SlideShare a Scribd company logo
lisari.blogspot.com
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος (3ο ΓΕΛ Ν. Κηφισιάς)
Εισαγωγή
Στην αρχή της παραγράφου 1.4 (Όρια συνάρτησης στο 0
x R ) στα Μαθηματικά
Προσανατολισμού της Γ΄ Λυκείου διαβάζουμε στις πρώτες κιόλας σελίδες του
σχολικού βιβλίου τις εξής συνέπειες του ορισμού του ορίου:
Προφανώς το όριο το διδάσκουμε στους μαθητές μας διαισθητικά, αφού ο ορισμός του
ορίου, ο εψιλοντικός ορισμός όπως συνηθίζουμε να τον αποκαλούμε, είναι εκτός ύλης
εδώ και δεκαετίες.
Επομένως, τίθεται το ερώτημα πώς διδάσκετε στους μαθητές σας τα παραπάνω;
Εκτιμώ ότι οι περισσότεροι κάνετε τα εξής (αν και δεν είμαι σίγουρος ότι έχω ακούσει
όλους τους τρόπους προσέγγισης και γι’ αυτό το λόγο γίνεται αυτή η ανάρτηση):
- το (α) κυρίως το διδάσκουμε αλγεβρικά, ίσως με τις πράξεις ορίων και με το
όριο σταθερής συνάρτησης
0
x x
c c
lim
→
= που το σχ. βιβλίο το αναφέρει παρακάτω.
- το (β) κυρίως το διδάσκουμε με τη θεωρία της αντικατάστασης, αν και πάλι
αυτό παρουσιάζεται στο σχ. βιβλίο παρακάτω, στο όριο σύνθετης συνάρτησης.
Συμπέρασμα
Πρέπει να εντοπίσουμε μια βέλτιστη διδασκαλία των ορίων (α) και (β) με τη βοήθεια
της γραφικής ερμηνείας που είναι πλέον ενδεδειγμένη, αφού ο ορισμός του ορίου είναι
εκτός ύλης.
lisari.blogspot.com
(Α) ( ) ( )
( )
0 0
x x x x
f x f x 0
lim lim
→ →
=  − =
Για καλύτερη κατανόηση, χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε ότι 0
 (ανάλογη
προσέγγιση 0
 ).
Έστω οι συναρτήσεις ( )
y f x
= και ( )
y f x
= − που ορίζονται κοντά (σε μια περιοχή)
στο 0
x R . Έστω ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι παρακάτω (για
διδακτικούς σκοπούς):
τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( )
y f x
= − προκύπτει αν όλα τα σημεία
της f
C τα μεταφέρουμε κατακόρυφα προς τα κάτω κατά μονάδες, οπότε η γραφική
της παράσταση είναι η παρακάτω:
lisari.blogspot.com
Συνολικά και οι δύο γραφικές παραστάσεις φαίνονται στο εξής σχήμα
που δείχνει την γραφική ερμηνεία της ισοδυναμίας:
( ) ( )
( )
0 0
x x x x
f x f x 0
lim lim
→ →
=  − =
που είναι τελικά μια κατακόρυφη μετατόπιση όλων των σημείων της f
C κατά ℓ
μονάδες προς τα κάτω, αν 0
 ή προς τα πάνω, αν 0
 .
Β) ( ) ( )
0
x x h 0
0
f x f x h
lim lim
→ →
=  + =
Για λόγους ευκολίας θεωρούμε ότι 0
x 0
 (ανάλογη ερμηνεία έχουμε όταν 0
x 0
 ).
Έστω ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι η παρακάτω (για διδακτικούς
σκοπούς):
lisari.blogspot.com
Το όριο ( )
h 0
0
f x h
lim
→
+ = γράφεται ισοδύναμα και ως εξής:
( )
x 0
0
f x x
lim
→
+ =
δηλαδή έχουμε τη γραφική παράσταση ( )
0
y f x x
= + που προκύπτει από τη f
C αν
όλα τα σημεία της τα μετατοπίσουμε οριζόντια κατά 0
x μονάδες προς τα αριστερά.
Επομένως, το σχήμα της συνάρτησης ( )
0
y f x x
= + είναι το εξής:
Συνολικά και οι δύο γραφικές παραστάσεις φαίνονται στο εξής σχήμα
lisari.blogspot.com
που δείχνει την γραφική ερμηνεία της ισοδυναμίας:
( ) ( )
0
x x x 0
0
f x f x x
lim lim
→ →
=  + =
που είναι τελικά μια οριζόντια μετατόπιση όλων των σημείων της f
C κατά 0
x
μονάδες προς τα αριστερά, αν 0
x 0
 ή προς τα δεξιά, αν 0
x 0
 .
Επομένως,
οι τιμές μιας συνάρτησης ( )
y f x
= προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό
αριθμό καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό 0
x ,
είναι ισοδύναμη με την έκφραση:
οι τιμές μιας συνάρτησης ( )
0
y f x x
= + προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό
αριθμό καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό 0
x 0
= .

