Διαγωνισμα

1. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ Α
Α . Έςτω μια ςυνάρτηςη f οριςμένη ςε ένα διάςτημα Δ . Αν f ςυνεχήσ ςτο Δ και f′
x =0
για κάθε εςωτερικό ςημείο x του Δ τότε να αποδείξετε ότι η f είναι ςταθερή ςε όλο το διάςτημα Δ. 7 μονάδεσ
Β . Να διατυπώςετε το Θεώρημα Rolle καθώσ και την γεωμετρική του ερμηνεία ( 4 μονάδεσ
Γ. Να διατυπώςετε το Θεώρημα Μέςησ Τιμήσ καθώσ και την γεωμετρική του ερμηνεία ( 4 μονάδεσ
Δ. Να χαρακτηρίςετε ωσ Σωςτή Σ ή ωσ Λανθαςμένη Λ καθεμία από τισ παρακάτω προτάςεισ : 10 μονάδεσ
α Έςτω δύο ςυναρτήςεισ f , g οριςμένεσ ςε ένα διάςτημα Δ. Αν οι f , g είναι ςυνεχείσ ςτο Δ και f ΄ x = g ΄ x
για κάθε εςωτερικό ςημείο x του Δ , τότε ιςχύει f x = g x για κάθε x ∈ Δ .
β Αν μια ςυνάρτηςη f είναι ςυνεχήσ ςε ένα ςημείο x0 του πεδίου οριςμού τησ , τότε είναι και παραγωγίςιμη
ςε αυτό.
γ Αν f(x =αx με α > 0 , τότε ιςχύει αx ’=xα x − 1
δ Για κάθε x ≠ 0 ιςχύει ln x ′
=
1
x
ε Αν οι ςυναρτήςεισ f , g είναι παραγωγίςιμεσ ςτο x0 , τότε η ςυνάρτηςη f ∙ g είναι παραγωγίςιμη ςτο x0
και ιςχύει f ∙ g ′
(x0)=f′
(x0) g′
(x0) .
ΘΕΜΑ Β
Α. Να βρεθούν οι παρακάτω αρχικέσ για Rolle :
α . f′
(x)−3x2+6x = 0 β.
f(x)
x
+ lnx ∙ f′ x = 0 γ. f′
x =
2x f x
1− x2 δ. f′
(x)=2xf(x) , f(x)>0
ε. f′
(x)= x f2
(x) , f(x)≠ 0 ςτ. f′
(x)= ςυνx e– f(x) ( 12 μονάδεσ
Β. Να αποδείξετε ότι eα
β − α < eβ
− eα
< eβ
β − α , α < β ( 5 μονάδεσ
Γ. Να βρείτε τον τύπο τησ ςυνάρτηςησ f ςτισ παρακάτω περιπτώςεισ:
α. x f′
x − 2 + f x = 0 , x > 0 , f 1 = 0
β. x2
+ 1 f′
x + 2xf2
x = 0 , x > 0 , f 1 =
1
ln2
, f(x) ≠ 0 ( 8 μονάδεσ

2. ΘΕΜΑ Γ
Α. Δίνεται η παραγωγίςιμη ςυνάρτηςη f : α , 2α → ℝ με α>0 για την οποία ιςχύει f α =α , f 2α =2α .
Να αποδείξετε ότι :
α υπάρχει x0 ϵ α ,2α ∶ f x0 = 3α − x0
β υπάρχουν ξ1 , ξ2 ∈ α ,2α ∶ f′
ξ1 f ′ ξ2 = 1 ( 12 μονάδεσ
Β. Δίνεται ςυνάρτηςη f : ℝ → ℝ , με ςυνεχή δεύτερη παράγωγο και f(2) f ′ (2)=f(4) f ′ (4) . Να δείξετε ότι :
α . υπάρχει τουλάχιςτον ένα ξ ∈ 2 , 4 ∶ f ξ f′′
ξ + f′
ξ
2
= 0
β. η εξίςωςη x f(x) f′′
(x) +1 – x =0 έχει τουλάχιςτον μια λύςη ςτο 0 , 4). ( 13 μονάδεσ
ΘΕΜΑ Δ
Α. Έςτω η δύο φορέσ παραγωγίςιμη ςυνάρτηςη f ∶ ℝ → ℝ για την οποία ιςχύει
f(x)+f(x+2)=2f(x+1).
Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ x , x + 2 ∶ f′′
ξ = 0 ( 9 μονάδεσ
Β. Δίνεται ςυνάρτηςη f ∶ ℝ → ℝ παραγωγίςιμη , για την οποία ιςχύει :
f x + x ∙ f′
x + 1 = 4x , f 0 = 1 , x ∈ ℝ
α Να δείξετε ότι f x = 4x2 + 1 – x , x ∈ ℝ
β Να δείξετε ότι υπάρχει x0 ∈ −2 , 2 ∶ 4x0
3
f x0 − 16f′
x0 = −x0
4
f′
x0 ( 16 μονάδεσ
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