Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου, Ιωάννης Σαράφης, Βασίλης Γατσινάρης, Νίκος Σουρμπής

1. Σελίδα 1 από 4
Μπάμπης Στεργίου – Μαθηματικός
Κλασικά Θέματα για την Επανάληψη
Μπάμπης Στεργίου – Φεβρουάριος 2020
ΘΕΜΑ 1ο
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση
ln x
, 0 x 1
f(x) x 1
α , x 1

 
 
 
.
(α) Να αποδείξετε ότι η α 1
(β) Να βρείτε την παράγωγο της f και να αποδείξετε ότι η f ' είναι συνεχής.
(γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
(δ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f έχει ασύμπτωτες.
(ε) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης της f.
(στ) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και να κάνετε την γραφική της παράσταση.
ΘΕΜΑ 2ο
Δίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση x
f(x) (e x) (x 1)ln(x 1) x, .       
(α) Να αποδείξετε ότι 1. 
(β) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής.
(γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f(x) 2020.
(δ) Να βρείτε αν υπάρχουν ασύμπτωτες της fC και να χαράξετε τη γραφική της παράσταση.
ΘΕΜΑ 3ο
Δίνεται η συνάρτηση
1
x
f(x) x e ,x 0.  
(α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
(Υπόδειξη :
1
x
1
f '(x) e (1 )
x
  ).
(β) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και σημεία καμπής.
(Υπόδειξη :
1
x
3
1
f ''(x) e
x
 ).
(γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.
(Υπόδειξη : x 0 , y x 1   ).
(δ) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f.
16.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 12

2. Σελίδα 2 από 4
Μπάμπης Στεργίου – Μαθηματικός
(ε) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης
1
x
x e , .
x

  
Υπόδειξη (δ)
ΘΕΜΑ 4ο
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση
xln x
, 0 x 1
f(x) x 1
α , x 1

 
 
 
.
(α) Να αποδείξετε ότι η α 1
(β) Να βρείτε την παράγωγο της f και να αποδείξετε ότι η f ' είναι συνεχής.
(Υπόδειξη : 2
x 1 ln x 1
f '(x) ,f '(1)
(x 1) 2
 
 

)
(γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
(Υπόδειξη :
2
2 3
1
x 2ln x
1 x 2x ln x 1xf ''(x) ή f ''(x) ,f ''(1)
(x 1) x (x 1) 3
 
 
   
  
)
(δ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f έχει ασύμπτωτες.
(ε) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης της
f.
(στ) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και να κάνετε την γραφική της παράσταση.
16.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 12

3. Σελίδα 3 από 4
Μπάμπης Στεργίου – Μαθηματικός
ΘΕΜΑ 5ο
Δίνεται η συνάρτηση
2 x
2
4e ,x 2
f(x)
4x x ,x 2

 
 
 
(α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα 1Δ ( ,2]  και 2Δ [2, ) 
(β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .
(γ) Να βρείτε τη μονοτονία της f και να αποδείξετε ότι αντιστρέφεται.
(δ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της f.
(ε) Να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση 1
f 
της f και να χαράξετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις
γραφικές τους παραστάσεις. Σε ποια σημεία τέμνονται οι δύο αυτές γραφικές παραστάσεις ;
Υπόδειξη(Με τον κλασικό τρόπο-χωρίς παράγωγο)
(α) Με τον ορισμό ή με παράγωγο. (Προτείνουμε σε αυτό το στάδιο να δοθεί λύση με παράγωγο)
(β) Θέτουμε f(x) y και βρίσκουμε στην κάθε περίπτωση για ποιες τιμές του y η εξίσωση αυτή
έχει λύση ως προς x , που ανήκει στο 1 2Δ ( ,2) , Δ [2, )    αντίστοιχα (για τον 1ο
και 2ο
κλάδο). Βρίσκουμε 1f(Δ ) (4, )  και 2f(Δ ) ( ,4]  .
(γ) Στα 1 2Δ ( ,2) , Δ [2, )    η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα .Η συνάρτηση είναι
γνησίως φθίνουσα , αφού με 1 2x 2 x  είναι 1 2f(x ) 4 f (x )  , δηλαδή 1 2f(x ) f(x ) . Επειδή η
συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη είναι 1-1, οπότε αντιστρέφεται.
(δ-ε) Βρίσκουμε ότι 1
x
2 ln ,x 4
4f (x)
2 4 x ,x 4


