SlideShare a Scribd company logo
1 of 5
Download to read offline
lisari.blogspot.com
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος (3ο ΓΕΛ Ν. Κηφισιάς)
Εισαγωγή
Στην αρχή της παραγράφου 1.4 (Όρια συνάρτησης στο 0
x R ) στα Μαθηματικά
Προσανατολισμού της Γ΄ Λυκείου διαβάζουμε στις πρώτες κιόλας σελίδες του
σχολικού βιβλίου τις εξής συνέπειες του ορισμού του ορίου:
Προφανώς το όριο το διδάσκουμε στους μαθητές μας διαισθητικά, αφού ο ορισμός του
ορίου, ο εψιλοντικός ορισμός όπως συνηθίζουμε να τον αποκαλούμε, είναι εκτός ύλης
εδώ και δεκαετίες.
Επομένως, τίθεται το ερώτημα πώς διδάσκετε στους μαθητές σας τα παραπάνω;
Εκτιμώ ότι οι περισσότεροι κάνετε τα εξής (αν και δεν είμαι σίγουρος ότι έχω ακούσει
όλους τους τρόπους προσέγγισης και γι’ αυτό το λόγο γίνεται αυτή η ανάρτηση):
- το (α) κυρίως το διδάσκουμε αλγεβρικά, ίσως με τις πράξεις ορίων και με το
όριο σταθερής συνάρτησης
0
x x
c c
lim
→
= που το σχ. βιβλίο το αναφέρει παρακάτω.
- το (β) κυρίως το διδάσκουμε με τη θεωρία της αντικατάστασης, αν και πάλι
αυτό παρουσιάζεται στο σχ. βιβλίο παρακάτω, στο όριο σύνθετης συνάρτησης.
Συμπέρασμα
Πρέπει να εντοπίσουμε μια βέλτιστη διδασκαλία των ορίων (α) και (β) με τη βοήθεια
της γραφικής ερμηνείας που είναι πλέον ενδεδειγμένη, αφού ο ορισμός του ορίου είναι
εκτός ύλης.
lisari.blogspot.com
(Α) ( ) ( )
( )
0 0
x x x x
f x f x 0
lim lim
→ →
=  − =
Για καλύτερη κατανόηση, χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε ότι 0
 (ανάλογη
προσέγγιση 0
 ).
Έστω οι συναρτήσεις ( )
y f x
= και ( )
y f x
= − που ορίζονται κοντά (σε μια περιοχή)
στο 0
x R . Έστω ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι παρακάτω (για
διδακτικούς σκοπούς):
τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( )
y f x
= − προκύπτει αν όλα τα σημεία
της f
C τα μεταφέρουμε κατακόρυφα προς τα κάτω κατά μονάδες, οπότε η γραφική
της παράσταση είναι η παρακάτω:
lisari.blogspot.com
Συνολικά και οι δύο γραφικές παραστάσεις φαίνονται στο εξής σχήμα
που δείχνει την γραφική ερμηνεία της ισοδυναμίας:
( ) ( )
( )
0 0
x x x x
f x f x 0
lim lim
→ →
=  − =
που είναι τελικά μια κατακόρυφη μετατόπιση όλων των σημείων της f
C κατά ℓ
μονάδες προς τα κάτω, αν 0
 ή προς τα πάνω, αν 0
 .
Β) ( ) ( )
0
x x h 0
0
f x f x h
lim lim
→ →
=  + =
Για λόγους ευκολίας θεωρούμε ότι 0
x 0
 (ανάλογη ερμηνεία έχουμε όταν 0
x 0
 ).
Έστω ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι η παρακάτω (για διδακτικούς
σκοπούς):
lisari.blogspot.com
Το όριο ( )
h 0
0
f x h
lim
→
+ = γράφεται ισοδύναμα και ως εξής:
( )
x 0
0
f x x
lim
→
+ =
δηλαδή έχουμε τη γραφική παράσταση ( )
0
y f x x
= + που προκύπτει από τη f
C αν
όλα τα σημεία της τα μετατοπίσουμε οριζόντια κατά 0
x μονάδες προς τα αριστερά.
Επομένως, το σχήμα της συνάρτησης ( )
0
y f x x
= + είναι το εξής:
Συνολικά και οι δύο γραφικές παραστάσεις φαίνονται στο εξής σχήμα
lisari.blogspot.com
που δείχνει την γραφική ερμηνεία της ισοδυναμίας:
( ) ( )
0
x x x 0
0
f x f x x
lim lim
→ →
=  + =
που είναι τελικά μια οριζόντια μετατόπιση όλων των σημείων της f
C κατά 0
x
μονάδες προς τα αριστερά, αν 0
x 0
 ή προς τα δεξιά, αν 0
x 0
 .
Επομένως,
οι τιμές μιας συνάρτησης ( )
y f x
= προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό
αριθμό καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό 0
x ,
είναι ισοδύναμη με την έκφραση:
οι τιμές μιας συνάρτησης ( )
0
y f x x
= + προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό
αριθμό καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό 0
x 0
= .

