SlideShare a Scribd company logo
Εργασία τμήματος Α1 - 3ο ΓΕΛ Ν. Κηφισιάς
Απόδειξη όλων των Ιδιοτήτων και Κριτηρίων των τετράπλευρων
Παραλληλόγραμμο – Ορθογώνιο – Ρόμβος – Τετράγωνο
Μαθητές που συμμετείχαν κατά αλφαβητική σειρά:
• Αναστοπούλου Κάλλια
• Αραποστάθη Θωμαΐς
• Ευαγγελοπούλου Ηλιάνα
• Καρακάσης Κλεάνθης
Συντονισμός: Χατζόπουλος Μάκης
Τετράπλευρα Ιδιότητες Κριτήρια
(ορισμός)
Ιδ. 1η: Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες
Ιδ. 2η: Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες
Ιδ. 3η: Οι διαδοχικές γωνίες είναι
παραπληρωματικές
Ιδ. 4η: Οι διαγώνιοι διχοτομούνται
Κρ. 1ο: Τετράπλευρο + απέναντι πλευρές παράλληλες
Κρ. 2ο: Τετράπλευρο + απέναντι πλευρές είναι ίσες
Κρ. 3ο: Τετράπλευρο + απέναντι γωνίες ίσες
Κρ. 4ο: Τετράπλευρο + δύο απέναντι πλευρές ίσες και
παράλληλες
Κρ. 5ο: Τετράπλευρο + οι διαγώνιοί του να
διχοτομούνται
(ορισμός)
Ιδ. 1η: Όλες τις ιδιότητες του παρ/μου
Ιδ. 2η: Όλες οι γωνίες του είναι ορθές
Ιδ. 3η: Οι διαγώνιοί του είναι ίσες
Κρ. 1ο: Παρ/μο + μία γωνία ορθή
Κρ. 2ο: Παρ/μο + οι διαγώνιοί του ίσες
Κρ. 3ο: Τετράπλευρο + τρεις γωνίες ορθές
Κρ. 4ο: Τετράπλευρο + όλες οι γωνίες του ίσες
(ορισμός)
Ιδ. 1η: Όλες τις ιδιότητες του παρ/μου
Ιδ. 2η: Όλες οι πλευρές του είναι ίσες
Ιδ. 3η: Οι διαγώνιοί του τέμνονται
κάθετα
Ιδ. 4η: Οι διαγώνιοί του διχοτομούν τις
γωνίες των κορυφών
Κρ. 1ο: Παρ/μο + δύο διαδοχικές πλευρές ίσες
Κρ. 2ο: Παρ/μο + οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα
Κρ. 3ο: Παρ/μο + μία διαγώνιός του διχοτομεί μία γωνία
του
Κρ. 4ο: Τετράπλευρο + όλες οι πλευρές ίσες
(ορισμός)
Ιδ. 1η: Όλες τις ιδιότητες του παρ/μου
Ιδ. 2η: Όλες τις ιδιότητες του
ορθογωνίου
Ιδ. 3η: Όλες τις ιδιότητες του ρόμβου
Αρκεί να αποδείξουμε
• ένα κριτήριο από το ορθογώνιο και
• ένα κριτήριο από το ρόμβο
(Το τετράγωνο έχει συνολικά 16 κριτήρια)
22.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 1 of 11
… αφιερωμένο στους μαθητές που μοχθούν,
προσπαθούν και δεν παραιτούνται
Κηφισιά 21/3/2021
22.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 2 of 11
Αποδείξεις
Α) Παραλληλόγραμμο
Ιδ. 1η: Θα αποδείξουμε ότι στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες.
Θ.δ.ο: ΑΒ = ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ
Βοηθητική ευθεία: Φέρνουμε τη μία διαγώνιο του
παραλληλογράμμου έστω την ΒΔ.
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ. Έχουμε,
• ΒΔ = ΒΔ (κοινή πλευρά)
• 2 2
ˆ ˆ
Δ Β φ (ως εντός εναλλάξ)
• 1 1
ˆ
Β̂ Δ ω (ως εντός εναλλάξ)
άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, άρα ΑΒ = ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
Ιδ. 2η: Θα αποδείξουμε ότι στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες.
Θ.δ.ο: ˆ ˆ
Α Γ και ˆ
Β̂ Δ
Από την ιδιότητα 1η, αποδείξαμε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ
είναι ίσα, άρα και τα υπόλοιπα στοιχεία τους είναι ίσα, δηλαδή
ˆ ˆ
Α Γ και
• 2 2
ˆ ˆ
Δ Β φ (ως εντός εναλλάξ)
• 1 1
ˆ ˆ
Δ Β ω (ως εντός εναλλάξ)
αν τις προσθέσουμε κατά μέλη παίρνουμε ˆ
Β̂ Δ .
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
Ιδ. 3η: Θα αποδείξουμε ότι στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ οι διαδοχικές γωνίες του είναι
παραπληρωματικές.
Από την ιδιότητα 2η έχουμε ότι στο παραλληλόγραμμο οι
απέναντι γωνίες του είναι ίσες άρα: ˆ ˆ
Α Γ ω και ˆ
Β̂ Δ φ
Θ.δ.ο: 0
ω φ 180
Οι γωνίες Α̂ ω και Δ̂ φ είναι εντός και επί τα αυτά των
παραλλήλων ΑΒ και ΓΔ με τεμνόμενη την ΑΔ, άρα είναι παραπληρωματικές, οπότε
0
ω φ 180
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
22.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 3 of 11
Ιδ. 4η: Θα αποδείξουμε ότι στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ οι διαγώνιές του διχοτομούνται.
Θ.δ.ο: ΑΟ = ΟΓ και ΒΟ = ΟΔ
Θα συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ. Έχουμε,
• ΑΒ =ΓΔ (ιδ. 1η)
• 1 1
ˆ ˆ
Α Γ φ (ως εντός εναλλάξ)
• 1 1
ˆ
Β̂ Δ ω (ως εντός εναλλάξ)
άρα τα τρίγωνα είναι ίσα από το Κριτήριο Γ – Π – Γ
οπότε και τα υπόλοιπα στοιχεία τους είναι ίσα
επομένως ΑΟ = ΓΟ και ΒΟ = ΔΟ.
Σημείωση: Ότι οι κατακορυφήν γωνίες της Ο είναι ίσες ΔΕΝ διευκολύνει την απόδειξή μας.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
Κρ. 1ο: Θα αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του
ίσες είναι παραλληλόγραμμο.
Ισχύει από τον ορισμό του παραλληλογράμμου
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
Κρ. 2ο: Θα αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ που έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες
είναι παραλληλόγραμμο.
Γνωρίζουμε ότι, ΑΒ = ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ.
Αρκεί να αποδείξουμε ότι οι απέναντι πλευρές του
είναι παράλληλες (Κρ. 1ο).
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΔΓ. Έχουμε,
• ΑΒ ΓΔ
• ΑΔ ΒΓ
• ΒΔ ΒΔ
άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε:
• 1 1
ˆ ˆ
Δ Β ω ΑΒ//ΓΔ
• 2 2
ˆ ˆ
Δ Β φ ΑΔ//ΒΓ
διότι σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. Επομένως, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ
είναι παραλληλόγραμμο.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
22.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 4 of 11
Κρ. 3ο: Θα αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ που έχει
τις απέναντι γωνίες του ίσες είναι παραλληλόγραμμο.
Για λόγους ευκολίας θέτουμε: ˆ ˆ
Α Γ ω και ˆ
Β̂ Δ φ
Θα αποδείξουμε ότι οι απέναντι πλευρές του τετράπλευρου
ΑΒΓΔ είναι παράλληλες (Κρ. 1ο – ορισμός).
Γνωρίζουμε ότι,
0 0 0 0
ˆ ˆ
ˆ ˆ
Α Β Γ Δ 360 ω φ ω φ 360 2ω 2φ 360 ω φ 180
οπότε
• 0
ˆ ˆ
Α Δ 180 ΑΒ / /ΓΔ
• 0
ˆ ˆ
Α Β 180 ΑΔ / /ΒΓ
επειδή οι εντός και επί τα αυτά γωνίες που σχηματίζονται είναι παραπληρωματικές.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
Κρ. 4ο: Θα αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ που έχει τις δύο απέναντι πλευρές του
ίσες και παράλληλες είναι παραλληλόγραμμο.
Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ ΓΔ και ΑΒ/ /ΓΔ .
Αρκεί να αποδείξουμε ότι ΑΔ = ΒΓ, άρα από το Κριτήριο 2ο το
τετράπλευρο αυτό είναι παραλληλόγραμμο.
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ. Έχουμε,
• ΑΒ ΓΔ
• ΒΔ ΒΔ κοινή πλευρά
• 1 1
ˆ
Β̂ Δ ω ως εντός εναλλάξ
άρα τα τρίγωνα είναι ίσα οπότε και τα υπόλοιπα στοιχεία τους είναι ίσα, οπότε
ΑΔ = ΒΓ
δηλαδή το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
22.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 5 of 11
Κρ. 5ο: Θα αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ που οι διαγώνιοί του διχοτομούνται
είναι παραλληλόγραμμο.
Από υπόθεση έχουμε:
ΑΟ = ΟΓ και ΒΟ = ΟΔ.
Θα αποδείξουμε ότι έχει δύο απέναντι πλευρές ίσες και
παράλληλες άρα από το Κρ. 4ο είναι παραλληλόγραμμο.
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΔΟΓ. Έχουμε,
• ΑΟ ΟΓ(υπόθεση)
• ΟΒ ΔΟ (υπόθεση)
• 1 2
ˆ ˆ
Ο Ο (ως κατακορυφήν)
άρα τα τρίγωνα είναι ίσα οπότε και τα υπόλοιπα στοιχεία τους είναι ίσα άρα
1 1
ˆ ˆ
Δ Β ΑΒ/ /ΓΔ
διότι σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες και
ΑΒ ΓΔ
επομένως το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
Β) Ορθογώνιο
Ιδ. 1η: Το ορθογώνιο έχει όλες τις ιδιότητες του παρ/μου.
Προφανώς, διότι το ορθογώνιο είναι παραλληλόγραμμο (με μία γωνία ορθή).
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
Ιδ. 2η: Θα αποδείξουμε ότι στο ορθογώνιο όλες οι γωνίες του είναι ορθές.
Έστω ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο με 0
 90 . Θ.δ.ο: 0
ˆ
ˆ ˆ
B Γ Δ 90
Γνωρίζουμε ότι στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες (Ιδ. 1η
παρ/μου) άρα 0
ˆ ˆ
A Γ 90 .