More Related Content

What's hot

Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + wordΕπαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
Μάκης Χατζόπουλος
 
Βασικά τριγωνομετρικά όρια - Εργασία μαθητών
Βασικά τριγωνομετρικά όρια - Εργασία μαθητώνΒασικά τριγωνομετρικά όρια - Εργασία μαθητών
Βασικά τριγωνομετρικά όρια - Εργασία μαθητών
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπής
Διαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπήςΔιαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπής
Διαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπής
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα Α΄ και Β΄ ομάδα [1/11/2017]
Διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα Α΄ και Β΄ ομάδα [1/11/2017]Διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα Α΄ και Β΄ ομάδα [1/11/2017]
Διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα Α΄ και Β΄ ομάδα [1/11/2017]
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια
Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια
Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια
Μάκης Χατζόπουλος
 
Τρίωρο διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου από την Περιφερειακή Εκπαίδευση Βορε...
Τρίωρο διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου από την Περιφερειακή Εκπαίδευση Βορε...Τρίωρο διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου από την Περιφερειακή Εκπαίδευση Βορε...
Τρίωρο διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου από την Περιφερειακή Εκπαίδευση Βορε...
Μάκης Χατζόπουλος
 
Ο τσελεμεντές του υποψηφίου στα Μαθηματικά Γ Λυκείου.Παράγωγος.Ενότητα Ρυθμός...
Ο τσελεμεντές του υποψηφίου στα Μαθηματικά Γ Λυκείου.Παράγωγος.Ενότητα Ρυθμός...Ο τσελεμεντές του υποψηφίου στα Μαθηματικά Γ Λυκείου.Παράγωγος.Ενότητα Ρυθμός...
Ο τσελεμεντές του υποψηφίου στα Μαθηματικά Γ Λυκείου.Παράγωγος.Ενότητα Ρυθμός...
Θανάσης Δρούγας
 
Συναρτησεις Γ Λυκειου Κατευθυνση
Συναρτησεις Γ Λυκειου ΚατευθυνσηΣυναρτησεις Γ Λυκειου Κατευθυνση
Συναρτησεις Γ Λυκειου ΚατευθυνσηLamprini Zourka
 
75 ερωτήσεις Σ-Λ στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)
75 ερωτήσεις Σ-Λ  στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)75 ερωτήσεις Σ-Λ  στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)
75 ερωτήσεις Σ-Λ στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)
Μάκης Χατζόπουλος
 
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....
Θανάσης Δρούγας
 
Ρυθμός μεταβολής
Ρυθμός μεταβολήςΡυθμός μεταβολής
Ρυθμός μεταβολής
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα κεφάλαιο 2ο Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
Διαγώνισμα κεφάλαιο 2ο Άλγεβρα Β΄ ΛυκείουΔιαγώνισμα κεφάλαιο 2ο Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
Διαγώνισμα κεφάλαιο 2ο Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]
Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]
Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]
Μάκης Χατζόπουλος
 