More Related Content

What's hot

Συναρτησεις Γ Λυκειου Κατευθυνση
Συναρτησεις Γ Λυκειου ΚατευθυνσηΣυναρτησεις Γ Λυκειου Κατευθυνση
Συναρτησεις Γ Λυκειου Κατευθυνση
Lamprini Zourka
 

What's hot (20)

Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
 
Συναρτησεις Γ Λυκειου Κατευθυνση
Συναρτησεις Γ Λυκειου ΚατευθυνσηΣυναρτησεις Γ Λυκειου Κατευθυνση
Συναρτησεις Γ Λυκειου Κατευθυνση
 
181 ερωτήσεις Σ-Λ από το βιβλίο της lisari team
181 ερωτήσεις Σ-Λ από το βιβλίο της lisari team181 ερωτήσεις Σ-Λ από το βιβλίο της lisari team
181 ερωτήσεις Σ-Λ από το βιβλίο της lisari team
 
Συναρτήσεις - Μάθημα 6ο (Αντίστροφη Συνάρτηση)
Συναρτήσεις - Μάθημα 6ο (Αντίστροφη Συνάρτηση)Συναρτήσεις - Μάθημα 6ο (Αντίστροφη Συνάρτηση)
Συναρτήσεις - Μάθημα 6ο (Αντίστροφη Συνάρτηση)
 
1.2: Ασκήσεις στην ισότητα και σύνθεση συναρτήσεων
1.2: Ασκήσεις στην ισότητα και σύνθεση συναρτήσεων 1.2: Ασκήσεις στην ισότητα και σύνθεση συναρτήσεων
1.2: Ασκήσεις στην ισότητα και σύνθεση συναρτήσεων
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + wordΕπαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
 
Διαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdf
Διαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdfΔιαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdf
Διαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdf
 
75 ερωτήσεις Σ-Λ στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)
75 ερωτήσεις Σ-Λ  στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)75 ερωτήσεις Σ-Λ  στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)
75 ερωτήσεις Σ-Λ στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)
 
Διαγώνισμα κεφάλαιο 2ο Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
Διαγώνισμα κεφάλαιο 2ο Άλγεβρα Β΄ ΛυκείουΔιαγώνισμα κεφάλαιο 2ο Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
Διαγώνισμα κεφάλαιο 2ο Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
 
Διαγώνισμα εξισώσεις - Ανισώσεις
Διαγώνισμα εξισώσεις - ΑνισώσειςΔιαγώνισμα εξισώσεις - Ανισώσεις
Διαγώνισμα εξισώσεις - Ανισώσεις
 
Ασκήσεις Στατιστικής Γ' Λυκείου ΕΠΑΛ
Ασκήσεις Στατιστικής Γ' Λυκείου ΕΠΑΛΑσκήσεις Στατιστικής Γ' Λυκείου ΕΠΑΛ
Ασκήσεις Στατιστικής Γ' Λυκείου ΕΠΑΛ
 
Ανισότητες για τους μαθητές της Γ Λυκείου
Ανισότητες για τους μαθητές της Γ ΛυκείουΑνισότητες για τους μαθητές της Γ Λυκείου
Ανισότητες για τους μαθητές της Γ Λυκείου
 
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο ΑνάλυσηςΤεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
 
Παραγώγιση απόλυτων τιμών...
Παραγώγιση απόλυτων τιμών... Παραγώγιση απόλυτων τιμών...
Παραγώγιση απόλυτων τιμών...
 
