This document discusses finding the tangent line to the graph of a function f. It outlines the steps as: 1) finding the domain of f, 2) finding the derivative of f, and 3) considering cases based on whether the point of tangency (x0, f(x0)) is known or unknown. If the point is known, the slope of the tangent line is f'(x0) and the equation can be found. If unknown, additional information is needed, such as if the line is parallel/perpendicular to another line or passes through a specific point. The derivative f'(x0) and this extra information can be used to find the equation of the tangent line. Care must be taken to understand
This document discusses finding the tangent line to the graph of a function f. It outlines the steps as: 1) finding the domain of f, 2) finding the derivative of f, and 3) considering cases based on whether the point of tangency (x0, f(x0)) is known or unknown. If the point is known, the slope of the tangent line is f'(x0) and the equation can be found. If unknown, additional information is needed, such as if the line is parallel/perpendicular to another line or passes through a specific point. The derivative f'(x0) and this extra information can be used to find the equation of the tangent line. Care must be taken to understand
Μαθηματικά Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι και κυρτότητα και σημεία καμπήςBillonious
Ένα διαγώνισμα που καλύπτει ύλη από τα κεφάλαι των συναρτήσεων (ολόκληρο) και του διαφορικού λογισμού (όλο εκτός από τον ρυθμό μεταβολή και τη χάραξη γραφικής παράστασης συνάρτησης).
Καλή επιτυχία! :)
This document is a textbook on functions, derivatives, and integrals for high school mathematics in Greece (ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ). It contains 1,600 exercises on these topics across 23 chapters. The chapters cover concepts like the definition of a function, composition of functions, limits, continuity, derivatives, tangent lines, maxima and minima, integrals, and more. The exercises find domains of functions, evaluate functions, solve equations involving functions, and determine function formulas based on given properties. The textbook was edited by Nikos K. Raptis and aims to help students learn
Στο παρόν αρχείο παρουσιάζονται 20 επαναληπτικά θέματα στα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ τάξης Λυκείου. Τα θέματα είναι αυξημένης δυσκολίας και συνοδεύονται από υποδειγματικές αναλυτικές λύσεις.
Η συγγραφική ομάδα αποτελείται από μαθηματικούς από διάφορα μέρη της Ελλάδας, που συναντιούνται διαδικτυακά μέσα από το blog http://lisari.blogspot.gr.
Ελπίζουμε ότι ο πλούτος σκέψεων και ιδεών, η πρωτοτυπία των περισσοτέρων θεμάτων, η κομψότητα των λύσεων και γενικά το υψηλό επίπεδο, θα συντελέσουν στο να αποβεί αυτή η εργασία ένα χρήσιμο και ευχάριστο εγχειρίδιο για διδάσκοντες και διδασκόμενους.
Οι λύσεις των θεμάτων είναι προτεινόμενες και όχι περιοριστικές ως προς την αντιμετώπιση τους. Οποιαδήποτε σχόλια, παρατηρήσεις, διορθώσεις και βελτιωτικές προτάσεις είναι ευπρόσδεκτα στην ηλεκτρονική διεύθυνση lisari.blogspot@gmail.com.
Μαθηματικά Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι και κυρτότητα και σημεία καμπήςBillonious
Ένα διαγώνισμα που καλύπτει ύλη από τα κεφάλαι των συναρτήσεων (ολόκληρο) και του διαφορικού λογισμού (όλο εκτός από τον ρυθμό μεταβολή και τη χάραξη γραφικής παράστασης συνάρτησης).
Καλή επιτυχία! :)
This document is a textbook on functions, derivatives, and integrals for high school mathematics in Greece (ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ). It contains 1,600 exercises on these topics across 23 chapters. The chapters cover concepts like the definition of a function, composition of functions, limits, continuity, derivatives, tangent lines, maxima and minima, integrals, and more. The exercises find domains of functions, evaluate functions, solve equations involving functions, and determine function formulas based on given properties. The textbook was edited by Nikos K. Raptis and aims to help students learn
Στο παρόν αρχείο παρουσιάζονται 20 επαναληπτικά θέματα στα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ τάξης Λυκείου. Τα θέματα είναι αυξημένης δυσκολίας και συνοδεύονται από υποδειγματικές αναλυτικές λύσεις.
