Διαγώνισμα προσομοίωσης

1. Σελίδα 1 από 7
ΤΑΞΗ Γ
Θέματα προσομοίωσης 2015
by askisiologio.gr
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2015
ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο
διάστημα [α,β] και f(α)  f(β), να
αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό n μεταξύ των
f(α), f(β) υπάρχει ένας τουλάχιστον
xο∈(α,β) τέτοιος ώστε f(xo) = n.
Μονάδες 8
Α2. Πότε μια συνάρτηση f είναι 1-1;
Μονάδες 3
Α3. Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle και
να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του.
Μονάδες 4
Α4. Να σημειώσετε Σ για τις Σωστές και
Λ για τις Λάθος προτάσεις:
α. Μέτρο ενός μιγαδικού z είναι η
απόσταση της εικόνας του από την αρχή
των αξόνων και είναι θετικός αριθμός.

2. Σελίδα 2 από 7
ΤΑΞΗ Γ
Θέματα προσομοίωσης 2015
by askisiologio.gr
Μονάδες 2
β. Για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει
iv = iυ, όπου υ το υπόλοιπο της
ευκλείδειας διαίρεσης του ν με το 4.
Μονάδες 2
γ. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1-1
και δεν είναι γνησίως μονότονες.
Μονάδες 2
δ. Αν f(x)>0 , τότε ισχύει  
ln2
1
f x dx 0
Μονάδες 2
ε. Αν ισχύει f(x) > k, τότε ισχύει
 
β
α
f x dx > k(β – α)
Μονάδες 2
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται οι μιγαδικοί z και w για τους
οποίους ισχύουν οι σχέσεις:
 3 6z i = 6 και w =    3 1 7 3  λ λ i
Β1. Να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος
των εικόνων του z είναι κύκλος με
κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα
2, ενώ ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων
του w είναι η ευθεία ε: 3 x – y + 4 = 0
Μονάδες 8
Β2. Να βρεθούν οι μοναδικοί μιγαδικοί zo
και wo για τους οποίους ισχύει zo = wo.
Μονάδες 4

3. Σελίδα 3 από 7
ΤΑΞΗ Γ
Θέματα προσομοίωσης 2015
by askisiologio.gr
Β3. Να δειχθεί ότι ow = 2 και να
ερμηνεύσετε γεωμετρικά την ισότητα
αυτή.
Μονάδες 5
Β4. Έστω οι μιγαδικοί z1, z2 των οποίων
οι εικόνες ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο
του z και ισχύει 1 2z z 4  .
Αν είναι 1w z =2, να δειχθεί ότι 2w z =2.
Μονάδες 8
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση
f:(0, +∞)→R για την οποία ισχύει:
f(x) =  2 x
1 1
f t
dt dt
t
 
 
 
  + x - 1
Γ1. Να δειχθεί ότι f(x) = xlnx και να
βρεθεί το σύνολο τιμών της.
Μονάδες 7
Γ2. Να δειχθεί ότι ισχύει lnπ > e
π
Μονάδες 3
Γ3. Να μελετηθεί η f ως προς την
κυρτότητα και να βρεθεί η εφαπτομένη
(ε) της γραφικής παράστασης της f στο
σημείο με τετμημένη α > 1.
Μονάδες 3
Γ4. Αν (ε): y = (lnα+1)x – α η παραπάνω
εφαπτομένη, να δειχθεί ότι το εμβαδό

4. Σελίδα 4 από 7
ΤΑΞΗ Γ
Θέματα προσομοίωσης 2015
by askisiologio.gr
Ε(α) που ορίζεται από την γραφική
παράσταση της f, την (ε) και τις
ευθείες x = 1 και x = α είναι
Ε(α) = 1
4
(2lnα + α2 – 4α + 3)
Μονάδες 6
Γ5. Να υπολογιστούν τα όρια:
α. lima
 