Αρχείο στις εξισώσεις - Άλγεβρα Α Λυκείου 2020
Αρχείο στις εξισώσεις - Άλγεβρα Α Λυκείου 2020Αρχείο στις εξισώσεις - Άλγεβρα Α Λυκείου 2020
Αρχείο στις εξισώσεις - Άλγεβρα Α Λυκείου 2020
 
Προτάσεις χωρίς απόδειξη (Οδηγίες Υπουργείου Παιδείας 2019)
Προτάσεις χωρίς απόδειξη (Οδηγίες Υπουργείου Παιδείας 2019)Προτάσεις χωρίς απόδειξη (Οδηγίες Υπουργείου Παιδείας 2019)
Προτάσεις χωρίς απόδειξη (Οδηγίες Υπουργείου Παιδείας 2019)
 
Κατηγορίες ασκήσεων στα όρια
Κατηγορίες ασκήσεων στα όριαΚατηγορίες ασκήσεων στα όρια
Κατηγορίες ασκήσεων στα όρια
 
Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια
Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια
Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια
 
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
 

Similar to Εσείς πώς τα διδάσκετε;

Μαθηματικά θετικού προσανατολισμού ΟΡΙΑ
Μαθηματικά θετικού προσανατολισμού  ΟΡΙΑΜαθηματικά θετικού προσανατολισμού  ΟΡΙΑ
Μαθηματικά θετικού προσανατολισμού ΟΡΙΑ
Θανάσης Δρούγας
 
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
Σωκράτης Ρωμανίδης
 
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
Σωκράτης Ρωμανίδης
 

Similar to Εσείς πώς τα διδάσκετε; (20)

Συναρτήσεις Γραφική παράσταση
Συναρτήσεις   Γραφική παράστασηΣυναρτήσεις   Γραφική παράσταση
Συναρτήσεις Γραφική παράσταση
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
 
40 advices in_maths
40 advices in_maths40 advices in_maths
40 advices in_maths
 
40 συμβουλές της τελευταίας στιγμής
40 συμβουλές της τελευταίας στιγμής40 συμβουλές της τελευταίας στιγμής
40 συμβουλές της τελευταίας στιγμής
 
40 advices
40 advices40 advices
40 advices
 
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
 
Οι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου Γ Λυκείου
Οι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου Γ ΛυκείουΟι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου Γ Λυκείου
Οι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου Γ Λυκείου
 
αποδείξεις στα μαθηματικά κατεύθυνσης γ λυκείου
αποδείξεις στα μαθηματικά  κατεύθυνσης γ λυκείουαποδείξεις στα μαθηματικά  κατεύθυνσης γ λυκείου
αποδείξεις στα μαθηματικά κατεύθυνσης γ λυκείου
 
Εισήγηση Θωμά Ποδηματάς - 36ο Συνέδριο ΕΜΕ Λάρισας
Εισήγηση Θωμά Ποδηματάς - 36ο Συνέδριο ΕΜΕ ΛάρισαςΕισήγηση Θωμά Ποδηματάς - 36ο Συνέδριο ΕΜΕ Λάρισας
Εισήγηση Θωμά Ποδηματάς - 36ο Συνέδριο ΕΜΕ Λάρισας
 
Όρια - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' λυκείου)
Όρια - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' λυκείου)Όρια - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' λυκείου)
Όρια - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' λυκείου)
 
Eπαναληψη 2018
Eπαναληψη 2018Eπαναληψη 2018
Eπαναληψη 2018
 
αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017
αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017
αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017
 
Μαθηματικά θετικού προσανατολισμού ΟΡΙΑ
Μαθηματικά θετικού προσανατολισμού  ΟΡΙΑΜαθηματικά θετικού προσανατολισμού  ΟΡΙΑ
Μαθηματικά θετικού προσανατολισμού ΟΡΙΑ
 
