SlideShare a Scribd company logo
1 of 9
Download to read offline
Μια γνωστή άσκηση από το σχολικό βιβλίο
Προεκτάσεις, συμπληρώσεις και παραλλαγές
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος και Χρήστος Μαρούγκας (οι δύο Μ.Χ)
από το 3ο ΓΕΛ Κηφισιάς
Β6 σελ. 152 σχολικό βιβλίο
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
       
2 2 2
f x x α x β x γ
    , με α β γ
 
έχει τρία τοπικά ελάχιστα και δύο τοπικά μέγιστα.
Εισαγωγή
Το σχολικό βιβλίο, κατά τη γνώμη μας, είναι ένα εξαιρετικό εκπαιδευτικό βιβλίο, δεν
είναι τυχαίο που αντέχει τόσα χρόνια και αποτελεί πλέον σημείο αναφοράς σε πολλά
από τα θέματα των εξετάσεων. Αν και κάθε χρόνο το μελετούν χιλιάδες εκπαιδευτικοί
και μαθητές, τα λάθη που έχουν εντοπιστεί είναι αναλογικά ελάχιστα. Το μόνο που δεν
κατανοούμε είναι γιατί οι διορθώσεις αυτών των λαθών δεν έχουν ενσωματωθεί στις
νεότερες εκδόσεις του βιβλίου.
Επιστρέφουμε στην παραπάνω άσκηση. Μια εξαιρετικά διδακτική άσκηση όπως και
αρκετές άλλες που έχει το σχολικό βιβλίο. Είναι προτιμότερο να γίνει ως εργασία μέσα
στην τάξη παρά να δοθεί ως άσκηση για το σπίτι. Ο κυριότερος λόγος; Έχει πολλά
σημεία που μπορεί να διευκρινίσει ο καθηγητής και κυρίως να καθοδηγήσει τους
μαθητές στην ορθή αντιμετώπισή της.
Δεν γνωρίζουμε και κυρίως δεν μας ενδιαφέρει αν θεωρείται SOS για τις Πανελλαδικές
Εξετάσεις, το μόνο σίγουρο είναι ότι αν τεθεί στις Εξετάσεις θα είναι ανάλογης
δυσκολίας με τα θέματα που είδαμε στις Εξετάσεις 2016 (με τις τέσσερις συναρτήσεις
- άσκηση Β7(β) σελ. 82) και 2017 (με την παράγωγο της συνάρτησης 3 4
x για x 0

- άσκηση Β9ii σελ. 122).
Αρχικά θα παρουσιάσουμε τη λύση που κάνουμε στους μαθητές μας, στη συνέχεια θα
δώσουμε εναλλακτικές προσεγγίσεις. Επίσης, θα προσθέσουμε μερικά βοηθητικά
ερωτήματα για να την κάνουμε προσιτή στους μαθητές. Ακόμα, θα εμφανίσουμε τις
επίσημες λύσεις του σχολικού βιβλίου και θα τις σχολιάσουμε.
Τέλος, θα κλείσουμε με μερικές προεκτάσεις – άλυτες ασκήσεις που θα συμβάλλουν
στην καλύτερη κατανόηση του θέματος.
Ας ξεκινήσουμε από τη λύση της άσκησης:
03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 1 of 9
A. Ενδεικτική αναλυτική λύση (α΄ τρόπος)
Βήμα 1ο
Η f είναι συνεχής στα κλειστά διαστήματα  
α,β και  
β,γ και παραγωγίσιμη στα
ανοικτά διαστήματα  
α,β και  
β,γ με      
f α f β f γ 0
   , άρα από το
Θεώρημα Rolle υπάρχουν  
1
ξ α,β
 και  
2
ξ β,γ
 τέτοια, ώστε:
   
1 2
f ξ f ξ 0
 
 
Βήμα 2ο
Η παράγωγος της f είναι:
                 
            
     
2 2 2 2 2 2
2
f x 2 x α x β x γ 2 x α x β x γ 2 x α x β x γ
2 x α x β x γ x β x γ x α x γ x α x β
2 x α x β x γ 3x 2 α β γ x αβ βγ γα
            
           
 
 
 
         
 
Βήμα 3ο
Έχουμε,
       
 
2
2
1 2
f x 0 2 x α x β x γ 3x 2 α β γ x αβ βγ γα 0
x α ή x β ή x γ ή 3x 2 α β γ x αβ βγ γα 0
x α ή x β ή x γ ή x ξ ή x ξ
  
           
 
          
     
διότι τα 1 2
ξ ,ξ είναι ρίζες της εξίσωσης  
f x 0
  και επειδή είναι διαφορετικά από τα
α, β και γ θα είναι ρίζες της εξίσωσης
 
2
3x 2 α β γ x αβ βγ γα 0
       .
Επίσης,
       
2
f x 0 2 x α x β x γ 3x 2 α β γ x αβ βγ γα 0
  
           
 
Πίνακας προσήμων
Βήμα 4ο
Ο πίνακας μεταβολών για την f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα
03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 2 of 9
άρα η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στα σημεία 1 2 3
x α, x β, x γ
   και τοπικά
μέγιστα στα σημεία 4 1
x ξ
 και 5 2
x ξ
 .
Σημείωση 1η: Εύκολα αποδεικνύεται ότι όλα τα τοπικά ελάχιστα της συνάρτησης f
είναι και ολικά, διότι
       
f x 0 f α f β f γ
    για κάθε x 
κάτι που μπορούμε να το σημειώσουμε από την αρχή της επίλυσής μας.
Επίσης ένας διαφορετικός τρόπος (β΄ τρόπος) προσέγγισης, που θυμίζει αρκετά την
άσκηση 8 σελ. 81 του σχολικού βιβλίου, είναι ο εξής:
Έχουμε,
              
f x 2 x α x β x γ x β x γ x α x γ x α x β
            
 
 
Θεωρούμε τη συνάρτηση
          
g x x β x γ x α x γ x α x β , x
         
Έχουμε ότι,
 η g είναι συνεχής στα διαστήματα  
α,β και  
β,γ ως πολυωνυμική και
          
g β β α β γ 0 g α α β α γ
       
          
g β β α β γ 0 g γ γ α γ β
       
άρα    
g α g β 0
 και    
g β g γ 0
 , επομένως υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα
 
1
ξ α,β
 και  
2
ξ β,γ
 τέτοιες ώστε    
1 2
g ξ g ξ 0
  , όμως η εξίσωση  
g x 0

είναι δευτέρου βαθμού άρα οι ρίζες αυτές είναι μοναδικές.
Ο πίνακας μεταβολών της συνάρτησης f είναι ίδιος με τον Α΄ τρόπο επίλυσης.
Τέλος, ένας πιο γρήγορος και συνοπτικός τρόπος επίλυσης που αποδεικνύει όμως δύο
τουλάχιστον τοπικά μέγιστα (γ΄ τρόπος) και δεν απαντάει ακριβώς στην άσκησή μας
είναι ο εξής:
Αποδεικνύουμε με ανάλογο τρόπο ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικά ελάχιστα
στα σημεία 1 2 3
x α, x β, x γ
   .
Παρατηρούμε ότι η f είναι συνεχής στα κλειστά διαστήματα  
α,β και  
β,γ , άρα από
το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής θα παρουσιάζει μια (τουλάχιστον) μέγιστη
03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 3 of 9
και μια ελάχιστη τιμή στο καθένα διάστημα. Όμως ήδη η f παρουσιάζει στα διαστήματα
 
α,β και  
β,γ από μια θέση ελαχίστου, που είναι στα άκρα των διαστημάτων, άρα η
θέση του μεγίστου θα βρίσκεται στα εσωτερικά σημεία των διαστημάτων αυτών.
Δηλαδή υπάρχουν  
1
ξ α,β
 και  
2
ξ γ,δ
 τέτοια ώστε
   
1
f x f ξ
 για κάθε  
x α,β

και
   
2
f x f ξ
 για κάθε  
x β,γ
 .
Επομένως, τα σημεία 1 2
ξ ,ξ είναι τοπικά μέγιστα της f (χωρίς να έχουμε αποδείξει ότι
είναι και μοναδικά).
Σημείωση 2η: Με τον παραπάνω τρόπο θέλουμε να παρουσιάσουμε την εξής γενική
πρόταση που απαντάει εν μέρη στην άσκηση του σχολικού βιβλίου:
«Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα  
α,β , η οποία παρουσιάζει
στα σημεία α και β τοπικό ελάχιστο, τότε η f θα παρουσιάζει μέγιστο σ’ ένα
τουλάχιστον σημείο του  
α,β ».
Με μια γνώση που θα σημειωθεί από τις επίσημες λύσεις του σχολικού βιβλίου
μπορούμε να αποδείξουμε εύκολα ότι τα τοπικά μέγιστα είναι μοναδικά.
Σημείωση 3η: Η εξίσωση δευτέρου βαθμού
 
2
3x 2 α β γ x αβ βγ γα 0
      
αποδεικνύεται ότι έχει δύο άνισες ρίζες 1
ξ και 2
ξ , χωρίς τη χρήση των θεωρημάτων
της Ανάλυσης, ως εξής:
   
   
 
 
 
     
     
2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
Δ 4 α β γ 12 αβ βγ γα
4 α β γ 3 αβ βγ γα
4 α β γ 2αβ 2βγ 2γα 3αβ 3βγ 3γα
4 α β γ αβ βγ γα
2 2α 2β 2γ 2αβ 2βγ 2γα
2 α 2αβ β β 2βγ γ γ 2γα α
2 α β β γ γ α 0
     
 
     
 
        
     
     
 
        
 
 
      
 
Για να είναι πλήρης η λύση πρέπει να αποδείξουμε ότι οι ρίζες 1 2
ξ ,ξ είναι
διαφορετικές από τους αριθμούς α, β και γ. Η απόδειξη δίνεται από μια πρόταση που
χρησιμοποιεί στις λύσεις το σχολικό εγχειρίδιο.
03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 4 of 9
Β. Η άσκηση του σχολικού βιβλίου με βοηθητικά ερωτήματα
Δίνεται η συνάρτηση        
2 2 2
f x x α x β x γ
    με α β γ
  .
α) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει σε τρεις διαφορετικές θέσεις ολικό ελάχιστο το
οποίο να υπολογίσετε.
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει πέντε κρίσιμα σημεία.
γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει τέσσερα σημεία καμπής.
Γ. Η λύση που προτείνει από το σχολικό βιβλίο
Ας παρατηρήσουμε τα εξής σημεία:
«Επειδή η συνάρτηση f είναι πολυωνυμική έκτου βαθμού, η παράγωγός της είναι
πέμπτου βαθμού. Άρα η εξίσωση  
f x 0
  δεν έχει άλλες, εκτός από τις α, 1
ξ , β, 2
ξ , γ
ρίζες στο  .»
03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 5 of 9
Προφανώς, η πρόταση που αναφέρεται στη λύση είναι εκτός σχολικού βιβλίου και
αφορά το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας ή Θεώρημα D' Alembert που λέει ότι:
«Κάθε πολυωνυμική εξίσωση νιοστού βαθμού , έχει ν το πολύ ρίζες στο  »
Επομένως, ο μαθητής δεν μπορεί να χρησιμοποιήσει την παραπάνω πρόταση επειδή
δεν την γνωρίζει! Η πρόταση αυτή υπάρχει στο κεφάλαιο των Μιγαδικών αριθμών
(μέρος Α) που έχει αφαιρεθεί από την ύλη. Άρα η λύση αυτή δεν είναι κατάλληλη για
τους μαθητές της Γ΄ Λυκείου.
Επίσης, τα πρόσημα στον πίνακα μεταβολών μπήκαν λίγο αυθαίρετα (ή πιο εύστοχα
στηρίζεται σε γνώση που αγνοεί ο μαθητής) χωρίς καμία εξήγηση, αφήνοντας
απορίες και κενά στον αναγνώστη.
Ας δούμε τη γενίκευση της άσκησης του σχολικού βιβλίου για 2ν + 1 παράγοντες
χρησιμοποιώντας την παραπάνω πρόταση.
Δ. Γενίκευση άσκησης σχολικού βιβλίου
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
         
2 2 2 2
1 2 3 2ν 1
f x x α x α x α ... x α 
       με 1 2 3 2ν 1
α α α ... α 
   
και νn παρουσιάζει σε 2ν 1
 διαφορετικά σημεία ολικό ελάχιστο, το οποίο να
υπολογίσετε και σε 2ν διαφορετικά σημεία τοπικά μέγιστα.
Υπόδειξη
Αρχικά, παρατηρούμε ότι:
       
1 2 2ν 1
f x 0 f α f α ... f α 
     για κάθε x  
άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο, το 0 , σε καθένα από τα 2ν 1
 διαφορετικά
σημεία 1 2 3 2ν 1
α ,α ,α ,...,α  .
Επίσης, η συνάρτηση f ικανοποιεί το θεώρημα Rolle στα διαστήματα
     
1 2 2 3 2ν 2ν 1
α ,α , α ,α ,..., α ,α 
άρα υπάρχουν      
1 1 2 2 2 3 2ν 2ν 2ν 1
ξ α ,α , ξ α ,α , ..., ξ α ,α 
   τέτοια, ώστε
     
1 2 2ν
f ξ f ξ ... f ξ 0
  
   
Επειδή η f είναι πολυωνυμική συνάρτηση
 
2ν 1 προσθετέοι
2 2 ... 2 2 2ν 1 4ν 2

      
 βαθμού,
η παράγωγός της είναι πολυωνυμική συνάρτηση 4ν 1
 βαθμού. Άρα η εξίσωση
 
f x 0
  δεν έχει άλλες, εκτός από τις
1 1 2 2 3 2ν 2ν 1
α ξ α ξ α .... ξ α 
      
03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 6 of 9
ρίζες στο  .
Επομένως, η συνάρτηση f γράφεται ως εξής:
          
1 1 2 2 3 2ν 2ν 1
f x x α x ξ x α x ξ x α ... x ξ x α 
          
Το πρόσημο της f , η μονοτονία και τα ακρότατα της f, φαίνονται στον παρακάτω
πίνακα:
Επομένως, η f παρουσιάζει τοπικά μέγιστα στα σημεία 1 2 2v
ξ ,ξ ,...,ξ και ολικά
ελάχιστα, όπως είδαμε και παραπάνω, στα σημεία 1 2 3 2ν 1
α ,α ,α ,...,α  .
Σημείωση: Δείτε μια αναλυτική εξήγηση των προσήμων στον παραπάνω πίνακα:
 Τα μείον της πρώτης στήλης είναι σε πλήθος 2v 1
 , άρα περιττό πλήθος, οπότε
τα γινόμενά τους είναι μείον.
 Τα μείον της δεύτερης στήλης είναι σε πλήθος 2ν, άρα άρτιο πλήθος, οπότε τα
γινόμενά του είναι +.
 Τα μείον της τρίτης στήλης είναι σε πλήθος 2v 1
 , άρα περιττό πλήθος οπότε τα
γινόμενά τους είναι μείον, κ.ο.κ.
 Τα μείον της προτελευταίας στήλης είναι ένα άρα το πρόσημο της f είναι μείον.
 Και η τελευταία στήλη έχει μόνο +, άρα το πρόσημο της f είναι +.
Η άσκηση μπορεί να προσεγγιστεί εναλλακτικά και με το εξής τρόπο:
Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο σε 2ν 1
 διαφορετικά σημεία 1 2 3 2ν 1
α ,α ,α ,...,α  διότι
               
2 2 2 2
1 2 3 2ν 1 1 2 2ν 1
f x x α x α x α ... x α 0 f α f α ... f α
 
           
Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής για τη f στα διαστήματα
     
1 2 2 3 2ν 2ν 1
α ,α , α ,α ,..., α ,α 
βρίσκουμε από ένα (τουλάχιστον) τοπικό μέγιστο στο κάθε εσωτερικό διάστημα, άρα
η f παρουσιάζει (τουλάχιστον) 2ν τοπικά μέγιστα.
03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 7 of 9
Όμως η εξίσωση  
f x 0
  είναι πολυωνυμική συνάρτηση 4ν 1
 βαθμού , άρα δεν
έχει άλλες, εκτός από τις 4v 1
 ρίζες
1 1 2 2 3 2ν 2ν 1
α ξ α ξ α .... ξ α 
       ,
στο  , οπότε τα σημεία των τοπικών μεγίστων είναι μοναδικά.
Ε. Άλυτες ασκήσεις (προεκτάσεις – παραλλαγές)
Για εξάσκηση, δείτε μερικές επιπλέον ασκήσεις που έχουν την ίδια φιλοσοφία με την
άσκηση του σχολικού βιβλίου.
1) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
       
2 2 2
f x x 1 x 2 x 3
   
παρουσιάζει σε τρία διαφορετικά σημεία ολικό ελάχιστο, το οποίο να υπολογίσετε
και σε δύο διαφορετικά σημεία τοπικά μέγιστα.
2) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
       
2ν 2ν 2ν
f x x α x β x γ
    με α β γ
  και ν 

παρουσιάζει σε τρία διαφορετικά σημεία ολικό ελάχιστο, το οποίο να υπολογίσετε
και σε δύο διαφορετικά σημεία τοπικά μέγιστα.
3) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
         
2 2 2 2
f x x 1 x 2 x 3 ... x 2021
      
παρουσιάζει σε 2021 διαφορετικά σημεία ολικό ελάχιστο, το οποίο να υπολογίσετε
και σε 2020 διαφορετικά σημεία τοπικά μέγιστα.
4) Α) Αν για μια πολυωνυμική συνάρτηση f με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του τρία,
υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση  
π x τέτοια, ώστε
     
3
f x x ρ π x
  για κάθε x  ,
τότε να αποδείξετε ότι:
     
f ρ f ρ f ρ 0
 
   .
Β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
     
3 3
f x x α x β
   με α β

έχει ένα τοπικό ελάχιστο και τέσσερα σημεία καμπής.
Γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 8 of 9
     
3 2
f x x α x β
   με α β

έχει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και τρία σημεία καμπής.
Σημείωση: Η τετμημένη Μ του τοπικού μεγίστου της f χωρίζει το διάστημα  
α,β σε
λόγο
3
3 2

, δηλαδή αν  
Α α,0 ,  
Β β,0 και
2α 3β
Μ ,0
5

 
 
 
, τότε:
 
 
ΑΜ 3
ΑΒ 5
 και
 
 
ΜΒ 2
ΑΒ 5
 .
5) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
     
2 2
f x x α x β
   με α β

παρουσιάζει σε δύο διαφορετικές θέσεις ολικό ελάχιστο, ένα τοπικό μέγιστο και δύο
σημεία καμπής.
6) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
   
