Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος και Χρήστος Μαρούγκας για το τεύχος 120 Ευκλείδης Β.

1. Μια γνωστή άσκηση από το σχολικό βιβλίο
Προεκτάσεις, συμπληρώσεις και παραλλαγές
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος και Χρήστος Μαρούγκας (οι δύο Μ.Χ)
από το 3ο ΓΕΛ Κηφισιάς
Β6 σελ. 152 σχολικό βιβλίο
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
       
2 2 2
f x x α x β x γ
    , με α β γ
 
έχει τρία τοπικά ελάχιστα και δύο τοπικά μέγιστα.
Εισαγωγή
Το σχολικό βιβλίο, κατά τη γνώμη μας, είναι ένα εξαιρετικό εκπαιδευτικό βιβλίο, δεν
είναι τυχαίο που αντέχει τόσα χρόνια και αποτελεί πλέον σημείο αναφοράς σε πολλά
από τα θέματα των εξετάσεων. Αν και κάθε χρόνο το μελετούν χιλιάδες εκπαιδευτικοί
και μαθητές, τα λάθη που έχουν εντοπιστεί είναι αναλογικά ελάχιστα. Το μόνο που δεν
κατανοούμε είναι γιατί οι διορθώσεις αυτών των λαθών δεν έχουν ενσωματωθεί στις
νεότερες εκδόσεις του βιβλίου.
Επιστρέφουμε στην παραπάνω άσκηση. Μια εξαιρετικά διδακτική άσκηση όπως και
αρκετές άλλες που έχει το σχολικό βιβλίο. Είναι προτιμότερο να γίνει ως εργασία μέσα
στην τάξη παρά να δοθεί ως άσκηση για το σπίτι. Ο κυριότερος λόγος; Έχει πολλά
σημεία που μπορεί να διευκρινίσει ο καθηγητής και κυρίως να καθοδηγήσει τους
μαθητές στην ορθή αντιμετώπισή της.
Δεν γνωρίζουμε και κυρίως δεν μας ενδιαφέρει αν θεωρείται SOS για τις Πανελλαδικές
Εξετάσεις, το μόνο σίγουρο είναι ότι αν τεθεί στις Εξετάσεις θα είναι ανάλογης
δυσκολίας με τα θέματα που είδαμε στις Εξετάσεις 2016 (με τις τέσσερις συναρτήσεις
- άσκηση Β7(β) σελ. 82) και 2017 (με την παράγωγο της συνάρτησης 3 4
x για x 0

- άσκηση Β9ii σελ. 122).
Αρχικά θα παρουσιάσουμε τη λύση που κάνουμε στους μαθητές μας, στη συνέχεια θα
δώσουμε εναλλακτικές προσεγγίσεις. Επίσης, θα προσθέσουμε μερικά βοηθητικά
ερωτήματα για να την κάνουμε προσιτή στους μαθητές. Ακόμα, θα εμφανίσουμε τις
επίσημες λύσεις του σχολικού βιβλίου και θα τις σχολιάσουμε.
Τέλος, θα κλείσουμε με μερικές προεκτάσεις – άλυτες ασκήσεις που θα συμβάλλουν
στην καλύτερη κατανόηση του θέματος.
Ας ξεκινήσουμε από τη λύση της άσκησης:
03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 1 of 9

2. A. Ενδεικτική αναλυτική λύση (α΄ τρόπος)
Βήμα 1ο
Η f είναι συνεχής στα κλειστά διαστήματα  
α,β και  
β,γ και παραγωγίσιμη στα
ανοικτά διαστήματα  
α,β και  
β,γ με      
f α f β f γ 0
   , άρα από το
Θεώρημα Rolle υπάρχουν  
1
ξ α,β
 και  
2
ξ β,γ
 τέτοια, ώστε:
   
1 2
f ξ f ξ 0
 
 
Βήμα 2ο
Η παράγωγος της f είναι:
                 
            
     