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
 
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
 
22η ανάρτηση
22η ανάρτηση22η ανάρτηση
22η ανάρτηση
 
α θεμα κανάβης
α θεμα κανάβηςα θεμα κανάβης
α θεμα κανάβης
 
Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020
Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020
Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020
 
Copy of lesson_01_parousiasi_mathjazz.pdf
Copy of lesson_01_parousiasi_mathjazz.pdfCopy of lesson_01_parousiasi_mathjazz.pdf
Copy of lesson_01_parousiasi_mathjazz.pdf
 
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ ΛυκείουΦυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
 

More from Μάκης Χατζόπουλος

More from Μάκης Χατζόπουλος (20)

Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
 
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛΠανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
 
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3οΞεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
 
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου 45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
 
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ ΓυμνασίουΚεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΕργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
 
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από ΣούρμπηΔιαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
 
Ιδιότητες του αριθμού 2021
Ιδιότητες του αριθμού 2021Ιδιότητες του αριθμού 2021
Ιδιότητες του αριθμού 2021
 
Επαναληπτική άσκηση διανυσμάτων 2021
Επαναληπτική άσκηση διανυσμάτων 2021Επαναληπτική άσκηση διανυσμάτων 2021
Επαναληπτική άσκηση διανυσμάτων 2021
 

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

ΤΟ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΚΙ ΜΑΣ_ 14ο _ΙΑΝ.2024_11ο ΝΗ
ΤΟ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΚΙ ΜΑΣ_ 14ο _ΙΑΝ.2024_11ο ΝΗΤΟ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΚΙ ΜΑΣ_ 14ο _ΙΑΝ.2024_11ο ΝΗ
ΤΟ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΚΙ ΜΑΣ_ 14ο _ΙΑΝ.2024_11ο ΝΗ
 
YlhBiologyB-2324.pdf. SchoolYear:2023-2024
YlhBiologyB-2324.pdf. SchoolYear:2023-2024YlhBiologyB-2324.pdf. SchoolYear:2023-2024
YlhBiologyB-2324.pdf. SchoolYear:2023-2024
 
YlhTexnologiasC-2324.pdf. SchoolYear: 2023-24
YlhTexnologiasC-2324.pdf. SchoolYear: 2023-24YlhTexnologiasC-2324.pdf. SchoolYear: 2023-24
YlhTexnologiasC-2324.pdf. SchoolYear: 2023-24
 
Louisa May Alcott, ΟΙ ΜΙΚΡΕΣ ΚΥΡΙΕΣ_ Τσαρτσαρή Ελισάβετ.pptx
Louisa May Alcott, ΟΙ ΜΙΚΡΕΣ ΚΥΡΙΕΣ_ Τσαρτσαρή Ελισάβετ.pptxLouisa May Alcott, ΟΙ ΜΙΚΡΕΣ ΚΥΡΙΕΣ_ Τσαρτσαρή Ελισάβετ.pptx
Louisa May Alcott, ΟΙ ΜΙΚΡΕΣ ΚΥΡΙΕΣ_ Τσαρτσαρή Ελισάβετ.pptx
 
Ζαχαρία Παπαντωνίου, ΤΑ ΨΗΛΑ ΒΟΥΝΑ _Βιβλιοπαρουσίαση της μαθήτριας Γερμανίδου...
Ζαχαρία Παπαντωνίου, ΤΑ ΨΗΛΑ ΒΟΥΝΑ _Βιβλιοπαρουσίαση της μαθήτριας Γερμανίδου...Ζαχαρία Παπαντωνίου, ΤΑ ΨΗΛΑ ΒΟΥΝΑ _Βιβλιοπαρουσίαση της μαθήτριας Γερμανίδου...
Ζαχαρία Παπαντωνίου, ΤΑ ΨΗΛΑ ΒΟΥΝΑ _Βιβλιοπαρουσίαση της μαθήτριας Γερμανίδου...
 
