Επιμέλεια: Study4exams

1. www.study4exams.gr
Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας
Θέμα Α
Στις παρακάτω προτάσεις σημειώστε Σ, αν η πρόταση είναι σωστή , και Λ, αν η πρόταση
είναι λάθος .
1. Για οποιεσδήποτε συναρτήσεις :f RΑ → και :g B R→ , αν ορίζεται η συνάρτηση
f
g
τότε
έχει πεδίο ορισμού την τομή Α∩Β Σ Λ
2. Για , ,f g h είναι συναρτήσεις και ορίζεται η συνάρτηση ( )ho gof τότε ορίζεται και η
( )hog of και ισχύει ( ) ( )ho gof hog of= Σ Λ
3. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f− είναι συμμετρική ως προς τον άξονα x΄x της
γραφικής παράστασης της f . Σ Λ
4. Αν για δύο συναρτήσεις ,f g ορίζεται οι συναρτήσεις fog και gof τότε είναι υποχρεωτικά
fog gof≠ Σ Λ
5. Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης σχεδιάζεται συμμετρικά ως προς τον άξονα
xx′ Σ
Λ
6. Η γραφική παράσταση της ( ) 2−
= x
exg σχεδιάζεται μεταφέροντας την ( ) x
exf =
παράλληλα προς τον xx′ και προς τα δεξιά κατά 2 Σ
Λ
7. Το σύνολο τιμών της συνάρτησης RRf →: της οποίας η γραφική
παράσταση είναι το διπλανό σχήμα είναι :
( )3,3− Σ Λ
8. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτηση
RRf →: . Τότε η f είναι περιττή
Σ Λ
1

2. www.study4exams.gr
9. Αν η f είναι άρτια ή περιττή τότε η 2
f είναι άρτια Σ Λ
10. Το διπλανό σχήμα είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης
( )
x
xf
1
= Σ Λ
11. Αν οι συναρτήσεις gf , είναι περιττές τότε και η συνάρτηση
fog είναι περιττή
Σ Λ
12. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και η f σχεδιάζονται συμμετρικά ως
προς το ( )0,0Ο Σ Λ
13. Αν οι συναρτήσεις , :f g R R→ είναι γνησίως αύξουσες τότε και η σύνθεση fog είναι
γνησίως αύξουσα Σ Λ
14. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f− είναι συμμετρικές ως προς τον
άξονα y y′ . Σ Λ
15. Αν η f είναι περιττή τότε η γραφική παράσταση της έχει κέντρο συμμετρίας το
( )0,0Ο Σ Λ
16. Αν οι , :f g R R→ δύο συναρτήσεις και η συνάρτηση f είναι άρτια τότε η gof είναι
άρτια Σ Λ
17.Μια συνάρτηση :f RΑ → θα λέμε ότι παρουσιάζει στο 0x A∈ (ολικό) μέγιστο το
( )0f x όταν ( ) ( )0f x f x≤ για κάθε x A∈ Σ
Λ
18.Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό:
• Η συνάρτηση RRf →: είναι γνησίως φθίνουσα και η RRg →: είναι γνησίως
αύξουσα τότε η fog είναι γνησίως αύξουσα
1) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα
Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
2) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα (1).
2