Επίσης, στο παραλληλόγραμμο οι διαδοχικές του γωνίες είναι παραπληρωματικές (Ιδ.
3η παρ/μου) άρα
0 0 0 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
A Δ 180 90 Δ 180 Δ 180 90 Δ 90
άρα και 0
Γ̂ 90 .
Επομένως, όλες οι γωνίες του ορθογωνίου είναι ορθές.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
22.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 6 of 11
Ιδ. 3η: Θα αποδείξουμε ότι στο ορθογώνιο ΑΒΓΔ οι διαγώνιοί του είναι ίσες.
Θα αποδείξουμε ότι: ΑΓ ΒΔ
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΔΓ. Έχουμε,
• 0
ˆ
Γ̂ Δ 90 (από Ιδ. 2η)
• ΔΓ ΔΓ (κοινή πλευρά)
• ΑΔ ΒΓ (απέναντι πλευρές παρ/μου είναι ίσες)
οπότε ΑΓ ΒΔ.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
Κρ. 1ο: Παρ/μο + μία γωνία του ορθή θα αποδείξουμε ότι είναι ορθογώνιο.
Ισχύει άμεσα από τον ορισμό του ορθογωνίου.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
Κρ. 2ο: Παρ/μο + οι διαγώνιοί του ίσες θα αποδείξουμε ότι είναι ορθογώνιο.
Έστω ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο με ΑΓ = ΒΔ. Αρκεί να
αποδείξουμε ότι μία γωνία του είναι ορθή (Κρ. 1ο).
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΔΓ. Έχουμε,
• ΑΔ ΒΓ (απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου)
• ΔΓ ΔΓ (κοινή πλευρά)
• ΑΓ ΒΔ (υπόθεση)
άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε ˆ ˆ
Δ Γ , όμως από την Ιδιότητα 3η του παρ/μου οι διαδοχικές
του γωνίες του είναι ίσες οπότε:
0 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
Δ Γ 180 Γ Γ 180 2Γ 180 Γ 90
Επομένως, το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
Κρ. 3ο: Τετράπλευρο + τρεις γωνίες ορθές θα αποδείξουμε ότι είναι ορθογώνιο.
Αν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχει τρεις γωνίες ορθές, έστω
0
ˆ ˆ ˆ
A B Γ 90
τότε
0 0 0 0 0 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
A B Γ Δ 360 90 90 90 Δ 360 Δ 360 270 Δ 90
Επομένως, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο διότι έχει τις απέναντι γωνίες του
ίσες (Κρ. 2ο του παρ/μου) και είναι ορθογώνιο γιατί μία γωνία του είναι ορθή.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
22.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 7 of 11
Κρ. 4ο: Τετράπλευρο + όλες οι γωνίες του ίσες θα αποδείξουμε ότι είναι ορθογώνιο.
Έστω τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ˆ ˆ
ˆ ˆ
A B Γ Δ ω .
Έχουμε,
0 0 0 0
ˆ ˆ
ˆ ˆ
A B Γ Δ 360 ω ω ω ω 360 4ω 360 ω 90
Επομένως, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο διότι έχει τρεις γωνίες ορθές
(Κριτήριο 4ο ορθογωνίου).
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
Γ) Ρόμβος
Ιδ. 1η: Θα αποδείξουμε ότι ο ρόμβος έχει όλες τις ιδιότητες του παρ/μου.
Προφανώς, διότι ο ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
Ιδ. 2η: Θα αποδείξουμε ότι στο ρόμβο όλες οι πλευρές του είναι ίσες.
Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ ΑΔ x (1).
Γνωρίζουμε ότι οι απέναντι πλευρές του παρ/μου είναι ίσες (Ιδ. 1η), άρα
ΓΔ ΑΒ x (2)
και
ΒΓ ΑΔ x (3)
Από τις σχέσεις (1), (2) και (3) συμπεραίνουμε ότι όλες οι πλευρές του
ΑΒΓΔ είναι ίσες.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
Ιδ. 3η: Θα αποδείξουμε ότι στο ρόμβο οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα.
Έστω ΑΓ και ΒΔ οι διαγώνιοι του ρόμβου που τέμνονται στο σημείο Ο.
Θ.δ.ο: 0
Ο̂ 90
Στο τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε ότι ΑΔ ΑΒ (Ιδ. 2η ρόμβου), άρα είναι ισοσκελές.
Επίσης, το ΑΟ είναι διάμεσος, διότι οι διαγώνιοι διχοτομούνται, άρα και ύψος,
οπότε 0
Ο̂ 90 .
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
22.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 8 of 11
Ιδ. 4η: Θα αποδείξουμε ότι στο ρόμβο οι διαγώνιοί του διχοτομούν τις γωνίες των κορυφών.
Έστω ΑΓ και ΒΔ οι διαγώνιοι του ρόμβου που τέμνονται στο σημείο Ο.
Θ.δ.ο: 1 2
ˆ ˆ
A A
Στο τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε ότι ΑΔ ΑΒ (Ιδ. 2η ρόμβου), άρα είναι
ισοσκελές. Επίσης, το ΑΟ είναι διάμεσος, διότι οι διαγώνιοι
διχοτομούνται, άρα και διχοτόμος, οπότε 1 2
ˆ ˆ
A A .
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
Κρ. 1ο: Παρ/μο + δύο διαδοχικές πλευρές ίσες θα αποδείξουμε ότι είναι ρόμβος.
Προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του ρόμβου.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
Κρ. 2ο: Παρ/μο + οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα θα αποδείξουμε ότι είναι ρόμβος.
Έστω ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο με ΑΓ ΒΔ δηλαδή 0
Ô 90 . Αρκεί να αποδείξουμε ότι δύο
διαδοχικές πλευρές του ΑΒΓΔ είναι ίσες.
Θ.δ.ο: ΑΔ ΑΒ (δύο διαδοχικές πλευρές ίσες)
Στο τρίγωνο ΑΔΒ παρατηρούμε ότι:
• η ΑΟ είναι διάμεσος (διότι οι διαγώνιοι του παρ/μου
διχοτομούνται)
• και η ΑΟ είναι ύψος (διότι ΑΟ ΒΔ )
άρα το τρίγωνο ΑΔΒ είναι ισοσκελές. Επομένως, ΑΔ ΑΒ.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
Κρ. 3ο: Παρ/μο + μία διαγώνιός του διχοτομεί μία γωνία του θα αποδείξουμε ότι είναι
ρόμβος.
Έστω ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο και 1 2
ˆ ˆ
A A . Αρκεί να αποδείξουμε ότι
δύο διαδοχικές πλευρές του ΑΒΓΔ είναι ίσες.
Θ.δ.ο: ΑΔ ΑΒ (δύο διαδοχικές πλευρές ίσες)
Στο τρίγωνο ΑΔΒ παρατηρούμε ότι:
• η ΑΟ είναι διάμεσος (διότι οι διαγώνιοι του παρ/μου διχοτομούνται)
• και η ΑΟ είναι διχοτόμος (διότι 1 2
ˆ ˆ
A A ),
άρα το τρίγωνο ΑΔΒ είναι ισοσκελές. Επομένως, ΑΔ ΑΒ.
22.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 9 of 11
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
Κρ. 4ο: Τετράπλευρο + όλες οι πλευρές ίσες θα αποδείξουμε ότι είναι ρόμβος.
Έστω τετράπλευρο ΑΒΓΔ τέτοιο ώστε:
ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΑ.
Επειδή οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες από Κριτήριο παρ/μου έπεται ότι είναι
παραλληλόγραμμο.
Όμως έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες πχ. ΑΒ ΒΓ, άρα το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
Δ) Τετράγωνο
Ιδ. 1η: Θα δείξουμε ότι το τετράγωνο έχει όλες τις ιδιότητες του παρ/μου.
Προκύπτει άμεσα από το ορισμό του τετραγώνου.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
Ιδ. 2η: Θα δείξουμε ότι το τετράγωνο έχει όλες τις ιδιότητες του ορθογωνίου.
Προκύπτει άμεσα από το ορισμό του τετραγώνου.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
Ιδ. 3η: Θα δείξουμε ότι το τετράγωνο έχει όλες τις ιδιότητες του ρόμβου.
Προκύπτει άμεσα από το ορισμό του τετραγώνου.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
Κριτήρια τετραγώνου
Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ.
• Αν ισχύει ένα Κριτήριο του Ορθογωνίου, τότε έχουμε ότι το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο.
• Αν ισχύει ένα Κριτήριο του ρόμβου, τότε έχουμε ότι το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος.
Επομένως, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο + ρόμβος (άρα και παραλληλόγραμμο)
οπότε είναι τετράγωνο.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
22.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 10 of 11
Ορισμοί τετράπλευρων
1) Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του
παράλληλες.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
2) Ορθογώνιο λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει μια γωνία ορθή.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
3) Ρόμβος λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
4) Τετράγωνο λέγεται το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος.
Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις
22.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 11 of 11

