Επιμέλεια: Νίκος Μιχαλόπουλος αποκλειστικά για το lisari

1. ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙ΢ΜΑ ΢ΣΙ΢ ΠΑΡΑΓΩΓΟΤ΢
ΟΝΟΜΑΣΕΠΩΝΤΜΟ:
ΠΑΡΑ΢ΚΕΤΗ 12-2-2016 ΒΑΘΜΟ΢:
ΕΙ΢ΗΓΗΣΗ΢:ΜΙΧΑΛΟΠΟΤΛΟ΢ ΝΙΚΟ΢ ΚΑΛΗ ΕΠΙΣΤΧΙΑ!! ΓΕΛ ΠΤΛΟΤ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να αποδείξετε ότι αν η συνάρτηση f, είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε η συνάρτηση f είναι και
συνεχής στο 0x . Μονάδες 7
Α2. Να χαρακτηρίσετε ως (΢) σωστό ή (Λ) λάθος τις παρακάτω προτάσεις:
i) Κάθε συνάρτηση f που είναι συνεχής σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της είναι και
παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. Μονάδες 3
ii) Έστω δύο συναρτήσεις f,g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι f ,g είναι συνεχείς στο Δ και
( ) ( )f΄ x g΄ x για κάθε εσωτερικό σημείο χ του Δ τότε ισχύει f(x)=g(x) για κάθε x .
Μονάδες 3
iii) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε   0x'f  στο Δ. Μονάδες 3
iv) Για κάθε 0x  ισχύει
1
ln x ΄
x
    . Μονάδες 3
v) Ισχύει ο τύπος   1
3 3x x
΄ x 
  για κάθε x . Μονάδες 3
vi) Έστω η συνάρτηση f(x)=σφχ . Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο  1 / 0R R x    και
ισχύει: 2
1
( )f΄ x
 
 . Μονάδες 3
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση f με :(0, )f  , δυο φορές παραγωγίσιμη στο R με f(1)=f΄(1)=0 η οποία
ικανοποιεί την σχέση :   22 ( )
(x ( ) f x
x f΄ f΄΄ x e
  για κάθε x>0.
Β1. Να αποδείξετε ότι f(x)=ln(x-lnx) , x>0. Μονάδες 9
Β2. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 10
Β3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν βρίσκεται κάτω από τον χ΄χ. Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Γ
Δίνονται οι συναρτήσεις ,g:f  με τύπους ( ) x
f x e και 2
( )g x x x   .
Γ1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της fC στο Α(0,1) , εφάπτεται και της γραφικής παράστασης της
g(x). Μονάδες 9
Γ2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό α(-1,0) τέτοιο ώστε 2 1 0e
   . Μονάδες 9
Γ3. Έστω h(x)=f(x)-g(x) , να δείξετε ότι: 2
( ) 1h x a a   για κάθε x με α(-1,0). Μονάδες 7

2. ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙ΢ΜΑ ΢ΣΙ΢ ΠΑΡΑΓΩΓΟΤ΢
ΟΝΟΜΑΣΕΠΩΝΤΜΟ:
ΠΑΡΑ΢ΚΕΤΗ 12-2-2016 ΒΑΘΜΟ΢:
ΕΙ΢ΗΓΗΣΗ΢:ΜΙΧΑΛΟΠΟΤΛΟ΢ ΝΙΚΟ΢ ΚΑΛΗ ΕΠΙΣΤΧΙΑ!! ΓΕΛ ΠΤΛΟΤ
ΘΕΜΑ Δ
Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f(x) που ορίζεται στο [0,1] για την οποία ισχύει:
2 2
2 ( ) (0) (1) 2f΄ x f f   για κάθε  0,1x .
Δ1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει (0,1)  τέτοιο ώστε f΄(ξ)=f(1)-f(0). Μονάδες 5
Δ2. Να αποδείξετε ότι f(0)=-1 και f(1)=1. Μονάδες 7
Δ3. Να βρείτε την μονοτονία της f(x) και να αποδείξετε ότι ( ) 2f΄ x  . Μονάδες 6
Δ4. Να αποδείξετε ότι 1 ( ) 1f x   για κάθε  0,1x . Μονάδες 7