YlhComputerScienceC-2324.pdf. SchoolYear: 2023-2024
YlhComputerScienceC-2324.pdf. SchoolYear: 2023-2024YlhComputerScienceC-2324.pdf. SchoolYear: 2023-2024
YlhComputerScienceC-2324.pdf. SchoolYear: 2023-2024
 
Νικολόπουλος Αριστείδης, ΑΛΚΗΣ ΖΕΗ, Ο μεγάλος περίπατος του Πέτρου.pptx
Νικολόπουλος Αριστείδης, ΑΛΚΗΣ ΖΕΗ, Ο μεγάλος περίπατος του Πέτρου.pptxΝικολόπουλος Αριστείδης, ΑΛΚΗΣ ΖΕΗ, Ο μεγάλος περίπατος του Πέτρου.pptx
Νικολόπουλος Αριστείδης, ΑΛΚΗΣ ΖΕΗ, Ο μεγάλος περίπατος του Πέτρου.pptx
 
ΣΧΟΛΕΙΑ ΠΡΕΣΒΕΙΣ _ΗΜΕΡΑ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ.pptx
ΣΧΟΛΕΙΑ ΠΡΕΣΒΕΙΣ _ΗΜΕΡΑ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ.pptxΣΧΟΛΕΙΑ ΠΡΕΣΒΕΙΣ _ΗΜΕΡΑ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ.pptx
ΣΧΟΛΕΙΑ ΠΡΕΣΒΕΙΣ _ΗΜΕΡΑ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ.pptx
 
Νιωθω ένα συναίσθημα/ΔΟΜΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ 2023.docxΤΣΕ.docx
Νιωθω  ένα συναίσθημα/ΔΟΜΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ 2023.docxΤΣΕ.docxΝιωθω  ένα συναίσθημα/ΔΟΜΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ 2023.docxΤΣΕ.docx
Νιωθω ένα συναίσθημα/ΔΟΜΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ 2023.docxΤΣΕ.docx
 
YlhGermanB-2324.pdf. School year: 2023-2024
YlhGermanB-2324.pdf. School year: 2023-2024YlhGermanB-2324.pdf. School year: 2023-2024
YlhGermanB-2324.pdf. School year: 2023-2024
 
Μαστοροτάσιος Γιώργος, Το Χοροστάσι της Γης,.pptx
Μαστοροτάσιος Γιώργος, Το Χοροστάσι της Γης,.pptxΜαστοροτάσιος Γιώργος, Το Χοροστάσι της Γης,.pptx
Μαστοροτάσιος Γιώργος, Το Χοροστάσι της Γης,.pptx
 
Μωραΐτου Ευαγγελία_Λίβινγκστον, Ο Γλάρος Ιωνάθαν.pptx
Μωραΐτου Ευαγγελία_Λίβινγκστον, Ο Γλάρος Ιωνάθαν.pptxΜωραΐτου Ευαγγελία_Λίβινγκστον, Ο Γλάρος Ιωνάθαν.pptx
Μωραΐτου Ευαγγελία_Λίβινγκστον, Ο Γλάρος Ιωνάθαν.pptx
 
YlhPhysicsB-2324. SchoolYear: 2023-2024
YlhPhysicsB-2324.  SchoolYear: 2023-2024YlhPhysicsB-2324.  SchoolYear: 2023-2024
YlhPhysicsB-2324. SchoolYear: 2023-2024
 
Άλκη Ζέη, ΤΟ ΨΕΜΑ_ ΠΟΤΟΛΙΔΗΣ ΓΡ._ΒΙΒΛΙΟΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pdf
Άλκη Ζέη, ΤΟ ΨΕΜΑ_ ΠΟΤΟΛΙΔΗΣ ΓΡ._ΒΙΒΛΙΟΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pdfΆλκη Ζέη, ΤΟ ΨΕΜΑ_ ΠΟΤΟΛΙΔΗΣ ΓΡ._ΒΙΒΛΙΟΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pdf
Άλκη Ζέη, ΤΟ ΨΕΜΑ_ ΠΟΤΟΛΙΔΗΣ ΓΡ._ΒΙΒΛΙΟΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pdf
 
Κριτήριο Νέων Ελληνικών (Ενότητα 6) Γ' Γυμνασίου
Κριτήριο Νέων Ελληνικών (Ενότητα 6) Γ' ΓυμνασίουΚριτήριο Νέων Ελληνικών (Ενότητα 6) Γ' Γυμνασίου
Κριτήριο Νέων Ελληνικών (Ενότητα 6) Γ' Γυμνασίου
 
