SlideShare a Scribd company logo
1 of 11
Download to read offline
ΒΑΣΙΛΗΣ ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ | ΦΑΝΗΣ ΜΑΡΓΑΡΩΝΗΣ
ΜΑΪΟΣ 2021
ΔΥΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ
ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΤΗΣ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ
Πρόλογος
Η φετινή χρονιά φτάνει στο τέλος της.
Μια χρόνια, κατά τη διάρκεια της οποίας δοκιμαστήκαμε όλοι,
εκπαιδευτικοί, γονείς και μαθητές. Κλείνοντας αυτή την πορεία, θέλουμε να
βοηθήσουμε, όπως μπορούμε και από τη δική μας θέση, τόσο τους
συναδέλφους μαθηματικούς στο έργο τους, όσο και τα παιδιά στον
αγώνα τους να κατακτήσουν τα όνειρά τους εν όψει των πανελλαδικών
εξετάσεων.
Με το σκοπό αυτό, λοιπόν, παρουσιάζουμε δύο διαγωνίσματα, ίσως τα
τελευταία της χρονιάς. Προσπαθήσαμε να συμπεριλάβουμε τις
θεμελιώδεις πλευρές της ύλης και βασικές μεθοδολογίες. Πιστεύουμε ότι
κινηθήκαμε στο συχνά αποκαλούμενο ως «πνεύμα των εξετάσεων», αν και
αυτό αφενός είναι εκ των πραγμάτων μεταβλητό, αφετέρου κρίνεται εκ του
αποτελέσματος και από τους αποδέκτες της εργασίας μας.
Ελπίζουμε η προσπάθειά μας να φανεί χρήσιμη και ευχόμαστε επιτυχία.
Βασίλης Παπαδάκης
Φάνης Μαργαρώνης
05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 1 of 10
1o Κριτήριο Αξιολόγησης
ΘΕΜΑ Α
Α1. Αν f και g είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα,
τότε τι ονομάζουμε σύνθεση της f με την g;
(Μονάδες 4)
Α2. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα ( )
α, 
β με
εξαίρεση ίσως ένα σημείο του o
x , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να
αποδείξετε ότι αν η f'(x) διατηρεί πρόσημο στο ( ) ( )

0 0
α, x x , 
β , τότε το
( )
0
f x δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο ( )
α, 
β .
(Μονάδες 5)
Α3. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις
παρακάτω προτάσεις:
α) Αν f
C είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f, τότε το
σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο των τεταγμένων της f
C .
β) Για οποιαδήποτε συνάρτηση f που είναι 1 – 1 ισχύει ότι
οποιαδήποτε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f
σε ακριβώς ένα σημείο.
γ) Ισχύει ότι
→
x 0
lim
−
συνx 1
x →−∞
=
x
lim
 
 
 
x
e
3
.
δ) Για οποιοδήποτε ∈*
κ , με κ άρτιο, ισχύει ότι
→−∞
= +∞
κ
x
lim x .
ε) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο  
 
α, 
β και παραγωγίσιμη
στο (α, 
β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ∈
ξ (α, 
β), ώστε
( )−
=
−
f f(β)
f'
α
(ξ)
α β
.
(Μονάδες 10)
Α4. Δίνεται η πρόταση:
«Αν ισχύει ότι
→
= 
o
x x
lim f(x) και
→
=
o
x x
lim g(x) m, όπου ∈
 
,m και ισχύει
( ) <
f x g(x) κοντά στο o
x , τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει <
 m .»
α) Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) την
παραπάνω πρόταση.
05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 2 of 10
β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 2+4)
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση
−
 <
−
= 
≥
+ −