More Related Content

What's hot

ταλαντωσεισ
ταλαντωσεισταλαντωσεισ
ταλαντωσεισtvagelis96
 
ιστορία α σχεδιαγράμματα
ιστορία α   σχεδιαγράμματαιστορία α   σχεδιαγράμματα
ιστορία α σχεδιαγράμματαdepav
 
10 Ασκήσεις στο Νόμο του Coulomb
10 Ασκήσεις στο Νόμο του Coulomb 10 Ασκήσεις στο Νόμο του Coulomb
10 Ασκήσεις στο Νόμο του Coulomb
HOME
 
ΧΗΜΙΚΕΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΧΗΜΙΚΕΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥΧΗΜΙΚΕΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΧΗΜΙΚΕΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Βασίλης Μαντάς
 
Metafrasi syntaxi xenofon 2.2.16-23
Metafrasi syntaxi xenofon  2.2.16-23Metafrasi syntaxi xenofon  2.2.16-23
Metafrasi syntaxi xenofon 2.2.16-23
Vasilis Vasileiou
 
Σκελετός και οστά
Σκελετός και οστάΣκελετός και οστά
Σκελετός και οστά
Gepsi Mos
 
το πιο γλυκο ψωμι
το πιο γλυκο ψωμιτο πιο γλυκο ψωμι
το πιο γλυκο ψωμι
Dimitra Stefani
 
Κύβος και ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ακμές και κορυφές
Κύβος και ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο   ακμές και κορυφέςΚύβος και ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο   ακμές και κορυφές
Κύβος και ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ακμές και κορυφέςΓιάννης Φερεντίνος
 
α και β ελληνικός αποικισμός /υλικό για σύγκριση
α και β ελληνικός αποικισμός /υλικό για σύγκρισηα και β ελληνικός αποικισμός /υλικό για σύγκριση
α και β ελληνικός αποικισμός /υλικό για σύγκρισηkloukinalia
 
αόριστος β ρημάτων
αόριστος β ρημάτωναόριστος β ρημάτων
αόριστος β ρημάτωνThanos Stavropoulos
 
Biology a lyk-kef3
Biology a lyk-kef3Biology a lyk-kef3
Biology a lyk-kef3
ht101
 
Οδύσσεια, α 109-173, ενότητα 3
Οδύσσεια, α 109-173, ενότητα 3Οδύσσεια, α 109-173, ενότητα 3
Οδύσσεια, α 109-173, ενότητα 3
matoula74
 
Διαγώνισμα Χημείας Γ γυμνασίου
Διαγώνισμα Χημείας Γ γυμνασίουΔιαγώνισμα Χημείας Γ γυμνασίου
Διαγώνισμα Χημείας Γ γυμνασίου
Παναγιώτα Γκογκόση
 
5.2Α Η ροή της γενετικής πληροφορίας
5.2Α Η ροή της γενετικής πληροφορίας5.2Α Η ροή της γενετικής πληροφορίας
5.2Α Η ροή της γενετικής πληροφορίας
6o Lykeio Kavalas
 
επανάληψη της ύλης α΄ γυμνασίου θρησκευτικά
επανάληψη της ύλης α΄ γυμνασίου θρησκευτικάεπανάληψη της ύλης α΄ γυμνασίου θρησκευτικά
επανάληψη της ύλης α΄ γυμνασίου θρησκευτικά
desphan
 
Γεωμετρία: 3.1- 3.2
Γεωμετρία: 3.1- 3.2Γεωμετρία: 3.1- 3.2
Γεωμετρία: 3.1- 3.2
Panagiotis Chantoglou
 
κλασικη εποχη σχεδιαγραμμα
κλασικη εποχη   σχεδιαγραμμακλασικη εποχη   σχεδιαγραμμα
κλασικη εποχη σχεδιαγραμμα
Eleni Kots
 
