Επιμέλεια: Βασίλης Παπαδάκης και Φάνης Μαργαρώνης αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com

1. ΒΑΣΙΛΗΣ ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ | ΦΑΝΗΣ ΜΑΡΓΑΡΩΝΗΣ
ΜΑΪΟΣ 2021
ΔΥΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ
ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΤΗΣ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ

2. Πρόλογος
Η φετινή χρονιά φτάνει στο τέλος της.
Μια χρόνια, κατά τη διάρκεια της οποίας δοκιμαστήκαμε όλοι,
εκπαιδευτικοί, γονείς και μαθητές. Κλείνοντας αυτή την πορεία, θέλουμε να
βοηθήσουμε, όπως μπορούμε και από τη δική μας θέση, τόσο τους
συναδέλφους μαθηματικούς στο έργο τους, όσο και τα παιδιά στον
αγώνα τους να κατακτήσουν τα όνειρά τους εν όψει των πανελλαδικών
εξετάσεων.
Με το σκοπό αυτό, λοιπόν, παρουσιάζουμε δύο διαγωνίσματα, ίσως τα
τελευταία της χρονιάς. Προσπαθήσαμε να συμπεριλάβουμε τις
θεμελιώδεις πλευρές της ύλης και βασικές μεθοδολογίες. Πιστεύουμε ότι
κινηθήκαμε στο συχνά αποκαλούμενο ως «πνεύμα των εξετάσεων», αν και
αυτό αφενός είναι εκ των πραγμάτων μεταβλητό, αφετέρου κρίνεται εκ του
αποτελέσματος και από τους αποδέκτες της εργασίας μας.
Ελπίζουμε η προσπάθειά μας να φανεί χρήσιμη και ευχόμαστε επιτυχία.
Βασίλης Παπαδάκης
Φάνης Μαργαρώνης
05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 1 of 10

3. 1o Κριτήριο Αξιολόγησης
ΘΕΜΑ Α
Α1. Αν f και g είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα,
τότε τι ονομάζουμε σύνθεση της f με την g;
(Μονάδες 4)
Α2. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα ( )
α,
β με
εξαίρεση ίσως ένα σημείο του o
x , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να
αποδείξετε ότι αν η f'(x) διατηρεί πρόσημο στο ( ) ( )

0 0
α, x x ,
β , τότε το
( )
0
f x δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο ( )
α,
β .
(Μονάδες 5)
Α3. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις
παρακάτω προτάσεις:
α) Αν f
C είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f, τότε το
σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο των τεταγμένων της f
C .
β) Για οποιαδήποτε συνάρτηση f που είναι 1 – 1 ισχύει ότι
οποιαδήποτε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f
σε ακριβώς ένα σημείο.
γ) Ισχύει ότι
→
x 0
lim
−
συνx 1
x →−∞
=
x
lim
 
 
 
x
e
3
.
δ) Για οποιοδήποτε ∈*
κ , με κ άρτιο, ισχύει ότι
→−∞
= +∞
κ
x
lim x .
ε) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο  
 
α,
β και παραγωγίσιμη
στο (α,
β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ∈
ξ (α,
β), ώστε
( )−
=
−
f f(β)
f'
α
(ξ)
α β
.
(Μονάδες 10)
Α4. Δίνεται η πρόταση:
«Αν ισχύει ότι
→
= 
o
x x
lim f(x) και
→
=
o
x x
lim g(x) m, όπου ∈
 
,m και ισχύει
( ) <
f x g(x) κοντά στο o
x , τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει <
 m .»
α) Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) την
παραπάνω πρόταση.
05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 2 of 10

4. β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 2+4)
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση
−
 <
−
= 
≥
+ −