 
 
   
16.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 12

4. Σελίδα 4 από 4
Μπάμπης Στεργίου – Μαθηματικός
ΘΕΜΑ 6ο
Δίνεται η συνάρτηση 2
E(r) 10r r  .
(α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, τα κοίλα και τα σημεία καμπής.
(β) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f έχει ασύμπτωτες και να χαράξετε τη γραφική
παράσταση της f.
(γ) Να βρείτε (i) τις εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f που διέρχονται από το σημείο
A(6,40) και (ii) το εμβαδόν που χωρίου που σχηματίζει η fC με τον άξονα x'x.
(ε) Να αποδείξετε ότι από τα κάθε σημείο της ευθείας
101
(ε) : y
4
 μπορούμε να φέρουμε ακριβώς
δύο εφαπτομένες προς τη EC , οι οποίες μάλιστα είναι κάθετες μεταξύ τους.
(στ) Ένα σύρμα μήκους 20m διατίθεται για την περίφραξη ενός
ανθόκηπου σχήματος κυκλικού τομέα. Να βρείτε την ακτίνα r
του κύκλου, αν επιθυμούμε να έχουμε τη μεγαλύτερη δυνατή
επιφάνεια του κήπου.
Παράκληση
Παρακαλώ όποιον συνάδελφο ασχοληθεί με κάποιο θέμα να μου αποστείλει με φωτογραφία ή
πληκτρολογημένη τη λύση του, για να την επισυνάψουμε(επώνυμα) στο αρχείο.
r
Ο
θ
16.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 12

5. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΙΚΟΣ ΣΟΥΡΜΠΗΣ 15-03-2020
Θέμα Α
A1. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσμη σε ενα διάστημα (α, β), με
εξαίρεση ίσως ένα σημείο του 0x , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.
Αν η ( )f x′ διατηρεί πρόσημο στο ( ) ( )0 0, x x , βα ∪ , τότε το ( )0f x δεν
είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο ( ),α β
Α2. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη
στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε ότι η f είναι κυρτή στο Δ;
Α3. Θεωρήστε τον ισχυρισμό : «Aν η παραγωγίσιμη f είναι γνησίως φθίνουσα
στο ℝ τότε ( ) 0f x′ < για κάθε x∈ℝ ». Να απαντήσετε με Σωστό ή Λάθος και
να αιτιολογήσετε.
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο
τετράδιο σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος .
α) Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει καμπή σε ένα σημείο 0x και είναι δυο
φορές παραγωγίσιμη, τότε ( )0f x 0′′ = .
β) Αν η παραγωγίσιμη f δεν έχει τοπικό ακρότατο στο ℝ τότε ( ) 0f x′ ≠ για
κάθε x∈ℝ .
γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ℝ και ( )x
lim f x
→+∞
= +∞ ,
( )x
lim f x
→ −∞
= −∞ , τότε ( )f A = ℝ .
δ) Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο 0x , τότε και η συνάρτηση
g f είναι συνεχής στο 0x .
ε) Ισχύει ότι : ( )( )
1
2
2
1 0f x dx+ >∫
Θέμα Β
Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )
2 x
f x ln , A= -2,2
2 x
+
=
−
Β1. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και περιττή στο Α και στη
συνέχεια να βρεθεί το σύνολο τιμών της ( )f A .
Β2. Να δείξετε ότι η αντίστροφη της f είναι η συνάρτηση ( )
x
1
x
e 1
f x 2
e 1
− −
=
+
16.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 12

6. Β3. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση των 1
,f f −
.
B4. Nα υπολογιστεί το ( )( ) ( )
1 1
4
0 1
I f x f t dt dx
−
  