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο ΑνάλυσηςΤεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Μάκης Χατζόπουλος
 
Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019
Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019
Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019
Μάκης Χατζόπουλος
 
Ασκήσεις Στατιστικής Γ' Λυκείου ΕΠΑΛ
Ασκήσεις Στατιστικής Γ' Λυκείου ΕΠΑΛΑσκήσεις Στατιστικής Γ' Λυκείου ΕΠΑΛ
Ασκήσεις Στατιστικής Γ' Λυκείου ΕΠΑΛ
Ρεβέκα Θεοδωροπούλου
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι την αντίστροφη συνάρτηση - Αρσάκειο 2017 - 18
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι την αντίστροφη συνάρτηση - Αρσάκειο 2017 - 18Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι την αντίστροφη συνάρτηση - Αρσάκειο 2017 - 18
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι την αντίστροφη συνάρτηση - Αρσάκειο 2017 - 18
Μάκης Χατζόπουλος
 
Προσαρμοσμένο διαγώνισμα στις παραγράφους 2.6 2.10
Προσαρμοσμένο διαγώνισμα στις παραγράφους 2.6 2.10Προσαρμοσμένο διαγώνισμα στις παραγράφους 2.6 2.10
Προσαρμοσμένο διαγώνισμα στις παραγράφους 2.6 2.10
Μάκης Χατζόπουλος
 

What's hot (20)

Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + wordΕπαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
 
Βασικά τριγωνομετρικά όρια - Εργασία μαθητών
Βασικά τριγωνομετρικά όρια - Εργασία μαθητώνΒασικά τριγωνομετρικά όρια - Εργασία μαθητών
Βασικά τριγωνομετρικά όρια - Εργασία μαθητών
 
Διαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπής
Διαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπήςΔιαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπής
Διαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπής
 
Θεματα πανελλαδικων 2000-2016
Θεματα πανελλαδικων 2000-2016Θεματα πανελλαδικων 2000-2016
Θεματα πανελλαδικων 2000-2016
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα Α΄ και Β΄ ομάδα [1/11/2017]
Διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα Α΄ και Β΄ ομάδα [1/11/2017]Διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα Α΄ και Β΄ ομάδα [1/11/2017]
Διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα Α΄ και Β΄ ομάδα [1/11/2017]
 
Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια
Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια
Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια
 
Τρίωρο διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου από την Περιφερειακή Εκπαίδευση Βορε...
Τρίωρο διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου από την Περιφερειακή Εκπαίδευση Βορε...Τρίωρο διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου από την Περιφερειακή Εκπαίδευση Βορε...
Τρίωρο διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου από την Περιφερειακή Εκπαίδευση Βορε...
 
Ο τσελεμεντές του υποψηφίου στα Μαθηματικά Γ Λυκείου.Παράγωγος.Ενότητα Ρυθμός...
Ο τσελεμεντές του υποψηφίου στα Μαθηματικά Γ Λυκείου.Παράγωγος.Ενότητα Ρυθμός...Ο τσελεμεντές του υποψηφίου στα Μαθηματικά Γ Λυκείου.Παράγωγος.Ενότητα Ρυθμός...
Ο τσελεμεντές του υποψηφίου στα Μαθηματικά Γ Λυκείου.Παράγωγος.Ενότητα Ρυθμός...
 
Συναρτησεις Γ Λυκειου Κατευθυνση
Συναρτησεις Γ Λυκειου ΚατευθυνσηΣυναρτησεις Γ Λυκειου Κατευθυνση
Συναρτησεις Γ Λυκειου Κατευθυνση
 
75 ερωτήσεις Σ-Λ στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)
75 ερωτήσεις Σ-Λ  στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)75 ερωτήσεις Σ-Λ  στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)
75 ερωτήσεις Σ-Λ στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)
 
όρια γ λυκείου
όρια γ λυκείουόρια γ λυκείου
όρια γ λυκείου
 
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....
 
