Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το lisari

1. ;
Επανάληψη Μαθηματικών
Γ Λυκείου
Ενδοσχολικές Εξετάσεις
Σχολικό έτος: 2016 – 17
lisari.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Μάκης Χατζόπουλος

2. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σχολικό Έτος: 2016 - 17
Πρόλογος
Στο σχολικό έτος 2016 – 17 έχουμε μια νέα οδηγία… οι ενδοσχολικές εξετάσεις να
προηγηθούν των Πανελλαδικών Εξετάσεων. Μια οδηγία που έφερε μνήμες ως προς
τον παλαιό τρόπο εξέτασης των υποψηφίων.
Ο φόβος των καθηγητών είναι ο εξής: η αδιαφορία των μαθητών με συνήθης
δικαιολογία «δεν διάβασα γιατί προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις».
Άρα είναι υπαρκτός ο κίνδυνος να δίνουν τα θέματα οι καθηγητές και οι μαθητές να
τα παραδίδουν μέσα σε 40 λεπτά. Επίσης είναι υπαρκτός και ο κίνδυνος οι καθηγητές
των Πανελλαδικών Εξετάσεων να κάνουν μια πρόβα Εξετάσεων, οπότε να δούμε σε
πολλές περιπτώσεις θέματα πιο δύσκολα και από αυτά που θα αντικρύσουμε στις
Πανελλαδικές Εξετάσεις (12 Ιουνίου 2017).
Φυσικά και όταν οι ενδοσχολικές εξετάσεις ακολουθούσαν χρονικά από τις
Πανελλαδικές Εξετάσεις η απαξίωση ήταν υπαρκτή… άρα δεν φταίει το σύστημα αλλά
η αδιαφορία αρκετών μαθητών και ο εφησυχασμός των καθηγητών.
Μια πρόταση που ακολουθούν μερικά σχολεία (αν όχι όλα) είναι η εξής: Αφαιρούμε
από την ύλη το κεφάλαιο των Ολοκληρωμάτων και μερικές φορές και τον Ρυθμό
Μεταβολής. Επίσης δίνουμε SOS μερικές αποδείξεις και ασκήσεις από το σχολικό
βιβλίο.
Αν και αυτή η συνήθης πρακτική δεν είναι ορθή, βοηθάει μερικούς μαθητές ως προς
το διάβασμά τους. Εμείς προτείνουμε μερικά θέματα που μπορούν να διδαχθούν στο
τέλος της σχολικής χρονιάς ή να δοθούν ως θέματα προς μελέτη.
Ο Θεός βοηθός σε ό,τι και να κάνετε!
Έκδοση: 21/5/2017

3. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σχολικό Έτος: 2016 - 17
Θεωρία
1) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο 0x , τότε είναι και
συνεχής στο σημείο αυτό.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Για 0x x έχουμε
0
0 0
0
f(x) f(x )
f(x) f(x ) (x x )
x x

   

,
οπότε
0 0
0
0 0
x x x x
0
f(x) f(x )
lim[f(x) f(x )] lim (x x )
x x 
 
    
 
0 0
0
0
x x x x
0
f(x) f(x )
lim lim(x x )
x x 

  

0f (x ) 0 0   ,
αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x .
Επομένως,
0
0
x x
lim f(x) f(x )

 , δηλαδή η f είναι συνεχής στο 0x .
2) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ , ]  .
Αν:
• η f είναι συνεχής στο [ , ]  και
• f ( ) f ( )  
τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f ( ) και f ( ) υπάρχει ένας, τουλάχιστον
0x ( , )   τέτοιος, ώστε 0f(x )  
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Ας υποθέσουμε ότι f( ) f( )   τότε θα ισχύει f( ) f( )     . Αν θεωρήσουμε τη
συνάρτηση g(x) f(x) , x [ , ]   , παρατηρούμε ότι:
• η g είναι συνεχής στο [ , ]  και
• g( )g( ) 0   ,
αφού
g( ) f( ) 0     και g( ) f( ) 0     .
Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει 0x ( , )   τέτοιο, ώστε
0 0g(x ) f(x ) 0   , οπότε 0f(x )  .

4. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σχολικό Έτος: 2016 - 17
Προσαρμοσμένες ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο
για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
1) Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο 0x 0 . Αν για κάθε x R ισχύει
x f(x) συνx 1 
α) Να βρείτε το f (0) .
β) Να γράψετε τον τύπο της f για κάθε x R .
γ) Να υπολογίσετε, αν ορίζεται, την παράγωγο της f στο 0x 0 .
δ) Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης f στο 0x 0 .
ε) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της fC .
2) Έστω f,g δύο συναρτήσεις με
• f(0) g(0) ,
• f(1) g(1) 1 
• f (x) g (x)  για κάθε x R .
Να αποδείξετε ότι:
α) f(x) g(x) x  , για κάθε x R .
β) Aν η συνάρτηση g έχει δύο ρίζες ,  με 0    , τότε η συνάρτηση f έχει μια
τουλάχιστον, ρίζα στο ( , )  .
γ) Αν η fC έχει ασύμπτωτη την y 2017x 1924  στο  τότε να βρείτε την ασύμπτωτη
της gC στο  .
3) Δίνεται η συνάρτηση
ημx , x 0
f(x)
x , x 0

 
  
η οποία είναι παραγωγίσιμη στο 0x 0 .
α) Να αποδείξετε ότι: 1  και β 0
β) Να εξετάσετε αν ικανοποιείται το Θεώρημα Rolle στο διάστημα
3π
1,
2
 
  
.
γ) Να υπολογίσετε το
3π
ξ 1,
2
 
  
 
στο οποίο η εφαπτομένη της fC είναι παράλληλη
στον άξονα x x .
δ) Nα βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο της συνάρτησης:
 
 
 
2
x f x ,x 0
g x
f x x 0
  
 

4) Έστω (ε) η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
1
f (x)
x
 σε ένα
σημείο της
1
M ,
 
 
 
. Αν ,  είναι τα σημεία στα οποία η ε τέμνει τους άξονες x x
και y y αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι:
i) Το Μ είναι μέσο του ΑΒ.

5. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σχολικό Έτος: 2016 - 17
ii) Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό, δηλαδή ανεξάρτητο του *
R .
5) Δίνεται η συνάρτηση 3
f(x) x 3x 5,x   R.
Α. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f , στα οποία η
εφαπτομένη είναι:
i) παράλληλη προς την ευθεία y 9x 1 
ii) κάθετη προς την ευθεία y x  .
Β. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης:
i)  f x 0
ii)  f x   για τις διάφορες τιμές του λR.
6) Δίνεται η συνάρτηση   4 3 2
f x x 20x 25x x 1,x     R
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση  f x 0 έχει δυο, τουλάχιστον, ρίζες στο διάστημα  1,1
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 2
4x 60x 50x 1 0    έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο
 1,1 .
7) Δίνεται η συνάρτηση  x
f(x) e 1 ln x 1   
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και στη συνέχεια να εξετάσετε την f ως προς τα
ακρότατα.
γ) Να λύσετε την εξίσωση  f x 0
δ) Να βρείτε το πρόσημο της  f x .
8) Δίνεται η συνάρτηση f(x) ln x x 1,x 0   
α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και ασύμπτωτες.
β) Να λύσετε την εξίσωση  f x 0 .
γ) Να βρείτε το πρόσημο της  f x .
δ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης
2
(x) 2xln x x 4x 3    
ε) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
g(x) xln x και 21 3
h(x) x 2x
2 2
   
έχουν ένα μόνο κοινό σημείο στο οποίο έχουν και κοινή εφαπτομένη.
στ) Βρείτε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και h του (ε)
ερωτήματος.
9) Δίνεται η συνάρτηση  f x 2 x x 3, x    R
α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα στο διάστημα  0, .
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
1 3
x x
2 2
   έχει ακριβώς μια ρίζα στο  0, .

6. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σχολικό Έτος: 2016 - 17
γ) Να εξετάσετε αν η fC έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο  και στο  .
10) Δίνεται η συνάρτηση
ln x
f(x)
x
 .
α) Να μελετήσετε: μονοτονία, ακρότατα, κυρτή, κοίλη, σημεία καμπής, ασύμπτωτες και
στη συνέχεια να χαράξετε πρόχειρα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f.
β) Να αποδείξετε ότι 1
( 1) 
    για κάθε e  .
γ) Να λύσετε την εξίσωση x 2
2 x , x 0 .
δ) Να βρείτε το πλήθος της εξίσωση  f x  για 2017 , 2
1
e
,
1
2017
 .
11) Δίνονται οι συναρτήσεις  f(x) ημx xσυνx,x 0,π   και
ημx
g(x) ,
x
  x 0,π .
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
β) Να αποδείξετε ότι  0 f x π  για κάθε  x 0,π .
γ) Να εξετάσετε τη συνάρτηση g ως προς τα διαστήματα μονοτονίας και ακρότατα.
δ) Να αποδείξετε ότι οι f gC ,C τέμνονται σε ένα ακριβώς σημείο στο  0,π .
12) Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) 2ημx εφx 3x,x ,
2 2
  
     
 
.
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
β) Να λύσετε την εξίσωση  f x 0 .
γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f.
δ) Να αποδείξετε ότι:  2ημx 3x x x 0     , για κάθε x 0,
2
 
  
.
13) Δίνονται οι συναρτήσεις  
1
f x
x
 και   2
g x x 3x 3, x 0    .
α) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται μόνο στο σημείο
 A 1,1 .
β) Να υπολογίσετε την εξίσωση της κοινής εφαπτομένης των f gC ,C
γ) Να βρείτε την σχετική θέση των fC και gC στο διάστημα  0, .
14) Δίνονται οι συναρτήσεις   x
f x e και  g x ln x
α) Να αποδείξετε ότι η fC είναι κυρτή και η gC είναι κοίλη.
β) Να βρείτε την εφαπτομένη της fC στο σημείο  A 0,1 και της gC στο  B 1,0
γ) Να αποδείξετε ότι: x
e x 1,x  R και  ln x x 1, x 0,   
δ) Να εξετάσετε την σχετική θέση των fC και gC .
15) Δίνεται η συνάρτηση   x
f x e x, 0   
α) Να εξετάσετε τα ακρότατα της f.

7. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σχολικό Έτος: 2016 - 17
β) Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του λ > 0 για την οποία ισχύει x
e x  για κάθε x R
γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y ex εφάπτεται της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης   x
g x e .
16) Δίνεται η συνάρτηση  
  2
2
1 x x 2
f x , λ
x 1
   
 

R
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
β) Να βρείτε το όριο  x 1
limf x

για τις διάφορες τιμές του λ.
γ) Αν  x 1
lim f x m, m

 R τότε να υπολογίσετε το λ και μ.
δ) Να βρείτε το όριο  x
lim f x

για τις διάφορες τιμές του λ.
ε) Αν  λ 1,2 τότε να αποδείξετε ότι   x
3
lim f f x 2
2 
 
17) Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R με  f x 0  για κάθε
x R .
α. Να δείξετε ότι η f είναι «1-1».
Αν η γραφική παράσταση Cf της f διέρχεται από τα σημεία Α(1, 2017) και Β(-2, 1)
τότε:
β. να λύσετε την εξίσωση  1 2
f 2016 f (x 8) 2
     .
γ. να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ της Cf στο οποίο η
εφαπτομένη της Cf είναι κάθετη στην ευθεία (ε): x 672y 1  .
18) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει 2x 0
f(x) x
lim
x

 R.
α. Να αποδείξετε ότι: i.  f 0 0 ii.  f 0 1 
β. Να βρείτε το λRέτσι, ώστε:
 
 
22
22x 0
x λ f(x)
lim 3
2x f (x)



.
γ. Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο R και    f x f x 
για κάθε x R , να αποδείξετε ότι  xf x 0 για κάθε x ≠ 0.
19) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μίας συνάρτησης
f στο διάστημα.

8. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σχολικό Έτος: 2016 - 17
α) Να βρείτε από το παραπάνω σχήμα το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f.
β) Να σχεδιάσετε την  y f x και  y f x  .
γ) Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως
φθίνουσα και τις θέσεις τοπικών ακροτάτων
δ) Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή, κοίλη και τα σημεία
καμπής.
ε) Υπολογίστε τα όρια: i.
 x 1
1
lim
f x 
ii.
 x 6
1
lim
f x 
iii.   x 0
limf f x

  iv.
 
x 0
f x
lim
x