α x
2
, αν x 1
e
f(x)
, αν x 1
x (α 3)x
.
Β1. Να αποδείξετε ότι =
α 1.
(Μονάδες 7)
Β2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1.
(Μονάδες 6)
Β3. Να ορίσετε τη συνάρτηση −1
f .
(Μονάδες 7)
Β4. Να υπολογίσετε το όριο
→+∞ −
x
f(x)
lim
f( x)
.
(Μονάδες 5)
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται συνάρτηση +∞ → 
f :(2, ) , για την οποία ισχύουν:
−
=
⋅ −
f(x) 2
1
f'(x)
e (x 2)
για κάθε x>2 και ( ) =
f 3 ln2
Γ1. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση = −
−
f(x) 1
g(x) e
x 2
είναι σταθερή.
(Μονάδες 3)
β) Να αποδείξετε ότι
−
=
−
x 1
f(x) ln
x 2
, για x>2.
(Μονάδες 3)
Γ2. α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και την
κυρτότητα.
(Μονάδες 4)
β) Να αποδείξετε ότι
−
+ ≤ <
−
3 x 1
ln2 f(x)
2 x 2
.
(Μονάδες 4)
05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 3 of 10

5. Γ3. Ένα σώμα κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της f. Τη χρονική
στιγμή που το σώμα βρίσκεται στο σημείο ( )
A 3,f(3) , η τετμημένη του
αυξάνεται με ρυθμό 2 μονάδες/s. Στη χρονική στιγμή αυτή να βρείτε το
ρυθμό μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει με τον άξονα x’x η
εφαπτομένη της Cf στο σημείο που βρίσκεται το σώμα.
(Μονάδες 6)
Γ4. Να αποδείξετε ότι ( )
→+∞
+ =
x x
x
lim f e λ 0 , για κάθε >
λ 0 .
(Μονάδες 5)
ΘΕΜΑ Δ
Οι κάτοικοι ενός νησιωτικού χωριού θέλουν να κατασκευάσουν μια
γέφυρα ανάμεσα σε δύο παραλίες. Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται η
κάτοψη της περιοχής. Η ακτογραμμή Β επαληθεύει την εξίσωση y x 1
= + ,
ενώ η ακτογραμμή Α επαληθεύει την εξίσωση y lnx
= .
Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση d τυχαίου
σημείου Μ της ακτογραμμής Α, από την ακτογραμμή Β, σε σχέση με το x,
είναι:
x lnx 1
d(x) , x 0
2
− +
= > .
(Μονάδες 7)
05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 4 of 10

6. Δ2. Να βρείτε σε ποιο σημείο της ακτογραμμής Α η απόσταση d γίνεται
ελάχιστη, ώστε να επιλεγεί ως σημείο οικοδόμησης της γέφυρας.
(Μονάδες 7)
Δ3. Μια βάρκα με συντεταγμένες ( )
K 0,lnx κινείται επί του άξονα y’y, από
το σημείο ( )
O 0,0 προς την ακτογραμμή Β, με σταθερή ταχύτητα
1
μ/ sec
e
. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου KOM

ως προς το χρόνο, τη χρονική στιγμή που η βάρκα θα φτάσει την ακτή.
(Μονάδες 11)
05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 5 of 10

7. 2ο Κριτήριο Αξιολόγησης
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση = ∈ −
 
α
f(x) x , α , είναι παραγωγίσιμη
στο ( )
+∞
0, και ισχύει −
= α 1
f'(x) αx .
(Μονάδες 6)
Α2. Πότε μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό
διάστημα  
 
α,β του πεδίου ορισμού της;
(Μονάδες 3)
Α3. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:
«Έστω μια συνάρτηση f κυρτή σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού
της.
Τότε θα ισχύει >
f''(x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ».
α)Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το
γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα (α).
(Μονάδες 1+3)
Α4. Αν = −
2 3
f(x) (x 1
) τότε η έβδομη παράγωγος αυτής στο 0 ισούται με:
Α) 1 Β) -1 Γ) 0 Δ) 27 Ε) δεν υπάρχει
(Μονάδες 3)
Α5. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο
τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη
λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι
λανθασμένη.
α) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και
υπάρχει ∈
o
x (α,β) τέτοιο, ώστε =
o
f(x ) 0 , τότε αναγκαστικά θα είναι
⋅ <
f(α) f(β) 0.
β) Μια συνάρτηση f : A→R είναι συνάρτηση «1-1», όταν για κάθε
∈
1 2
x , x Α ισχύει η συνεπαγωγή: αν x1 = x2 , τότε f(x1) = f(x2).
γ) Αν
→
<
0
x
x
lim f(x) 0 , τότε <
f(x) 0 κοντά στο x0 .
(Μονάδες 9)
05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 6 of 10