Ρυθμός μεταβολής
Ρυθμός μεταβολήςΡυθμός μεταβολής
Ρυθμός μεταβολής
 
Διαγώνισμα κεφάλαιο 2ο Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
Διαγώνισμα κεφάλαιο 2ο Άλγεβρα Β΄ ΛυκείουΔιαγώνισμα κεφάλαιο 2ο Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
Διαγώνισμα κεφάλαιο 2ο Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
 
Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]
Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]
Προσομοίωση μέχρι το Θεώρημα Bolzano [2019]
 
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο ΑνάλυσηςΤεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
 
Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019
Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019
Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019
 
Ασκήσεις Στατιστικής Γ' Λυκείου ΕΠΑΛ
Ασκήσεις Στατιστικής Γ' Λυκείου ΕΠΑΛΑσκήσεις Στατιστικής Γ' Λυκείου ΕΠΑΛ
Ασκήσεις Στατιστικής Γ' Λυκείου ΕΠΑΛ
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι την αντίστροφη συνάρτηση - Αρσάκειο 2017 - 18
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι την αντίστροφη συνάρτηση - Αρσάκειο 2017 - 18Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι την αντίστροφη συνάρτηση - Αρσάκειο 2017 - 18
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι την αντίστροφη συνάρτηση - Αρσάκειο 2017 - 18
 
Προσαρμοσμένο διαγώνισμα στις παραγράφους 2.6 2.10
Προσαρμοσμένο διαγώνισμα στις παραγράφους 2.6 2.10Προσαρμοσμένο διαγώνισμα στις παραγράφους 2.6 2.10
Προσαρμοσμένο διαγώνισμα στις παραγράφους 2.6 2.10
 

Similar to Εσείς πώς τα διδάσκετε;

Συναρτήσεις Γραφική παράσταση
Συναρτήσεις   Γραφική παράστασηΣυναρτήσεις   Γραφική παράσταση
Συναρτήσεις Γραφική παράσταση
Billonious
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
Μάκης Χατζόπουλος
 
40 advices in_maths
40 advices in_maths40 advices in_maths
40 advices in_maths
Christos Loizos
 
40 συμβουλές της τελευταίας στιγμής
40 συμβουλές της τελευταίας στιγμής40 συμβουλές της τελευταίας στιγμής
40 συμβουλές της τελευταίας στιγμής
Thanasis Kopadis
 
40 advices
40 advices40 advices
40 advices
Christos Loizos
 
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
Μάκης Χατζόπουλος
 
Οι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου Γ Λυκείου
Οι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου Γ ΛυκείουΟι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου Γ Λυκείου
Οι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
αποδείξεις στα μαθηματικά κατεύθυνσης γ λυκείου
αποδείξεις στα μαθηματικά  κατεύθυνσης γ λυκείουαποδείξεις στα μαθηματικά  κατεύθυνσης γ λυκείου
αποδείξεις στα μαθηματικά κατεύθυνσης γ λυκείου
Christos Loizos
 
Εισήγηση Θωμά Ποδηματάς - 36ο Συνέδριο ΕΜΕ Λάρισας
Εισήγηση Θωμά Ποδηματάς - 36ο Συνέδριο ΕΜΕ ΛάρισαςΕισήγηση Θωμά Ποδηματάς - 36ο Συνέδριο ΕΜΕ Λάρισας
Εισήγηση Θωμά Ποδηματάς - 36ο Συνέδριο ΕΜΕ Λάρισας
Μάκης Χατζόπουλος
 
Όρια - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' λυκείου)
Όρια - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' λυκείου)Όρια - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' λυκείου)
Όρια - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' λυκείου)
Vassilis Markos
 