Η ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΤΟΥ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΩΝ ΣΤΗΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΛΗΨΗΣ ΑΠΟΦΑΣΗΣ ΣΤΗ ΣΧΟΛ...
Η ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΤΟΥ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΩΝ ΣΤΗΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ  ΛΗΨΗΣ ΑΠΟΦΑΣΗΣ ΣΤΗ ΣΧΟΛ...Η ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΤΟΥ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΩΝ ΣΤΗΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ  ΛΗΨΗΣ ΑΠΟΦΑΣΗΣ ΣΤΗ ΣΧΟΛ...
Η ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΤΟΥ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΩΝ ΣΤΗΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΛΗΨΗΣ ΑΠΟΦΑΣΗΣ ΣΤΗ ΣΧΟΛ...
 
ΠΑΣΧΑΛΙΝΕΣ ΑΝΑΜΝΗΣΕΙΣ.-ΠΑΣΧΑ-ΠΑΘΗ ΧΡΙΣΤΟΥ
ΠΑΣΧΑΛΙΝΕΣ ΑΝΑΜΝΗΣΕΙΣ.-ΠΑΣΧΑ-ΠΑΘΗ ΧΡΙΣΤΟΥΠΑΣΧΑΛΙΝΕΣ ΑΝΑΜΝΗΣΕΙΣ.-ΠΑΣΧΑ-ΠΑΘΗ ΧΡΙΣΤΟΥ
ΠΑΣΧΑΛΙΝΕΣ ΑΝΑΜΝΗΣΕΙΣ.-ΠΑΣΧΑ-ΠΑΘΗ ΧΡΙΣΤΟΥ
 
YlhBiologyC-2324.pdf SchoolYear: 2023-2024
YlhBiologyC-2324.pdf SchoolYear: 2023-2024YlhBiologyC-2324.pdf SchoolYear: 2023-2024
YlhBiologyC-2324.pdf SchoolYear: 2023-2024
 
Μέμτσα Ι.,Τραούδα Π.,ΠαρουσίασηΜΗΤΤΑ.pptx
Μέμτσα Ι.,Τραούδα Π.,ΠαρουσίασηΜΗΤΤΑ.pptxΜέμτσα Ι.,Τραούδα Π.,ΠαρουσίασηΜΗΤΤΑ.pptx
Μέμτσα Ι.,Τραούδα Π.,ΠαρουσίασηΜΗΤΤΑ.pptx
 
Σ.Α.Ε.Κ. ΣΠΑΡΤΗΣ (ΗΜΕΡΙΔΑ - ΗΜΕΡΑ ΚΑΡΙΕΡΑΣ)
Σ.Α.Ε.Κ. ΣΠΑΡΤΗΣ (ΗΜΕΡΙΔΑ - ΗΜΕΡΑ ΚΑΡΙΕΡΑΣ)Σ.Α.Ε.Κ. ΣΠΑΡΤΗΣ (ΗΜΕΡΙΔΑ - ΗΜΕΡΑ ΚΑΡΙΕΡΑΣ)
Σ.Α.Ε.Κ. ΣΠΑΡΤΗΣ (ΗΜΕΡΙΔΑ - ΗΜΕΡΑ ΚΑΡΙΕΡΑΣ)
 

Εσείς πώς τα διδάσκετε;