2 2 2 2 2 2
2
f x 2 x α x β x γ 2 x α x β x γ 2 x α x β x γ
2 x α x β x γ x β x γ x α x γ x α x β
2 x α x β x γ 3x 2 α β γ x αβ βγ γα
            
           
 
 
 
         
 
Βήμα 3ο
Έχουμε,
       
 
2
2
1 2
f x 0 2 x α x β x γ 3x 2 α β γ x αβ βγ γα 0
x α ή x β ή x γ ή 3x 2 α β γ x αβ βγ γα 0
x α ή x β ή x γ ή x ξ ή x ξ
  
           
 
          
     
διότι τα 1 2
ξ ,ξ είναι ρίζες της εξίσωσης  
f x 0
  και επειδή είναι διαφορετικά από τα
α, β και γ θα είναι ρίζες της εξίσωσης
 
2
3x 2 α β γ x αβ βγ γα 0
       .
Επίσης,
       
2
f x 0 2 x α x β x γ 3x 2 α β γ x αβ βγ γα 0
  
           
 
Πίνακας προσήμων
Βήμα 4ο
Ο πίνακας μεταβολών για την f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα
03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 2 of 9

3. άρα η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στα σημεία 1 2 3
x α, x β, x γ
   και τοπικά
μέγιστα στα σημεία 4 1
x ξ
 και 5 2
x ξ
 .
Σημείωση 1η: Εύκολα αποδεικνύεται ότι όλα τα τοπικά ελάχιστα της συνάρτησης f
είναι και ολικά, διότι
       
f x 0 f α f β f γ
    για κάθε x 
κάτι που μπορούμε να το σημειώσουμε από την αρχή της επίλυσής μας.
Επίσης ένας διαφορετικός τρόπος (β΄ τρόπος) προσέγγισης, που θυμίζει αρκετά την
άσκηση 8 σελ. 81 του σχολικού βιβλίου, είναι ο εξής:
Έχουμε,
              
f x 2 x α x β x γ x β x γ x α x γ x α x β
            
 
 
Θεωρούμε τη συνάρτηση
          
g x x β x γ x α x γ x α x β , x
         
Έχουμε ότι,
 η g είναι συνεχής στα διαστήματα  
α,β και  
β,γ ως πολυωνυμική και
          
g β β α β γ 0 g α α β α γ
       
          
g β β α β γ 0 g γ γ α γ β
       
άρα    
g α g β 0
 και    
g β g γ 0
 , επομένως υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα
 
1
ξ α,β
 και  
2
ξ β,γ
 τέτοιες ώστε    
1 2
g ξ g ξ 0
  , όμως η εξίσωση  
g x 0

είναι δευτέρου βαθμού άρα οι ρίζες αυτές είναι μοναδικές.
Ο πίνακας μεταβολών της συνάρτησης f είναι ίδιος με τον Α΄ τρόπο επίλυσης.
Τέλος, ένας πιο γρήγορος και συνοπτικός τρόπος επίλυσης που αποδεικνύει όμως δύο
τουλάχιστον τοπικά μέγιστα (γ΄ τρόπος) και δεν απαντάει ακριβώς στην άσκησή μας
είναι ο εξής:
Αποδεικνύουμε με ανάλογο τρόπο ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικά ελάχιστα
στα σημεία 1 2 3
x α, x β, x γ
   .
Παρατηρούμε ότι η f είναι συνεχής στα κλειστά διαστήματα  
α,β και  
β,γ , άρα από
το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής θα παρουσιάζει μια (τουλάχιστον) μέγιστη
03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 3 of 9

4. και μια ελάχιστη τιμή στο καθένα διάστημα. Όμως ήδη η f παρουσιάζει στα διαστήματα
 
α,β και  
β,γ από μια θέση ελαχίστου, που είναι στα άκρα των διαστημάτων, άρα η
θέση του μεγίστου θα βρίσκεται στα εσωτερικά σημεία των διαστημάτων αυτών.
Δηλαδή υπάρχουν  
1
ξ α,β
 και  
2
ξ γ,δ
 τέτοια ώστε
   