α x
2
, αν x 1
e
f(x)
, αν x 1
x (α 3)x
.
Β1. Να αποδείξετε ότι =
α 1.
(Μονάδες 7)
Β2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1.
(Μονάδες 6)
Β3. Να ορίσετε τη συνάρτηση −1
f .
(Μονάδες 7)
Β4. Να υπολογίσετε το όριο
→+∞ −
x
f(x)
lim
f( x)
.
(Μονάδες 5)
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται συνάρτηση +∞ → 
f :(2, ) , για την οποία ισχύουν:
−
=
⋅ −
f(x) 2
1
f'(x)
e (x 2)
για κάθε x>2 και ( ) =
f 3 ln2
Γ1. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση = −
−
f(x) 1
g(x) e
x 2
είναι σταθερή.
(Μονάδες 3)
β) Να αποδείξετε ότι
−
=
−
x 1
f(x) ln
x 2
, για x>2.
(Μονάδες 3)
Γ2. α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και την
κυρτότητα.
(Μονάδες 4)
β) Να αποδείξετε ότι
−
+ ≤ <
−
3 x 1
ln2 f(x)
2 x 2
.
(Μονάδες 4)
05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 3 of 10
Γ3. Ένα σώμα κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της f. Τη χρονική
στιγμή που το σώμα βρίσκεται στο σημείο ( )
A 3,f(3) , η τετμημένη του
αυξάνεται με ρυθμό 2 μονάδες/s. Στη χρονική στιγμή αυτή να βρείτε το
ρυθμό μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει με τον άξονα x’x η
εφαπτομένη της Cf στο σημείο που βρίσκεται το σώμα.
(Μονάδες 6)
Γ4. Να αποδείξετε ότι ( )
→+∞
+ =
x x
x
lim f e λ 0 , για κάθε >
λ 0 .
(Μονάδες 5)
ΘΕΜΑ Δ
Οι κάτοικοι ενός νησιωτικού χωριού θέλουν να κατασκευάσουν μια
γέφυρα ανάμεσα σε δύο παραλίες. Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται η
κάτοψη της περιοχής. Η ακτογραμμή Β επαληθεύει την εξίσωση y x 1
= + ,
ενώ η ακτογραμμή Α επαληθεύει την εξίσωση y lnx
= .
Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση d τυχαίου
σημείου Μ της ακτογραμμής Α, από την ακτογραμμή Β, σε σχέση με το x,
είναι:
x lnx 1
d(x) , x 0
2
− +
= > .
(Μονάδες 7)
05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 4 of 10
Δ2. Να βρείτε σε ποιο σημείο της ακτογραμμής Α η απόσταση d γίνεται
ελάχιστη, ώστε να επιλεγεί ως σημείο οικοδόμησης της γέφυρας.
(Μονάδες 7)
Δ3. Μια βάρκα με συντεταγμένες ( )
K 0,lnx κινείται επί του άξονα y’y, από
το σημείο ( )
O 0,0 προς την ακτογραμμή Β, με σταθερή ταχύτητα
1
μ/ sec
e
. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου KOM

ως προς το χρόνο, τη χρονική στιγμή που η βάρκα θα φτάσει την ακτή.
(Μονάδες 11)
05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 5 of 10
2ο Κριτήριο Αξιολόγησης
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση = ∈ −
 
α
f(x) x , α , είναι παραγωγίσιμη
στο ( )
+∞
0, και ισχύει −
= α 1
f'(x) αx .
(Μονάδες 6)
Α2. Πότε μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό
διάστημα  
 
α,β του πεδίου ορισμού της;
(Μονάδες 3)
Α3. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:
«Έστω μια συνάρτηση f κυρτή σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού
της.
Τότε θα ισχύει >
f''(x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ».
α)Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το
γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα (α).
(Μονάδες 1+3)
Α4. Αν = −
2 3
f(x) (x 1
) τότε η έβδομη παράγωγος αυτής στο 0 ισούται με:
Α) 1 Β) -1 Γ) 0 Δ) 27 Ε) δεν υπάρχει
(Μονάδες 3)
Α5. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο
τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη
λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι
λανθασμένη.
α) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και
υπάρχει ∈
o
x (α,β) τέτοιο, ώστε =
o
f(x ) 0 , τότε αναγκαστικά θα είναι
⋅ <
f(α) f(β) 0.
β) Μια συνάρτηση f : A→R είναι συνάρτηση «1-1», όταν για κάθε
∈
1 2
x , x Α ισχύει η συνεπαγωγή: αν x1 = x2 , τότε f(x1) = f(x2).
γ) Αν
→
<
0
x
x
lim f(x) 0 , τότε <
f(x) 0 κοντά στο x0 .
(Μονάδες 9)
05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 6 of 10
ΘΕΜΑ Β
Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f.
Β1. Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια, αιτιολογώντας την
απάντησή σας.
→−
=
x 1
1
Κ lim
f(x)
,
→
=
x 6
2
Λ lim
f(x)
,
→+∞
=
x
3
M lim
f(x)
,
→−
=
x 2
4ημx
N lim
f(x)
(Μονάδες 4)
Β2. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής.
(Μονάδες 2)
Β3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει
τουλάχιστον ένα κοινό σημείο ( )
o o
Σ x ,f(x ) με τη γραφική παράσταση της
συνάρτησης = 2
φ(x) x , με ( )
∈
o
x 1,4 .
(Μονάδες 5)
05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 7 of 10
Β4. Θεωρούμε, επιπλέον, την παραγωγίσιμη συνάρτηση =
g(x) f(x) , με
πεδίο ορισμού ( )
= −
g
D 2,1 .
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το
πεδίο ορισμού της συνάρτησης −1
g .
(Μονάδες 4)
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης −1
g με τους άξονες x’x και y’y.
(Μονάδες 6)
γ) Να αποδείξετε ότι η Cg δέχεται εφαπτομένη η οποία σχηματίζει με τον
άξονα x’x γωνία 45ο.
(Μονάδες 4)
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται συνεχής συνάρτηση →
 