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
Μάκης Χατζόπουλος
 
Eπαναληψη 2018
Eπαναληψη 2018Eπαναληψη 2018
Eπαναληψη 2018
Athanasios Kopadis
 
αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017
αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017
αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017
ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ
 
Μαθηματικά θετικού προσανατολισμού ΟΡΙΑ
Μαθηματικά θετικού προσανατολισμού  ΟΡΙΑΜαθηματικά θετικού προσανατολισμού  ΟΡΙΑ
Μαθηματικά θετικού προσανατολισμού ΟΡΙΑ
Θανάσης Δρούγας
 
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41Σωκράτης Ρωμανίδης
 
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41Σωκράτης Ρωμανίδης
 
22η ανάρτηση
22η ανάρτηση22η ανάρτηση
22η ανάρτηση
Παύλος Τρύφων
 
α θεμα κανάβης
α θεμα κανάβηςα θεμα κανάβης
α θεμα κανάβης
Christos Loizos
 
Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020
Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020
Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020
Μάκης Χατζόπουλος
 
Copy of lesson_01_parousiasi_mathjazz.pdf
Copy of lesson_01_parousiasi_mathjazz.pdfCopy of lesson_01_parousiasi_mathjazz.pdf
Copy of lesson_01_parousiasi_mathjazz.pdf
Big Brain's Team Big Brain's Team
 

Similar to Εσείς πώς τα διδάσκετε; (20)

Συναρτήσεις Γραφική παράσταση
Συναρτήσεις   Γραφική παράστασηΣυναρτήσεις   Γραφική παράσταση
Συναρτήσεις Γραφική παράσταση
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
 
40 advices in_maths
40 advices in_maths40 advices in_maths
40 advices in_maths
 
40 συμβουλές της τελευταίας στιγμής
40 συμβουλές της τελευταίας στιγμής40 συμβουλές της τελευταίας στιγμής
40 συμβουλές της τελευταίας στιγμής
 
40 advices
40 advices40 advices
40 advices
 
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
 
Οι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου Γ Λυκείου
Οι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου Γ ΛυκείουΟι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου Γ Λυκείου
Οι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου Γ Λυκείου
 
αποδείξεις στα μαθηματικά κατεύθυνσης γ λυκείου
αποδείξεις στα μαθηματικά  κατεύθυνσης γ λυκείουαποδείξεις στα μαθηματικά  κατεύθυνσης γ λυκείου
αποδείξεις στα μαθηματικά κατεύθυνσης γ λυκείου
 
Εισήγηση Θωμά Ποδηματάς - 36ο Συνέδριο ΕΜΕ Λάρισας
Εισήγηση Θωμά Ποδηματάς - 36ο Συνέδριο ΕΜΕ ΛάρισαςΕισήγηση Θωμά Ποδηματάς - 36ο Συνέδριο ΕΜΕ Λάρισας
Εισήγηση Θωμά Ποδηματάς - 36ο Συνέδριο ΕΜΕ Λάρισας
 
Όρια - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' λυκείου)
Όρια - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' λυκείου)Όρια - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' λυκείου)
Όρια - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' λυκείου)
 
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
 
Eπαναληψη 2018
Eπαναληψη 2018Eπαναληψη 2018
Eπαναληψη 2018
 
αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017
αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017
αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017
 
Μαθηματικά θετικού προσανατολισμού ΟΡΙΑ
Μαθηματικά θετικού προσανατολισμού  ΟΡΙΑΜαθηματικά θετικού προσανατολισμού  ΟΡΙΑ
Μαθηματικά θετικού προσανατολισμού ΟΡΙΑ
 
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
 
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
 
22η ανάρτηση
22η ανάρτηση22η ανάρτηση
22η ανάρτηση
 
α θεμα κανάβης
α θεμα κανάβηςα θεμα κανάβης
α θεμα κανάβης
 
Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020
Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020
Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020
 