3. www.study4exams.gr
Απάντηση
1) Ψ
2)
• Επειδή f γνησίως φθίνουσα στο R τότε για κάθε 1 2,x x R∈ με 1 2x x< ισχύει
1 2( ) ( )f x f x> και επειδή η g γνησίως αύξουσα στο R θα ισχύει
( ) ( )1 2 1 1( ( )) ( ( )) ( ) ( )g f x g f xή g f x g f x> >o o , οπότε η g fo είναι γνησίως
φθίνουσα στο R .
19. Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό:
• « Η συνάρτηση RRf →: είναι περιττή και έχει ελάχιστο στο 0x τότε η
συνάρτηση f έχει μέγιστο στο 0x− ».
1) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας
το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
2) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα (1).
Απάντηση
1) Α
2)
• Επειδή f περιττή για κάθε x R∈ ισχύει ( ) ( )f x f x− = − .
• Αν 0( ) ( )f x f x≥ για κάθε x R∈ , τότε 0 0( ) ( ) ( ) ( )f x f xή f x f x− ≤ − − ≤ − για
κάθε x R∈ ή 0 0( ) ( ) ( )f x f x f x≤ − = − για κάθε x R∈ , οπότε η f έχει μέγιστο
το 0( )f x− στη θέση 0x x= − .
20. Ισχύει
( )( )1
f f x x−
=
με ( )x f A∈ Σ Λ
21. Αν μια συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και η fC τέμνει την y x= στο σημείο Α , τότε η
1
fC−
της αντίστροφη της διέρχεται από το σημείο Α Σ Λ
22. Μια συνάρτηση f είναι 1-1 αν και μόνο αν δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της
παράστασης με την ίδια τεταγμένη Σ Λ
23. Αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της f , η εξίσωση ( )y f x= έχει τουλάχιστον
λύση ως προς x τότε η f είναι 1-1 Σ Λ
24. Αν μια συνάρτηση :f RΑ → έχει αντίστροφη συνάρτηση 1−
f τότε η f είναι γνησία
μονότονη στο Α Σ Λ
25. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και 1−
f είναι συμμετρικές ως προς την
ευθεία xy = που διχοτομεί τις γωνίες &xOy x Oy′ ′. Σ Λ
3

4. www.study4exams.gr
26. Αν το σημείο ( ),α βΜ ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f τότε το
( ),΄ β αΜ ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης 1−
f .
Σ Λ
27. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησία μονότονη σε ένα διάστημα Δ τότε είναι 1-1 στο
διάστημα
αυτό Σ Λ
28. Η συνάρτηση f είναι 1-1 αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει την γραφική
παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο Σ Λ
29. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1-1 , αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες
Σ Λ
30. Μια συνάρτηση :f Α → Β είναι 1-1 αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου
τιμών της η εξίσωση ( )f x y= έχει ακριβώς μια λύση ως προς x Σ Λ
31. Αν συνάρτηση f είναι άρτια τότε είναι και 1-1 Σ
Λ
32. Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό:
• « Αν οι συναρτήσεις f gκαι ειναι 1-1 στο R , τότε και η συνάρτηση g fo
είναι 1-1 στο R ».
1) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας
το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
2) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα (1).
Απάντηση
1) Α
2)
Έστω 1 2,x x R∈ με 1 2( )( ) ( )( )g f x g f x=o o . Τότε 1 2( ( )) ( ( ))g f x g f x= (1) και
επειδή g 1-1 από τη σχέση (1) έχουμε 1 2( ) ( )f x f x= (2). Είναι όμως και η f
1-1, οπότε η (2) μας δίνει 1 2x x= . Άρα η g fo είναι 1-1 στο R .
33. Αν ( )
0
lim 0
x x
f x
→
> τότε ( ) 0f x > για τα x κοντά στο 0x Σ Λ
34. Ισχύει ( ) ( )
0
0
0
lim lim
x x h
f x l f x h l
→ →
= ⇔ + = Σ Λ
35. Αν υπάρχει ( )
0
lim 0
x x
f x
→
= τότε υπάρχει το όριο της ( )f x στο 0x και είναι ( )
0
lim 0
x x
f x
→
=
Σ Λ
4