1
f x f ξ
 για κάθε  
x α,β

και
   
2
f x f ξ
 για κάθε  
x β,γ
 .
Επομένως, τα σημεία 1 2
ξ ,ξ είναι τοπικά μέγιστα της f (χωρίς να έχουμε αποδείξει ότι
είναι και μοναδικά).
Σημείωση 2η: Με τον παραπάνω τρόπο θέλουμε να παρουσιάσουμε την εξής γενική
πρόταση που απαντάει εν μέρη στην άσκηση του σχολικού βιβλίου:
«Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα  
α,β , η οποία παρουσιάζει
στα σημεία α και β τοπικό ελάχιστο, τότε η f θα παρουσιάζει μέγιστο σ’ ένα
τουλάχιστον σημείο του  
α,β ».
Με μια γνώση που θα σημειωθεί από τις επίσημες λύσεις του σχολικού βιβλίου
μπορούμε να αποδείξουμε εύκολα ότι τα τοπικά μέγιστα είναι μοναδικά.
Σημείωση 3η: Η εξίσωση δευτέρου βαθμού
 
2
3x 2 α β γ x αβ βγ γα 0
      
αποδεικνύεται ότι έχει δύο άνισες ρίζες 1
ξ και 2
ξ , χωρίς τη χρήση των θεωρημάτων
της Ανάλυσης, ως εξής:
   
   
 
 
 
     
     
2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
Δ 4 α β γ 12 αβ βγ γα
4 α β γ 3 αβ βγ γα
4 α β γ 2αβ 2βγ 2γα 3αβ 3βγ 3γα
4 α β γ αβ βγ γα
2 2α 2β 2γ 2αβ 2βγ 2γα
2 α 2αβ β β 2βγ γ γ 2γα α
2 α β β γ γ α 0
     
 
     
 
        
     
     
 
        
 
 
      
 
Για να είναι πλήρης η λύση πρέπει να αποδείξουμε ότι οι ρίζες 1 2
ξ ,ξ είναι
διαφορετικές από τους αριθμούς α, β και γ. Η απόδειξη δίνεται από μια πρόταση που
χρησιμοποιεί στις λύσεις το σχολικό εγχειρίδιο.
03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 4 of 9

5. Β. Η άσκηση του σχολικού βιβλίου με βοηθητικά ερωτήματα
Δίνεται η συνάρτηση        
2 2 2
f x x α x β x γ
    με α β γ
  .
α) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει σε τρεις διαφορετικές θέσεις ολικό ελάχιστο το
οποίο να υπολογίσετε.
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει πέντε κρίσιμα σημεία.
γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει τέσσερα σημεία καμπής.
Γ. Η λύση που προτείνει από το σχολικό βιβλίο
Ας παρατηρήσουμε τα εξής σημεία:
«Επειδή η συνάρτηση f είναι πολυωνυμική έκτου βαθμού, η παράγωγός της είναι
πέμπτου βαθμού. Άρα η εξίσωση  
f x 0
  δεν έχει άλλες, εκτός από τις α, 1
ξ , β, 2
ξ , γ
ρίζες στο  .»
03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 5 of 9

6. Προφανώς, η πρόταση που αναφέρεται στη λύση είναι εκτός σχολικού βιβλίου και
αφορά το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας ή Θεώρημα D' Alembert που λέει ότι:
«Κάθε πολυωνυμική εξίσωση νιοστού βαθμού , έχει ν το πολύ ρίζες στο  »
Επομένως, ο μαθητής δεν μπορεί να χρησιμοποιήσει την παραπάνω πρόταση επειδή
δεν την γνωρίζει! Η πρόταση αυτή υπάρχει στο κεφάλαιο των Μιγαδικών αριθμών
(μέρος Α) που έχει αφαιρεθεί από την ύλη. Άρα η λύση αυτή δεν είναι κατάλληλη για
τους μαθητές της Γ΄ Λυκείου.
Επίσης, τα πρόσημα στον πίνακα μεταβολών μπήκαν λίγο αυθαίρετα (ή πιο εύστοχα
στηρίζεται σε γνώση που αγνοεί ο μαθητής) χωρίς καμία εξήγηση, αφήνοντας
απορίες και κενά στον αναγνώστη.
Ας δούμε τη γενίκευση της άσκησης του σχολικού βιβλίου για 2ν + 1 παράγοντες
χρησιμοποιώντας την παραπάνω πρόταση.
Δ. Γενίκευση άσκησης σχολικού βιβλίου
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
         