2
2 x
f x x e e
 
παρουσιάζει σε δύο διαφορετικές θέσεις ολικό ελάχιστο, το οποίο να υπολογίσετε και
ένα τοπικό μέγιστο.
7) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
   
2 2
2 x
f x x e e
 
παρουσιάζει σε τρεις διαφορετικές θέσεις ολικό ελάχιστο, το οποίο να υπολογίσετε
και δύο τοπικά μέγιστα.
Ευχαριστούμε πολύ τα μέλη της lisari team κατά αλφαβητική σειρά:
Βασίλης Κακαβάς, Χρήστος Κουστέρης, Γιώργος Χασάπης
για τις εύστοχες παρατηρήσεις, διορθώσεις και συμπληρώσεις που έκαναν στο
παραπάνω αρχείο.
03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 9 of 9

More Related Content

What's hot

Επαναληπτικά θέματα εξετάσεων Μαθηματικά Γ Λυκείου 6/9/2018 (έκδοση 3η)
Επαναληπτικά θέματα εξετάσεων Μαθηματικά Γ Λυκείου 6/9/2018 (έκδοση 3η)Επαναληπτικά θέματα εξετάσεων Μαθηματικά Γ Λυκείου 6/9/2018 (έκδοση 3η)
Επαναληπτικά θέματα εξετάσεων Μαθηματικά Γ Λυκείου 6/9/2018 (έκδοση 3η)Μάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό 2020
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό 2020Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό 2020
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό 2020Μάκης Χατζόπουλος
 
Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)
Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)
Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)Δημήτρης Μοσχόπουλος
 
Διαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσεις
Διαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσειςΔιαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσεις
Διαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσειςΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγωνίσματα εξοικείωσης περίοδος Ιανουαρίου από τα εκπαιδευτήρια Δούκα
Διαγωνίσματα εξοικείωσης περίοδος Ιανουαρίου από τα εκπαιδευτήρια ΔούκαΔιαγωνίσματα εξοικείωσης περίοδος Ιανουαρίου από τα εκπαιδευτήρια Δούκα
Διαγωνίσματα εξοικείωσης περίοδος Ιανουαρίου από τα εκπαιδευτήρια ΔούκαΜάκης Χατζόπουλος
 
11 o diagwnisma_askisopolis_un
11 o diagwnisma_askisopolis_un11 o diagwnisma_askisopolis_un
11 o diagwnisma_askisopolis_unChristos Loizos
 
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο ΑνάλυσηςΤεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο ΑνάλυσηςΜάκης Χατζόπουλος
 
προσομοιωση 2017
προσομοιωση 2017προσομοιωση 2017
προσομοιωση 2017Christos Loizos
 
Διαγώνισμα Προσομοίωσης - Άλγεβρα Β Λυκείου
Διαγώνισμα Προσομοίωσης - Άλγεβρα Β ΛυκείουΔιαγώνισμα Προσομοίωσης - Άλγεβρα Β Λυκείου
Διαγώνισμα Προσομοίωσης - Άλγεβρα Β ΛυκείουΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπής
Διαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπήςΔιαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπής
Διαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπήςΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα στο κεφάλαιο 2ο: Διαφορικό Λογισμό
Διαγώνισμα στο κεφάλαιο 2ο: Διαφορικό ΛογισμόΔιαγώνισμα στο κεφάλαιο 2ο: Διαφορικό Λογισμό
Διαγώνισμα στο κεφάλαιο 2ο: Διαφορικό ΛογισμόΜάκης Χατζόπουλος
 
Εκπαιδευτήρια Γείτονα διαγώνισμα προσομοίωσης Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης
Εκπαιδευτήρια Γείτονα διαγώνισμα προσομοίωσης Κεφάλαιο 1ο ΑνάλυσηςΕκπαιδευτήρια Γείτονα διαγώνισμα προσομοίωσης Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης
Εκπαιδευτήρια Γείτονα διαγώνισμα προσομοίωσης Κεφάλαιο 1ο ΑνάλυσηςΜάκης Χατζόπουλος
 
θεματα προσομοιωσης γγεν - By askisiologio.gr
θεματα προσομοιωσης   γγεν - By askisiologio.grθεματα προσομοιωσης   γγεν - By askisiologio.gr
θεματα προσομοιωσης γγεν - By askisiologio.grΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου 2017 18
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου 2017 18Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου 2017 18
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου 2017 18Μάκης Χατζόπουλος
 

What's hot (20)

Bmo 2017 greek_version
Bmo 2017 greek_versionBmo 2017 greek_version
Bmo 2017 greek_version
 
Πεδίο ορισμού της παραγώγου
Πεδίο ορισμού της παραγώγουΠεδίο ορισμού της παραγώγου
Πεδίο ορισμού της παραγώγου
 
Επαναληπτικά θέματα εξετάσεων Μαθηματικά Γ Λυκείου 6/9/2018 (έκδοση 3η)
Επαναληπτικά θέματα εξετάσεων Μαθηματικά Γ Λυκείου 6/9/2018 (έκδοση 3η)Επαναληπτικά θέματα εξετάσεων Μαθηματικά Γ Λυκείου 6/9/2018 (έκδοση 3η)
Επαναληπτικά θέματα εξετάσεων Μαθηματικά Γ Λυκείου 6/9/2018 (έκδοση 3η)
 
Επαναληπτικά θέματα ΕΠΑΛ 20/9/2017
Επαναληπτικά θέματα ΕΠΑΛ 20/9/2017Επαναληπτικά θέματα ΕΠΑΛ 20/9/2017
Επαναληπτικά θέματα ΕΠΑΛ 20/9/2017
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό 2020
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό 2020Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό 2020
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό 2020
 
Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)
Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)
Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)
 
Διαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσεις
Διαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσειςΔιαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσεις
Διαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσεις
 
Διαγωνίσματα εξοικείωσης περίοδος Ιανουαρίου από τα εκπαιδευτήρια Δούκα
Διαγωνίσματα εξοικείωσης περίοδος Ιανουαρίου από τα εκπαιδευτήρια ΔούκαΔιαγωνίσματα εξοικείωσης περίοδος Ιανουαρίου από τα εκπαιδευτήρια Δούκα
Διαγωνίσματα εξοικείωσης περίοδος Ιανουαρίου από τα εκπαιδευτήρια Δούκα
 
11 o diagwnisma_askisopolis_un
11 o diagwnisma_askisopolis_un11 o diagwnisma_askisopolis_un
11 o diagwnisma_askisopolis_un
 
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο ΑνάλυσηςΤεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
 
προσομοιωση 2017
προσομοιωση 2017προσομοιωση 2017
προσομοιωση 2017
 
Διαγώνισμα Προσομοίωσης - Άλγεβρα Β Λυκείου
Διαγώνισμα Προσομοίωσης - Άλγεβρα Β ΛυκείουΔιαγώνισμα Προσομοίωσης - Άλγεβρα Β Λυκείου
Διαγώνισμα Προσομοίωσης - Άλγεβρα Β Λυκείου
 
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
 
Διαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπής
Διαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπήςΔιαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπής
Διαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπής
 
Διαγώνισμα στο κεφάλαιο 2ο: Διαφορικό Λογισμό
Διαγώνισμα στο κεφάλαιο 2ο: Διαφορικό ΛογισμόΔιαγώνισμα στο κεφάλαιο 2ο: Διαφορικό Λογισμό
Διαγώνισμα στο κεφάλαιο 2ο: Διαφορικό Λογισμό
 
θέματα οεφε 2001 2015
θέματα οεφε 2001 2015θέματα οεφε 2001 2015
θέματα οεφε 2001 2015
 
Εκπαιδευτήρια Γείτονα διαγώνισμα προσομοίωσης Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης
Εκπαιδευτήρια Γείτονα διαγώνισμα προσομοίωσης Κεφάλαιο 1ο ΑνάλυσηςΕκπαιδευτήρια Γείτονα διαγώνισμα προσομοίωσης Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης
Εκπαιδευτήρια Γείτονα διαγώνισμα προσομοίωσης Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης
 
32η αναρτηση
32η αναρτηση32η αναρτηση
32η αναρτηση
 
θεματα προσομοιωσης γγεν - By askisiologio.gr
θεματα προσομοιωσης   γγεν - By askisiologio.grθεματα προσομοιωσης   γγεν - By askisiologio.gr
θεματα προσομοιωσης γγεν - By askisiologio.gr
 
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου 2017 18
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου 2017 18Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου 2017 18
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου 2017 18
 

Similar to Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις

Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246Christos Loizos
 
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...Μάκης Χατζόπουλος
 
διαγώνισμα γ προσανατολισμού μέχρι ρυθμό μεταβολής
διαγώνισμα γ προσανατολισμού μέχρι ρυθμό μεταβολήςδιαγώνισμα γ προσανατολισμού μέχρι ρυθμό μεταβολής
διαγώνισμα γ προσανατολισμού μέχρι ρυθμό μεταβολήςΒιώνης Παναγιώτης
 
Apo to a_os_to_b_...._gnorizo_te_theoria_
Apo to a_os_to_b_...._gnorizo_te_theoria_Apo to a_os_to_b_...._gnorizo_te_theoria_
Apo to a_os_to_b_...._gnorizo_te_theoria_Nikolaos Manaras
 