Copy of lesson_01_parousiasi_mathjazz.pdf
Copy of lesson_01_parousiasi_mathjazz.pdfCopy of lesson_01_parousiasi_mathjazz.pdf
Copy of lesson_01_parousiasi_mathjazz.pdf
 

More from Μάκης Χατζόπουλος

Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Μάκης Χατζόπουλος
 
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛΠανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Μάκης Χατζόπουλος
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Μάκης Χατζόπουλος
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
Μάκης Χατζόπουλος
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μάκης Χατζόπουλος
 
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3οΞεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Μάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Μάκης Χατζόπουλος
 
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου 45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
Μάκης Χατζόπουλος
 
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Μάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Μάκης Χατζόπουλος
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Μάκης Χατζόπουλος
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ ΓυμνασίουΚεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΕργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Μάκης Χατζόπουλος
 
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από ΣούρμπηΔιαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Μάκης Χατζόπουλος
 

More from Μάκης Χατζόπουλος (20)

Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
 
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛΠανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
 
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3οΞεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
 
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου 45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
 
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ ΓυμνασίουΚεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΕργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
 
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από ΣούρμπηΔιαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
 

Recently uploaded

ΗΜΕΡΑ ΓΗΣ.pdfφυλλα εργασιων για τη γηκαι το περιβάλλον για Ε και ΣΤ ΤΆΞΗ
ΗΜΕΡΑ ΓΗΣ.pdfφυλλα εργασιων για τη γηκαι το περιβάλλον για Ε και ΣΤ ΤΆΞΗΗΜΕΡΑ ΓΗΣ.pdfφυλλα εργασιων για τη γηκαι το περιβάλλον για Ε και ΣΤ ΤΆΞΗ
ΗΜΕΡΑ ΓΗΣ.pdfφυλλα εργασιων για τη γηκαι το περιβάλλον για Ε και ΣΤ ΤΆΞΗ
ΟΛΓΑ ΤΣΕΧΕΛΙΔΟΥ
 
How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...
How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...
How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...
oureilidouan
 
Green Minimalist Case Studies Presentation.pdf
Green Minimalist Case Studies Presentation.pdfGreen Minimalist Case Studies Presentation.pdf
Green Minimalist Case Studies Presentation.pdf
oureilidouan
 
Beige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdf
Beige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdfBeige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdf
Beige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdf
oureilidouan
 
Independence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - Αφίσα
Independence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - ΑφίσαIndependence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - Αφίσα
Independence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - Αφίσα
Tassos Karampinis
 
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdfyear-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
MariaAlexiou13
 
Η ΣΑΪΤΑ 6ο φύλλο
Η ΣΑΪΤΑ                                  6ο φύλλοΗ ΣΑΪΤΑ                                  6ο φύλλο
Η ΣΑΪΤΑ 6ο φύλλο
Dimitra Mylonaki
 
ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΜΟΛΥΒΑΚΙΑ 2ο φύλλο
ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ                           ΜΟΛΥΒΑΚΙΑ 2ο φύλλοΕΦΗΜΕΡΙΔΑ                           ΜΟΛΥΒΑΚΙΑ 2ο φύλλο
ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΜΟΛΥΒΑΚΙΑ 2ο φύλλο
Dimitra Mylonaki
 
Η ΔΙΑΤΡΟΦΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ/ΤΡΙΩΝ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΑΟΥΣΑΣ ΠΑΡΟΥ
Η ΔΙΑΤΡΟΦΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ/ΤΡΙΩΝ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΑΟΥΣΑΣ ΠΑΡΟΥΗ ΔΙΑΤΡΟΦΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ/ΤΡΙΩΝ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΑΟΥΣΑΣ ΠΑΡΟΥ
Η ΔΙΑΤΡΟΦΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ/ΤΡΙΩΝ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΑΟΥΣΑΣ ΠΑΡΟΥ
earkouli
 
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson RefresherΑνακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
oureilidouan
 