5. www.study4exams.gr
36. Αν υπάρχει το ( ) ( )0
lim( )
x x
f x g x
→
× τότε κατά ανάγκη υπάρχουν τα ( )0
lim
x x
f x
→
και ( )0
lim
x x
g x
→
Σ Λ
37. Ισχύει 0
lim 0
x
x
x
ηµ
→
= Σ Λ
38. Δίνονται οι συναρτήσεις ,f g με κοινό πεδίο ορισμού το σύνολο Α . Τότε πάντα ισχύει
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
lim( ) lim lim
x x x x x x
f x g x f x g x
→ → →
× = × Σ Λ
39. Αν υπάρχει το όριο της ( )f x στο 0x τότε ισχύει ( ) ( )0 0
lim lim
x x x x
f x f x
→ →
= Σ Λ
40. Ισχύει
0
1
lim 1
x
x
x
συν
→
−
= Σ Λ
41. Αν οι συναρτήσεις ,f g ,έχουν όριο στο 0x και ισχύει ( ) ( )f x g x≤ για τα x κοντά στο
0x τότε ισχύει ( ) ( )
0 0
lim lim
x x x x
f x g x
→ →
≤
Σ Λ
42. Αν ( )
0
lim 0
x x
f x
→
= και ( ) 0f x < για τα x κοντά στο 0x τότε
( )0
1
lim
x x f x→
= +∞
Σ Λ
43. Έστω μια συνάρτηση f που είναι ορισμένη σε ένα σύνολο ( ) ( )0 0, ,x xα β∪ καιl R∈ τότε
ισχύει ( ) ( )( )0 0
lim lim 0
x x x x
f x l f x l
→ →
= ⇔ − = Σ Λ
44. Αν υπάρχει το όριο της f στο 0x τότε ( ) ( )
0 0
lim lim
x x x x
f x g xκ κ
→ →
= εφόσον ( ) 0f x ≥ κοντά
στο 0x με , 2κ κ∈Ν ≥ Σ Λ
45. Αν ( )0
lim
x x
f x α
→
= , ( ) β=
→
xg
xx 0
lim και ( ) ( )f x g x≥ κοντά στο 0x τότε ισχύει πάντα
α β> Σ Λ
46. Αν ισχύει ( )0
lim
x
f x
→
= −∞ τότε ( ) 0<xf για τις τιμές του x κοντά στο 0
Σ Λ
47. Αν υπάρχει το ( ) ( )( )0
lim
x x
f x g x
→
+ τότε υπάρχουν και τα όρια ( ) ( )
0 0
lim , lim
x x x x
f x g x
→ → .
Σ Λ
5

6. www.study4exams.gr
48. Αν η f είναι άρτια και ( ) 0lim
2
=
−→
xf
x
τότε ( ) 02lim
0
=−
→
hf
h
Σ
Λ
49. Αν ( ) 0lim
0
=
→
xf
xx τότε
( )0
1
lim
x x f x→
= −∞ Σ Λ
50. Iισχύει lim x
x
e
→−∞
= +∞ Σ Λ
51. Αν 0 1α< < τότε ισχύει lim log
x
xα
→+∞
= +∞ Σ Λ
52. Αν 0 1α< < τότε ισχύει lim 0x
x
α
→+∞
= Σ Λ
53. Αν 0 1α< < τότε ισχύει lim 0x
x
α
→−∞
= Σ Λ
54. Αν 0 1α< < τότε ισχύει lim x
x
α
→+∞
= +∞ Σ Λ
55. Αν ισχύει ( )
0
lim 0
x x
f x
→
= και ( ) 0f x > για τις τιμές του x κοντά στο 0x τότε ισχύει
( )0
1
lim
x x f x→
= +∞ Σ Λ
56. Αν ( )
0
lim
x x
f xή
→
= +∞ −∞ τότε ( ) 0f x ≠ για τις τιμές του x κοντά στο 0x
Σ Λ
57. Αν ( )
0
lim
x x
f x
→
=−∞ τότε ( )
0
lim
x x
f x
→
=+∞ Σ Λ
58. Αν ( )
0
lim
x x
f x
→
= −∞ τότε ( ) 0f x > για τα x κοντά στο 0x Σ Λ
59. Έστω μια συνάρτηση f που είναι ορισμένη σε ένα σύνολο ( ) ( )0 0, ,x xα β∪ .Ισχύει
( ) ( ) ( )
0 0
lim (lim lim )
x x x x x x
f x f x f x
ο
− +→ → →
= −∞ ⇔ = = −∞
Σ Λ
60. Αν ( )0
lim
x x
f x
→
= −∞ τότε ( )( )0
lim
x x
f x
→
− = +∞ για τα x κοντά στο 0x . Σ Λ
61. Αν ( )0
lim
x x
f x
→
= +∞ ή ( )
0
lim
x x
f x
→
= −∞ τότε
( )0
1
lim 0
x x f x→
= Σ Λ
6

