Αποκλειστικά lisari

1. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος http://lisari.blogspot.gr
Θέμα Δ Γενικής Παιδείας (Κατασκευή Μάκης Χατζόπουλος)
Δίνεται συνάρτηση  
 2 x 4
x 4
e 1
12,5 2 ,x 4
f x e 1
0 ,x 4


  
        


και μεταβλητή Χ με παρατηρήσεις που
διατάσσονται σε 4 ισοπλατείς κλάσεις, όπως φαίνεται στο παρακάτω ιστόγραμμα αθροιστικών
σχετικών συχνοτήτων τοις εκατό (Fi%).
Αν η εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο x0 = 4 συμπίπτει με το
πολύγωνο των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις εκατό, όπως φαίνεται στο σχήμα, τότε:
Δ1. Να αποδείξετε ότι    x 4
f x 12,5 e 1 , x
   R
Μονάδες 6
Δ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της Cf στο x0 = 4 είναι η y = 12,5x – 50
Μονάδες 5
Δ3. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα σχετικών συχνοτήτων (μονάδες 6)
Κλάσεις xi fi Fi Fi%
[ , )
[ , )
[ , )
[ , )
Σύνολο - - -
Στη συνέχεια να σχεδιάσετε το κυκλικό διάγραμμα (μονάδες 2).
Μονάδες 8

2. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος http://lisari.blogspot.gr
Δ4. Να αποδείξετε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές (μονάδες 3) και στη συνέχεια να βρείτε τον
ελάχιστο ακέραιο αριθμό που πρέπει να προσθέσουμε σε κάθε τιμή, ώστε το δείγμα να γίνει
ομοιογενές (μονάδες 3).
Μονάδες 6
Λύσεις
Δ1. Για x 4 έχουμε,
 
   
  
   
x 4 x 42 x 4
x 4 x 4
x 4 x 4
e 1 e 1e 1
f x 12,5 2 12,5 2 12,5 e 1 2 12,5 e 1
e 1 e 1
 
 
 
                         
άρα
 
 x 4
12,5 e 1 ,x 4
f x
0 ,x 4

   
 

όμως
       x 4 x 4
x 4 x 4 x 4
limf x lim 12,5 e 1 12,5 lim e 1 12,5 0 0 f 4 
  
           
οπότε
   x 4
f x 12,5 e 1 , x
   R
Δ2. Για κάθε xRέχουμε,
   x 4 x 4
f x 12,5 e x 4 12,5 e       
άρα
  4 4
f 4 12,5 e 12,5
   
Επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο x0 = 4
είναι η y 12,5x , όμως στο σημείο επαφής ισχύει  f 4 0 ,άρα την επαληθεύει το σημείο
αυτό, δηλαδή 0 12,5 4 50      , οπότε η ζητούμενη ευθεία (ε) έχει εξίσωση
y 12,5x 50 
Δ3. Η ευθεία τέμνει τον οριζόντιο άξονα για y = 0, άρα
0 12,5 x 50 x 4    
οπότε το πρώτο άκρο της κλάσης είναι το x1 = 4.

3. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος http://lisari.blogspot.gr
Όμως το τελευταίο άκρο της κλάσης x5 αντιστοιχεί στη τιμή 100, οπότε το σημείο (x5, 100)
επαληθεύει την εξίσωση (ε), δηλαδή
5 5100 12,5 x 50 x 12    
Όμως οι κλάσεις είναι ισοπλατείς και έχουν πλάτος c, άρα πρέπει:
12 4 4c c 2   
Επομένως οι ζητούμενες κλάσεις είναι [4, 6), [6, 8), [8, 10), [10, 12).
Εύκολα συμπληρώνουμε τον παρακάτω πίνακα σχετικών συχνοτήτων
Κλάσεις xi fi Fi Fi%
[4, 6) 5 0,25 0,25 25
[6, 8) 7 0,25 0,5 50
[8, 10) 9 0,25 0,75 75
[10, 12) 11 0,25 1 100
Σύνολο - 1 - -
Έχουμε,
0 0 0 0
1 1
1
360 f 360 0,25 360 90
4
        , οπότε, 0
2 3 4 90     

4. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος http://lisari.blogspot.gr
Δ3. Έχουμε,
 
4
i i 1 1 4 4
i 1
x x f x f ... x f 5 0,25 7 0,25 9 0,25 11 0,25
5 7 9 11 0,25
32 0,25
1
32
4
8

              
    
 
 


και
 
         
 
4 2
i i 4 2 2 2 2 22 i 1
i i
i 1
x x v
s x x f 5 8 0,25 7 8 0,25 9 8 0,25 11 8 0,25
v
0,25 9 1 1 9
5


 
               
   



άρα
s 5 4 1
CV 0,25 0,1
8 8 4x
     
δηλαδή το δείγμα δεν είναι ομοιογενές.
Έστω α η ποσότητα που πρέπει να προσθέσουμε σε κάθε τιμή του δείγματος έτσι ώστε το δείγμα
να γίνει ομοιογενές. Η νέα μέση τιμή θα γίνει 8 + α ενώ η τυπική απόκλιση θα μείνει η ίδια. Άρα
για να μειωθεί η τιμή του κλάσματος πρέπει ο παρονομαστής να αυξηθεί, οπότε το α πρέπει να
είναι θετικός ακέραιος αριθμός.
Επομένως
05 5 1
CV' 0,1 0,1 10 5 8 10 5 8
8 8 10

            
   
Οπότε,
α min = 15
(αφού 5 2,3 10 5 23 10 5 8 15      )
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος