Επιμέλεια: Νίκος Σούρμπης από το Ίλιον Αττικής αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com.

1. 11/04/2021
Θέμα Α
Να χαρακτηρίσετε με σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις
1) Η ευθεία y x
  σχηματίζει με τον '
x x γωνία 45.
2) Η εξίσωση    
2
1 1 1 0
x y
 
     παριστάνει ευθεία για κάθε  
3) Το κέντρο του κύκλου 2 2
1
x y
  είναι εστία της παραβολής 2
4
y x
 .
4) H εξίσωση
2 2
1
x y
e e
 

  παριστάνει έλλειψη για κάθε   .
5) Η εξίσωση
2
ln ln
3
y x e
 
 
 
 
είναι ευθεία παράλληλη στη διχοτόμο y x

6) Η ευθεία  
ln 2 2
ln
y e x e

   είναι κάθετη στην ευθεία ln2
ln(2 ) 0
e x y e
  
7) Η παραβολή 2
4
y ex
 έχει διευθετούσα την ευθεία ln e
x e
 
8) Η εξίσωση 2 2
2 3 5
x y
  παριστάνει έλλειψη που διέρχεται από το
σημείο  
1, 1
  
9) Το      
3 2 2
1 ln 1 1
a
P x e x a x
     είναι 3ου
βαθμού για κάθε   .
10) Αν    
x
f x 
 με 0,
2


 
 
 
ο κύκλος  
2 2
1 : 1
c x y f
  βρίσκεται μέσα
στον  
2 2
2 : 2
c x y f
 
Επιμέλεια: Νίκος Σούρμπης
Β΄ Λυκείου - Ομάδες Προσανατολισμού

2. Θέμα Β
Δίνονται τα σημεία  
0,0
 ,  
2,0
 ,  
,e
 
  με 0
  .
Β1. Να δείξετε ότι τα Ο, Α, Β είναι κορυφές τριγώνου.
Αν επιπλέον το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι Ε=1:
Β2. Να λύσετε την εξίσωση ln
ln
x x
e e e
  και να δείξετε ότι 0
  .
Β3. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου 1
C με διάμετρο ΟΑ.
Β4. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής 2
C με εστία το κέντρο Κ του κύκλου και
στη συνέχεια τα κοινά σημεία των 1
C και 2
C
Θέμα Γ
Θεωρούμε τα σημεία  
5 ,5
 
 και
10 3
5,
4



 
 
 
 
με ,
  
Γ1. Να δείξετε ότι το Μ κινείται στον κύκλο 2 2
: 25
C x y
 
Γ2. Να δείξετε ότι τα σημεία Ν κινούνται σε ευθεία 1
 που εφάπτεται στον κύκλο C.
Γ3. i) Να βρεθεί ευθεία : 2 0
x y e e
 
 
    όπου το κέντρο του
κύκλο C απέχει από αυτή
3
2
d 
ii) Για κ=0 να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η  με τον '
x x .
Θέμα Δ