θεματα προσομοιωσης 2015 γκατ - by askisiologio.gr
θεματα προσομοιωσης 2015   γκατ - by askisiologio.grθεματα προσομοιωσης 2015   γκατ - by askisiologio.gr
θεματα προσομοιωσης 2015 γκατ - by askisiologio.grΜάκης Χατζόπουλος
 
προσμοιωμενο 2ο2
προσμοιωμενο 2ο2προσμοιωμενο 2ο2
προσμοιωμενο 2ο2Christos Loizos
 
Προσαρμοσμένα θέματα εξετάσεων 2016
Προσαρμοσμένα θέματα εξετάσεων 2016Προσαρμοσμένα θέματα εξετάσεων 2016
Προσαρμοσμένα θέματα εξετάσεων 2016Μάκης Χατζόπουλος
 
διαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλο
διαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλοδιαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλο
διαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλοΜάκης Χατζόπουλος
 
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4ηΜάκης Χατζόπουλος
 
Teliko ekf - g lukeioy kate diagonisma prosomoiosis lisari team 2016 one-file
Teliko   ekf - g lukeioy kate diagonisma prosomoiosis lisari team 2016 one-fileTeliko   ekf - g lukeioy kate diagonisma prosomoiosis lisari team 2016 one-file
Teliko ekf - g lukeioy kate diagonisma prosomoiosis lisari team 2016 one-fileChristos Loizos
 
Ας μιλήσουμε για τη σύνθεση των συναρτήσεων - Εισήγηση ΕΜΕ Λάρισας 2019
Ας μιλήσουμε για τη σύνθεση των συναρτήσεων - Εισήγηση ΕΜΕ Λάρισας 2019Ας μιλήσουμε για τη σύνθεση των συναρτήσεων - Εισήγηση ΕΜΕ Λάρισας 2019
Ας μιλήσουμε για τη σύνθεση των συναρτήσεων - Εισήγηση ΕΜΕ Λάρισας 2019Μάκης Χατζόπουλος
 
Math week Κυριαζης-Πρωτοπαπας 2018 IV
Math week Κυριαζης-Πρωτοπαπας 2018    IVMath week Κυριαζης-Πρωτοπαπας 2018    IV
Math week Κυριαζης-Πρωτοπαπας 2018 IVΘανάσης Δρούγας
 
συνέδρια διδακτικής-οεφε-2016 all corrections 2
συνέδρια διδακτικής-οεφε-2016 all corrections 2συνέδρια διδακτικής-οεφε-2016 all corrections 2
συνέδρια διδακτικής-οεφε-2016 all corrections 2Christos Loizos
 
Θέματα πανελλαδικών Γενικής Παιδείας κουλούρης έως 2015 (εκφ)
Θέματα πανελλαδικών Γενικής Παιδείας κουλούρης έως 2015 (εκφ)Θέματα πανελλαδικών Γενικής Παιδείας κουλούρης έως 2015 (εκφ)
Θέματα πανελλαδικών Γενικής Παιδείας κουλούρης έως 2015 (εκφ)Μάκης Χατζόπουλος
 
Prosomiomeno diagonisma thetikou_prosanatolismou_g_lykeiou_1o2okef
Prosomiomeno diagonisma thetikou_prosanatolismou_g_lykeiou_1o2okefProsomiomeno diagonisma thetikou_prosanatolismou_g_lykeiou_1o2okef
Prosomiomeno diagonisma thetikou_prosanatolismou_g_lykeiou_1o2okefChristos Loizos
 
Διαγωνίσματα εξοικείωσης Ιανουαρίου από τα Εκπαιδευτήρια Δούκα 2018
Διαγωνίσματα εξοικείωσης Ιανουαρίου από τα Εκπαιδευτήρια Δούκα 2018Διαγωνίσματα εξοικείωσης Ιανουαρίου από τα Εκπαιδευτήρια Δούκα 2018
Διαγωνίσματα εξοικείωσης Ιανουαρίου από τα Εκπαιδευτήρια Δούκα 2018Μάκης Χατζόπουλος
 
Epanaliptikes eksetaseis math_2018
Epanaliptikes eksetaseis math_2018Epanaliptikes eksetaseis math_2018
Epanaliptikes eksetaseis math_2018Christos Loizos
 

Similar to Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις (20)

Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
 
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
 
διαγώνισμα γ προσανατολισμού μέχρι ρυθμό μεταβολής
διαγώνισμα γ προσανατολισμού μέχρι ρυθμό μεταβολήςδιαγώνισμα γ προσανατολισμού μέχρι ρυθμό μεταβολής
διαγώνισμα γ προσανατολισμού μέχρι ρυθμό μεταβολής
 
Apo to a_os_to_b_...._gnorizo_te_theoria_
Apo to a_os_to_b_...._gnorizo_te_theoria_Apo to a_os_to_b_...._gnorizo_te_theoria_
Apo to a_os_to_b_...._gnorizo_te_theoria_
 
θεματα προσομοιωσης 2015 γκατ - by askisiologio.gr
θεματα προσομοιωσης 2015   γκατ - by askisiologio.grθεματα προσομοιωσης 2015   γκατ - by askisiologio.gr
θεματα προσομοιωσης 2015 γκατ - by askisiologio.gr
 
προσμοιωμενο 2ο2
προσμοιωμενο 2ο2προσμοιωμενο 2ο2
προσμοιωμενο 2ο2
 
Προσαρμοσμένα θέματα εξετάσεων 2016
Προσαρμοσμένα θέματα εξετάσεων 2016Προσαρμοσμένα θέματα εξετάσεων 2016
Προσαρμοσμένα θέματα εξετάσεων 2016
 
διαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλο
διαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλοδιαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλο
διαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλο
 
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
 
Teliko ekf - g lukeioy kate diagonisma prosomoiosis lisari team 2016 one-file
Teliko   ekf - g lukeioy kate diagonisma prosomoiosis lisari team 2016 one-fileTeliko   ekf - g lukeioy kate diagonisma prosomoiosis lisari team 2016 one-file
Teliko ekf - g lukeioy kate diagonisma prosomoiosis lisari team 2016 one-file
 
Ας μιλήσουμε για τη σύνθεση των συναρτήσεων - Εισήγηση ΕΜΕ Λάρισας 2019
Ας μιλήσουμε για τη σύνθεση των συναρτήσεων - Εισήγηση ΕΜΕ Λάρισας 2019Ας μιλήσουμε για τη σύνθεση των συναρτήσεων - Εισήγηση ΕΜΕ Λάρισας 2019
Ας μιλήσουμε για τη σύνθεση των συναρτήσεων - Εισήγηση ΕΜΕ Λάρισας 2019
 
Math week Κυριαζης-Πρωτοπαπας 2018 IV
Math week Κυριαζης-Πρωτοπαπας 2018    IVMath week Κυριαζης-Πρωτοπαπας 2018    IV
Math week Κυριαζης-Πρωτοπαπας 2018 IV
 
29η αναρτηση
29η αναρτηση29η αναρτηση
29η αναρτηση
 
συνέδρια διδακτικής-οεφε-2016 all corrections 2
συνέδρια διδακτικής-οεφε-2016 all corrections 2συνέδρια διδακτικής-οεφε-2016 all corrections 2
συνέδρια διδακτικής-οεφε-2016 all corrections 2
 
Συνέδρια διδακτικής ΟΕΦΕ 2016
Συνέδρια διδακτικής ΟΕΦΕ 2016 Συνέδρια διδακτικής ΟΕΦΕ 2016
Συνέδρια διδακτικής ΟΕΦΕ 2016
 
Θέματα πανελλαδικών Γενικής Παιδείας κουλούρης έως 2015 (εκφ)
Θέματα πανελλαδικών Γενικής Παιδείας κουλούρης έως 2015 (εκφ)Θέματα πανελλαδικών Γενικής Παιδείας κουλούρης έως 2015 (εκφ)
Θέματα πανελλαδικών Γενικής Παιδείας κουλούρης έως 2015 (εκφ)
 
Prosomiomeno diagonisma thetikou_prosanatolismou_g_lykeiou_1o2okef
Prosomiomeno diagonisma thetikou_prosanatolismou_g_lykeiou_1o2okefProsomiomeno diagonisma thetikou_prosanatolismou_g_lykeiou_1o2okef
Prosomiomeno diagonisma thetikou_prosanatolismou_g_lykeiou_1o2okef
 
Λύσεις Ομογενών 8/9/2015
Λύσεις Ομογενών 8/9/2015Λύσεις Ομογενών 8/9/2015
Λύσεις Ομογενών 8/9/2015
 
Διαγωνίσματα εξοικείωσης Ιανουαρίου από τα Εκπαιδευτήρια Δούκα 2018
Διαγωνίσματα εξοικείωσης Ιανουαρίου από τα Εκπαιδευτήρια Δούκα 2018Διαγωνίσματα εξοικείωσης Ιανουαρίου από τα Εκπαιδευτήρια Δούκα 2018
Διαγωνίσματα εξοικείωσης Ιανουαρίου από τα Εκπαιδευτήρια Δούκα 2018
 
Epanaliptikes eksetaseis math_2018
Epanaliptikes eksetaseis math_2018Epanaliptikes eksetaseis math_2018
Epanaliptikes eksetaseis math_2018
 