Blue Futuristic Cyber Security Presentation.pdf
Blue Futuristic Cyber Security Presentation.pdfBlue Futuristic Cyber Security Presentation.pdf
Blue Futuristic Cyber Security Presentation.pdf
oureilidouan
 

Recently uploaded (11)

ΗΜΕΡΑ ΓΗΣ.pdfφυλλα εργασιων για τη γηκαι το περιβάλλον για Ε και ΣΤ ΤΆΞΗ
ΗΜΕΡΑ ΓΗΣ.pdfφυλλα εργασιων για τη γηκαι το περιβάλλον για Ε και ΣΤ ΤΆΞΗΗΜΕΡΑ ΓΗΣ.pdfφυλλα εργασιων για τη γηκαι το περιβάλλον για Ε και ΣΤ ΤΆΞΗ
ΗΜΕΡΑ ΓΗΣ.pdfφυλλα εργασιων για τη γηκαι το περιβάλλον για Ε και ΣΤ ΤΆΞΗ
 
How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...
How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...
How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...
 
Green Minimalist Case Studies Presentation.pdf
Green Minimalist Case Studies Presentation.pdfGreen Minimalist Case Studies Presentation.pdf
Green Minimalist Case Studies Presentation.pdf
 
Beige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdf
Beige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdfBeige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdf
Beige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdf
 
Independence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - Αφίσα
Independence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - ΑφίσαIndependence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - Αφίσα
Independence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - Αφίσα
 
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdfyear-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
 
Η ΣΑΪΤΑ 6ο φύλλο
Η ΣΑΪΤΑ                                  6ο φύλλοΗ ΣΑΪΤΑ                                  6ο φύλλο
Η ΣΑΪΤΑ 6ο φύλλο
 
ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΜΟΛΥΒΑΚΙΑ 2ο φύλλο
ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ                           ΜΟΛΥΒΑΚΙΑ 2ο φύλλοΕΦΗΜΕΡΙΔΑ                           ΜΟΛΥΒΑΚΙΑ 2ο φύλλο
ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΜΟΛΥΒΑΚΙΑ 2ο φύλλο
 
Η ΔΙΑΤΡΟΦΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ/ΤΡΙΩΝ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΑΟΥΣΑΣ ΠΑΡΟΥ
Η ΔΙΑΤΡΟΦΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ/ΤΡΙΩΝ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΑΟΥΣΑΣ ΠΑΡΟΥΗ ΔΙΑΤΡΟΦΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ/ΤΡΙΩΝ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΑΟΥΣΑΣ ΠΑΡΟΥ
Η ΔΙΑΤΡΟΦΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ/ΤΡΙΩΝ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΑΟΥΣΑΣ ΠΑΡΟΥ
 
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson RefresherΑνακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
 
Blue Futuristic Cyber Security Presentation.pdf
Blue Futuristic Cyber Security Presentation.pdfBlue Futuristic Cyber Security Presentation.pdf
Blue Futuristic Cyber Security Presentation.pdf
 

Εσείς πώς τα διδάσκετε;