=    
  
∫ ∫
Θέμα Γ
Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( ) ( )
3
2
9
, A , 1 1,1 1,
1
x x
f x
x
−
= = −∞ − ∪ − ∪ +∞
−
.
Γ1. Nα δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα του πεδίου ορισμού
της . Να βρείτε το σύνολο τιμών της και στη συνέχεια να δείξετε ότι η εξίσωση
3 2
9 2020 2020x x x− = − έχει ακριβώς τρείς ρίζες στο ℝ .
Γ2. Να μελετήσετε την κυρτότητα της f και να βρείτε το σημείο καμπής της.
Γ3. Να βρείτε το εμβαδόν χωρίου ανάμεσα στην fC , την ασύμπτωτη της και
την ευθεία
1
2
x = .
Γ4. Να δείξετε ότι για κάθε α > 2 ισχύει ότι :
( )
( )
22 4 2
2 4 2
2
49 23 6 9
2
1 2 1 9
x x
dx
x x
α
α − α + + +
α − < < 
α − − + 
∫
Θέμα Δ
Έστω f παραγωγίσιμη στο ℝ και g′ συνεχής στο [ ]0,e όπου ισχύει
( ) ( ) ( )( ) ( )
1
2 2
0 0
2
e
f x f x g x x f t dt dx
 
′ ′= + − 
 
∫ ∫ με ( ) ( )0 0 1f g= = , ( )1f e=
Δ1. Να δείξετε ότι ( ) ( )x
x e f x−
ϕ = εφαρμόζει το Θ. Rolle στο [ ]0,1 και στη
συνέχεια να δείξετε ότι ( ) x
f x e= .
Δ2. Να δείξετε ότι ( ) 2
1g x x= + , [ ]0,x A e∈ = .
Δ3. Να δείξετε ότι f , g έχουν κοινό σημείο μόνο το Μ(0,1) και να βρεθεί το
εμβαδόν χωρίου ανάμεσα στις f , g , x = 2.
Δ4. Να λύσετε την εξίσωση [ ]2 2
, x 1,
1 ln 2 2
x
ex e
e
x x x
= ∈
+ − +
.
Δ5. Να βρείτε ,α β∈ℝ ώστε η συνάρτηση
( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 ln 1a
F x e a e f x xg x= − − − + β −β + , να εφαρμόζει το Θ. Bolzano
στο διάστημα [ ]0,1∆ = .
16.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 12

7. ΑΡΧΗ 1Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ
ΟΜΑΔΑ΢ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ
ΘΕΣΙΚΩΝ ΢ΠΟΤΔΩΝ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ΢ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ΢
΢ΤΝΟΛΟ ΢ΕΛΙΔΩΝ: ΣΕ΢΢ΕΡΙ΢ (4)
ΘΕΜΑ Α
Α1. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f θ οποία είναι ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα Δ.
Να αποδείξετε ότι, αν  f x 0  ςε κάκε εςωτερικό ςθμείο x του Δ, τότε θ f είναι
γνθςίωσ αφξουςα ςε όλο το Δ.
Μονάδες 5
Α2. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f οριςμζνθ ςε ζνα διάςτθμα Δ. Ποιεσ είναι οι πικανζσ κζςεισ
ςθμείων καμπισ τθσ f;
Μονάδες 5
Α3. Θεωριςτε τθν παρακάτω πρόταςθ:
« Ζςτω ςυνάρτθςθ f ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα (α,β) και δεν είναι παραγωγίςιμθ
ςε ζνα ςθμείο  0x ,   . Αν  f x 0  ςτο  0,x και  f x 0  ςτο
 0x , , τότε το  0f x δεν είναι τοπικό μζγιςτο τθσ f.
α. Να χαρακτθρίςετε τθν παραπάνω πρόταςθ γράφοντασ ςτο τετράδιό ςασ, το
γράμμα Α , αν είναι αλθκισ, ι το γράμμα Λ , αν είναι λανκαςμζνθ.
Μονάδα 1
β. Να αιτιολογιςετε τθν απάντθςι ςασ ςτο ερώτθμα (α).
Μονάδες 4
Α4. ΢το παρακάτω ςχιμα δίνεται θ γραφικι παράςταςθ μιασ ςυνάρτθςθσ f
ΣΕΛΟ΢ 1Η΢ ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
16.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 12