  • 1. lisari.blogspot.com Εσείς πώς τα διδάσκετε; Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος (3ο ΓΕΛ Ν. Κηφισιάς) Εισαγωγή Στην αρχή της παραγράφου 1.4 (Όρια συνάρτησης στο 0 x R ) στα Μαθηματικά Προσανατολισμού της Γ΄ Λυκείου διαβάζουμε στις πρώτες κιόλας σελίδες του σχολικού βιβλίου τις εξής συνέπειες του ορισμού του ορίου: Προφανώς το όριο το διδάσκουμε στους μαθητές μας διαισθητικά, αφού ο ορισμός του ορίου, ο εψιλοντικός ορισμός όπως συνηθίζουμε να τον αποκαλούμε, είναι εκτός ύλης εδώ και δεκαετίες. Επομένως, τίθεται το ερώτημα πώς διδάσκετε στους μαθητές σας τα παραπάνω; Εκτιμώ ότι οι περισσότεροι κάνετε τα εξής (αν και δεν είμαι σίγουρος ότι έχω ακούσει όλους τους τρόπους προσέγγισης και γι’ αυτό το λόγο γίνεται αυτή η ανάρτηση): - το (α) κυρίως το διδάσκουμε αλγεβρικά, ίσως με τις πράξεις ορίων και με το όριο σταθερής συνάρτησης 0 x x c c lim → = που το σχ. βιβλίο το αναφέρει παρακάτω. - το (β) κυρίως το διδάσκουμε με τη θεωρία της αντικατάστασης, αν και πάλι αυτό παρουσιάζεται στο σχ. βιβλίο παρακάτω, στο όριο σύνθετης συνάρτησης. Συμπέρασμα Πρέπει να εντοπίσουμε μια βέλτιστη διδασκαλία των ορίων (α) και (β) με τη βοήθεια της γραφικής ερμηνείας που είναι πλέον ενδεδειγμένη, αφού ο ορισμός του ορίου είναι εκτός ύλης.
  • 2. lisari.blogspot.com (Α) ( ) ( ) ( ) 0 0 x x x x f x f x 0 lim lim → → =  − = Για καλύτερη κατανόηση, χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε ότι 0  (ανάλογη προσέγγιση 0  ). Έστω οι συναρτήσεις ( ) y f x = και ( ) y f x = − που ορίζονται κοντά (σε μια περιοχή) στο 0 x R . Έστω ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι παρακάτω (για διδακτικούς σκοπούς): τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) y f x = − προκύπτει αν όλα τα σημεία της f C τα μεταφέρουμε κατακόρυφα προς τα κάτω κατά μονάδες, οπότε η γραφική της παράσταση είναι η παρακάτω:
  • 3. lisari.blogspot.com Συνολικά και οι δύο γραφικές παραστάσεις φαίνονται στο εξής σχήμα που δείχνει την γραφική ερμηνεία της ισοδυναμίας: ( ) ( ) ( ) 0 0 x x x x f x f x 0 lim lim → → =  − = που είναι τελικά μια κατακόρυφη μετατόπιση όλων των σημείων της f C κατά ℓ μονάδες προς τα κάτω, αν 0  ή προς τα πάνω, αν 0  . Β) ( ) ( ) 0 x x h 0 0 f x f x h lim lim → → =  + = Για λόγους ευκολίας θεωρούμε ότι 0 x 0  (ανάλογη ερμηνεία έχουμε όταν 0 x 0  ). Έστω ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι η παρακάτω (για διδακτικούς σκοπούς):
  • 4. lisari.blogspot.com Το όριο ( ) h 0 0 f x h lim → + = γράφεται ισοδύναμα και ως εξής: ( ) x 0 0 f x x lim → + = δηλαδή έχουμε τη γραφική παράσταση ( ) 0 y f x x = + που προκύπτει από τη f C αν όλα τα σημεία της τα μετατοπίσουμε οριζόντια κατά 0 x μονάδες προς τα αριστερά. Επομένως, το σχήμα της συνάρτησης ( ) 0 y f x x = + είναι το εξής: Συνολικά και οι δύο γραφικές παραστάσεις φαίνονται στο εξής σχήμα
  • 5. lisari.blogspot.com που δείχνει την γραφική ερμηνεία της ισοδυναμίας: ( ) ( ) 0 x x x 0 0 f x f x x lim lim → → =  + = που είναι τελικά μια οριζόντια μετατόπιση όλων των σημείων της f C κατά 0 x μονάδες προς τα αριστερά, αν 0 x 0  ή προς τα δεξιά, αν 0 x 0  . Επομένως, οι τιμές μιας συνάρτησης ( ) y f x = προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό 0 x , είναι ισοδύναμη με την έκφραση: οι τιμές μιας συνάρτησης ( ) 0 y f x x = + προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό 0 x 0 = .