  • 1. lisari.blogspot.com Εσείς πώς τα διδάσκετε; Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος (3ο ΓΕΛ Ν. Κηφισιάς) Εισαγωγή Στην αρχή της παραγράφου 1.4 (Όρια συνάρτησης στο 0 x R ) στα Μαθηματικά Προσανατολισμού της Γ΄ Λυκείου διαβάζουμε στις πρώτες κιόλας σελίδες του σχολικού βιβλίου τις εξής συνέπειες του ορισμού του ορίου: Προφανώς το όριο το διδάσκουμε στους μαθητές μας διαισθητικά, αφού ο ορισμός του ορίου, ο εψιλοντικός ορισμός όπως συνηθίζουμε να τον αποκαλούμε, είναι εκτός ύλης εδώ και δεκαετίες. Επομένως, τίθεται το ερώτημα πώς διδάσκετε στους μαθητές σας τα παραπάνω; Εκτιμώ ότι οι περισσότεροι κάνετε τα εξής (αν και δεν είμαι σίγουρος ότι έχω ακούσει όλους τους τρόπους προσέγγισης και γι’ αυτό το λόγο γίνεται αυτή η ανάρτηση): - το (α) κυρίως το διδάσκουμε αλγεβρικά, ίσως με τις πράξεις ορίων και με το όριο σταθερής συνάρτησης 0 x x c c lim → = που το σχ. βιβλίο το αναφέρει παρακάτω. - το (β) κυρίως το διδάσκουμε με τη θεωρία της αντικατάστασης, αν και πάλι αυτό παρουσιάζεται στο σχ. βιβλίο παρακάτω, στο όριο σύνθετης συνάρτησης. Συμπέρασμα Πρέπει να εντοπίσουμε μια βέλτιστη διδασκαλία των ορίων (α) και (β) με τη βοήθεια της γραφικής ερμηνείας που είναι πλέον ενδεδειγμένη, αφού ο ορισμός του ορίου είναι εκτός ύλης.
  • 2. lisari.blogspot.com (Α) ( ) ( ) ( ) 0 0 x x x x f x f x 0 lim lim → → =  − = Για καλύτερη κατανόηση, χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε ότι 0  (ανάλογη προσέγγιση 0  ). Έστω οι συναρτήσεις ( ) y f x = και ( ) y f x = − που ορίζονται κοντά (σε μια περιοχή) στο 0 x R . Έστω ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι παρακάτω (για διδακτικούς σκοπούς): τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) y f x = − προκύπτει αν όλα τα σημεία της f C τα μεταφέρουμε κατακόρυφα προς τα κάτω κατά μονάδες, οπότε η γραφική της παράσταση είναι η παρακάτω:
  • 3. lisari.blogspot.com Συνολικά και οι δύο γραφικές παραστάσεις φαίνονται στο εξής σχήμα που δείχνει την γραφική ερμηνεία της ισοδυναμίας: ( ) ( ) ( ) 0 0 x x x x f x f x 0 lim lim → → =  − = που είναι τελικά μια κατακόρυφη μετατόπιση όλων των σημείων της f C κατά ℓ μονάδες προς τα κάτω, αν 0  ή προς τα πάνω, αν 0  . Β) ( ) ( ) 0 x x h 0 0 f x f x h lim lim → → =  + = Για λόγους ευκολίας θεωρούμε ότι 0 x 0  (ανάλογη ερμηνεία έχουμε όταν 0 x 0  ). Έστω ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι η παρακάτω (για διδακτικούς σκοπούς):
  • 4. lisari.blogspot.com Το όριο ( ) h 0 0 f x h lim → + = γράφεται ισοδύναμα και ως εξής: ( ) x 0 0 f x x lim → + = δηλαδή έχουμε τη γραφική παράσταση ( ) 0 y f x x = + που προκύπτει από τη f C αν όλα τα σημεία της τα μετατοπίσουμε οριζόντια κατά 0 x μονάδες προς τα αριστερά. Επομένως, το σχήμα της συνάρτησης ( ) 0 y f x x = + είναι το εξής: Συνολικά και οι δύο γραφικές παραστάσεις φαίνονται στο εξής σχήμα
  • 5. lisari.blogspot.com που δείχνει την γραφική ερμηνεία της ισοδυναμίας: ( ) ( ) 0 x x x 0 0 f x f x x lim lim → → =  + = που είναι τελικά μια οριζόντια μετατόπιση όλων των σημείων της f C κατά 0 x μονάδες προς τα αριστερά, αν 0 x 0  ή προς τα δεξιά, αν 0 x 0  . Επομένως, οι τιμές μιας συνάρτησης ( ) y f x = προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό 0 x , είναι ισοδύναμη με την έκφραση: οι τιμές μιας συνάρτησης ( ) 0 y f x x = + προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό 0 x 0 = .