Οδύσσεια α΄γυμνασίου 5η ενότητα: α 361-497, σχέδιο μαθήματος-φύλλο εργασίας
Οδύσσεια α΄γυμνασίου 5η ενότητα: α 361-497, σχέδιο μαθήματος-φύλλο εργασίαςΟδύσσεια α΄γυμνασίου 5η ενότητα: α 361-497, σχέδιο μαθήματος-φύλλο εργασίας
Οδύσσεια α΄γυμνασίου 5η ενότητα: α 361-497, σχέδιο μαθήματος-φύλλο εργασίας
vserdaki
 
αυτοτροφοι ετεροτροφοι οργανισμοι
αυτοτροφοι ετεροτροφοι οργανισμοιαυτοτροφοι ετεροτροφοι οργανισμοι
αυτοτροφοι ετεροτροφοι οργανισμοι
Μαυρουδης Μακης
 

What's hot (20)

ταλαντωσεισ
ταλαντωσεισταλαντωσεισ
ταλαντωσεισ
 
ιστορία α σχεδιαγράμματα
ιστορία α   σχεδιαγράμματαιστορία α   σχεδιαγράμματα
ιστορία α σχεδιαγράμματα
 
10 Ασκήσεις στο Νόμο του Coulomb
10 Ασκήσεις στο Νόμο του Coulomb 10 Ασκήσεις στο Νόμο του Coulomb
10 Ασκήσεις στο Νόμο του Coulomb
 
ΧΗΜΙΚΕΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΧΗΜΙΚΕΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥΧΗΜΙΚΕΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΧΗΜΙΚΕΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
 
Metafrasi syntaxi xenofon 2.2.16-23
Metafrasi syntaxi xenofon  2.2.16-23Metafrasi syntaxi xenofon  2.2.16-23
Metafrasi syntaxi xenofon 2.2.16-23
 
Σκελετός και οστά
Σκελετός και οστάΣκελετός και οστά
Σκελετός και οστά
 
το πιο γλυκο ψωμι
το πιο γλυκο ψωμιτο πιο γλυκο ψωμι
το πιο γλυκο ψωμι
 
Κύβος και ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ακμές και κορυφές
Κύβος και ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο   ακμές και κορυφέςΚύβος και ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο   ακμές και κορυφές
Κύβος και ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ακμές και κορυφές
 
α και β ελληνικός αποικισμός /υλικό για σύγκριση
α και β ελληνικός αποικισμός /υλικό για σύγκρισηα και β ελληνικός αποικισμός /υλικό για σύγκριση
α και β ελληνικός αποικισμός /υλικό για σύγκριση
 
αόριστος β ρημάτων
αόριστος β ρημάτωναόριστος β ρημάτων
αόριστος β ρημάτων
 
Υποτακτική Παρακειμένου Ενεργητικής Φωνής, 5η ενότητα Αρχαίων Β΄ Γυμνασίου
Υποτακτική Παρακειμένου Ενεργητικής Φωνής, 5η ενότητα Αρχαίων Β΄ ΓυμνασίουΥποτακτική Παρακειμένου Ενεργητικής Φωνής, 5η ενότητα Αρχαίων Β΄ Γυμνασίου
Υποτακτική Παρακειμένου Ενεργητικής Φωνής, 5η ενότητα Αρχαίων Β΄ Γυμνασίου
 
Biology a lyk-kef3
Biology a lyk-kef3Biology a lyk-kef3
Biology a lyk-kef3
 
Οδύσσεια, α 109-173, ενότητα 3
Οδύσσεια, α 109-173, ενότητα 3Οδύσσεια, α 109-173, ενότητα 3
Οδύσσεια, α 109-173, ενότητα 3
 
Διαγώνισμα Χημείας Γ γυμνασίου
Διαγώνισμα Χημείας Γ γυμνασίουΔιαγώνισμα Χημείας Γ γυμνασίου
Διαγώνισμα Χημείας Γ γυμνασίου
 
5.2Α Η ροή της γενετικής πληροφορίας
5.2Α Η ροή της γενετικής πληροφορίας5.2Α Η ροή της γενετικής πληροφορίας
5.2Α Η ροή της γενετικής πληροφορίας
 
επανάληψη της ύλης α΄ γυμνασίου θρησκευτικά
επανάληψη της ύλης α΄ γυμνασίου θρησκευτικάεπανάληψη της ύλης α΄ γυμνασίου θρησκευτικά
επανάληψη της ύλης α΄ γυμνασίου θρησκευτικά
 
Γεωμετρία: 3.1- 3.2
Γεωμετρία: 3.1- 3.2Γεωμετρία: 3.1- 3.2
Γεωμετρία: 3.1- 3.2
 
κλασικη εποχη σχεδιαγραμμα
κλασικη εποχη   σχεδιαγραμμακλασικη εποχη   σχεδιαγραμμα
κλασικη εποχη σχεδιαγραμμα
 
Οδύσσεια α΄γυμνασίου 5η ενότητα: α 361-497, σχέδιο μαθήματος-φύλλο εργασίας
Οδύσσεια α΄γυμνασίου 5η ενότητα: α 361-497, σχέδιο μαθήματος-φύλλο εργασίαςΟδύσσεια α΄γυμνασίου 5η ενότητα: α 361-497, σχέδιο μαθήματος-φύλλο εργασίας
Οδύσσεια α΄γυμνασίου 5η ενότητα: α 361-497, σχέδιο μαθήματος-φύλλο εργασίας
 
αυτοτροφοι ετεροτροφοι οργανισμοι
αυτοτροφοι ετεροτροφοι οργανισμοιαυτοτροφοι ετεροτροφοι οργανισμοι
αυτοτροφοι ετεροτροφοι οργανισμοι
 

Similar to Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί

Γεωμετρία: 3.3-3.4
Γεωμετρία: 3.3-3.4Γεωμετρία: 3.3-3.4
Γεωμετρία: 3.3-3.4
Panagiotis Chantoglou
 
Διαγωνισμός Αρχιμήδης (μικροί) - 56 Ασκήσεις Γεωμετρίας με λύσεις
Διαγωνισμός Αρχιμήδης (μικροί) - 56 Ασκήσεις Γεωμετρίας με λύσειςΔιαγωνισμός Αρχιμήδης (μικροί) - 56 Ασκήσεις Γεωμετρίας με λύσεις
Διαγωνισμός Αρχιμήδης (μικροί) - 56 Ασκήσεις Γεωμετρίας με λύσεις
Μάκης Χατζόπουλος
 
Γεωμετρία Α΄ Λυκείου 2017 - 18
Γεωμετρία Α΄ Λυκείου 2017 - 18Γεωμετρία Α΄ Λυκείου 2017 - 18
Γεωμετρία Α΄ Λυκείου 2017 - 18
Μάκης Χατζόπουλος
 
γεωμετρια α λυκειου
γεωμετρια   α  λυκειουγεωμετρια   α  λυκειου
γεωμετρια α λυκειου
Christos Loizos
 
Κεφάλαιο 8ο: Ομοιότητα - Γεωμετρία Β΄ Λυκείου
Κεφάλαιο 8ο: Ομοιότητα - Γεωμετρία Β΄ ΛυκείουΚεφάλαιο 8ο: Ομοιότητα - Γεωμετρία Β΄ Λυκείου
Κεφάλαιο 8ο: Ομοιότητα - Γεωμετρία Β΄ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
anisotikes
anisotikesanisotikes
anisotikesperi2005
 
Τρίγωνα
ΤρίγωναΤρίγωνα
Τρίγωνα
pstavro
 
200 άλυτες ασκήσεις γεωμετρίας κοπάδης
200 άλυτες ασκήσεις γεωμετρίας κοπάδης200 άλυτες ασκήσεις γεωμετρίας κοπάδης
200 άλυτες ασκήσεις γεωμετρίας κοπάδης
Μάκης Χατζόπουλος
 
Isotita trigwnwn
Isotita trigwnwnIsotita trigwnwn
Ageo sxol 2015-2016_papagrigorakis
Ageo sxol 2015-2016_papagrigorakisAgeo sxol 2015-2016_papagrigorakis
Ageo sxol 2015-2016_papagrigorakis
Μάκης Χατζόπουλος
 