More from Μάκης Χατζόπουλος

Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΜάκης Χατζόπουλος
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Μάκης Χατζόπουλος
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΜάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Μάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Μάκης Χατζόπουλος
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη ΜαργαρώνηΜάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΜάκης Χατζόπουλος
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...Μάκης Χατζόπουλος
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Μάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΜάκης Χατζόπουλος
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΕργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από ΣούρμπηΔιαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από ΣούρμπηΜάκης Χατζόπουλος
 

More from Μάκης Χατζόπουλος (20)

Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
 
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛΠανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
 
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3οΞεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
 
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου 45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
 
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ ΓυμνασίουΚεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΕργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
 
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από ΣούρμπηΔιαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
 

Recently uploaded

Φλωρεντία, ΔΑΝΑΗ ΠΥΡΠΥΡΗ- ΜΑΡΙΑΝΕΛΑ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΥ
Φλωρεντία, ΔΑΝΑΗ ΠΥΡΠΥΡΗ- ΜΑΡΙΑΝΕΛΑ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΥΦλωρεντία, ΔΑΝΑΗ ΠΥΡΠΥΡΗ- ΜΑΡΙΑΝΕΛΑ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΥ
Φλωρεντία, ΔΑΝΑΗ ΠΥΡΠΥΡΗ- ΜΑΡΙΑΝΕΛΑ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΥIliana Kouvatsou
 
ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Η ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΟΛΗ ΤΗΣ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΑΥΤΟΚΡΑΤΟΡΙΑΣ, ΔΑΝΑΗ ΠΑΝΟΥ
ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Η ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΟΛΗ ΤΗΣ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΑΥΤΟΚΡΑΤΟΡΙΑΣ, ΔΑΝΑΗ ΠΑΝΟΥΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Η ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΟΛΗ ΤΗΣ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΑΥΤΟΚΡΑΤΟΡΙΑΣ, ΔΑΝΑΗ ΠΑΝΟΥ
ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Η ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΟΛΗ ΤΗΣ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΑΥΤΟΚΡΑΤΟΡΙΑΣ, ΔΑΝΑΗ ΠΑΝΟΥIliana Kouvatsou
 
ΝΑΠΟΛΕΩΝ ΒΟΝΑΠΑΡΤΗΣ, ΜΑΡΙΟΣ ΚΟΝΤΟΒΟΥΝΗΣΙΟΣ- ΓΙΑΝΝΗΣΚΟΥΚΟΥΣΑΣ
ΝΑΠΟΛΕΩΝ ΒΟΝΑΠΑΡΤΗΣ, ΜΑΡΙΟΣ ΚΟΝΤΟΒΟΥΝΗΣΙΟΣ- ΓΙΑΝΝΗΣΚΟΥΚΟΥΣΑΣΝΑΠΟΛΕΩΝ ΒΟΝΑΠΑΡΤΗΣ, ΜΑΡΙΟΣ ΚΟΝΤΟΒΟΥΝΗΣΙΟΣ- ΓΙΑΝΝΗΣΚΟΥΚΟΥΣΑΣ
ΝΑΠΟΛΕΩΝ ΒΟΝΑΠΑΡΤΗΣ, ΜΑΡΙΟΣ ΚΟΝΤΟΒΟΥΝΗΣΙΟΣ- ΓΙΑΝΝΗΣΚΟΥΚΟΥΣΑΣIliana Kouvatsou
 
ΙΣΤΟΡΙΑ Γ ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ : ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 1ο
ΙΣΤΟΡΙΑ Γ ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ : ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 1ο ΙΣΤΟΡΙΑ Γ ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ : ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 1ο
ΙΣΤΟΡΙΑ Γ ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ : ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 1ο Χρύσα Παπακωνσταντίνου
 
Η ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥΠΟΛΗ, ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ ΜΠΕΚΙΑΡΗ
Η ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥΠΟΛΗ,  ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ  ΜΠΕΚΙΑΡΗΗ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥΠΟΛΗ,  ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ  ΜΠΕΚΙΑΡΗ
Η ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥΠΟΛΗ, ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ ΜΠΕΚΙΑΡΗIliana Kouvatsou
 
ΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βία
ΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βίαΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βία
ΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βίαΑφροδίτη Διαμαντοπούλου
 
Παρουσίαση θεατρικού στην Τεχνόπολη. 2023-2024
Παρουσίαση θεατρικού στην Τεχνόπολη. 2023-2024Παρουσίαση θεατρικού στην Τεχνόπολη. 2023-2024
Παρουσίαση θεατρικού στην Τεχνόπολη. 2023-2024Tassos Karampinis
 
Η ΑΔΙΚΕΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΑΣΕΠ 2008 ΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥΣ
Η ΑΔΙΚΕΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΑΣΕΠ 2008 ΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥΣΗ ΑΔΙΚΕΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΑΣΕΠ 2008 ΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥΣ
Η ΑΔΙΚΕΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΑΣΕΠ 2008 ΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥΣΘεόδωρος Μαραγκούλας
 
Η Αγία του Θεού Σοφία, ΣΟΦΙΑ ΡΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗ
Η Αγία του Θεού Σοφία, ΣΟΦΙΑ ΡΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΗ Αγία του Θεού Σοφία, ΣΟΦΙΑ ΡΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗ
Η Αγία του Θεού Σοφία, ΣΟΦΙΑ ΡΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗIliana Kouvatsou
 
Η απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική Αυτοκρατορία
Η απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική ΑυτοκρατορίαΗ απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική Αυτοκρατορία
Η απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική ΑυτοκρατορίαΑφροδίτη Διαμαντοπούλου
 
Safe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Safe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο ΑλεξανδρούποληςSafe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Safe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης2ο Γυμνάσιο Αλεξ/πολης
 
Η ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ,ΜΠΟΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ - ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΘΩΜΑΣ
Η ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ,ΜΠΟΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ - ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΘΩΜΑΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ,ΜΠΟΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ - ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΘΩΜΑΣ
Η ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ,ΜΠΟΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ - ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΘΩΜΑΣIliana Kouvatsou
 
ΠΟΤΕ ΑΝΑΚΑΛΥΦΘΗΚΕ Η ΑΜΕΡΙΚΗ,ΦΙΛΩΝ-ΦΡΑΓΚΟΥ
ΠΟΤΕ ΑΝΑΚΑΛΥΦΘΗΚΕ Η ΑΜΕΡΙΚΗ,ΦΙΛΩΝ-ΦΡΑΓΚΟΥΠΟΤΕ ΑΝΑΚΑΛΥΦΘΗΚΕ Η ΑΜΕΡΙΚΗ,ΦΙΛΩΝ-ΦΡΑΓΚΟΥ
ΠΟΤΕ ΑΝΑΚΑΛΥΦΘΗΚΕ Η ΑΜΕΡΙΚΗ,ΦΙΛΩΝ-ΦΡΑΓΚΟΥIliana Kouvatsou
 
Ο ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΣ ΚΟΛΟΜΒΟΣ ΚΑΙ Η ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΤΗΣ ΑΜΕΡΙΚΗΣ,ΕΙΡΗΝΗ ΝΤΟΥΣΚΑ-ΠΕΝΥ ΖΑΓΓΟ...
Ο ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΣ ΚΟΛΟΜΒΟΣ ΚΑΙ Η ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΤΗΣ ΑΜΕΡΙΚΗΣ,ΕΙΡΗΝΗ ΝΤΟΥΣΚΑ-ΠΕΝΥ ΖΑΓΓΟ...Ο ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΣ ΚΟΛΟΜΒΟΣ ΚΑΙ Η ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΤΗΣ ΑΜΕΡΙΚΗΣ,ΕΙΡΗΝΗ ΝΤΟΥΣΚΑ-ΠΕΝΥ ΖΑΓΓΟ...
Ο ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΣ ΚΟΛΟΜΒΟΣ ΚΑΙ Η ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΤΗΣ ΑΜΕΡΙΚΗΣ,ΕΙΡΗΝΗ ΝΤΟΥΣΚΑ-ΠΕΝΥ ΖΑΓΓΟ...Iliana Kouvatsou
 
ΗΡΑΚΛΕΙΟΣ, ΧΑΡΗΣ ΤΑΣΙΟΥΔΗΣ-ΓΙΩΡΓΟΣ ΤΖΑΝΗΣ
ΗΡΑΚΛΕΙΟΣ, ΧΑΡΗΣ ΤΑΣΙΟΥΔΗΣ-ΓΙΩΡΓΟΣ ΤΖΑΝΗΣΗΡΑΚΛΕΙΟΣ, ΧΑΡΗΣ ΤΑΣΙΟΥΔΗΣ-ΓΙΩΡΓΟΣ ΤΖΑΝΗΣ
ΗΡΑΚΛΕΙΟΣ, ΧΑΡΗΣ ΤΑΣΙΟΥΔΗΣ-ΓΙΩΡΓΟΣ ΤΖΑΝΗΣIliana Kouvatsou
 
εργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptx
εργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptxεργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptx
εργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptxEffie Lampropoulou
 
Ποια είμαι εγώ; Ποιος είσαι εσύ;
Ποια είμαι εγώ;                 Ποιος είσαι εσύ;Ποια είμαι εγώ;                 Ποιος είσαι εσύ;
Ποια είμαι εγώ; Ποιος είσαι εσύ;Dimitra Mylonaki
 
Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΡΩΜΑΝΙΑΣ, ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣΓΡΑΜΜΟΖΗΣ
Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΡΩΜΑΝΙΑΣ, ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣΓΡΑΜΜΟΖΗΣΗ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΡΩΜΑΝΙΑΣ, ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣΓΡΑΜΜΟΖΗΣ
Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΡΩΜΑΝΙΑΣ, ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣΓΡΑΜΜΟΖΗΣIliana Kouvatsou
 

Recently uploaded (20)

Φλωρεντία, ΔΑΝΑΗ ΠΥΡΠΥΡΗ- ΜΑΡΙΑΝΕΛΑ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΥ
Φλωρεντία, ΔΑΝΑΗ ΠΥΡΠΥΡΗ- ΜΑΡΙΑΝΕΛΑ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΥΦλωρεντία, ΔΑΝΑΗ ΠΥΡΠΥΡΗ- ΜΑΡΙΑΝΕΛΑ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΥ
Φλωρεντία, ΔΑΝΑΗ ΠΥΡΠΥΡΗ- ΜΑΡΙΑΝΕΛΑ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΥ
 
ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Η ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΟΛΗ ΤΗΣ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΑΥΤΟΚΡΑΤΟΡΙΑΣ, ΔΑΝΑΗ ΠΑΝΟΥ
ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Η ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΟΛΗ ΤΗΣ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΑΥΤΟΚΡΑΤΟΡΙΑΣ, ΔΑΝΑΗ ΠΑΝΟΥΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Η ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΟΛΗ ΤΗΣ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΑΥΤΟΚΡΑΤΟΡΙΑΣ, ΔΑΝΑΗ ΠΑΝΟΥ
ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Η ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΟΛΗ ΤΗΣ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΑΥΤΟΚΡΑΤΟΡΙΑΣ, ΔΑΝΑΗ ΠΑΝΟΥ
 
ΝΑΠΟΛΕΩΝ ΒΟΝΑΠΑΡΤΗΣ, ΜΑΡΙΟΣ ΚΟΝΤΟΒΟΥΝΗΣΙΟΣ- ΓΙΑΝΝΗΣΚΟΥΚΟΥΣΑΣ
ΝΑΠΟΛΕΩΝ ΒΟΝΑΠΑΡΤΗΣ, ΜΑΡΙΟΣ ΚΟΝΤΟΒΟΥΝΗΣΙΟΣ- ΓΙΑΝΝΗΣΚΟΥΚΟΥΣΑΣΝΑΠΟΛΕΩΝ ΒΟΝΑΠΑΡΤΗΣ, ΜΑΡΙΟΣ ΚΟΝΤΟΒΟΥΝΗΣΙΟΣ- ΓΙΑΝΝΗΣΚΟΥΚΟΥΣΑΣ
ΝΑΠΟΛΕΩΝ ΒΟΝΑΠΑΡΤΗΣ, ΜΑΡΙΟΣ ΚΟΝΤΟΒΟΥΝΗΣΙΟΣ- ΓΙΑΝΝΗΣΚΟΥΚΟΥΣΑΣ
 
Ρατσισμός, ορισμός, είδη, αίτια , συνέπειες
Ρατσισμός, ορισμός, είδη, αίτια , συνέπειεςΡατσισμός, ορισμός, είδη, αίτια , συνέπειες
Ρατσισμός, ορισμός, είδη, αίτια , συνέπειες
 
ΙΣΤΟΡΙΑ Γ ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ : ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 1ο
ΙΣΤΟΡΙΑ Γ ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ : ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 1ο ΙΣΤΟΡΙΑ Γ ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ : ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 1ο
ΙΣΤΟΡΙΑ Γ ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ : ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 1ο
 
Η ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥΠΟΛΗ, ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ ΜΠΕΚΙΑΡΗ
Η ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥΠΟΛΗ,  ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ  ΜΠΕΚΙΑΡΗΗ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥΠΟΛΗ,  ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ  ΜΠΕΚΙΑΡΗ
Η ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥΠΟΛΗ, ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ ΜΠΕΚΙΑΡΗ
 
ΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βία
ΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βίαΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βία
ΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βία
 
Παρουσίαση θεατρικού στην Τεχνόπολη. 2023-2024
Παρουσίαση θεατρικού στην Τεχνόπολη. 2023-2024Παρουσίαση θεατρικού στην Τεχνόπολη. 2023-2024
Παρουσίαση θεατρικού στην Τεχνόπολη. 2023-2024
 
Η ΑΔΙΚΕΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΑΣΕΠ 2008 ΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥΣ
Η ΑΔΙΚΕΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΑΣΕΠ 2008 ΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥΣΗ ΑΔΙΚΕΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΑΣΕΠ 2008 ΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥΣ
Η ΑΔΙΚΕΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΑΣΕΠ 2008 ΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥΣ
 
Η Αγία του Θεού Σοφία, ΣΟΦΙΑ ΡΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗ
Η Αγία του Θεού Σοφία, ΣΟΦΙΑ ΡΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΗ Αγία του Θεού Σοφία, ΣΟΦΙΑ ΡΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗ
Η Αγία του Θεού Σοφία, ΣΟΦΙΑ ΡΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗ
 
Η απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική Αυτοκρατορία
Η απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική ΑυτοκρατορίαΗ απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική Αυτοκρατορία
Η απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική Αυτοκρατορία
 
Safe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Safe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο ΑλεξανδρούποληςSafe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Safe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
 
Η ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ,ΜΠΟΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ - ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΘΩΜΑΣ
Η ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ,ΜΠΟΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ - ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΘΩΜΑΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ,ΜΠΟΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ - ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΘΩΜΑΣ
Η ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ,ΜΠΟΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ - ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΘΩΜΑΣ
 
ΠΟΤΕ ΑΝΑΚΑΛΥΦΘΗΚΕ Η ΑΜΕΡΙΚΗ,ΦΙΛΩΝ-ΦΡΑΓΚΟΥ
ΠΟΤΕ ΑΝΑΚΑΛΥΦΘΗΚΕ Η ΑΜΕΡΙΚΗ,ΦΙΛΩΝ-ΦΡΑΓΚΟΥΠΟΤΕ ΑΝΑΚΑΛΥΦΘΗΚΕ Η ΑΜΕΡΙΚΗ,ΦΙΛΩΝ-ΦΡΑΓΚΟΥ
ΠΟΤΕ ΑΝΑΚΑΛΥΦΘΗΚΕ Η ΑΜΕΡΙΚΗ,ΦΙΛΩΝ-ΦΡΑΓΚΟΥ
 
Ο ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΣ ΚΟΛΟΜΒΟΣ ΚΑΙ Η ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΤΗΣ ΑΜΕΡΙΚΗΣ,ΕΙΡΗΝΗ ΝΤΟΥΣΚΑ-ΠΕΝΥ ΖΑΓΓΟ...
Ο ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΣ ΚΟΛΟΜΒΟΣ ΚΑΙ Η ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΤΗΣ ΑΜΕΡΙΚΗΣ,ΕΙΡΗΝΗ ΝΤΟΥΣΚΑ-ΠΕΝΥ ΖΑΓΓΟ...Ο ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΣ ΚΟΛΟΜΒΟΣ ΚΑΙ Η ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΤΗΣ ΑΜΕΡΙΚΗΣ,ΕΙΡΗΝΗ ΝΤΟΥΣΚΑ-ΠΕΝΥ ΖΑΓΓΟ...
Ο ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΣ ΚΟΛΟΜΒΟΣ ΚΑΙ Η ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΤΗΣ ΑΜΕΡΙΚΗΣ,ΕΙΡΗΝΗ ΝΤΟΥΣΚΑ-ΠΕΝΥ ΖΑΓΓΟ...
 
ΗΡΑΚΛΕΙΟΣ, ΧΑΡΗΣ ΤΑΣΙΟΥΔΗΣ-ΓΙΩΡΓΟΣ ΤΖΑΝΗΣ
ΗΡΑΚΛΕΙΟΣ, ΧΑΡΗΣ ΤΑΣΙΟΥΔΗΣ-ΓΙΩΡΓΟΣ ΤΖΑΝΗΣΗΡΑΚΛΕΙΟΣ, ΧΑΡΗΣ ΤΑΣΙΟΥΔΗΣ-ΓΙΩΡΓΟΣ ΤΖΑΝΗΣ
ΗΡΑΚΛΕΙΟΣ, ΧΑΡΗΣ ΤΑΣΙΟΥΔΗΣ-ΓΙΩΡΓΟΣ ΤΖΑΝΗΣ
 
εργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptx
εργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptxεργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptx
εργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptx
 
Ποια είμαι εγώ; Ποιος είσαι εσύ;
Ποια είμαι εγώ;                 Ποιος είσαι εσύ;Ποια είμαι εγώ;                 Ποιος είσαι εσύ;
Ποια είμαι εγώ; Ποιος είσαι εσύ;
 
Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΡΩΜΑΝΙΑΣ, ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣΓΡΑΜΜΟΖΗΣ
Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΡΩΜΑΝΙΑΣ, ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣΓΡΑΜΜΟΖΗΣΗ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΡΩΜΑΝΙΑΣ, ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣΓΡΑΜΜΟΖΗΣ
Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΡΩΜΑΝΙΑΣ, ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣΓΡΑΜΜΟΖΗΣ
 
Σεβασμός .
Σεβασμός                                           .Σεβασμός                                           .
Σεβασμός .
 

Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις

  • 1. Μια γνωστή άσκηση από το σχολικό βιβλίο Προεκτάσεις, συμπληρώσεις και παραλλαγές Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος και Χρήστος Μαρούγκας (οι δύο Μ.Χ) από το 3ο ΓΕΛ Κηφισιάς Β6 σελ. 152 σχολικό βιβλίο Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση         2 2 2 f x x α x β x γ     , με α β γ   έχει τρία τοπικά ελάχιστα και δύο τοπικά μέγιστα. Εισαγωγή Το σχολικό βιβλίο, κατά τη γνώμη μας, είναι ένα εξαιρετικό εκπαιδευτικό βιβλίο, δεν είναι τυχαίο που αντέχει τόσα χρόνια και αποτελεί πλέον σημείο αναφοράς σε πολλά από τα θέματα των εξετάσεων. Αν και κάθε χρόνο το μελετούν χιλιάδες εκπαιδευτικοί και μαθητές, τα λάθη που έχουν εντοπιστεί είναι αναλογικά ελάχιστα. Το μόνο που δεν κατανοούμε είναι γιατί οι διορθώσεις αυτών των λαθών δεν έχουν ενσωματωθεί στις νεότερες εκδόσεις του βιβλίου. Επιστρέφουμε στην παραπάνω άσκηση. Μια εξαιρετικά διδακτική άσκηση όπως και αρκετές άλλες που έχει το σχολικό βιβλίο. Είναι προτιμότερο να γίνει ως εργασία μέσα στην τάξη παρά να δοθεί ως άσκηση για το σπίτι. Ο κυριότερος λόγος; Έχει πολλά σημεία που μπορεί να διευκρινίσει ο καθηγητής και κυρίως να καθοδηγήσει τους μαθητές στην ορθή αντιμετώπισή της. Δεν γνωρίζουμε και κυρίως δεν μας ενδιαφέρει αν θεωρείται SOS για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις, το μόνο σίγουρο είναι ότι αν τεθεί στις Εξετάσεις θα είναι ανάλογης δυσκολίας με τα θέματα που είδαμε στις Εξετάσεις 2016 (με τις τέσσερις συναρτήσεις - άσκηση Β7(β) σελ. 82) και 2017 (με την παράγωγο της συνάρτησης 3 4 x για x 0  - άσκηση Β9ii σελ. 122). Αρχικά θα παρουσιάσουμε τη λύση που κάνουμε στους μαθητές μας, στη συνέχεια θα δώσουμε εναλλακτικές προσεγγίσεις. Επίσης, θα προσθέσουμε μερικά βοηθητικά ερωτήματα για να την κάνουμε προσιτή στους μαθητές. Ακόμα, θα εμφανίσουμε τις επίσημες λύσεις του σχολικού βιβλίου και θα τις σχολιάσουμε. Τέλος, θα κλείσουμε με μερικές προεκτάσεις – άλυτες ασκήσεις που θα συμβάλλουν στην καλύτερη κατανόηση του θέματος. Ας ξεκινήσουμε από τη λύση της άσκησης: 03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 1 of 9
  • 2. A. Ενδεικτική αναλυτική λύση (α΄ τρόπος) Βήμα 1ο Η f είναι συνεχής στα κλειστά διαστήματα   α,β και   β,γ και παραγωγίσιμη στα ανοικτά διαστήματα   α,β και   β,γ με       f α f β f γ 0    , άρα από το Θεώρημα Rolle υπάρχουν   1 ξ α,β  και   2 ξ β,γ  τέτοια, ώστε:     1 2 f ξ f ξ 0     Βήμα 2ο Η παράγωγος της f είναι:                                      2 2 2 2 2 2 2 f x 2 x α x β x γ 2 x α x β x γ 2 x α x β x γ 2 x α x β x γ x β x γ x α x γ x α x β 2 x α x β x γ 3x 2 α β γ x αβ βγ γα                                            Βήμα 3ο Έχουμε,           2 2 1 2 f x 0 2 x α x β x γ 3x 2 α β γ x αβ βγ γα 0 x α ή x β ή x γ ή 3x 2 α β γ x αβ βγ γα 0 x α ή x β ή x γ ή x ξ ή x ξ                                   διότι τα 1 2 ξ ,ξ είναι ρίζες της εξίσωσης   f x 0   και επειδή είναι διαφορετικά από τα α, β και γ θα είναι ρίζες της εξίσωσης   2 3x 2 α β γ x αβ βγ γα 0        . Επίσης,         2 f x 0 2 x α x β x γ 3x 2 α β γ x αβ βγ γα 0                  Πίνακας προσήμων Βήμα 4ο Ο πίνακας μεταβολών για την f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα 03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 2 of 9
  • 3. άρα η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στα σημεία 1 2 3 x α, x β, x γ    και τοπικά μέγιστα στα σημεία 4 1 x ξ  και 5 2 x ξ  . Σημείωση 1η: Εύκολα αποδεικνύεται ότι όλα τα τοπικά ελάχιστα της συνάρτησης f είναι και ολικά, διότι         f x 0 f α f β f γ     για κάθε x  κάτι που μπορούμε να το σημειώσουμε από την αρχή της επίλυσής μας. Επίσης ένας διαφορετικός τρόπος (β΄ τρόπος) προσέγγισης, που θυμίζει αρκετά την άσκηση 8 σελ. 81 του σχολικού βιβλίου, είναι ο εξής: Έχουμε,                f x 2 x α x β x γ x β x γ x α x γ x α x β                  Θεωρούμε τη συνάρτηση            g x x β x γ x α x γ x α x β , x           Έχουμε ότι,  η g είναι συνεχής στα διαστήματα   α,β και   β,γ ως πολυωνυμική και            g β β α β γ 0 g α α β α γ                    g β β α β γ 0 g γ γ α γ β         άρα     g α g β 0  και     g β g γ 0  , επομένως υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα   1 ξ α,β  και   2 ξ β,γ  τέτοιες ώστε     1 2 g ξ g ξ 0   , όμως η εξίσωση   g x 0  είναι δευτέρου βαθμού άρα οι ρίζες αυτές είναι μοναδικές. Ο πίνακας μεταβολών της συνάρτησης f είναι ίδιος με τον Α΄ τρόπο επίλυσης. Τέλος, ένας πιο γρήγορος και συνοπτικός τρόπος επίλυσης που αποδεικνύει όμως δύο τουλάχιστον τοπικά μέγιστα (γ΄ τρόπος) και δεν απαντάει ακριβώς στην άσκησή μας είναι ο εξής: Αποδεικνύουμε με ανάλογο τρόπο ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικά ελάχιστα στα σημεία 1 2 3 x α, x β, x γ    . Παρατηρούμε ότι η f είναι συνεχής στα κλειστά διαστήματα   α,β και   β,γ , άρα από το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής θα παρουσιάζει μια (τουλάχιστον) μέγιστη 03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 3 of 9
  • 4. και μια ελάχιστη τιμή στο καθένα διάστημα. Όμως ήδη η f παρουσιάζει στα διαστήματα   α,β και   β,γ από μια θέση ελαχίστου, που είναι στα άκρα των διαστημάτων, άρα η θέση του μεγίστου θα βρίσκεται στα εσωτερικά σημεία των διαστημάτων αυτών. Δηλαδή υπάρχουν   1 ξ α,β  και   2 ξ γ,δ  τέτοια ώστε     1 f x f ξ  για κάθε   x α,β  και     2 f x f ξ  για κάθε   x β,γ  . Επομένως, τα σημεία 1 2 ξ ,ξ είναι τοπικά μέγιστα της f (χωρίς να έχουμε αποδείξει ότι είναι και μοναδικά). Σημείωση 2η: Με τον παραπάνω τρόπο θέλουμε να παρουσιάσουμε την εξής γενική πρόταση που απαντάει εν μέρη στην άσκηση του σχολικού βιβλίου: «Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα   α,β , η οποία παρουσιάζει στα σημεία α και β τοπικό ελάχιστο, τότε η f θα παρουσιάζει μέγιστο σ’ ένα τουλάχιστον σημείο του   α,β ». Με μια γνώση που θα σημειωθεί από τις επίσημες λύσεις του σχολικού βιβλίου μπορούμε να αποδείξουμε εύκολα ότι τα τοπικά μέγιστα είναι μοναδικά. Σημείωση 3η: Η εξίσωση δευτέρου βαθμού   2 3x 2 α β γ x αβ βγ γα 0        αποδεικνύεται ότι έχει δύο άνισες ρίζες 1 ξ και 2 ξ , χωρίς τη χρήση των θεωρημάτων της Ανάλυσης, ως εξής:                           2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Δ 4 α β γ 12 αβ βγ γα 4 α β γ 3 αβ βγ γα 4 α β γ 2αβ 2βγ 2γα 3αβ 3βγ 3γα 4 α β γ αβ βγ γα 2 2α 2β 2γ 2αβ 2βγ 2γα 2 α 2αβ β β 2βγ γ γ 2γα α 2 α β β γ γ α 0                                                              Για να είναι πλήρης η λύση πρέπει να αποδείξουμε ότι οι ρίζες 1 2 ξ ,ξ είναι διαφορετικές από τους αριθμούς α, β και γ. Η απόδειξη δίνεται από μια πρόταση που χρησιμοποιεί στις λύσεις το σχολικό εγχειρίδιο. 03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 4 of 9
