΞΗ Γ
Μονάδες 2
δ. Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α μπορεί να
ισούται με 1.
Μονάδες 2
ε. Για ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού
χώρου Ω ισχύει ότι P(A – B) ≤ P(A).
Μονάδες 2
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση
f(x) = 3
s
x3
- 2
α
x2
+ s
με α > 0 και s η μέση τιμή και η τυπική
απόκλιση αντίστοιχα του δείγματος.
Αν η γραφική παράσταση της f δέχεται στο
σημείο με τετμημένη xo = 10 οριζόντια
εφαπτομένη, τότε:
Α. Να υπολογίσετε τον συντελεστή μεταβολής
του δείγματος και να εξετάσετε το δείγμα ως
προς την ομοιογένεια.
Μονάδες 8
Β. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται
από το σημείο Κ(0, 1) να δείξετε ότι s = 1
και α = 10.
Μονάδες 7
Γ. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία
και τα ακρότατα.
Μονάδες 5
Δ. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής
παράστασης της f στο Κ είναι οριζόντια.
Θέματα προσομοίωσης – by askisiologio.gr

3. Σελίδα 3 από 5
ΤΑΞΗ Γ
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Γ
Έστω ο δειγματικός χώρος
Ω = { i
2
, i = 1, 2, …….., κ }
και τα ενδεχόμενα
Α = { i
2
, i = κ-1, κ }
Β = { i
2
, i = 1, 2, …….., κ-2 }
Γ = { i
2
, i = 3, …….., κ }
Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση f(x) = x
xκln
A. Να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του Ω, αν
γνωρίζετε ότι η f έχει ακρότατο το 4e-1
.
Μονάδες 7
Β. α. Για κ = 4 και
P( i
2
) =






−=−
−=
1......,.........
4
1
2,.....,1..,.........
6
κ
κ
i
i
i
i
να δείξετε ότι P(A) = P(B) = P(Γ).
Μονάδες 6
β. Είναι σωστό ή λάθος ότι τα ενδεχόμενα Α, Β
και Γ είναι είναι ίσα μεταξύ τους; Να
αιτιολογηθεί η απάντηση.
Μονάδες 4
γ. Να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω
ενδεχομένων:
i. A ∩ B ii. A ∪ Γ iii. B’ ∩ Γ iv. A’ ∪ B’
Θέματα προσομοίωσης – by askisiologio.gr

4. Σελίδα 4 από 5
ΤΑΞΗ Γ
Μονάδες 8
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση
f(x) = P(A)x2
– P(B)x + P(B)
με Α, Β μη κενά ενδεχόμενα ενός δειγματικού
χώρου Ω.
Α. Να δειχθεί ότι P(A) = 2
1
και P(B) = 3
1
, αν
γνωρίζετε ότι στο σημείο με τετμημένη
xo = P(B), η εφαπτομένη της f είναι η
ε: y = 18
5
.
Μονάδες 5
Β. Αν η πιθανότητα P(A – B) ισούται με την
τεταγμένη του σημείου τομής της ε με τον
y’
y, να βρείτε τις πιθανότητες:
α.P(A ∩ B) β. P(A’ ∩ B) γ.P(A’ ∪ B’
)
Μονάδες 6
Γ. Έστω η συνάρτηση
g(x) =






=
≠
−
−
1..........................
10
1...............
1
3)(6
x
x
x
xf
ν
όπου ν το μέγεθος τυχαίου δείγματος μιας
μεταβλητής Χ.
α. Να δειχθεί ότι ν = 40, δεδομένου ότι η g
είναι συνεχής στο xo = 1.
Μονάδες 3
Θέματα προσομοίωσης – by askisiologio.gr

5. Σελίδα 5 από 5
ΤΑΞΗ Γ
β. Αν γνωρίζετε ότι οι τιμές της μεταβλητής Χ
είναι τέσσερις διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι
και ισχύει ότι 2xi + vi = 15 με i = 1, 2, 3, 4
και vi οι αντίστοιχες συχνότητες των τιμών xi,
να βρείτε τις τιμές των xi και vi.
Μονάδες 6
γ. Αν
_
x η μέση τιμή και δ η διάμεσος των
τιμών xi, να δειχθεί ότι το σημείο Λ(
3
4
_
x
,
4δ+2) ανήκει στην γραφική παράσταση της g.
Μονάδες 5
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
Θέματα προσομοίωσης – by askisiologio.gr

6. Σελίδα 5 από 5
ΤΑΞΗ Γ
β. Αν γνωρίζετε ότι οι τιμές της μεταβλητής Χ
είναι τέσσερις διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι
και ισχύει ότι 2xi + vi = 15 με i = 1, 2, 3, 4
και vi οι αντίστοιχες συχνότητες των τιμών xi,
να βρείτε τις τιμές των xi και vi.
Μονάδες 6
γ. Αν
_
x η μέση τιμή και δ η διάμεσος των
τιμών xi, να δειχθεί ότι το σημείο Λ(
3
4
_
x
,
4δ+2) ανήκει στην γραφική παράσταση της g.
Μονάδες 5
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
Θέματα προσομοίωσης – by askisiologio.gr