Ασκήσεις Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου - σχ. έτος 2015 - 16
Ασκήσεις Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου - σχ. έτος 2015 - 16 Ασκήσεις Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου - σχ. έτος 2015 - 16
Ασκήσεις Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου - σχ. έτος 2015 - 16
Μάκης Χατζόπουλος
 
Ageosxol2015 2016papagrigorakis geometry
Ageosxol2015 2016papagrigorakis geometryAgeosxol2015 2016papagrigorakis geometry
Ageosxol2015 2016papagrigorakis geometry
Christos Loizos
 
Είδη και στοιχεία τριγώνων
Είδη και στοιχεία τριγώνωνΕίδη και στοιχεία τριγώνων
Είδη και στοιχεία τριγώνων
pstavro
 
ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ)
ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ)
ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) lykkarea
 
Ιστοριες για ισοσκελη τριγωνα
Ιστοριες για ισοσκελη τριγωναΙστοριες για ισοσκελη τριγωνα
Ιστοριες για ισοσκελη τριγωνα
Θανάσης Δρούγας
 
ισοτητα τριγωνων
ισοτητα τριγωνωνισοτητα τριγωνων
ισοτητα τριγωνων
Athanasios Maroglou
 
1 9016geometry a_oefe_2015b
1 9016geometry a_oefe_2015b1 9016geometry a_oefe_2015b
1 9016geometry a_oefe_2015b
CHRISTOS Xr.Tsif
 
Ageo sxol 2016-2017_papagrigorakis
Ageo sxol 2016-2017_papagrigorakisAgeo sxol 2016-2017_papagrigorakis
Ageo sxol 2016-2017_papagrigorakis
Christos Loizos
 

Similar to Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί (20)

Γεωμετρία: 3.3-3.4
Γεωμετρία: 3.3-3.4Γεωμετρία: 3.3-3.4
Γεωμετρία: 3.3-3.4
 
Διαγωνισμός Αρχιμήδης (μικροί) - 56 Ασκήσεις Γεωμετρίας με λύσεις
Διαγωνισμός Αρχιμήδης (μικροί) - 56 Ασκήσεις Γεωμετρίας με λύσειςΔιαγωνισμός Αρχιμήδης (μικροί) - 56 Ασκήσεις Γεωμετρίας με λύσεις
Διαγωνισμός Αρχιμήδης (μικροί) - 56 Ασκήσεις Γεωμετρίας με λύσεις
 
Γεωμετρία Α΄ Λυκείου 2017 - 18
Γεωμετρία Α΄ Λυκείου 2017 - 18Γεωμετρία Α΄ Λυκείου 2017 - 18
Γεωμετρία Α΄ Λυκείου 2017 - 18
 
γεωμετρια α λυκειου
γεωμετρια   α  λυκειουγεωμετρια   α  λυκειου
γεωμετρια α λυκειου
 
Κεφάλαιο 8ο: Ομοιότητα - Γεωμετρία Β΄ Λυκείου
Κεφάλαιο 8ο: Ομοιότητα - Γεωμετρία Β΄ ΛυκείουΚεφάλαιο 8ο: Ομοιότητα - Γεωμετρία Β΄ Λυκείου
Κεφάλαιο 8ο: Ομοιότητα - Γεωμετρία Β΄ Λυκείου
 
anisotikes
anisotikesanisotikes
anisotikes
 
Τρίγωνα
ΤρίγωναΤρίγωνα
Τρίγωνα
 
200 άλυτες ασκήσεις γεωμετρίας κοπάδης
200 άλυτες ασκήσεις γεωμετρίας κοπάδης200 άλυτες ασκήσεις γεωμετρίας κοπάδης
200 άλυτες ασκήσεις γεωμετρίας κοπάδης
 
Isotita trigwnwn
Isotita trigwnwnIsotita trigwnwn
Isotita trigwnwn
 
Ageo sxol 2015-2016_papagrigorakis
Ageo sxol 2015-2016_papagrigorakisAgeo sxol 2015-2016_papagrigorakis
Ageo sxol 2015-2016_papagrigorakis
 
Ασκήσεις Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου - σχ. έτος 2015 - 16
Ασκήσεις Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου - σχ. έτος 2015 - 16 Ασκήσεις Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου - σχ. έτος 2015 - 16
Ασκήσεις Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου - σχ. έτος 2015 - 16
 
Ageosxol2015 2016papagrigorakis geometry
Ageosxol2015 2016papagrigorakis geometryAgeosxol2015 2016papagrigorakis geometry
Ageosxol2015 2016papagrigorakis geometry
 
Είδη και στοιχεία τριγώνων
Είδη και στοιχεία τριγώνωνΕίδη και στοιχεία τριγώνων
Είδη και στοιχεία τριγώνων
 
ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ)
ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ)
ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ)
 
Ιστοριες για ισοσκελη τριγωνα
Ιστοριες για ισοσκελη τριγωναΙστοριες για ισοσκελη τριγωνα
Ιστοριες για ισοσκελη τριγωνα
 
α΄λ γεωμετρια επαναληψη
α΄λ γεωμετρια επαναληψηα΄λ γεωμετρια επαναληψη
α΄λ γεωμετρια επαναληψη
 
ισοτητα τριγωνων
ισοτητα τριγωνωνισοτητα τριγωνων
ισοτητα τριγωνων
 
1 9016geometry a_oefe_2015b
1 9016geometry a_oefe_2015b1 9016geometry a_oefe_2015b
1 9016geometry a_oefe_2015b
 
θεωρημα θαλη και διχοτόμων
θεωρημα θαλη και διχοτόμωνθεωρημα θαλη και διχοτόμων
θεωρημα θαλη και διχοτόμων
 
Ageo sxol 2016-2017_papagrigorakis
Ageo sxol 2016-2017_papagrigorakisAgeo sxol 2016-2017_papagrigorakis
Ageo sxol 2016-2017_papagrigorakis
 

More from Μάκης Χατζόπουλος

Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Μάκης Χατζόπουλος
 
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Μάκης Χατζόπουλος
 
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛΠανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Μάκης Χατζόπουλος
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Μάκης Χατζόπουλος
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
Μάκης Χατζόπουλος
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μάκης Χατζόπουλος
 
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3οΞεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Μάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Μάκης Χατζόπουλος
 
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου 45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
Μάκης Χατζόπουλος
 
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Μάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Μάκης Χατζόπουλος
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
Μάκης Χατζόπουλος
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Μάκης Χατζόπουλος
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ ΓυμνασίουΚεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Μάκης Χατζόπουλος
 
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
Μάκης Χατζόπουλος
 

More from Μάκης Χατζόπουλος (20)

Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
 
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
 
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛΠανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
 
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3οΞεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
 
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου 45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
 
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ ΓυμνασίουΚεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
 
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
 

Recently uploaded

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗΧΑΝΩΝ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗΧΑΝΩΝΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗΧΑΝΩΝ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗΧΑΝΩΝ
ssuser503807
 
Blue Futuristic Cyber Security Presentation.pdf
Blue Futuristic Cyber Security Presentation.pdfBlue Futuristic Cyber Security Presentation.pdf
Blue Futuristic Cyber Security Presentation.pdf
oureilidouan
 
Green Minimalist Case Studies Presentation.pdf
Green Minimalist Case Studies Presentation.pdfGreen Minimalist Case Studies Presentation.pdf
Green Minimalist Case Studies Presentation.pdf
oureilidouan
 
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdfyear-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
MariaAlexiou13
 
Beige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdf
Beige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdfBeige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdf
Beige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdf
oureilidouan
 
ΗΜΕΡΑ ΓΗΣ.pdfφυλλα εργασιων για τη γηκαι το περιβάλλον για Ε και ΣΤ ΤΆΞΗ
ΗΜΕΡΑ ΓΗΣ.pdfφυλλα εργασιων για τη γηκαι το περιβάλλον για Ε και ΣΤ ΤΆΞΗΗΜΕΡΑ ΓΗΣ.pdfφυλλα εργασιων για τη γηκαι το περιβάλλον για Ε και ΣΤ ΤΆΞΗ
ΗΜΕΡΑ ΓΗΣ.pdfφυλλα εργασιων για τη γηκαι το περιβάλλον για Ε και ΣΤ ΤΆΞΗ
ΟΛΓΑ ΤΣΕΧΕΛΙΔΟΥ
 
polychronopoulou-migdalia maria 2270! ch
polychronopoulou-migdalia maria 2270! chpolychronopoulou-migdalia maria 2270! ch
polychronopoulou-migdalia maria 2270! ch
PolychronopoulouMigd
 
Η ΣΑΪΤΑ 6ο φύλλο
Η ΣΑΪΤΑ                                  6ο φύλλοΗ ΣΑΪΤΑ                                  6ο φύλλο
Η ΣΑΪΤΑ 6ο φύλλο
Dimitra Mylonaki
 
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson RefresherΑνακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
oureilidouan
 
How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...
How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...
How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...
oureilidouan
 
ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΜΟΛΥΒΑΚΙΑ 2ο φύλλο
ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ                           ΜΟΛΥΒΑΚΙΑ 2ο φύλλοΕΦΗΜΕΡΙΔΑ                           ΜΟΛΥΒΑΚΙΑ 2ο φύλλο
ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΜΟΛΥΒΑΚΙΑ 2ο φύλλο
Dimitra Mylonaki
 
Η ΔΙΑΤΡΟΦΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ/ΤΡΙΩΝ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΑΟΥΣΑΣ ΠΑΡΟΥ
Η ΔΙΑΤΡΟΦΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ/ΤΡΙΩΝ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΑΟΥΣΑΣ ΠΑΡΟΥΗ ΔΙΑΤΡΟΦΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ/ΤΡΙΩΝ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΑΟΥΣΑΣ ΠΑΡΟΥ
Η ΔΙΑΤΡΟΦΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ/ΤΡΙΩΝ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΑΟΥΣΑΣ ΠΑΡΟΥ
earkouli
 

Recently uploaded (12)

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗΧΑΝΩΝ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗΧΑΝΩΝΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗΧΑΝΩΝ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗΧΑΝΩΝ
 
Blue Futuristic Cyber Security Presentation.pdf
Blue Futuristic Cyber Security Presentation.pdfBlue Futuristic Cyber Security Presentation.pdf
Blue Futuristic Cyber Security Presentation.pdf
 
Green Minimalist Case Studies Presentation.pdf
Green Minimalist Case Studies Presentation.pdfGreen Minimalist Case Studies Presentation.pdf
Green Minimalist Case Studies Presentation.pdf
 
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdfyear-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
 
Beige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdf
Beige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdfBeige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdf
Beige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdf
 
ΗΜΕΡΑ ΓΗΣ.pdfφυλλα εργασιων για τη γηκαι το περιβάλλον για Ε και ΣΤ ΤΆΞΗ
ΗΜΕΡΑ ΓΗΣ.pdfφυλλα εργασιων για τη γηκαι το περιβάλλον για Ε και ΣΤ ΤΆΞΗΗΜΕΡΑ ΓΗΣ.pdfφυλλα εργασιων για τη γηκαι το περιβάλλον για Ε και ΣΤ ΤΆΞΗ
ΗΜΕΡΑ ΓΗΣ.pdfφυλλα εργασιων για τη γηκαι το περιβάλλον για Ε και ΣΤ ΤΆΞΗ
 
polychronopoulou-migdalia maria 2270! ch
polychronopoulou-migdalia maria 2270! chpolychronopoulou-migdalia maria 2270! ch
polychronopoulou-migdalia maria 2270! ch
 
Η ΣΑΪΤΑ 6ο φύλλο
Η ΣΑΪΤΑ                                  6ο φύλλοΗ ΣΑΪΤΑ                                  6ο φύλλο
Η ΣΑΪΤΑ 6ο φύλλο
 
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson RefresherΑνακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
 
How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...
How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...
How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...
 
ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΜΟΛΥΒΑΚΙΑ 2ο φύλλο
ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ                           ΜΟΛΥΒΑΚΙΑ 2ο φύλλοΕΦΗΜΕΡΙΔΑ                           ΜΟΛΥΒΑΚΙΑ 2ο φύλλο
ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΜΟΛΥΒΑΚΙΑ 2ο φύλλο
 
Η ΔΙΑΤΡΟΦΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ/ΤΡΙΩΝ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΑΟΥΣΑΣ ΠΑΡΟΥ
Η ΔΙΑΤΡΟΦΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ/ΤΡΙΩΝ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΑΟΥΣΑΣ ΠΑΡΟΥΗ ΔΙΑΤΡΟΦΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ/ΤΡΙΩΝ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΑΟΥΣΑΣ ΠΑΡΟΥ
Η ΔΙΑΤΡΟΦΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ/ΤΡΙΩΝ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΑΟΥΣΑΣ ΠΑΡΟΥ
 

Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί

  • 1. Εργασία τμήματος Α1 - 3ο ΓΕΛ Ν. Κηφισιάς Απόδειξη όλων των Ιδιοτήτων και Κριτηρίων των τετράπλευρων Παραλληλόγραμμο – Ορθογώνιο – Ρόμβος – Τετράγωνο Μαθητές που συμμετείχαν κατά αλφαβητική σειρά: • Αναστοπούλου Κάλλια • Αραποστάθη Θωμαΐς • Ευαγγελοπούλου Ηλιάνα • Καρακάσης Κλεάνθης Συντονισμός: Χατζόπουλος Μάκης Τετράπλευρα Ιδιότητες Κριτήρια (ορισμός) Ιδ. 1η: Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες Ιδ. 2η: Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες Ιδ. 3η: Οι διαδοχικές γωνίες είναι παραπληρωματικές Ιδ. 4η: Οι διαγώνιοι διχοτομούνται Κρ. 1ο: Τετράπλευρο + απέναντι πλευρές παράλληλες Κρ. 2ο: Τετράπλευρο + απέναντι πλευρές είναι ίσες Κρ. 3ο: Τετράπλευρο + απέναντι γωνίες ίσες Κρ. 4ο: Τετράπλευρο + δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες Κρ. 5ο: Τετράπλευρο + οι διαγώνιοί του να διχοτομούνται (ορισμός) Ιδ. 1η: Όλες τις ιδιότητες του παρ/μου Ιδ. 2η: Όλες οι γωνίες του είναι ορθές Ιδ. 3η: Οι διαγώνιοί του είναι ίσες Κρ. 1ο: Παρ/μο + μία γωνία ορθή Κρ. 2ο: Παρ/μο + οι διαγώνιοί του ίσες Κρ. 3ο: Τετράπλευρο + τρεις γωνίες ορθές Κρ. 4ο: Τετράπλευρο + όλες οι γωνίες του ίσες (ορισμός) Ιδ. 1η: Όλες τις ιδιότητες του παρ/μου Ιδ. 2η: Όλες οι πλευρές του είναι ίσες Ιδ. 3η: Οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα Ιδ. 4η: Οι διαγώνιοί του διχοτομούν τις γωνίες των κορυφών Κρ. 1ο: Παρ/μο + δύο διαδοχικές πλευρές ίσες Κρ. 2ο: Παρ/μο + οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα Κρ. 3ο: Παρ/μο + μία διαγώνιός του διχοτομεί μία γωνία του Κρ. 4ο: Τετράπλευρο + όλες οι πλευρές ίσες (ορισμός) Ιδ. 1η: Όλες τις ιδιότητες του παρ/μου Ιδ. 2η: Όλες τις ιδιότητες του ορθογωνίου Ιδ. 3η: Όλες τις ιδιότητες του ρόμβου Αρκεί να αποδείξουμε • ένα κριτήριο από το ορθογώνιο και • ένα κριτήριο από το ρόμβο (Το τετράγωνο έχει συνολικά 16 κριτήρια) 22.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 1 of 11
  • 2. … αφιερωμένο στους μαθητές που μοχθούν, προσπαθούν και δεν παραιτούνται Κηφισιά 21/3/2021 22.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 2 of 11
  • 3. Αποδείξεις Α) Παραλληλόγραμμο Ιδ. 1η: Θα αποδείξουμε ότι στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. Θ.δ.ο: ΑΒ = ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ Βοηθητική ευθεία: Φέρνουμε τη μία διαγώνιο του παραλληλογράμμου έστω την ΒΔ. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ. Έχουμε, • ΒΔ = ΒΔ (κοινή πλευρά) • 2 2 ˆ ˆ Δ Β φ (ως εντός εναλλάξ) • 1 1 ˆ Β̂ Δ ω (ως εντός εναλλάξ) άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, άρα ΑΒ = ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις Ιδ. 2η: Θα αποδείξουμε ότι στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. Θ.δ.ο: ˆ ˆ Α Γ και ˆ Β̂ Δ Από την ιδιότητα 1η, αποδείξαμε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ είναι ίσα, άρα και τα υπόλοιπα στοιχεία τους είναι ίσα, δηλαδή ˆ ˆ Α Γ και • 2 2 ˆ ˆ Δ Β φ (ως εντός εναλλάξ) • 1 1 ˆ ˆ Δ Β ω (ως εντός εναλλάξ) αν τις προσθέσουμε κατά μέλη παίρνουμε ˆ Β̂ Δ . Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις Ιδ. 3η: Θα αποδείξουμε ότι στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ οι διαδοχικές γωνίες του είναι παραπληρωματικές. Από την ιδιότητα 2η έχουμε ότι στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες άρα: ˆ ˆ Α Γ ω και ˆ Β̂ Δ φ Θ.δ.ο: 0 ω φ 180 Οι γωνίες Α̂ ω και Δ̂ φ είναι εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΒ και ΓΔ με τεμνόμενη την ΑΔ, άρα είναι παραπληρωματικές, οπότε 0 ω φ 180 Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις 22.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 3 of 11
  • 4. Ιδ. 4η: Θα αποδείξουμε ότι στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ οι διαγώνιές του διχοτομούνται. Θ.δ.ο: ΑΟ = ΟΓ και ΒΟ = ΟΔ Θα συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ. Έχουμε, • ΑΒ =ΓΔ (ιδ. 1η) • 1 1 ˆ ˆ Α Γ φ (ως εντός εναλλάξ) • 1 1 ˆ Β̂ Δ ω (ως εντός εναλλάξ) άρα τα τρίγωνα είναι ίσα από το Κριτήριο Γ – Π – Γ οπότε και τα υπόλοιπα στοιχεία τους είναι ίσα επομένως ΑΟ = ΓΟ και ΒΟ = ΔΟ. Σημείωση: Ότι οι κατακορυφήν γωνίες της Ο είναι ίσες ΔΕΝ διευκολύνει την απόδειξή μας. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις Κρ. 1ο: Θα αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες είναι παραλληλόγραμμο. Ισχύει από τον ορισμό του παραλληλογράμμου Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις Κρ. 2ο: Θα αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ που έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες είναι παραλληλόγραμμο. Γνωρίζουμε ότι, ΑΒ = ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες (Κρ. 1ο). Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΔΓ. Έχουμε, • ΑΒ ΓΔ • ΑΔ ΒΓ • ΒΔ ΒΔ άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε: • 1 1 ˆ ˆ Δ Β ω ΑΒ//ΓΔ • 2 2 ˆ ˆ Δ Β φ ΑΔ//ΒΓ διότι σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. Επομένως, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις 22.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 4 of 11
  • 5. Κρ. 3ο: Θα αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ που έχει τις απέναντι γωνίες του ίσες είναι παραλληλόγραμμο. Για λόγους ευκολίας θέτουμε: ˆ ˆ Α Γ ω και ˆ Β̂ Δ φ Θα αποδείξουμε ότι οι απέναντι πλευρές του τετράπλευρου ΑΒΓΔ είναι παράλληλες (Κρ. 1ο – ορισμός). Γνωρίζουμε ότι, 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ Α Β Γ Δ 360 ω φ ω φ 360 2ω 2φ 360 ω φ 180 οπότε • 0 ˆ ˆ Α Δ 180 ΑΒ / /ΓΔ • 0 ˆ ˆ Α Β 180 ΑΔ / /ΒΓ επειδή οι εντός και επί τα αυτά γωνίες που σχηματίζονται είναι παραπληρωματικές. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις Κρ. 4ο: Θα αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ που έχει τις δύο απέναντι πλευρές του ίσες και παράλληλες είναι παραλληλόγραμμο. Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ ΓΔ και ΑΒ/ /ΓΔ . Αρκεί να αποδείξουμε ότι ΑΔ = ΒΓ, άρα από το Κριτήριο 2ο το τετράπλευρο αυτό είναι παραλληλόγραμμο. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ. Έχουμε, • ΑΒ ΓΔ • ΒΔ ΒΔ κοινή πλευρά • 1 1 ˆ Β̂ Δ ω ως εντός εναλλάξ άρα τα τρίγωνα είναι ίσα οπότε και τα υπόλοιπα στοιχεία τους είναι ίσα, οπότε ΑΔ = ΒΓ δηλαδή το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις 22.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 5 of 11
  • 6. Κρ. 5ο: Θα αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ που οι διαγώνιοί του διχοτομούνται είναι παραλληλόγραμμο. Από υπόθεση έχουμε: ΑΟ = ΟΓ και ΒΟ = ΟΔ. Θα αποδείξουμε ότι έχει δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες άρα από το Κρ. 4ο είναι παραλληλόγραμμο. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΔΟΓ. Έχουμε, • ΑΟ ΟΓ(υπόθεση) • ΟΒ ΔΟ (υπόθεση) • 1 2 ˆ ˆ Ο Ο (ως κατακορυφήν) άρα τα τρίγωνα είναι ίσα οπότε και τα υπόλοιπα στοιχεία τους είναι ίσα άρα 1 1 ˆ ˆ Δ Β ΑΒ/ /ΓΔ διότι σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες και ΑΒ ΓΔ επομένως το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις Β) Ορθογώνιο Ιδ. 1η: Το ορθογώνιο έχει όλες τις ιδιότητες του παρ/μου. Προφανώς, διότι το ορθογώνιο είναι παραλληλόγραμμο (με μία γωνία ορθή). Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις Ιδ. 2η: Θα αποδείξουμε ότι στο ορθογώνιο όλες οι γωνίες του είναι ορθές. Έστω ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο με 0 Â 90 . Θ.δ.ο: 0 ˆ ˆ ˆ B Γ Δ 90 Γνωρίζουμε ότι στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες (Ιδ. 1η παρ/μου) άρα 0 ˆ ˆ A Γ 90 . Επίσης, στο παραλληλόγραμμο οι διαδοχικές του γωνίες είναι παραπληρωματικές (Ιδ. 3η παρ/μου) άρα 0 0 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A Δ 180 90 Δ 180 Δ 180 90 Δ 90 άρα και 0 Γ̂ 90 . Επομένως, όλες οι γωνίες του ορθογωνίου είναι ορθές. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις 22.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 6 of 11