8. ΑΡΧΗ 2Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
Οι προτάςεισ που ακολουκοφν αναφζρονται ςτθν γραφικι παράςταςθ του παραπάνω
ςχιματοσ.
Να χαρακτθρίςετε τισ προτάςεισ που ακολουκοφν, γράφοντασ ςτο τετράδιό ςασ τθ
λζξθ ΢ωστό, αν θ πρόταςθ είναι ςωςτι, ι τθ λζξθ Λάθος, αν θ πρόταςθ είναι
λανκαςμζνθ.
α. Η fC παρουςιάηει τοπικό ελάχιςτο ςτο x=α.
β. Η fC είναι παραγωγίςιμθ ςτο 1x .
γ. H fC παρουςιάηει ολικό μζγιςτο ςτο 3x .
δ. Η fC δεν παρουςιάηει ολικό ελάχιςτο.
ε. Η fC παρουςιάηει τοπικό μζγιςτο ςτο x=β.
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται οι ςυναρτιςεισ  f : ,0   ,   2
g x x  και    2
f g x 1 x  για
κάκε x.
Β1. Να αποδείξετε ότι  f x 1 x , x 0   .
Μονάδες 6
ΣΕΛΟ΢ 2Η΢ ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
16.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 8 of 12

9. ΑΡΧΗ 3Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
Β2. Να αποδείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ f αντιςτρζφεται και να βρείτε τθν αντίςτροφι τθσ.
Μονάδες 7
Β3. Να ςχεδιάςετε τθ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ f και τθσ 1
f 
ςτο ίδιο
ςφςτθμα αξόνων. ( Η γραφικζσ παραςτάςεισ να ςχεδιαςτοφν με ςτυλό)
Μονάδες 7
Β4. Να υπολογίςετε το   x
lim f g x x

   .
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται ςυνάρτθςθ f με τφπο   2
f x x 2 x 1    , .
Γ1. Να βρείτε για ποιεσ τιμζσ του α θ f ζχει πεδίο οριςμοφ το 
Μονάδες 5
Για
1
2
  
Γ2. Να αποδείξετε ότι οι ευκείεσ 1
1
: y=-x+
2
 και 2
1
: y=x-
2
 είναι πλάγιεσ
αςφμπτωτεσ τθσ fC ςτο  και ςτο  αντίςτοιχα.
Μονάδες 5
Γ3. Να αποδείξετε ότι για κάκε x ιςχφει
2
2 1
x x 1 x
2
 
    
 
και ότι θ fC είναι
πάνω από τισ ευκείεσ 1 και 2 του προθγοφμενου ερωτιματοσ.
Μονάδες 4
Γ4. ΢θμείο   x,f x κινείται πάνω ςτθ γραφικι παράςταςθ τθσ f. Αν θ τετμθμζνθ
του μεταβάλλεται με ρυκμό 2cm / s, να βρείτε το ρυκμό μεταβολισ τθσ
απόςταςθσ του Μ από τθν αρχι των αξόνων  0,0 , τθ χρονικι ςτιγμι που το
Μ διζρχεται από το ςθμείο   1,f 1 .
Μονάδες 6
ΣΕΛΟ΢ 3Η΢ ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
16.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 9 of 12

10. ΑΡΧΗ 4Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
Γ5. Να μελετιςετε τθ ςυνάρτθςθ f ωσ προσ τθν μονοτονία τα ακρότατα και τθν
κυρτότθτα.
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f με   x 1
f x e ln x 1
   , x 0 και θ ςυνάρτθςθ g που είναι
οριςμζνθ ςτο  και ιςχφει      
2
g x g y x y   για όλα τα x,y .
Δ1. Να αποδείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ g είναι ςτακερι.
Μονάδες 5
Δ2. Να μελετιςετε τθ ςυνάρτθςθ f ωσ προσ τθν μονοτονία τα ακρότατα και τθν
κυρτότθτα.
Μονάδες 5
Δ3. Αν  g 1 e , να βρείτε το πλικοσ των ριηών τθσ εξίςωςθσ    f x g x .
Μονάδες 7
Δίνεται ςυνάρτθςθ h με τφπο    3 2
h x 2x g x x 6x 5     .
Δ4. Να βρείτε τισ τιμζσ τθσ ςυνάρτθςθσ g για τισ οποίεσ θ ςυνάρτθςθ h είναι γνθςίωσ
αφξουςα ςτο .
Μονάδες 4
Δ5. Να αποδείξετε ότι θ εξίςωςθ 4 3 2
2x 3x 7x x 5 0     ζχει ακριβώσ μια ρίηα
ςτο (-1,1).
Μονάδες 4
ΣΕΛΟ΢ 4Η΢ ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
16.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 10 of 12