Η συγγραφική ομάδα αποτελείται από μαθηματικούς από διάφορα μέρη της Ελλάδας, που συναντιούνται διαδικτυακά μέσα από το blog http://lisari.blogspot.gr.
Ελπίζουμε ότι ο πλούτος σκέψεων και ιδεών, η πρωτοτυπία των περισσοτέρων θεμάτων, η κομψότητα των λύσεων και γενικά το υψηλό επίπεδο, θα συντελέσουν στο να αποβεί αυτή η εργασία ένα χρήσιμο και ευχάριστο εγχειρίδιο για διδάσκοντες και διδασκόμενους.
Οι λύσεις των θεμάτων είναι προτεινόμενες και όχι περιοριστικές ως προς την αντιμετώπιση τους. Οποιαδήποτε σχόλια, παρατηρήσεις, διορθώσεις και βελτιωτικές προτάσεις είναι ευπρόσδεκτα στην ηλεκτρονική διεύθυνση lisari.blogspot@gmail.com.
Επώνυμες Ασκήσεις σε μια διδακτική Ώρα για την καλύτερη προετοιμασία των μαθητών & μαθητριών της Γ΄. Περιέχει Υποδείξεις των ασκήσεων και μικρό Συνταγολόγιο ! Για ενδοσχολική χρήση (ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΠΕΛΛΑΣ)
Μαθηματικά επαναληπτικό διαγώνισμα θεωριας μέχρι και εξίσωση εφαπτομένηςBillonious
Ένα μικρό διαγώνισμα με έξι θέματα θεωρίας, μέχρι και το κεφάλαιο της εξίσωσης εφαπτομένης παραγωγίσιμης συνάρτησης. Για λόγους επανάληψης έχει ζητηθεί να αιτιολογηθούν όλες οι απαντήσεις (και τα Σ-Λ).
Καλή επιτυχία! :)
This document contains a mathematics exam for high school students in Greece. It is divided into 4 sections with multiple questions in each section. The questions cover topics related to functions, limits, derivatives, and integrals. Some questions ask students to prove statements, find domains of functions, determine if functions are injective or have critical points. The document is 3 pages long and aims to test students' understanding of key concepts in calculus and mathematical analysis.
This document contains a mathematics exam with 4 problems (Themes A, B, C, D) involving functions, derivatives, monotonicity, convexity, extrema, asymptotes and limits.
Theme A involves properties of differentiable functions, the definition of the derivative, and Rolle's theorem. Theme B analyzes the monotonicity, convexity, asymptotes and graph of a given function.
Theme C proves properties of a continuous, monotonically increasing function and finds extrema of related functions. Theme D proves properties of a power function and its relation to a given line, defines a new function, and proves monotonicity and existence of a single real root for a polynomial equation.
1. Φροντιστήριο 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
[1]
5o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) ln=f x x , *
∈ℝx είναι παραγωγίσιμη στο
*
ℝ και ισχύει:
( ) 1
ln ′ =x
x
7 μονάδες
Α2. Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ ],α β ;
4 μονάδες
Α3. Να γράψετε στο τετράδιο σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
Στη συνέχεια να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : →ℝ ℝf με ′f γνησίως αύξουσα στο ℝ. Αν
η εφαπτομένη της fC στο σημείο με τετμημένη 0 1=x έχει εξίσωση 2 1= −y x ,
τότε η ανισότητα ( ) 2 1> −f x x
α. ισχύει για κάθε ∈ℝx
β. ισχύει για κάθε { }1∈ −ℝx
γ. ισχύει για κάθε ( ],1∈ −∞x
δ. ισχύει για κάθε [ )1,∈ +∞x
ε. είναι αδύνατη στο ℝ
4 μονάδες
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό, αν η
πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Για κάθε ∈ℝx ισχύει ότι >x xηµ
β) Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο 0x του πεδίου
ορισμού της, τότε δεν μπορεί να είναι και παραγωγίσιμη στο 0x
2. Φροντιστήριο 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
[2]
γ) Αν δύο μεταβλητά μεγέθη ,x y συνδέονται με τη σχέση ( )=y f x , όταν η
συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής
του y ως προς το x στο σημείο 0x την παράγωγο ( )0
′f x
δ) Αν για τη συνάρτηση f ισχύει το Θεώρημα Rolle στο διάστημα [ ],α β , τότε
η γραφική της παράσταση έχει σε ένα τουλάχιστον σημείο οριζόντια εφαπτομένη
ε) Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια ( )
0
lim−
→x x
f x , ( )
0
lim+
→x x
f x ισούται με ∈ℓ ℝ ,
τότε η ευθεία 0=x x λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης
της f
10 μονάδες
ΘΕΜΑ B
Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) = x
g x e και ( ) 1= +h x x
B1. Να ορίσετε τη συνάρτηση =f g h
6 μονάδες
Αν ( ) 1+
= x
f x e , 1≥ −x , τότε:
B2. Να βρείτε τη τιμή του πραγματικού αριθμού α ώστε συνάρτηση
( ) ( )1
1 1+
= ⋅ + −x
F x e xα να είναι αρχική της συνάρτησης f
6 μονάδες
Β3. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( )
0
1−
Ι = ∫ f x dx
6 μονάδες
B4. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε την
αντίστροφή της 1−
f
7 μονάδες
3. Φροντιστήριο 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
[3]
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : →ℝ ℝf με συνεχή πρώτη παράγωγο,
( )1 =f e και τέτοια, ώστε να ισχύει ( )
1
, 0
1 , 0
−
≠
′ =
=
x
e
x
f x x
x
Γ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
5 μονάδες
Γ2. Να αποδείξετε ότι:
α) η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο 0 0=x (2 μονάδες)
β) η f είναι κυρτή στο ℝ (5 μονάδες)
7 μονάδες
Γ3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης f , την εφαπτομένη της στο σημείο ( )( )1, 1Μ f και
την ευθεία 0=x
7 μονάδες
Γ4. Να αποδείξετε ότι ( )lim
→+∞
= +∞
x
f x (3 μονάδες) και στη συνέχεια να βρείτε το
( )
2
( ) 1
lim
2017→+∞
+
+x
x f x
x
(3 μονάδες)
6 μονάδες
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση [ ): 0,+∞ → ℝf , για την οποία ισχύουν:
● ( ) ( ) ( )
3
2
0
1
9
′ − = ∫xf x f x x f t dt , για κάθε 0>x
● ( )1 1=f
Δ1. Να αποδείξετε ότι ( )
3
0
9=∫ f t dt (5 μονάδες) και στη συνέχεια να βρείτε τον
τύπο της συνάρτησης f (2 μονάδες)
7 μονάδες
4. Φροντιστήριο 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
[4]
Έστω ότι ( ) 2
=f x x , 0≥x . Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση ( ): 0,+∞ → ℝg με
( ) 2
ln= −g x x
Δ2. α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση g είναι κυρτή ή κοίλη
και να προσδιορίσετε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της g
3 μονάδες
β) Να αποδείξετε ότι ( ) ( )2
ln 1 2 ln− > −x x x e x , για κάθε >x e
5 μονάδες
Δ3. Θεωρούμε σημείο Α στη γραφική παράσταση της f με τετμημένη 0x και
σημείο Β στη γραφική παράσταση της g με την ίδια τετμημένη. Να αποδείξετε
ότι υπάρχει μοναδικό 0
1
,1
∈
x
e
τέτοιο, ώστε η απόσταση ΑΒ να γίνεται
ελάχιστη.
6 μονάδες
Δ4. Να υπολογίσετε το
( )2
2
1
lim
→+∞
⋅
x
f x
x xν
ηµ για τις διάφορες τιμές του
ακεραίου ν
4 μονάδες
Εύχομαι επιτυχία στις εξετάσεις σας!!!
Θανάσης Κοπάδης
Μαθηματικός