7. www.study4exams.gr
62. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο 0x τότε
η σύνθεση τους gof είναι συνεχής στο 0x . Σ Λ
63. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x και η συνάρτηση g συνεχής στο ( )0f x τότε
και η συνάρτηση gof είναι συνεχής στο 0x . Σ
Λ
64. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ],α β τότε η f παίρνει στο[ ],α β μια μέγιστη
Μ και μια ελάχιστη τιμή m Σ Λ
65. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ ],α β τότε το
σύνολο τιμών είναι το [ ]( ) ( ) ( ), ,f f fα β α β=    Σ Λ
66. Μια συνεχής συνάρτηση f είναι στο ( ),α β παίρνει σε κάθε περίπτωση στο( ),α β
μια μέγιστη και μια ελάχιστη τιμή Σ Λ
67. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ],α β τότε η f έχει υποχρεωτικά ολικά
ακρότητα τα ( )f α και ( )f β Σ Λ
68. Αν για μια συνάρτηση f ισχύει ( ) ( ) 0f fα β < με ( ) 0f x ≠ για κάθε ( ),x α β∈ τότε
η f δεν είναι συνεχής στο [ ],α β Σ Λ
69. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ],α β και υπάρχει ( ) ( )0 0, : 0x f xα β∈ = τότε
( ) ( ) 0f fα β < Σ Λ
70. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα ∆ και δεν μηδενίζεται σε αυτό , τότε
η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα ∆ Σ Λ
71. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο ( ),α β τότε το σύνολο
τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα ( ),Α Β , όπου
( ) ( )lim , lim
x x b
f x B f x
α+ −
→ →
Α = =
Σ Λ
72. Αν η συνάρτηση ( ): ,f Rα β → είναι συνεχής και μη σταθερή , τότε το σύνολο τιμών
της είναι πάντα ανοικτό διάστημα Σ Λ
7

8. www.study4exams.gr
73. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ],α β με ( ) ( )f fα β≠ τότε υπάρχει
τουλάχιστον ένας πραγματικός αριθμός ( )0 ,x α β∈ έτσι ώστε ( )
( ) ( )
0
2
f f
f x
α β+
=
Σ Λ
74. Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό:
• « Αν μια συνάρτηση είναι 1-1, τότε είναι γνησίως μονότονη ».
1) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα
Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
2) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα (1).
Απάντηση
1) Ψ.
2) Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 35. Ως παράδειγμα έχουμε τη συνάρτηση
, 0
( ) 1
, 0
x x
f x
x
x
≤

= 
>
, η οποία είναι 1-1 αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη.
75. Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό:
• « Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x και η συνάρτηση g είναι συνεχής
στο 0( )f x , τότε η σύνθεσή τους g fo είναι συνεχής στο 0x ».
1) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα
Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
2) Γράψτε παράδειγμα σχετικό με την απάντησή σας στο ερώτημα (1).
Απάντηση
1) Α.
2) Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 72.
8

9. www.study4exams.gr
Για παράδειγμα, η συνάρτηση φ(x) = ημ(x2
−1) είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου
ορισμού της ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων f(x) = x2
−1 και g(x) = ημx.
9

10. www.study4exams.gr
Για παράδειγμα, η συνάρτηση φ(x) = ημ(x2
−1) είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου
ορισμού της ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων f(x) = x2
−1 και g(x) = ημx.
9