  • 5. Β. Η άσκηση του σχολικού βιβλίου με βοηθητικά ερωτήματα Δίνεται η συνάρτηση         2 2 2 f x x α x β x γ     με α β γ   . α) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει σε τρεις διαφορετικές θέσεις ολικό ελάχιστο το οποίο να υπολογίσετε. β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει πέντε κρίσιμα σημεία. γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει τέσσερα σημεία καμπής. Γ. Η λύση που προτείνει από το σχολικό βιβλίο Ας παρατηρήσουμε τα εξής σημεία: «Επειδή η συνάρτηση f είναι πολυωνυμική έκτου βαθμού, η παράγωγός της είναι πέμπτου βαθμού. Άρα η εξίσωση   f x 0   δεν έχει άλλες, εκτός από τις α, 1 ξ , β, 2 ξ , γ ρίζες στο  .» 03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 5 of 9
  • 6. Προφανώς, η πρόταση που αναφέρεται στη λύση είναι εκτός σχολικού βιβλίου και αφορά το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας ή Θεώρημα D' Alembert που λέει ότι: «Κάθε πολυωνυμική εξίσωση νιοστού βαθμού , έχει ν το πολύ ρίζες στο  » Επομένως, ο μαθητής δεν μπορεί να χρησιμοποιήσει την παραπάνω πρόταση επειδή δεν την γνωρίζει! Η πρόταση αυτή υπάρχει στο κεφάλαιο των Μιγαδικών αριθμών (μέρος Α) που έχει αφαιρεθεί από την ύλη. Άρα η λύση αυτή δεν είναι κατάλληλη για τους μαθητές της Γ΄ Λυκείου. Επίσης, τα πρόσημα στον πίνακα μεταβολών μπήκαν λίγο αυθαίρετα (ή πιο εύστοχα στηρίζεται σε γνώση που αγνοεί ο μαθητής) χωρίς καμία εξήγηση, αφήνοντας απορίες και κενά στον αναγνώστη. Ας δούμε τη γενίκευση της άσκησης του σχολικού βιβλίου για 2ν + 1 παράγοντες χρησιμοποιώντας την παραπάνω πρόταση. Δ. Γενίκευση άσκησης σχολικού βιβλίου Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση           2 2 2 2 1 2 3 2ν 1 f x x α x α x α ... x α         με 1 2 3 2ν 1 α α α ... α      και νn παρουσιάζει σε 2ν 1  διαφορετικά σημεία ολικό ελάχιστο, το οποίο να υπολογίσετε και σε 2ν διαφορετικά σημεία τοπικά μέγιστα. Υπόδειξη Αρχικά, παρατηρούμε ότι:         1 2 2ν 1 f x 0 f α f α ... f α       για κάθε x   άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο, το 0 , σε καθένα από τα 2ν 1  διαφορετικά σημεία 1 2 3 2ν 1 α ,α ,α ,...,α  . Επίσης, η συνάρτηση f ικανοποιεί το θεώρημα Rolle στα διαστήματα       1 2 2 3 2ν 2ν 1 α ,α , α ,α ,..., α ,α  άρα υπάρχουν       1 1 2 2 2 3 2ν 2ν 2ν 1 ξ α ,α , ξ α ,α , ..., ξ α ,α     τέτοια, ώστε       1 2 2ν f ξ f ξ ... f ξ 0        Επειδή η f είναι πολυωνυμική συνάρτηση   2ν 1 προσθετέοι 2 2 ... 2 2 2ν 1 4ν 2          βαθμού, η παράγωγός της είναι πολυωνυμική συνάρτηση 4ν 1  βαθμού. Άρα η εξίσωση   f x 0   δεν έχει άλλες, εκτός από τις 1 1 2 2 3 2ν 2ν 1 α ξ α ξ α .... ξ α         03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 6 of 9
  • 7. ρίζες στο  . Επομένως, η συνάρτηση f γράφεται ως εξής:            1 1 2 2 3 2ν 2ν 1 f x x α x ξ x α x ξ x α ... x ξ x α             Το πρόσημο της f , η μονοτονία και τα ακρότατα της f, φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Επομένως, η f παρουσιάζει τοπικά μέγιστα στα σημεία 1 2 2v ξ ,ξ ,...,ξ και ολικά ελάχιστα, όπως είδαμε και παραπάνω, στα σημεία 1 2 3 2ν 1 α ,α ,α ,...,α  . Σημείωση: Δείτε μια αναλυτική εξήγηση των προσήμων στον παραπάνω πίνακα:  Τα μείον της πρώτης στήλης είναι σε πλήθος 2v 1  , άρα περιττό πλήθος, οπότε τα γινόμενά τους είναι μείον.  Τα μείον της δεύτερης στήλης είναι σε πλήθος 2ν, άρα άρτιο πλήθος, οπότε τα γινόμενά του είναι +.  Τα μείον της τρίτης στήλης είναι σε πλήθος 2v 1  , άρα περιττό πλήθος οπότε τα γινόμενά τους είναι μείον, κ.ο.κ.  Τα μείον της προτελευταίας στήλης είναι ένα άρα το πρόσημο της f είναι μείον.  Και η τελευταία στήλη έχει μόνο +, άρα το πρόσημο της f είναι +. Η άσκηση μπορεί να προσεγγιστεί εναλλακτικά και με το εξής τρόπο: Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο σε 2ν 1  διαφορετικά σημεία 1 2 3 2ν 1 α ,α ,α ,...,α  διότι                 2 2 2 2 1 2 3 2ν 1 1 2 2ν 1 f x x α x α x α ... x α 0 f α f α ... f α               Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής για τη f στα διαστήματα       1 2 2 3 2ν 2ν 1 α ,α , α ,α ,..., α ,α  βρίσκουμε από ένα (τουλάχιστον) τοπικό μέγιστο στο κάθε εσωτερικό διάστημα, άρα η f παρουσιάζει (τουλάχιστον) 2ν τοπικά μέγιστα. 03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 7 of 9
  • 8. Όμως η εξίσωση   f x 0   είναι πολυωνυμική συνάρτηση 4ν 1  βαθμού , άρα δεν έχει άλλες, εκτός από τις 4v 1  ρίζες 1 1 2 2 3 2ν 2ν 1 α ξ α ξ α .... ξ α         , στο  , οπότε τα σημεία των τοπικών μεγίστων είναι μοναδικά. Ε. Άλυτες ασκήσεις (προεκτάσεις – παραλλαγές) Για εξάσκηση, δείτε μερικές επιπλέον ασκήσεις που έχουν την ίδια φιλοσοφία με την άσκηση του σχολικού βιβλίου. 1) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση         2 2 2 f x x 1 x 2 x 3     παρουσιάζει σε τρία διαφορετικά σημεία ολικό ελάχιστο, το οποίο να υπολογίσετε και σε δύο διαφορετικά σημεία τοπικά μέγιστα. 2) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση         2ν 2ν 2ν f x x α x β x γ     με α β γ   και ν   παρουσιάζει σε τρία διαφορετικά σημεία ολικό ελάχιστο, το οποίο να υπολογίσετε και σε δύο διαφορετικά σημεία τοπικά μέγιστα. 3) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση           2 2 2 2 f x x 1 x 2 x 3 ... x 2021        παρουσιάζει σε 2021 διαφορετικά σημεία ολικό ελάχιστο, το οποίο να υπολογίσετε και σε 2020 διαφορετικά σημεία τοπικά μέγιστα. 4) Α) Αν για μια πολυωνυμική συνάρτηση f με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του τρία, υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση   π x τέτοια, ώστε       3 f x x ρ π x   για κάθε x  , τότε να αποδείξετε ότι:       f ρ f ρ f ρ 0      . Β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση       3 3 f x x α x β    με α β  έχει ένα τοπικό ελάχιστο και τέσσερα σημεία καμπής. Γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 8 of 9
  • 9.       3 2 f x x α x β    με α β  έχει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και τρία σημεία καμπής. Σημείωση: Η τετμημένη Μ του τοπικού μεγίστου της f χωρίζει το διάστημα   α,β σε λόγο 3 3 2  , δηλαδή αν   Α α,0 ,   Β β,0 και 2α 3β Μ ,0 5        , τότε:     ΑΜ 3 ΑΒ 5  και     ΜΒ 2 ΑΒ 5  . 5) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση       2 2 f x x α x β    με α β  παρουσιάζει σε δύο διαφορετικές θέσεις ολικό ελάχιστο, ένα τοπικό μέγιστο και δύο σημεία καμπής. 6) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση     2 2 x f x x e e   παρουσιάζει σε δύο διαφορετικές θέσεις ολικό ελάχιστο, το οποίο να υπολογίσετε και ένα τοπικό μέγιστο. 7) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση     2 2 2 x f x x e e   παρουσιάζει σε τρεις διαφορετικές θέσεις ολικό ελάχιστο, το οποίο να υπολογίσετε και δύο τοπικά μέγιστα. Ευχαριστούμε πολύ τα μέλη της lisari team κατά αλφαβητική σειρά: Βασίλης Κακαβάς, Χρήστος Κουστέρης, Γιώργος Χασάπης για τις εύστοχες παρατηρήσεις, διορθώσεις και συμπληρώσεις που έκαναν στο παραπάνω αρχείο. 03.06.2021 Περιοδικό ΕΜΕ (τεύχος 120 - αρχική μορφή) Page 9 of 9