f : για την οποία ισχύουν:
=
f(0) 1 και ⋅ =
2
4x 2
e f (x) 1 , για κάθε ∈ 
x
Γ1. Να αποδείξετε ότι −
=
2
2x
f(x) e , για κάθε ∈ 
x .
(Μονάδες 8)
Γ2. α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα
ακρότατα.
(Μονάδες 2)
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία
καμπής.
(Μονάδες 2)
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο −∞
και στο +∞ .
(Μονάδες 2)
δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f.
(Δίνεται ότι 
1
0,6
e
).
(Μονάδες 3)
Γ3. Θεωρούμε τα σημεία ( )
A x,f(x) και ( )
− −
B x,f( x) , της f
C και τα σημεία
( )
−
Γ x,0 και ( )
Δ x,0 , όπου >
x 0 . Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του
05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 8 of 10
τετραπλεύρου ΑΒΓΔ γίνεται μέγιστο, όταν τα σημεία Α και Β ταυτίζονται με
τα σημεία καμπής της f
C .
(Μονάδες 8)
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση ( )
+∞ → 
f : 0, για την οποία ισχύει:
( )
− + ≤ −
y
2
x
y
xf(x) yf(y) ln x y
x
, για κάθε ( )
∈ +∞
x,y 0, .
Δ1. Να αποδείξετε ότι = +
c
f(x) lnx
x
, για κάθε >
x 0 .
(Μονάδες 5)
Δ2. Αν η f έχει ελάχιστο το 1, να αποδείξετε ότι =
c 1.
(Μονάδες 5)
Για =
c 1 :
Δ3. Να βρείτε την εφαπτομένη της f
C με τον μέγιστο συντελεστή
διεύθυνσης.
(Μονάδες 4)
Δ4. Να υπολογίσετε το όριο
→
=
 
− − ⋅ −
 
 
x 2
1
L lim
x
f(x) ln2 (x 2)
4
.
(Μονάδες 5)
Δ5. Αν >
α 2 , να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα ( )
∈ +
ξ α,α 2 τέτοιο,
ώστε:
= + +
5f(ξ) 2f(α 5) 3f(α)
(Μονάδες 6)
05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 9 of 10
05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 10 of 10

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου 2019 Μπαχαράκης
Διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου 2019 ΜπαχαράκηςΔιαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου 2019 Μπαχαράκης
Διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου 2019 Μπαχαράκης
 
2ο διαγώνισμα προσομοίωσης_2016_2017
2ο διαγώνισμα προσομοίωσης_2016_20172ο διαγώνισμα προσομοίωσης_2016_2017
2ο διαγώνισμα προσομοίωσης_2016_2017
 
5o προσομοιωτικό διαγώνισμα
5o προσομοιωτικό διαγώνισμα5o προσομοιωτικό διαγώνισμα
5o προσομοιωτικό διαγώνισμα
 
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο ΑνάλυσηςΤεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου 2019 - 20
Διαγώνισμα Γ Λυκείου 2019 - 20Διαγώνισμα Γ Λυκείου 2019 - 20
Διαγώνισμα Γ Λυκείου 2019 - 20
 
Διαγώνισμα στο κεφάλαιο 2ο: Διαφορικό Λογισμό
Διαγώνισμα στο κεφάλαιο 2ο: Διαφορικό ΛογισμόΔιαγώνισμα στο κεφάλαιο 2ο: Διαφορικό Λογισμό
Διαγώνισμα στο κεφάλαιο 2ο: Διαφορικό Λογισμό
 
Bmo 2017 greek_version
Bmo 2017 greek_versionBmo 2017 greek_version
Bmo 2017 greek_version
 
Themata diagonismatos prosomoiosis_2016
Themata diagonismatos prosomoiosis_2016Themata diagonismatos prosomoiosis_2016
Themata diagonismatos prosomoiosis_2016
 
Math epal 2014
Math epal 2014Math epal 2014
Math epal 2014
 
Κολέγιο Αθηνών (Μάιος 2015) διαγώνισμα προσομοίωσης
Κολέγιο Αθηνών (Μάιος 2015) διαγώνισμα προσομοίωσηςΚολέγιο Αθηνών (Μάιος 2015) διαγώνισμα προσομοίωσης
Κολέγιο Αθηνών (Μάιος 2015) διαγώνισμα προσομοίωσης
 
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....
 
Εκπαιδευτήρια Δούκα - Διαγώνισμα Προσομοίωσης Γ Λυκείου
Εκπαιδευτήρια Δούκα - Διαγώνισμα Προσομοίωσης Γ ΛυκείουΕκπαιδευτήρια Δούκα - Διαγώνισμα Προσομοίωσης Γ Λυκείου
Εκπαιδευτήρια Δούκα - Διαγώνισμα Προσομοίωσης Γ Λυκείου
 
2o διαγώνισμα στην Ευθεία από το Καλαμαρί
2o διαγώνισμα στην Ευθεία από το Καλαμαρί2o διαγώνισμα στην Ευθεία από το Καλαμαρί
2o διαγώνισμα στην Ευθεία από το Καλαμαρί
 
ιανουάριος 2015 τελικο
ιανουάριος 2015 τελικο ιανουάριος 2015 τελικο
ιανουάριος 2015 τελικο
 
Διαγώνισμα στη Γ Λυκείου έως ακρότατα
Διαγώνισμα στη Γ Λυκείου έως ακρόταταΔιαγώνισμα στη Γ Λυκείου έως ακρότατα
Διαγώνισμα στη Γ Λυκείου έως ακρότατα
 
θεματα προσομοιωσης γγεν - By askisiologio.gr
θεματα προσομοιωσης   γγεν - By askisiologio.grθεματα προσομοιωσης   γγεν - By askisiologio.gr
θεματα προσομοιωσης γγεν - By askisiologio.gr
 
Προσομοίωση Γ Λυκείου με απαντήσεις [2019]
Προσομοίωση Γ Λυκείου με απαντήσεις [2019]Προσομοίωση Γ Λυκείου με απαντήσεις [2019]
Προσομοίωση Γ Λυκείου με απαντήσεις [2019]
 
Τα διαγωνίσματα προσομοίωσης του "Είμαστε μέσα..."
Τα διαγωνίσματα προσομοίωσης του "Είμαστε μέσα..."Τα διαγωνίσματα προσομοίωσης του "Είμαστε μέσα..."
Τα διαγωνίσματα προσομοίωσης του "Είμαστε μέσα..."
 
Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύλης
Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύληςΕρωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύλης
Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύλης
 
9ο ΓΕΛ Περιστερίου διαγώνισμα Προσομοίωσης
9ο ΓΕΛ Περιστερίου διαγώνισμα Προσομοίωσης9ο ΓΕΛ Περιστερίου διαγώνισμα Προσομοίωσης
9ο ΓΕΛ Περιστερίου διαγώνισμα Προσομοίωσης
 

Similar to 2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη

Similar to 2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη (20)

Kakanos 4.4.2021 ekf
Kakanos 4.4.2021 ekfKakanos 4.4.2021 ekf
Kakanos 4.4.2021 ekf
 
Η εκδίκηση των αρχείων από τη Γ Λυκείου
Η εκδίκηση των αρχείων από τη Γ ΛυκείουΗ εκδίκηση των αρχείων από τη Γ Λυκείου
Η εκδίκηση των αρχείων από τη Γ Λυκείου
 
Δύο νέα διαγωνίσματα προσομοίωσης για τη Γ Λυκείου
Δύο νέα διαγωνίσματα προσομοίωσης για τη Γ ΛυκείουΔύο νέα διαγωνίσματα προσομοίωσης για τη Γ Λυκείου
Δύο νέα διαγωνίσματα προσομοίωσης για τη Γ Λυκείου
 
Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021
Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021
Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021
 
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
 
Them mat op_c_hmer_epan_170905
Them mat op_c_hmer_epan_170905Them mat op_c_hmer_epan_170905
Them mat op_c_hmer_epan_170905
 
Προσομοίωση Γ Λυκείου 2019
Προσομοίωση Γ Λυκείου 2019Προσομοίωση Γ Λυκείου 2019
Προσομοίωση Γ Λυκείου 2019
 
Themata panelladikon periigitis_new
Themata panelladikon periigitis_newThemata panelladikon periigitis_new
Themata panelladikon periigitis_new
 
27 επαναληπτικά θέματα (2017 2018)
27 επαναληπτικά θέματα (2017 2018)27 επαναληπτικά θέματα (2017 2018)
27 επαναληπτικά θέματα (2017 2018)
 
Nikos koumantos prosomoiosh_2021
Nikos koumantos prosomoiosh_2021Nikos koumantos prosomoiosh_2021
Nikos koumantos prosomoiosh_2021
 
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
 
Diagwnisma prosomoiwshs 2016
Diagwnisma prosomoiwshs 2016Diagwnisma prosomoiwshs 2016
Diagwnisma prosomoiwshs 2016
 
3o επαναληπτικό διαγώνισμα 2017
3o επαναληπτικό διαγώνισμα 20173o επαναληπτικό διαγώνισμα 2017
3o επαναληπτικό διαγώνισμα 2017
 
επαναληπτικές ασκήσεις 100+1
επαναληπτικές ασκήσεις 100+1επαναληπτικές ασκήσεις 100+1
επαναληπτικές ασκήσεις 100+1
 
Prosomiosi 4 2016_plus_lyseis
Prosomiosi 4 2016_plus_lyseisProsomiosi 4 2016_plus_lyseis
Prosomiosi 4 2016_plus_lyseis
 
5o επαναληπτικο διαγώνισμα
5o επαναληπτικο διαγώνισμα5o επαναληπτικο διαγώνισμα
5o επαναληπτικο διαγώνισμα
 
θέματα μαθηματικών ημερησίων ΓΕΛ και ΕΠΑΛ, πανελλαδικές εξετάσεις 2016
θέματα μαθηματικών ημερησίων ΓΕΛ και ΕΠΑΛ, πανελλαδικές εξετάσεις 2016θέματα μαθηματικών ημερησίων ΓΕΛ και ΕΠΑΛ, πανελλαδικές εξετάσεις 2016
θέματα μαθηματικών ημερησίων ΓΕΛ και ΕΠΑΛ, πανελλαδικές εξετάσεις 2016
 
Panellinies 2016-eniaio-mathkat 2016-e
Panellinies 2016-eniaio-mathkat 2016-ePanellinies 2016-eniaio-mathkat 2016-e
Panellinies 2016-eniaio-mathkat 2016-e
 
Them mat op_c_hmer_ns_160518
Them mat op_c_hmer_ns_160518Them mat op_c_hmer_ns_160518
Them mat op_c_hmer_ns_160518
 