2 2 2 2
1 2 3 2ν 1
f x x α x α x α ... x α 
       με 1 2 3 2ν 1
α α α ... α 
   
και νn παρουσιάζει σε 2ν 1
 διαφορετικά σημεία ολικό ελάχιστο, το οποίο να
υπολογίσετε και σε 2ν διαφορετικά σημεία τοπικά μέγιστα.
Υπόδειξη
Αρχικά, παρατηρούμε ότι:
       
1 2 2ν 1
f x 0 f α f α ... f α 
     για κάθε x  
άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο, το 0 , σε καθένα από τα 2ν 1
 διαφορετικά
σημεία 1 2 3 2ν 1
α ,α ,α ,...,α  .
Επίσης, η συνάρτηση f ικανοποιεί το θεώρημα Rolle στα διαστήματα
     
1 2 2 3 2ν 2ν 1
α ,α , α ,α ,..., α ,α 
άρα υπάρχουν      
1 1 2 2 2 3 2ν 2ν 2ν 1
ξ α ,α , ξ α ,α , ..., ξ α ,α 
   τέτοια, ώστε
     
1 2 2ν
f ξ f ξ ... f ξ 0
  
   
Επειδή η f είναι πολυωνυμική συνάρτηση
 
2ν 1 προσθετέοι
2 2 ... 2 2 2ν 1 4ν 2

      
 βαθμού,
η παράγωγός της είναι πολυωνυμική συνάρτηση 4ν 1
 βαθμού. Άρα η εξίσωση
 
f x 0
  δεν έχει άλλες, εκτός από τις
1 1 2 2 3 2ν 2ν 1
α ξ α ξ α .... ξ α 
      
03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 6 of 9

7. ρίζες στο  .
Επομένως, η συνάρτηση f γράφεται ως εξής:
          
1 1 2 2 3 2ν 2ν 1
f x x α x ξ x α x ξ x α ... x ξ x α 
          
Το πρόσημο της f , η μονοτονία και τα ακρότατα της f, φαίνονται στον παρακάτω
πίνακα:
Επομένως, η f παρουσιάζει τοπικά μέγιστα στα σημεία 1 2 2v
ξ ,ξ ,...,ξ και ολικά
ελάχιστα, όπως είδαμε και παραπάνω, στα σημεία 1 2 3 2ν 1
α ,α ,α ,...,α  .
Σημείωση: Δείτε μια αναλυτική εξήγηση των προσήμων στον παραπάνω πίνακα:
 Τα μείον της πρώτης στήλης είναι σε πλήθος 2v 1
 , άρα περιττό πλήθος, οπότε
τα γινόμενά τους είναι μείον.
 Τα μείον της δεύτερης στήλης είναι σε πλήθος 2ν, άρα άρτιο πλήθος, οπότε τα
γινόμενά του είναι +.
 Τα μείον της τρίτης στήλης είναι σε πλήθος 2v 1
 , άρα περιττό πλήθος οπότε τα
γινόμενά τους είναι μείον, κ.ο.κ.
 Τα μείον της προτελευταίας στήλης είναι ένα άρα το πρόσημο της f είναι μείον.
 Και η τελευταία στήλη έχει μόνο +, άρα το πρόσημο της f είναι +.
Η άσκηση μπορεί να προσεγγιστεί εναλλακτικά και με το εξής τρόπο:
Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο σε 2ν 1
 διαφορετικά σημεία 1 2 3 2ν 1
α ,α ,α ,...,α  διότι
               