2
Ε α
α
Μονάδες 3
β. lima 
 
1 α
Ε α
e
Μονάδες 3
ΘΕΜΑ Δ
Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο R
συναρτήσεις f, g και F για τις οποίες
ισχύουν:
 F(x)=  
2
x
x
f t dt + x2 – x ≥0, για κάθε x∈R
 g’’(x) = g(x), για κάθε x∈R
 g(0) = g’(0) = 1
Να δειχθεί ότι:
Δ1. f(0) = f(1) = -1 (Μονάδες 6) και η
συνάρτηση f έχει τουλάχιστον μία
εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα x’x.
(Μονάδες 2)
Μονάδες 8
Δ2. g(x) = ex
Μονάδες 7

5. Σελίδα 5 από 7
ΤΑΞΗ Γ
Θέματα προσομοίωσης 2015
by askisiologio.gr
Δ3. η συνάρτηση h(x) = 2f(x) + g(1 – x)
τέμνει τον θετικό ημιάξονα Οx
τουλάχιστον σε ένα σημείο.
Μονάδες 4
Δ4.
 
  
x
0
0
1
F x συν
x
0
h t et 2 e dt lnx
limx
 
 
  
   
Μονάδες 6
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

6. Σελίδα 6 από 7
ΤΑΞΗ Γ
Θέματα προσομοίωσης 2015
by askisiologio.gr
ΟΔΗΓΙΕΣ ΛΥΣΕΩΝ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Θεωρία
Α2. Θεωρία
Α3. Θεωρία
Α4. Σ - Λ
ΘΕΜΑ Β
Β1. Στην πρώτη σχέση να χρησιμοποιηθεί η ιδιότητα του
γινομένου μέτρου μιγαδικού.
Στη δεύτερη σχέση να θεωρήσετε x και y αντίστοιχα, το Re(w)
και Im(w) και να κάνετε απαλοιφή την παραμέτρου λ.
Β2. Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων των δύο γεωμετρικών
τόπων.
Β3. Να βρείτε την απόσταση του σημείου τομής των δύο τόπων
από την αρχή των αξόνων.
Να παρατηρήσετε ότι η απόσταση αυτή ισούται με την ακτίνα.
Β4. Να παρατηρήσετε ότι η πρώτη δοσμένη σχέση μας βοηθά
να συμπεράνουμε ότι οι εικόνες των δύο μιγαδικών είναι
αντιδιαμετρικά σημεία και η δεύτερη δοσμένη σχέση μας λέει
ότι η απόσταση του z1 από την ευθεία είναι ίση με την ακτίνα
του κύκλου.
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Να παρατηρήσετε ότι το εσωτερικό ολοκλήρωμα αποτελεί
συνάρτηση του x, άρα μπορεί να βγει έξω από το εξωτερικό
ολοκλήρωμα. Έπειτα να παραγωγίσετε το γινόμενο που
προκύπτει.
Γ2. Να παρατηρήσετε ότι e και π ανήκουν στο (
1
e
, +∞) και να
χρησιμοποιήσετε τη μονοτονία της f στο διάστημα αυτό.
Γ3. Διαδικαστικό ερώτημα χωρίς κάποια ιδιαιτερότητα.

7. Σελίδα 7 από 7
ΤΑΞΗ Γ
Θέματα προσομοίωσης 2015
by askisiologio.gr
Γ4. Να παρατηρήσετε την ανισοτική σχέση που προκύπτει
μεταξύ f και εφαπτομένης, εξαιτίας της καμπυλότητας της f.
Γ5. α. Αποδείξτε ότι το όριο είναι της μορφής


και
εφαρμόστε κανόνα De L’ Hospital.
β. Παρατηρήστε ότι το όριο είναι της μορφής 0∙∞
ΘΕΜΑ Δ
Δ1. Αρχικά παρατηρήστε ότι F(0) = F(1) = 0 και εφαρμόστε
δύο φορές Θεώρημα Fermat.
Έπειτα εφαρμόστε Θεώρημα Rolle στο [0, 1].
Δ2. Προσθέστε και αφαιρέστε το ex∙f ’(x).
Δ3. Εφαρμόστε Θεώρημα Bolzano στην h(x) στο [0, 1].
Δ4. Αρχικά διαχωρίστε το αρχικό όριο σε γινόμενο δύο ορίων.
Το πρώτο να είναι της μορφής
0
0
και το δεύτερο να
υπολογιστεί με χρήση Κριτηρίου Παρεμβολής (Μηδενική επί
φραγμένη).
Μποζατζίδης Βασίλης