  • 7. Ιδ. 3η: Θα αποδείξουμε ότι στο ορθογώνιο ΑΒΓΔ οι διαγώνιοί του είναι ίσες. Θα αποδείξουμε ότι: ΑΓ ΒΔ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΔΓ. Έχουμε, • 0 ˆ Γ̂ Δ 90 (από Ιδ. 2η) • ΔΓ ΔΓ (κοινή πλευρά) • ΑΔ ΒΓ (απέναντι πλευρές παρ/μου είναι ίσες) οπότε ΑΓ ΒΔ. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις Κρ. 1ο: Παρ/μο + μία γωνία του ορθή θα αποδείξουμε ότι είναι ορθογώνιο. Ισχύει άμεσα από τον ορισμό του ορθογωνίου. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις Κρ. 2ο: Παρ/μο + οι διαγώνιοί του ίσες θα αποδείξουμε ότι είναι ορθογώνιο. Έστω ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο με ΑΓ = ΒΔ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι μία γωνία του είναι ορθή (Κρ. 1ο). Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΔΓ. Έχουμε, • ΑΔ ΒΓ (απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου) • ΔΓ ΔΓ (κοινή πλευρά) • ΑΓ ΒΔ (υπόθεση) άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε ˆ ˆ Δ Γ , όμως από την Ιδιότητα 3η του παρ/μου οι διαδοχικές του γωνίες του είναι ίσες οπότε: 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Δ Γ 180 Γ Γ 180 2Γ 180 Γ 90 Επομένως, το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις Κρ. 3ο: Τετράπλευρο + τρεις γωνίες ορθές θα αποδείξουμε ότι είναι ορθογώνιο. Αν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχει τρεις γωνίες ορθές, έστω 0 ˆ ˆ ˆ A B Γ 90 τότε 0 0 0 0 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A B Γ Δ 360 90 90 90 Δ 360 Δ 360 270 Δ 90 Επομένως, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο διότι έχει τις απέναντι γωνίες του ίσες (Κρ. 2ο του παρ/μου) και είναι ορθογώνιο γιατί μία γωνία του είναι ορθή. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις 22.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 7 of 11
  • 8. Κρ. 4ο: Τετράπλευρο + όλες οι γωνίες του ίσες θα αποδείξουμε ότι είναι ορθογώνιο. Έστω τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ˆ ˆ ˆ ˆ A B Γ Δ ω . Έχουμε, 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ A B Γ Δ 360 ω ω ω ω 360 4ω 360 ω 90 Επομένως, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο διότι έχει τρεις γωνίες ορθές (Κριτήριο 4ο ορθογωνίου). Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις Γ) Ρόμβος Ιδ. 1η: Θα αποδείξουμε ότι ο ρόμβος έχει όλες τις ιδιότητες του παρ/μου. Προφανώς, διότι ο ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις Ιδ. 2η: Θα αποδείξουμε ότι στο ρόμβο όλες οι πλευρές του είναι ίσες. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ ΑΔ x (1). Γνωρίζουμε ότι οι απέναντι πλευρές του παρ/μου είναι ίσες (Ιδ. 1η), άρα ΓΔ ΑΒ x (2) και ΒΓ ΑΔ x (3) Από τις σχέσεις (1), (2) και (3) συμπεραίνουμε ότι όλες οι πλευρές του ΑΒΓΔ είναι ίσες. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις Ιδ. 3η: Θα αποδείξουμε ότι στο ρόμβο οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα. Έστω ΑΓ και ΒΔ οι διαγώνιοι του ρόμβου που τέμνονται στο σημείο Ο. Θ.δ.ο: 0 Ο̂ 90 Στο τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε ότι ΑΔ ΑΒ (Ιδ. 2η ρόμβου), άρα είναι ισοσκελές. Επίσης, το ΑΟ είναι διάμεσος, διότι οι διαγώνιοι διχοτομούνται, άρα και ύψος, οπότε 0 Ο̂ 90 . Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις 22.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 8 of 11
  • 9. Ιδ. 4η: Θα αποδείξουμε ότι στο ρόμβο οι διαγώνιοί του διχοτομούν τις γωνίες των κορυφών. Έστω ΑΓ και ΒΔ οι διαγώνιοι του ρόμβου που τέμνονται στο σημείο Ο. Θ.δ.ο: 1 2 ˆ ˆ A A Στο τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε ότι ΑΔ ΑΒ (Ιδ. 2η ρόμβου), άρα είναι ισοσκελές. Επίσης, το ΑΟ είναι διάμεσος, διότι οι διαγώνιοι διχοτομούνται, άρα και διχοτόμος, οπότε 1 2 ˆ ˆ A A . Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις Κρ. 1ο: Παρ/μο + δύο διαδοχικές πλευρές ίσες θα αποδείξουμε ότι είναι ρόμβος. Προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του ρόμβου. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις Κρ. 2ο: Παρ/μο + οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα θα αποδείξουμε ότι είναι ρόμβος. Έστω ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο με ΑΓ ΒΔ δηλαδή 0 Ô 90 . Αρκεί να αποδείξουμε ότι δύο διαδοχικές πλευρές του ΑΒΓΔ είναι ίσες. Θ.δ.ο: ΑΔ ΑΒ (δύο διαδοχικές πλευρές ίσες) Στο τρίγωνο ΑΔΒ παρατηρούμε ότι: • η ΑΟ είναι διάμεσος (διότι οι διαγώνιοι του παρ/μου διχοτομούνται) • και η ΑΟ είναι ύψος (διότι ΑΟ ΒΔ ) άρα το τρίγωνο ΑΔΒ είναι ισοσκελές. Επομένως, ΑΔ ΑΒ. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις Κρ. 3ο: Παρ/μο + μία διαγώνιός του διχοτομεί μία γωνία του θα αποδείξουμε ότι είναι ρόμβος. Έστω ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο και 1 2 ˆ ˆ A A . Αρκεί να αποδείξουμε ότι δύο διαδοχικές πλευρές του ΑΒΓΔ είναι ίσες. Θ.δ.ο: ΑΔ ΑΒ (δύο διαδοχικές πλευρές ίσες) Στο τρίγωνο ΑΔΒ παρατηρούμε ότι: • η ΑΟ είναι διάμεσος (διότι οι διαγώνιοι του παρ/μου διχοτομούνται) • και η ΑΟ είναι διχοτόμος (διότι 1 2 ˆ ˆ A A ), άρα το τρίγωνο ΑΔΒ είναι ισοσκελές. Επομένως, ΑΔ ΑΒ. 22.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 9 of 11
  • 10. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις Κρ. 4ο: Τετράπλευρο + όλες οι πλευρές ίσες θα αποδείξουμε ότι είναι ρόμβος. Έστω τετράπλευρο ΑΒΓΔ τέτοιο ώστε: ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΑ. Επειδή οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες από Κριτήριο παρ/μου έπεται ότι είναι παραλληλόγραμμο. Όμως έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες πχ. ΑΒ ΒΓ, άρα το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις Δ) Τετράγωνο Ιδ. 1η: Θα δείξουμε ότι το τετράγωνο έχει όλες τις ιδιότητες του παρ/μου. Προκύπτει άμεσα από το ορισμό του τετραγώνου. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις Ιδ. 2η: Θα δείξουμε ότι το τετράγωνο έχει όλες τις ιδιότητες του ορθογωνίου. Προκύπτει άμεσα από το ορισμό του τετραγώνου. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις Ιδ. 3η: Θα δείξουμε ότι το τετράγωνο έχει όλες τις ιδιότητες του ρόμβου. Προκύπτει άμεσα από το ορισμό του τετραγώνου. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις Κριτήρια τετραγώνου Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ. • Αν ισχύει ένα Κριτήριο του Ορθογωνίου, τότε έχουμε ότι το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο. • Αν ισχύει ένα Κριτήριο του ρόμβου, τότε έχουμε ότι το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος. Επομένως, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο + ρόμβος (άρα και παραλληλόγραμμο) οπότε είναι τετράγωνο. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις 22.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 10 of 11
  • 11. Ορισμοί τετράπλευρων 1) Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις 2) Ορθογώνιο λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει μια γωνία ορθή. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις 3) Ρόμβος λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις 4) Τετράγωνο λέγεται το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος. Επιστρέψτε στις εκφωνήσεις 22.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 11 of 11