8. ΘΕΜΑ Β
Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f.
Β1. Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια, αιτιολογώντας την
απάντησή σας.
→−
=
x 1
1
Κ lim
f(x)
,
→
=
x 6
2
Λ lim
f(x)
,
→+∞
=
x
3
M lim
f(x)
,
→−
=
x 2
4ημx
N lim
f(x)
(Μονάδες 4)
Β2. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής.
(Μονάδες 2)
Β3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει
τουλάχιστον ένα κοινό σημείο ( )
o o
Σ x ,f(x ) με τη γραφική παράσταση της
συνάρτησης = 2
φ(x) x , με ( )
∈
o
x 1,4 .
(Μονάδες 5)
05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 7 of 10

9. Β4. Θεωρούμε, επιπλέον, την παραγωγίσιμη συνάρτηση =
g(x) f(x) , με
πεδίο ορισμού ( )
= −
g
D 2,1 .
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το
πεδίο ορισμού της συνάρτησης −1
g .
(Μονάδες 4)
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης −1
g με τους άξονες x’x και y’y.
(Μονάδες 6)
γ) Να αποδείξετε ότι η Cg δέχεται εφαπτομένη η οποία σχηματίζει με τον
άξονα x’x γωνία 45ο.
(Μονάδες 4)
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται συνεχής συνάρτηση →
 
f : για την οποία ισχύουν:
=
f(0) 1 και ⋅ =
2
4x 2
e f (x) 1 , για κάθε ∈ 
x
Γ1. Να αποδείξετε ότι −
=
2
2x
f(x) e , για κάθε ∈ 
x .
(Μονάδες 8)
Γ2. α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα
ακρότατα.
(Μονάδες 2)
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία
καμπής.
(Μονάδες 2)
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο −∞
και στο +∞ .
(Μονάδες 2)
δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f.
(Δίνεται ότι 
1
0,6
e
).
(Μονάδες 3)
Γ3. Θεωρούμε τα σημεία ( )
A x,f(x) και ( )
− −
B x,f( x) , της f
C και τα σημεία
( )
−
Γ x,0 και ( )
Δ x,0 , όπου >
x 0 . Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του
05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 8 of 10

10. τετραπλεύρου ΑΒΓΔ γίνεται μέγιστο, όταν τα σημεία Α και Β ταυτίζονται με
τα σημεία καμπής της f
C .
(Μονάδες 8)
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση ( )
+∞ → 
f : 0, για την οποία ισχύει:
( )
− + ≤ −
y
2
x
y
xf(x) yf(y) ln x y
x
, για κάθε ( )
∈ +∞
x,y 0, .
Δ1. Να αποδείξετε ότι = +
c
f(x) lnx
x
, για κάθε >
x 0 .
(Μονάδες 5)
Δ2. Αν η f έχει ελάχιστο το 1, να αποδείξετε ότι =
c 1.
(Μονάδες 5)
Για =
c 1 :
Δ3. Να βρείτε την εφαπτομένη της f
C με τον μέγιστο συντελεστή
διεύθυνσης.
(Μονάδες 4)
Δ4. Να υπολογίσετε το όριο
→
=
 
− − ⋅ −
 
 
x 2
1
L lim
x
f(x) ln2 (x 2)
4
.
(Μονάδες 5)
Δ5. Αν >
α 2 , να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα ( )
∈ +
ξ α,α 2 τέτοιο,
ώστε:
= + +
5f(ξ) 2f(α 5) 3f(α)
(Μονάδες 6)
05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 9 of 10

11. 05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 10 of 10