Θέματα Μαθηματικά ΕΠΑΛ 2014
Θέματα Μαθηματικά ΕΠΑΛ 2014Θέματα Μαθηματικά ΕΠΑΛ 2014
Θέματα Μαθηματικά ΕΠΑΛ 2014
 

More from Μάκης Χατζόπουλος

More from Μάκης Χατζόπουλος (20)

Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
 
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
 
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛΠανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
 
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3οΞεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
 
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου 45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
 
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ ΓυμνασίουΚεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΕργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
 
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
 

Recently uploaded

εργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptx
εργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptxεργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptx
εργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptx
Effie Lampropoulou
 
2-5-2023 Σχέδιο Μαθήματος Εκπαιδευτικής Ρομποτικής.pdf
2-5-2023 Σχέδιο Μαθήματος Εκπαιδευτικής Ρομποτικής.pdf2-5-2023 Σχέδιο Μαθήματος Εκπαιδευτικής Ρομποτικής.pdf
2-5-2023 Σχέδιο Μαθήματος Εκπαιδευτικής Ρομποτικής.pdf
Φρόσω Μπούρα
 

Recently uploaded (20)

Σεβασμός .
Σεβασμός                                           .Σεβασμός                                           .
Σεβασμός .
 
Inclusion - Εργασία για τη συμπερίληψη 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Inclusion - Εργασία για τη συμπερίληψη 2ο Γυμνάσιο ΑλεξανδρούποληςInclusion - Εργασία για τη συμπερίληψη 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Inclusion - Εργασία για τη συμπερίληψη 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
 
εργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptx
εργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptxεργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptx
εργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptx
 
Παρουσίαση θεατρικού στην Τεχνόπολη. 2023-2024
Παρουσίαση θεατρικού στην Τεχνόπολη. 2023-2024Παρουσίαση θεατρικού στην Τεχνόπολη. 2023-2024
Παρουσίαση θεατρικού στην Τεχνόπολη. 2023-2024
 
Ποια είμαι εγώ; Ποιος είσαι εσύ;
Ποια είμαι εγώ;                 Ποιος είσαι εσύ;Ποια είμαι εγώ;                 Ποιος είσαι εσύ;
Ποια είμαι εγώ; Ποιος είσαι εσύ;
 
Η ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥΠΟΛΗ, ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ ΜΠΕΚΙΑΡΗ
Η ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥΠΟΛΗ,  ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ  ΜΠΕΚΙΑΡΗΗ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥΠΟΛΗ,  ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ  ΜΠΕΚΙΑΡΗ
Η ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥΠΟΛΗ, ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ ΜΠΕΚΙΑΡΗ
 
Μάχη του Πουατιέ,ΧΡΥΣΑΝΘΟΣ ΚΑΙ ΧΡΥΣΑ ΟΠΡΙΝΕΣΚΟΥ
Μάχη του Πουατιέ,ΧΡΥΣΑΝΘΟΣ ΚΑΙ ΧΡΥΣΑ ΟΠΡΙΝΕΣΚΟΥΜάχη του Πουατιέ,ΧΡΥΣΑΝΘΟΣ ΚΑΙ ΧΡΥΣΑ ΟΠΡΙΝΕΣΚΟΥ
Μάχη του Πουατιέ,ΧΡΥΣΑΝΘΟΣ ΚΑΙ ΧΡΥΣΑ ΟΠΡΙΝΕΣΚΟΥ
 
Safe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Safe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο ΑλεξανδρούποληςSafe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Safe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
 
Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΡΩΜΑΝΙΑΣ, ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣΓΡΑΜΜΟΖΗΣ
Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΡΩΜΑΝΙΑΣ, ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣΓΡΑΜΜΟΖΗΣΗ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΡΩΜΑΝΙΑΣ, ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣΓΡΑΜΜΟΖΗΣ
Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΡΩΜΑΝΙΑΣ, ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣΓΡΑΜΜΟΖΗΣ
 
Η ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ,ΜΠΟΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ - ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΘΩΜΑΣ
Η ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ,ΜΠΟΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ - ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΘΩΜΑΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ,ΜΠΟΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ - ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΘΩΜΑΣ
Η ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ,ΜΠΟΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ - ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΘΩΜΑΣ
 
ΙΣΤΟΡΙΑ Γ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 2ο
ΙΣΤΟΡΙΑ Γ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ  ΜΕΡΟΣ 2οΙΣΤΟΡΙΑ Γ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ  ΜΕΡΟΣ 2ο
ΙΣΤΟΡΙΑ Γ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 2ο
 
ΝΑΠΟΛΕΩΝ ΒΟΝΑΠΑΡΤΗΣ, ΜΑΡΙΟΣ ΚΟΝΤΟΒΟΥΝΗΣΙΟΣ- ΓΙΑΝΝΗΣΚΟΥΚΟΥΣΑΣ
ΝΑΠΟΛΕΩΝ ΒΟΝΑΠΑΡΤΗΣ, ΜΑΡΙΟΣ ΚΟΝΤΟΒΟΥΝΗΣΙΟΣ- ΓΙΑΝΝΗΣΚΟΥΚΟΥΣΑΣΝΑΠΟΛΕΩΝ ΒΟΝΑΠΑΡΤΗΣ, ΜΑΡΙΟΣ ΚΟΝΤΟΒΟΥΝΗΣΙΟΣ- ΓΙΑΝΝΗΣΚΟΥΚΟΥΣΑΣ
ΝΑΠΟΛΕΩΝ ΒΟΝΑΠΑΡΤΗΣ, ΜΑΡΙΟΣ ΚΟΝΤΟΒΟΥΝΗΣΙΟΣ- ΓΙΑΝΝΗΣΚΟΥΚΟΥΣΑΣ
 
