Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ /
ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Εξεταζόµενη ύλη: Έως και θεώρηµα Bolzano
Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Ερωτήµατα ή και ολόκληρα
θέµατα αντλήθηκαν από:
Β και Γ θέµα Lisari Team
Πρωτότυπα Γιάννης Μπαϊλάκης
Γ2 Νίκος Σκοµπρής & Σχολικό Βιβλίο
ΘΕΜΑ Α
Α1. Nα αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις C και C'
των
συναρτήσεων f και f-1
είναι συµµετρικές ως προς την
ευθεία y=x που διχοτοµεί τις γωνίες xOy και x'
Oy'
Μονάδες: 5
Α2. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισµό:
"Για κάθε συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα [α,β] για
την οποία ισχύει
§ Είναι συνεχής στο [α,β]
§ f α( )⋅ f β( )> 0
τότε δεν υπάρχει x0
∈ α,β⎡
⎣
⎤
⎦ τέτοιο ώστε f x0( )= 0 "
α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισµό γράφοντας
πάνω στην κόλλα σας το γράµµα Α, αν είναι αληθής, ή το
γράµµα Ψ, αν είναι ψευδής
β. Αν η πρόταση είναι αληθής (Α) να την αποδείξετε, ενώ αν
είναι ψευδής (Ψ) να δώσετε ένα αντιπαράδειγµα
Μονάδες: 1+3
21.10.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 5
Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης

2.
2
Α3. Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεµβολής και να δώσετε τη
γεωµετρική του ερµηνεία
Μονάδες: 4
A4. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση στην παρακάτω
πρόταση αιτιολογώντας την απάντηση σας.
Δίνονται οι συναρτήσεις f x( )=
1
x − 2( )
2
+1 και g x( )=
1
x2
−1
Από τους παρακάτω ισχυρισµούς λάθος είναι ο
Α. Η g είναι συνεχής στο 2
Β. Η f είναι συνεχής στο 1
Γ. Η g έχει δύο (2) σηµεία στα οποία δεν είναι συνεχής
Δ. lim
x→+∞
f x( )= 1
Μονάδες: 2
A5. Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν,
γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί
σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή
Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη.
α. Ισχύει ότι lim
x→+∞
x ⋅ ηµ
1
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = 1
β. Αν 0 ≤ f x( )≤ 1 κοντά στο 0 τότε lim
x→0
x2
⋅ f x( )( )= 0
γ. Αν lim f x( )
x→x0
= 1 τότε κατ΄ανάγκη θα είναι και lim
x→x0
f x( )= 1 ή
lim
x→x0
f x( )= −1
21.10.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 5
Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης

3.
3
δ. Αν η f είναι συνεχής στο R και για x ≠ 4 ισχύει ότι
f x( )=
x2
− 7x +12
x − 4
τότε το f(4) είναι ίσο µε 1
ε. Το όριο lim
x→0
ln x3
+ x +1( )⎡
⎣
⎤
⎦
είναι καλώς ορισµένο
Μονάδες: 10
ΘΕΜΑ B
Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:R → R µε f x( )= x2
+ 5x − 2α +10 και
g x( )= 2x − x2
− β − 3 για τις οποίες ισχύει lim
x→β
f x( )= lim
x→α
g x( )
Β1. Να αποδείξετε ότι α=2 και β=-3
Μονάδες: 6
Β2. Να ορίσετε τη συνάρτηση fog
Μονάδες: 6
Β3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση e
f x( )−6
= ln g x( )+ 8( ) έχει µια
τουλάχιστον λύση στο διάστηµα (0,1)
Μονάδες: 6
Β4. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πραγµατικός αριθµός γ
τέτοιος ώστε, η συνάρτηση h x( )=
f x( ) , x>γ
g x( ) ,x ≤ γ
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
να είναι
συνεχής
Μονάδες: 7
21.10.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 5
Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης

4.
4
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνάρτηση f :R → R µε σύνολο τιµών f R( )= R για
την οποία ισχύει ότι f3
x( )+ f x( )+ 2x = 0 για κάθε x ∈R
Γ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R
Μονάδες: 6
Γ2. Να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση της f και να τη
µελετήσετε ως προς τη µονοτονία
Μονάδες: 5
Γ3. Να λύσετε την ανίσωση f−1
f −34( )− x2
( )< 0
Μονάδες: 6
Γ4. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής
Μονάδες: 4
Γ5. Οι συντεταγµένες του σηµείου Μ(x,y) ικανοποιούν τη
σχέση f x2
+ 4x + 7( )+ f y2
− 6y −10( )= 0 . Να αποδείξετε ότι το
σηµείο Μ κινείται σε κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και
την ακτίνα
Μονάδες: 4
21.10.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 5
Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης

5.
5
ΘΕΜΑ Δ
Έστω η πολυωνυµική συνάρτηση f :R → R για την οποία
ισχύουν
§ f 1( )= 1
§ lim
x→+∞
f 2x( )
f x( )
= 8
§ lim
x→0
f x( )+ x − 3
x2
= 0
Δ1. Να αποδείξετε ότι f x( )= −x3
− x + 3 , x ∈R
Μονάδες: 9
Δ2. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα, είναι 1-1 και
έχει αντίστροφη συνάρτηση η οποία είναι και αυτή γνησίως
φθίνουσα (θεωρήστε ότι το σύνολο τιµών της f είναι το
f A( )= R
Μονάδες: 4
Δ3. Να λύσετε την ανίσωση f x( )> f−1
x( ), x ∈R
Μονάδες: 6
Δ4. Να δείξετε ότι αν α,β ∈R , η εξίσωση
f x( )⋅ x7
+ αx2
+ βx +1( )= ex
έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (0,2)
Μονάδες: 6
Σας
εύχομαι
επιτυχία
21.10.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 5
Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης