Αποκλειστικά για το lisari.blogspot.gr

1. Σχολικό έτος 2017 - 2018
Τάξη : Γ΄ Λυκείου
Μάθημα : Μαθηματικά προσανατολισμού
Διαγώνισμα εξοικείωσης περιόδου Μαΐου
Θέμα Α ( μονάδες: 7+(2+2)+4+(2χ5) )
Α1. Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο  α,β και G μια αρχική της f στο  α,β . Να
αποδείξετε ότι :
β
α
f (x)dx G(β) G(α) 
A2. Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό :
« Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο *R και ισχύει f '(x) 0 για κάθε x *R
τότε η συνάρτηση f είναι σταθερή στο *R »
i) Να χαρακτηρίσετε την παραπάνω πρόταση με ΣΩΣΤΟ η ΛΑΘΟΣ.
ii) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
A3. Πότε το σημείο  0 0x ,f(x )Α λέγεται σημείο καμπής μιας συνάρτησης f ;
A4. Nα χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ
α) Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και δεν
είναι 1-1 τότε υπάρχει 0x Δ στο οποίο η γραφική παράσταση της έχει
οριζόντια εφαπτομένη.
β) Για οποιαδήποτε συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα  α,β με f (α) f (β) 0 
ισχύει ότι η εξίσωση f (x) 0 δεν έχει ρίζα στο διάστημα  α,β
02.05.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 4

2. γ) Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση 1
f 
και η γραφική παράσταση της f έχει κοινό
σημείο Α με την ευθεία y x , τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική
παράσταση της 1
f 
δ) Οι ρητές συναρτήσεις
 
 
P x
Q x
, με βαθμό αριθμητή  P x μεγαλύτερο τουλάχιστον
κατά 2 του βαθμού του παρονομαστή, δεν έχουν πλάγιες ασύμπτωτες.
ε) Έστω f μία ορισμένη και συνεχής συνάρτηση στο [α,β]
Τότε η αριθμητική τιμή του  
β
α
f x dx είναι ίση με το άθροισμα των εμβαδών
των χωρίων που περικλείονται από τη γραφική παράσταση της f και τον άξονα
x x και είναι πάνω από τον άξονα x x , μείον το άθροισμα των εμβαδών των
χωρίων που περικλείονται από τη γραφική παράσταση της f τον άξονα x x και
είναι κάτω από αυτόν.
Θέμα Β ( μονάδες: 8+4+6+7)
Θεωρούμε τη συνάρτηση  f x x ln x , x>0
Β1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία , την κυρτότητα και να βρείτε τα
τοπικά της ακρότατα και τα σημεία καμπής της .
Β2. Έχει η εξίσωση  
1
2
f x 2e

  λύση στο  0, ;
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Β3. Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f δέχεται κατακόρυφες ασύμπτωτες.
Β4. Θεωρούμε τη συνάρτηση    g x xf x , x>0 . Να βρείτε το εμβαδόν του
χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g τον άξονα x x και
τις ευθείες
1
x , x=1
2

02.05.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 4

3. Θέμα Γ( μονάδες: 6+7+6+6)
Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το  0, για την οποία ισχύει:
  f x 1 x xln x  για κάθε  x 0, 
Γ1. Να αποδείξετε ότι  
   
x ln x
, x 0,1 1,
f x 1 x
1 , x=1

  
 

και ότι  f x 0 για κάθε x 0
Γ2. Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει κρίσιμα σημεία
Γ3. Έστω Ω το χωρίο που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f τον άξονα
x x και τις ευθείες x 2,x 3  . Αν Ε(Ω) το εμβαδόν του παραπάνω χωρίου Ω ,
να αποδείξετε ότι:
 ln 4 E Ω ln3 3 
Γ4. Να λυθεί στο διάστημα  0, η εξίσωση:
     2 3 4
2f x f x f x 
Θέμα Δ( μονάδες: (3+2)+8+6+6)
Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g : R R με  f 1 1 . H σύνθεση της
συνάρτησης g με την f είναι συνάρτηση 1-1, με  g 0 0 και ισχύει:
        2
g x x f x g x f x x 0      για κάθε xR .
Δ1. Να αποδείξετε ότι:
ι. η συνάρτηση g είναι 1-1
ιι.     2
xf x f x x    για κάθε    x ,0 0,  
Δ2. Να αποδείξετε ότι   2
f x 2x x , x  R
Δ3. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και
χωρίζει το χωρίο που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f
και τον άξονα x x σε δύο ισεμβαδικά χωρία.
02.05.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 4

4. Δ4. Θεωρούμε το σημείο  A κ,0 με 0 κ 1  , και το σημείο Β του άξονα x x ώστε
το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ να έχει μέσο το σημείο Ε(1,0)
Αν τα σημεία Γ, Δ ανήκουν στη γραφική παράσταση της f ώστε το ορθογώνιο
ΑΒΓΔ να είναι εγγεγραμμένο μεταξύ της γραφικής παράστασης της f και του
άξονα x x , να βρείτε για ποια τιμή του κ με 0 κ 1  το εμβαδόν του ορθογωνίου
ΑΒΓΔ γίνεται μέγιστο.
καλή επιτυχία
Μαρούσι 30 – 04 - 2018
Ο Διευθυντής Οι καθηγητές
02.05.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 4