Ρατσισμός, ορισμός, είδη, αίτια , συνέπειες
Ρατσισμός, ορισμός, είδη, αίτια , συνέπειεςΡατσισμός, ορισμός, είδη, αίτια , συνέπειες
Ρατσισμός, ορισμός, είδη, αίτια , συνέπειες
 
Φλωρεντία, ΔΑΝΑΗ ΠΥΡΠΥΡΗ- ΜΑΡΙΑΝΕΛΑ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΥ
Φλωρεντία, ΔΑΝΑΗ ΠΥΡΠΥΡΗ- ΜΑΡΙΑΝΕΛΑ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΥΦλωρεντία, ΔΑΝΑΗ ΠΥΡΠΥΡΗ- ΜΑΡΙΑΝΕΛΑ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΥ
Φλωρεντία, ΔΑΝΑΗ ΠΥΡΠΥΡΗ- ΜΑΡΙΑΝΕΛΑ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΥ
 
2-5-2023 Σχέδιο Μαθήματος Εκπαιδευτικής Ρομποτικής.pdf
2-5-2023 Σχέδιο Μαθήματος Εκπαιδευτικής Ρομποτικής.pdf2-5-2023 Σχέδιο Μαθήματος Εκπαιδευτικής Ρομποτικής.pdf
2-5-2023 Σχέδιο Μαθήματος Εκπαιδευτικής Ρομποτικής.pdf
 
Έμφυλα στερεότυπα
Έμφυλα                                       στερεότυπαΈμφυλα                                       στερεότυπα
Έμφυλα στερεότυπα
 
Βενετία, μια πόλη πάνω στο νερό, Βασιλική Μπράβου - Αποστολία Μπάρδα
Βενετία, μια πόλη πάνω στο νερό, Βασιλική Μπράβου - Αποστολία ΜπάρδαΒενετία, μια πόλη πάνω στο νερό, Βασιλική Μπράβου - Αποστολία Μπάρδα
Βενετία, μια πόλη πάνω στο νερό, Βασιλική Μπράβου - Αποστολία Μπάρδα
 
Ανακύκλωση - Κομποστοποίηση στο 56ο Γυμνάσιο Αθήνας
Ανακύκλωση - Κομποστοποίηση στο 56ο Γυμνάσιο ΑθήναςΑνακύκλωση - Κομποστοποίηση στο 56ο Γυμνάσιο Αθήνας
Ανακύκλωση - Κομποστοποίηση στο 56ο Γυμνάσιο Αθήνας
 
ΠΟΤΕ ΑΝΑΚΑΛΥΦΘΗΚΕ Η ΑΜΕΡΙΚΗ,ΦΙΛΩΝ-ΦΡΑΓΚΟΥ
ΠΟΤΕ ΑΝΑΚΑΛΥΦΘΗΚΕ Η ΑΜΕΡΙΚΗ,ΦΙΛΩΝ-ΦΡΑΓΚΟΥΠΟΤΕ ΑΝΑΚΑΛΥΦΘΗΚΕ Η ΑΜΕΡΙΚΗ,ΦΙΛΩΝ-ΦΡΑΓΚΟΥ
ΠΟΤΕ ΑΝΑΚΑΛΥΦΘΗΚΕ Η ΑΜΕΡΙΚΗ,ΦΙΛΩΝ-ΦΡΑΓΚΟΥ
 
ΥΓΡΟΝ ΠΥΡ, ΧΡΗΣΤΟΣ ΠΟΛΕΝΤΑΣ-ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΠΑΠΑΚΩΣΤΑΣ
ΥΓΡΟΝ ΠΥΡ, ΧΡΗΣΤΟΣ ΠΟΛΕΝΤΑΣ-ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΠΑΠΑΚΩΣΤΑΣΥΓΡΟΝ ΠΥΡ, ΧΡΗΣΤΟΣ ΠΟΛΕΝΤΑΣ-ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΠΑΠΑΚΩΣΤΑΣ
ΥΓΡΟΝ ΠΥΡ, ΧΡΗΣΤΟΣ ΠΟΛΕΝΤΑΣ-ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΠΑΠΑΚΩΣΤΑΣ
 