11. 2
∆ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Επαναληπτικό I
ΘΕΜΑ AA
Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ
Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ
να αποδείξετε ότι όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(x) F(x) c= + , c R∈
είναι παράγουσες της f στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ
παίρνει τη μορφή G(x) F(x) c= + ,c R∈ (7Μ)
Α2. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο διάστημα (α,β) με εξαίρεση
ίσως ένα σημείο ox στο οποίο είναι συνεχής.
Να αναφέρετε πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει καμπή στο σημείο ox (4Μ)
Α3. Απαντήστε με ένα Αληθές ή Ψευδές (10Μ)
α Αν f :R R→ και f(x) 0> , για κάθε x R∈ και υπάρχει το όριο
x 0
limf(x)
→
είναι βέβαιο ότι
x 0
limf(x) 0
→
>
β Η γραφική παράσταση της f−
είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης της f ως προς τον άξονα x x′
γ Αν για τη συνεχή στο διάστημα D [α,β]= συνάρτηση f είναι f(x) 0≠
τότε είναι βέβαιο ότι και
β
α
f(x) dx 0≠∫
δ Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη σε διάστημα D
και στο σημείο ox έχει ακρότατο, τότε είναι βέβαιο ότι of (x ) 0′ =
ε Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο R
και δεν έχει κρίσιμα σημεία, τότε είναι βέβαιο ότι αυτή δεν έχει ακρότατα.
Σε όσες από πιο πάνω τις πιο πάνω είναι Ψευδείς
να αιτιολογήσετε την απάντησή σας με ένα παράδειγμα. (4Μ)
16.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 11 of 12

12. ÊáëÞ åðéôõ÷ßá !
3
ΘΕΜΑ ΒΒ
Έστω η συνάρτηση f :R R→ , ώστε 2
f(x) x 1= + , x R∈
και η συνάρτηση g:D [1, ) R= +∞ → , ώστε g(x) x 1= − , x 1≥
Β1. Να αποδείξετε ότι ορίζεται η συνάρτηση h g f= στο R , με h(x) |x|= (6Μ)
Β2. Να εξετάσετε αν η καμπύλη C της h δέχεται ασύμπτωτες. (3Μ)
Β3. Να εξετάσετε αν υπάρχει το όριο
x 0
h(x)
L lim
ημx→
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(7Μ)
Β4. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προυποθέσεις του Θ. Rolle για τη συνάρτηση
( )t(x) h(x)ημ πx= στο διάστημα Δ [ 1,1]= − (9Μ)
ΘΕΜΑ ΓΓ
Έστω η συνάρτηση f :R R→ , ώστε 2
f(x) x 1= + , x R∈
Γ1. Να εξετάσετε α. τη καμπύλη C της f ως προς τις ασύμπτωτες (4Μ)
β. την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα (3Μ)
γ. την f ως προς την κυρτότητα. (3Μ)
Γ2. Να παραστήσετε την f στο επίπεδο (3Μ)
Γ3. Να βρείτε το σημείο M της καμπύλης fC που απέχει από το σημείο N(2,0)
την μικρότερη απόσταση και μετά να αποδείξετε ότι η εφαπτόμενη ευθεία (ε)
της καμπύλης fC στο σημείο της M, είναι κάθετη στο τμήμα MN (7Μ)
Γ4. Έστω και η περιττή συνάρτηση g:D [0, )= +∞ , ώστε g (x) 1′ > και g(1) 2=
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) g(x)= δέχεται μοναδική λύση ox (8Μ)
ΘΕΜΑ ΔΔ
Έστω η γνησίως μονότονη συνάρτηση f :R R→ , ώστε f (1 x) f (x)′ ′− = , x R∈
ώστε f(0) 0= και f(1) 1=
Δ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. (3Μ)
Δ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F(x) f(1 x) f(x)= − + , x R∈ είναι σταθερή
και η σταθερή τιμή της είναι ίση με 1 (6Μ)
Δ3. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση
της f , τον άξονα x x′ και την ευθεία x 1= (4Μ)
Δ4. Να αποδείξετε ότι
2 4
0 2
f(x) dx f(x) dx<∫ ∫ (5Μ)
Δ5. Να βρείτε τον x (0,1)∈ , ώστε
2
2 2x 1
2 2
2
x e
f(x ) f(1 x ) f
1 x
−⎛ ⎞
+ − = ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
(7Μ)
16.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 12 of 12