Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος ύλη Γ΄ Λυκείου - Όρια

1. lisari.blogspot.com
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος (3ο ΓΕΛ Ν. Κηφισιάς)
Εισαγωγή
Στην αρχή της παραγράφου 1.4 (Όρια συνάρτησης στο 0
x R ) στα Μαθηματικά
Προσανατολισμού της Γ΄ Λυκείου διαβάζουμε στις πρώτες κιόλας σελίδες του
σχολικού βιβλίου τις εξής συνέπειες του ορισμού του ορίου:
Προφανώς το όριο το διδάσκουμε στους μαθητές μας διαισθητικά, αφού ο ορισμός του
ορίου, ο εψιλοντικός ορισμός όπως συνηθίζουμε να τον αποκαλούμε, είναι εκτός ύλης
εδώ και δεκαετίες.
Επομένως, τίθεται το ερώτημα πώς διδάσκετε στους μαθητές σας τα παραπάνω;
Εκτιμώ ότι οι περισσότεροι κάνετε τα εξής (αν και δεν είμαι σίγουρος ότι έχω ακούσει
όλους τους τρόπους προσέγγισης και γι’ αυτό το λόγο γίνεται αυτή η ανάρτηση):
- το (α) κυρίως το διδάσκουμε αλγεβρικά, ίσως με τις πράξεις ορίων και με το
όριο σταθερής συνάρτησης
0
x x
c c
lim
→
= που το σχ. βιβλίο το αναφέρει παρακάτω.
- το (β) κυρίως το διδάσκουμε με τη θεωρία της αντικατάστασης, αν και πάλι
αυτό παρουσιάζεται στο σχ. βιβλίο παρακάτω, στο όριο σύνθετης συνάρτησης.
Συμπέρασμα
Πρέπει να εντοπίσουμε μια βέλτιστη διδασκαλία των ορίων (α) και (β) με τη βοήθεια
της γραφικής ερμηνείας που είναι πλέον ενδεδειγμένη, αφού ο ορισμός του ορίου είναι
εκτός ύλης.

2. lisari.blogspot.com
(Α) ( ) ( )
( )
0 0
x x x x
f x f x 0
lim lim
→ →
=  − =
Για καλύτερη κατανόηση, χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε ότι 0
 (ανάλογη
προσέγγιση 0
 ).
Έστω οι συναρτήσεις ( )
y f x
= και ( )
y f x
= − που ορίζονται κοντά (σε μια περιοχή)
στο 0
x R . Έστω ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι παρακάτω (για
διδακτικούς σκοπούς):
τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( )
y f x
= − προκύπτει αν όλα τα σημεία
της f
C τα μεταφέρουμε κατακόρυφα προς τα κάτω κατά μονάδες, οπότε η γραφική
της παράσταση είναι η παρακάτω:

3. lisari.blogspot.com
Συνολικά και οι δύο γραφικές παραστάσεις φαίνονται στο εξής σχήμα
που δείχνει την γραφική ερμηνεία της ισοδυναμίας:
( ) ( )
( )
0 0
x x x x
f x f x 0
lim lim
→ →
=  − =
που είναι τελικά μια κατακόρυφη μετατόπιση όλων των σημείων της f
C κατά ℓ
μονάδες προς τα κάτω, αν 0
 ή προς τα πάνω, αν 0
 .
Β) ( ) ( )
0
x x h 0
0
f x f x h
lim lim
→ →
=  + =
Για λόγους ευκολίας θεωρούμε ότι 0
x 0
 (ανάλογη ερμηνεία έχουμε όταν 0
x 0
 ).
Έστω ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι η παρακάτω (για διδακτικούς
σκοπούς):

4. lisari.blogspot.com
Το όριο ( )
h 0
0
f x h
lim
→
+ = γράφεται ισοδύναμα και ως εξής:
( )
x 0
0
f x x
lim
→
+ =
δηλαδή έχουμε τη γραφική παράσταση ( )
0
y f x x
= + που προκύπτει από τη f
C αν
όλα τα σημεία της τα μετατοπίσουμε οριζόντια κατά 0
x μονάδες προς τα αριστερά.
Επομένως, το σχήμα της συνάρτησης ( )
0
y f x x
= + είναι το εξής:
Συνολικά και οι δύο γραφικές παραστάσεις φαίνονται στο εξής σχήμα

5. lisari.blogspot.com
που δείχνει την γραφική ερμηνεία της ισοδυναμίας:
( ) ( )
0
x x x 0
0
f x f x x
lim lim
→ →
=  + =
που είναι τελικά μια οριζόντια μετατόπιση όλων των σημείων της f
C κατά 0
x
μονάδες προς τα αριστερά, αν 0
x 0
 ή προς τα δεξιά, αν 0
x 0
 .
Επομένως,
οι τιμές μιας συνάρτησης ( )
y f x
= προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό
αριθμό καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό 0
x ,
είναι ισοδύναμη με την έκφραση:
οι τιμές μιας συνάρτησης ( )
0
y f x x
= + προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό
αριθμό καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό 0
x 0
= .