2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη

  • 1. ΒΑΣΙΛΗΣ ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ | ΦΑΝΗΣ ΜΑΡΓΑΡΩΝΗΣ ΜΑΪΟΣ 2021 ΔΥΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ
  • 2. Πρόλογος Η φετινή χρονιά φτάνει στο τέλος της. Μια χρόνια, κατά τη διάρκεια της οποίας δοκιμαστήκαμε όλοι, εκπαιδευτικοί, γονείς και μαθητές. Κλείνοντας αυτή την πορεία, θέλουμε να βοηθήσουμε, όπως μπορούμε και από τη δική μας θέση, τόσο τους συναδέλφους μαθηματικούς στο έργο τους, όσο και τα παιδιά στον αγώνα τους να κατακτήσουν τα όνειρά τους εν όψει των πανελλαδικών εξετάσεων. Με το σκοπό αυτό, λοιπόν, παρουσιάζουμε δύο διαγωνίσματα, ίσως τα τελευταία της χρονιάς. Προσπαθήσαμε να συμπεριλάβουμε τις θεμελιώδεις πλευρές της ύλης και βασικές μεθοδολογίες. Πιστεύουμε ότι κινηθήκαμε στο συχνά αποκαλούμενο ως «πνεύμα των εξετάσεων», αν και αυτό αφενός είναι εκ των πραγμάτων μεταβλητό, αφετέρου κρίνεται εκ του αποτελέσματος και από τους αποδέκτες της εργασίας μας. Ελπίζουμε η προσπάθειά μας να φανεί χρήσιμη και ευχόμαστε επιτυχία. Βασίλης Παπαδάκης Φάνης Μαργαρώνης 05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 1 of 10
  • 3. 1o Κριτήριο Αξιολόγησης ΘΕΜΑ Α Α1. Αν f και g είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα, τότε τι ονομάζουμε σύνθεση της f με την g; (Μονάδες 4) Α2. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα ( ) α,  β με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του o x , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f'(x) διατηρεί πρόσημο στο ( ) ( )  0 0 α, x x ,  β , τότε το ( ) 0 f x δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο ( ) α,  β . (Μονάδες 5) Α3. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις: α) Αν f C είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f, τότε το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο των τεταγμένων της f C . β) Για οποιαδήποτε συνάρτηση f που είναι 1 – 1 ισχύει ότι οποιαδήποτε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ακριβώς ένα σημείο. γ) Ισχύει ότι → x 0 lim − συνx 1 x →−∞ = x lim       x e 3 . δ) Για οποιοδήποτε ∈* κ , με κ άρτιο, ισχύει ότι →−∞ = +∞ κ x lim x . ε) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο     α,  β και παραγωγίσιμη στο (α,  β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ∈ ξ (α,  β), ώστε ( )− = − f f(β) f' α (ξ) α β . (Μονάδες 10) Α4. Δίνεται η πρόταση: «Αν ισχύει ότι → =  o x x lim f(x) και → = o x x lim g(x) m, όπου ∈   ,m και ισχύει ( ) < f x g(x) κοντά στο o x , τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει <  m .» α) Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) την παραπάνω πρόταση. 05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 2 of 10
  • 4. β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 2+4) ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνεχής συνάρτηση −  < − =  ≥ + −  α x 2 , αν x 1 e f(x) , αν x 1 x (α 3)x . Β1. Να αποδείξετε ότι = α 1. (Μονάδες 7) Β2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1. (Μονάδες 6) Β3. Να ορίσετε τη συνάρτηση −1 f . (Μονάδες 7) Β4. Να υπολογίσετε το όριο →+∞ − x f(x) lim f( x) . (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Γ Δίνεται συνάρτηση +∞ →  f :(2, ) , για την οποία ισχύουν: − = ⋅ − f(x) 2 1 f'(x) e (x 2) για κάθε x>2 και ( ) = f 3 ln2 Γ1. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση = − − f(x) 1 g(x) e x 2 είναι σταθερή. (Μονάδες 3) β) Να αποδείξετε ότι − = − x 1 f(x) ln x 2 , για x>2. (Μονάδες 3) Γ2. α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και την κυρτότητα. (Μονάδες 4) β) Να αποδείξετε ότι − + ≤ < − 3 x 1 ln2 f(x) 2 x 2 . (Μονάδες 4) 05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 3 of 10
  • 5. Γ3. Ένα σώμα κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της f. Τη χρονική στιγμή που το σώμα βρίσκεται στο σημείο ( ) A 3,f(3) , η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό 2 μονάδες/s. Στη χρονική στιγμή αυτή να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει με τον άξονα x’x η εφαπτομένη της Cf στο σημείο που βρίσκεται το σώμα. (Μονάδες 6) Γ4. Να αποδείξετε ότι ( ) →+∞ + = x x x lim f e λ 0 , για κάθε > λ 0 . (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Δ Οι κάτοικοι ενός νησιωτικού χωριού θέλουν να κατασκευάσουν μια γέφυρα ανάμεσα σε δύο παραλίες. Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται η κάτοψη της περιοχής. Η ακτογραμμή Β επαληθεύει την εξίσωση y x 1 = + , ενώ η ακτογραμμή Α επαληθεύει την εξίσωση y lnx = . Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση d τυχαίου σημείου Μ της ακτογραμμής Α, από την ακτογραμμή Β, σε σχέση με το x, είναι: x lnx 1 d(x) , x 0 2 − + = > . (Μονάδες 7) 05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 4 of 10
  • 6. Δ2. Να βρείτε σε ποιο σημείο της ακτογραμμής Α η απόσταση d γίνεται ελάχιστη, ώστε να επιλεγεί ως σημείο οικοδόμησης της γέφυρας. (Μονάδες 7) Δ3. Μια βάρκα με συντεταγμένες ( ) K 0,lnx κινείται επί του άξονα y’y, από το σημείο ( ) O 0,0 προς την ακτογραμμή Β, με σταθερή ταχύτητα 1 μ/ sec e . Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου KOM  ως προς το χρόνο, τη χρονική στιγμή που η βάρκα θα φτάσει την ακτή. (Μονάδες 11) 05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 5 of 10
  • 7. 2ο Κριτήριο Αξιολόγησης ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση = ∈ −   α f(x) x , α , είναι παραγωγίσιμη στο ( ) +∞ 0, και ισχύει − = α 1 f'(x) αx . (Μονάδες 6) Α2. Πότε μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα     α,β του πεδίου ορισμού της; (Μονάδες 3) Α3. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Έστω μια συνάρτηση f κυρτή σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της. Τότε θα ισχύει > f''(x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ». α)Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα (α). (Μονάδες 1+3) Α4. Αν = − 2 3 f(x) (x 1 ) τότε η έβδομη παράγωγος αυτής στο 0 ισούται με: Α) 1 Β) -1 Γ) 0 Δ) 27 Ε) δεν υπάρχει (Μονάδες 3) Α5. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και υπάρχει ∈ o x (α,β) τέτοιο, ώστε = o f(x ) 0 , τότε αναγκαστικά θα είναι ⋅ < f(α) f(β) 0. β) Μια συνάρτηση f : A→R είναι συνάρτηση «1-1», όταν για κάθε ∈ 1 2 x , x Α ισχύει η συνεπαγωγή: αν x1 = x2 , τότε f(x1) = f(x2). γ) Αν → < 0 x x lim f(x) 0 , τότε < f(x) 0 κοντά στο x0 . (Μονάδες 9) 05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 6 of 10
  • 8. ΘΕΜΑ Β Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. Β1. Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια, αιτιολογώντας την απάντησή σας. →− = x 1 1 Κ lim f(x) , → = x 6 2 Λ lim f(x) , →+∞ = x 3 M lim f(x) , →− = x 2 4ημx N lim f(x) (Μονάδες 4) Β2. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής. (Μονάδες 2) Β3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει τουλάχιστον ένα κοινό σημείο ( ) o o Σ x ,f(x ) με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης = 2 φ(x) x , με ( ) ∈ o x 1,4 . (Μονάδες 5) 05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 7 of 10
  • 9. Β4. Θεωρούμε, επιπλέον, την παραγωγίσιμη συνάρτηση = g(x) f(x) , με πεδίο ορισμού ( ) = − g D 2,1 . α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης −1 g . (Μονάδες 4) β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης −1 g με τους άξονες x’x και y’y. (Μονάδες 6) γ) Να αποδείξετε ότι η Cg δέχεται εφαπτομένη η οποία σχηματίζει με τον άξονα x’x γωνία 45ο. (Μονάδες 4) ΘΕΜΑ Γ Δίνεται συνεχής συνάρτηση →   f : για την οποία ισχύουν: = f(0) 1 και ⋅ = 2 4x 2 e f (x) 1 , για κάθε ∈  x Γ1. Να αποδείξετε ότι − = 2 2x f(x) e , για κάθε ∈  x . (Μονάδες 8) Γ2. α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. (Μονάδες 2) β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. (Μονάδες 2) γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο −∞ και στο +∞ . (Μονάδες 2) δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. (Δίνεται ότι  1 0,6 e ). (Μονάδες 3) Γ3. Θεωρούμε τα σημεία ( ) A x,f(x) και ( ) − − B x,f( x) , της f C και τα σημεία ( ) − Γ x,0 και ( ) Δ x,0 , όπου > x 0 . Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του 05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 8 of 10
  • 10. τετραπλεύρου ΑΒΓΔ γίνεται μέγιστο, όταν τα σημεία Α και Β ταυτίζονται με τα σημεία καμπής της f C . (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση ( ) +∞ →  f : 0, για την οποία ισχύει: ( ) − + ≤ − y 2 x y xf(x) yf(y) ln x y x , για κάθε ( ) ∈ +∞ x,y 0, . Δ1. Να αποδείξετε ότι = + c f(x) lnx x , για κάθε > x 0 . (Μονάδες 5) Δ2. Αν η f έχει ελάχιστο το 1, να αποδείξετε ότι = c 1. (Μονάδες 5) Για = c 1 : Δ3. Να βρείτε την εφαπτομένη της f C με τον μέγιστο συντελεστή διεύθυνσης. (Μονάδες 4) Δ4. Να υπολογίσετε το όριο → =   − − ⋅ −     x 2 1 L lim x f(x) ln2 (x 2) 4 . (Μονάδες 5) Δ5. Αν > α 2 , να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα ( ) ∈ + ξ α,α 2 τέτοιο, ώστε: = + + 5f(ξ) 2f(α 5) 3f(α) (Μονάδες 6) 05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 9 of 10
  • 11. 05.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 10 of 10