Διαγώνισμα_προσομοίωσης_2016_2017

1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ
ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ (Σε όλη την ύλη)
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα ,α β 
  
. Αν G είναι
μια παράγουσα της f στο ,α β 
 
, να αποδείξετε ότι:
( ) ( ) ( )f t dt G G
β
α
β α= −∫ . (Μονάδες 10)
Α2. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A. Τι ονομάζουμε τοπικό
ελάχιστο της f στο ox A∈ ; (Μονάδες 5)
Α3. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό(Σ),
αν είναι σωστή, ή με Λάθος(Λ), αν είναι λανθασμένη:
1. Αν lim ( )
ox x
f x→
= , limg( )
ox x
x m→
= , , m R∈ και ( ) ( )f x g x< κοντά
στο ox τότε m< .
2. Αν οι συναρτήσεις ,f g είναι συνεχείς στο ox τότε και η σύνθεσή
τους g f είναι συνεχής στο ox .
3. Αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο ,α β 
 
με ( ) ( )f fβ α< ,
τότε υπάρχει ( ),ox α β∈ τέτοιο, ώστε '( ) 0of x < .
4. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ' ένα διάστημα ( ),α β και
( ),ox α β∈ . Αν η ''f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του ox τότε το
( ), ( )o oA x f x είναι σημείο καμπής.
5. Μία παράγουσα της ( ) 1f x
x
= όταν ( )0,x∈ +∞ , είναι η F(x) lnx=
(Μονάδες 10)
Σελίδα 1 από 4

2. ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση
( )2 1 2
( )
2
x x
f x
x
α β+ + + −
=
−
με , Rα β∈ και
2
lim ( ) 5
x
f x
→
=
Β1. Να δείξετε ότι 0α = και 4β = − . (Μονάδες 7)
Β2. Να δείξετε ότι υπάρχει ( )0,1∈ξ τέτοιο ώστε:
( ) ( ) 4 12  
  
  
− + = +ξ ξ ξ ξ ξf f (Μονάδες 5)
Β3. Έστω η συνάρτηση ( )( ) x
f xg x
e
= , 2x<
i) Αν η εξίσωση εφαπτομένης της gC στο σημείο ( ),o ox g x 
 
 
Α διέρχεται
από το σημείο ( )1, 0 να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του
A. (Μονάδες 6)
ii) Ν' αποδείξετε ότι ( ) 2g x e≤ για κάθε 2x< (Μονάδες 7)
Σελίδα 2 από 4

3. ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται συνάρτηση f η οποία ορίζεται στο 3, 3 
 
− με (0) 0f = . Αν η
γραφική παράσταση της 'f είναι η παρακάτω:
Γ1. α) Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως
αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη και τις θέσεις τοπικών
ακρότατων και σημείων καμπής. (Μονάδες 6)
β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f . (Μονάδες 3)
Γ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2( ) 1f x x= − έχει το πολύ μία λύση στο
διάστημα 1, 3
2
 
 
  
. (Μονάδες 4)
Γ3. Αν ισχύει ( )
( )2
f x
x f x
x
⋅ =−
′
′ για κάθε )3,0x 

∈ − ή (0,3x 

∈ , να βρείτε
τον τύπο της συνάρτησης f . (Μονάδες 5)
Γ4. Αν 2( ) ln( 1)f x x= + να υπολογίσετε το άθροισμα ολοκληρωμάτων:
( )
0 2 2
1
01
'( ) x f x dxf x x dx − 
 
 
−
−− +∫∫ (Μονάδες 7)
Σελίδα 3 από 4

4. ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση :f R R→ , η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, με
συνεχή την δεύτερη παράγωγο και τέτοια ώστε:
 ( )0 3f =  '(1) (2) (1)f f f> −
 ''( ) 0f x ≠ , για κάθε x R∈ 
( ) 2
2
3
lim 1
2
x
x
f x e
x
+
→−
− ⋅
= −
+
Να αποδείξετε ότι :
Δ1. '( 2) 2f − = (Μονάδες 5)
Δ2. η συνάρτηση f είναι κοίλη και να λύσετε την εξίσωση
2 2 22ln 1 2 2 2 2 ln 2 1
        
                 
+ + + + = + + + + +f x f x x f x x f x x
(Μονάδες 5)
Δ3. η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό μέγιστο σε σημείο ( )2, 0ox ∈ −
(Μονάδες 6)
Δ4. Έστω επιπλέον η παραγωγίσιμη συνάρτηση :g R R→ , η οποία έχει
συνεχή την 1η
της παράγωγο και ισχύουν οι σχέσεις:
(0) 1= −g και
3 2
0
'( ) 2 3
 
  
    
 
− + ≥∫
xf g x x e dx
τότε να δείξετε ότι :
i)
3 2
0
'( ) 2 0 
  
− + =∫
xg x x e dx και (Μονάδες 5)
ii) 2( ) −= xg x x e (Μονάδες 4)
Καλή Επιτυχία!
Σελίδα 4 από 4