Επιμέλεια: Νίκος Σπλήνης για το lisari.blogspot.com

1. Συναρτήσεις – Διαφορικός Λογισμός
Επαναληπτικό Διαγώνισμα
Φεβρουάριος 2020
Επιμέλεια: Νίκος Σπλήνης
Θέμα Α
Α1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα  και 0x ένα εσωτερικό σημείο του
. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0x και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό,
να αποδείξετε ότι:  0 0 f x . Μονάδες 6
Α2. Πότε θα λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα  ,  ;
Μονάδες 3
Α3. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό : ‹‹ Αν   0 f x , για κάθε 1 2   x A , τότε η
f είναι σταθερή συνάρτηση στο A.››
α. Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό ως Αληθή ή Ψευδή. Μονάδες 2
β. Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας με κατάλληλο παράδειγμα αν είναι Ψευδής ή
αποδεικνύοντας την απάντηση σας αν είναι Αληθής. Μονάδες 4
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστό ή Λάθος,
α. Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και στρέφει τα κοίλα άνω στο
Δ , τότε ισχύει   0 f x , για κάθε x .
β. Αν   1f x για κάθε x και υπάρχει το  0
lim
x
f x , τότε κατ΄ ανάγκη  0
lim 1


x
f x .
γ. Το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα μιας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε ελάχιστο της
συνάρτησης.
δ. Οι γραφικές παραστάσεις C και C΄ των συναρτήσεων f και 1
f 
είναι συμμετρικές ως
προς την ευθεία y x  που διχοτομεί τις γωνίες x Oy και xOy
ε. Κάθε «1-1» συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. Μονάδες 10 (2x5)
Θέμα Β
Θεωρούμε τη συνάρτηση f με τύπο,   1
1
 

x
x
e
f x
e
.
Β1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία (3 μονάδες), την κυρτότητα (3μονάδες) και να
βρείτε το σύνολο τιμών της (4 μονάδες). Μονάδες 10
Β2. i. Να βρείτε την εφαπτομένη της fC στο σημείο της   0, 0A f . Μονάδες 3
ii. Να αποδείξετε ότι για κάθε  0, x ισχύει:  4 6 f x x Μονάδες 3
Β3. Να σχεδιάσετε πρόχειρα τη γραφική παράσταση της f Μονάδες 5
Β4. Να λύσετε την εξίσωση  
6
4
 
 
x x
f x x

 Μονάδες 4
27.02.2020 lisari.blogspot.com Page 1 of 2

2. Θέμα Γ
Δίνεται η συνάρτηση   2
ln 2  f x x x x .
Γ1. Να βρείτε το σημείο καμπής της f . Μονάδες 5
Γ2. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 7
Γ3. Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού  , να βρείτε το πλήθος το ριζών της
εξίσωσης 2
2
ln
 

x
x
x

. Μονάδες 6
Γ4. Να αποδείξετε ότι το όριο
 
 
3
21
1
1
1
1
 


x
x
x e
xlim
f x

δεν υπάρχει. Μονάδες 7
Θέμα Δ
Δίνονται οι συναρτήσεις  
1
1
x
f x lnx
x

 

και    2 2ln 1 lng x x x x x   
Δ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία (3 μονάδες) και να δείξετε ότι η εξίσωση
  0f x  έχει ακριβώς 2 ρίζες στο πεδίο ορισμού της (4 μονάδες). Μονάδες 7
Δ2. Αν η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης   lnk x x στο σημείο
 ,lnA   , 0  και η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης   x
h x e
στο σημείο  ,B e
 , Ã  ταυτίζονται, τότε να αποδείξετε ότι ο αριθμός α είναι ρίζα της
εξίσωσης   0f x  . Μονάδες 6
Δ3. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g παρουσιάζει μοναδικό ακρότατο (4 μονάδες) και να
βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής της παράστασης της g . (3 μονάδες) Μονάδες 7
Δ4. Το εμβαδόν του τραπεζίου με κορυφές  2,0A ,  2,0B x  ,   2, 2x g x   ,
  2, 2g και  2,11x , μεταβάλλεται καθώς το x απομακρύνεται από το σημείο Α με
ταχύτητα 0,1 /m s . Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τραπεζίου, τη χρονική
στιγμή 0t που το σημείο Β έχει συντεταγμένες  7,0 . Μονάδες 5
Καλή επιτυχία
27.02.2020 lisari.blogspot.com Page 2 of 2