2 2 2 2
1 2 3 2ν 1 1 2 2ν 1
f x x α x α x α ... x α 0 f α f α ... f α
 
           
Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής για τη f στα διαστήματα
     
1 2 2 3 2ν 2ν 1
α ,α , α ,α ,..., α ,α 
βρίσκουμε από ένα (τουλάχιστον) τοπικό μέγιστο στο κάθε εσωτερικό διάστημα, άρα
η f παρουσιάζει (τουλάχιστον) 2ν τοπικά μέγιστα.
03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 7 of 9

8. Όμως η εξίσωση  
f x 0
  είναι πολυωνυμική συνάρτηση 4ν 1
 βαθμού , άρα δεν
έχει άλλες, εκτός από τις 4v 1
 ρίζες
1 1 2 2 3 2ν 2ν 1
α ξ α ξ α .... ξ α 
       ,
στο  , οπότε τα σημεία των τοπικών μεγίστων είναι μοναδικά.
Ε. Άλυτες ασκήσεις (προεκτάσεις – παραλλαγές)
Για εξάσκηση, δείτε μερικές επιπλέον ασκήσεις που έχουν την ίδια φιλοσοφία με την
άσκηση του σχολικού βιβλίου.
1) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
       
2 2 2
f x x 1 x 2 x 3
   
παρουσιάζει σε τρία διαφορετικά σημεία ολικό ελάχιστο, το οποίο να υπολογίσετε
και σε δύο διαφορετικά σημεία τοπικά μέγιστα.
2) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
       
2ν 2ν 2ν
f x x α x β x γ
    με α β γ
  και ν 

παρουσιάζει σε τρία διαφορετικά σημεία ολικό ελάχιστο, το οποίο να υπολογίσετε
και σε δύο διαφορετικά σημεία τοπικά μέγιστα.
3) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
         
2 2 2 2
f x x 1 x 2 x 3 ... x 2021
      
παρουσιάζει σε 2021 διαφορετικά σημεία ολικό ελάχιστο, το οποίο να υπολογίσετε
και σε 2020 διαφορετικά σημεία τοπικά μέγιστα.
4) Α) Αν για μια πολυωνυμική συνάρτηση f με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του τρία,
υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση  
π x τέτοια, ώστε
     
3
f x x ρ π x
  για κάθε x  ,
τότε να αποδείξετε ότι:
     
f ρ f ρ f ρ 0
 
   .
Β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
     
3 3
f x x α x β
   με α β

έχει ένα τοπικό ελάχιστο και τέσσερα σημεία καμπής.
Γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 8 of 9

9.      
3 2
f x x α x β
   με α β

έχει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και τρία σημεία καμπής.
Σημείωση: Η τετμημένη Μ του τοπικού μεγίστου της f χωρίζει το διάστημα  
α,β σε
λόγο
3
3 2

, δηλαδή αν  
Α α,0 ,  
Β β,0 και
2α 3β
Μ ,0
5

 
 
 
, τότε:
 
 
ΑΜ 3
ΑΒ 5
 και
 
 
ΜΒ 2
ΑΒ 5
 .
5) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
     
2 2
f x x α x β
   με α β

παρουσιάζει σε δύο διαφορετικές θέσεις ολικό ελάχιστο, ένα τοπικό μέγιστο και δύο
σημεία καμπής.
6) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
   
2
2 x
f x x e e
 
παρουσιάζει σε δύο διαφορετικές θέσεις ολικό ελάχιστο, το οποίο να υπολογίσετε και
ένα τοπικό μέγιστο.
7) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
   
2 2
2 x
f x x e e
 
παρουσιάζει σε τρεις διαφορετικές θέσεις ολικό ελάχιστο, το οποίο να υπολογίσετε
και δύο τοπικά μέγιστα.
Ευχαριστούμε πολύ τα μέλη της lisari team κατά αλφαβητική σειρά:
Βασίλης Κακαβάς, Χρήστος Κουστέρης, Γιώργος Χασάπης
για τις εύστοχες παρατηρήσεις, διορθώσεις και συμπληρώσεις που έκαναν στο
παραπάνω αρχείο.
03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 9 of 9