Επιμέλεια: Βαγγέλης Νικολακάκης για το lisari

1. Σελίδα 1 από 4
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ
ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΝΙΚΟΛΑΚΑΚΗΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα ,  
  
. Αν G είναι
μια παράγουσα της f στο ,  
 
, να αποδείξετε ότι:
( ) ( ) ( )f t dt G G


   . (Μονάδες 10)
Α2. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A. Τι ονομάζουμε τοπικό
ελάχιστο της f στο ox A ; (Μονάδες 5)
Α3. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις με
Σωστό(Σ), αν είναι σωστή, ή με Λάθος(Λ), αν είναι λανθασμένη:
1. Αν lim ( )
ox x
f x
 , limg( )
ox x
x m
 , , m R και ( ) ( )f x g x κοντά
στο ox τότε m .
2. Αν οι συναρτήσεις ,f g είναι συνεχείς στο ox τότε και η
σύνθεσή τους g f είναι συνεχής στο ox .
3. Αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο ,  
 
με ( ) ( )f f  ,
τότε υπάρχει  ,ox   τέτοιο, ώστε '( ) 0of x  .
4. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ' ένα διάστημα  ,  και
 ,ox   . Αν η ''f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του ox τότε
το  , ( )o oA x f x είναι σημείο καμπής.
5. Μία παράγουσα της   1f x
x
 όταν  0,x  , είναι η F(x) lnx
(Μονάδες 10)

2. Σελίδα 2 από 4
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση
 2 1 2
( )
2
x x
f x
x
    


με , R  και
2
lim ( ) 5
x
f x


Β1. Να δείξετε ότι 0  και 4  . (Μονάδες 7)
Β2. Να δείξετε ότι υπάρχει  0,1 τέτοιο ώστε:
    4 12  
  
  
       f f (Μονάδες 5)
Β3. Έστω η συνάρτηση
( )( ) x
f xg x
e
 , 2x
i) Αν η εξίσωση εφαπτομένης της gC στο σημείο  ,o ox g x 
 
 

διέρχεται από το σημείο  1,0 να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες
του A. (Μονάδες 6)
ii) Ν' αποδείξετε ότι   2g x e για κάθε 2x (Μονάδες 7)
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται συνάρτηση f η οποία ορίζεται στο 3, 3 
 
 με (0) 0f  . Αν η
γραφική παράσταση της 'f είναι η παρακάτω:

3. Σελίδα 3 από 4
Γ1. α) Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως
αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη και τις θέσεις τοπικών
ακρότατων και σημείων καμπής. (Μονάδες 6)
β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f . (Μονάδες 3)
Γ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2( ) 1f x x  έχει το πολύ μία λύση στο
διάστημα 1, 3
2
 
 
  
. (Μονάδες 4)
Γ3. Αν ισχύει  
 2
f x
x f x
x
  

 για κάθε 3,0x 

  ή 0,3x 

 , να βρείτε
τον τύπο της συνάρτησης f . (Μονάδες 5)
Γ4. Αν 2( ) ln( 1)f x x  να υπολογίσετε το άθροισμα ολοκληρωμάτων:
 
0 2 2
1
01
'( ) x f x dxf x x dx  
 
 

  (Μονάδες 7)
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση :f R R , η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη,
με συνεχή την δεύτερη παράγωγο και τέτοια ώστε:
  0 3f 
 '(1) (2) (1)f f f 
 ''( ) 0f x  , για κάθε x R

  2
2
3
lim 1
2
x
x
f x e
x


 


Να αποδείξετε ότι :
Δ1. '( 2) 2f   (Μονάδες 5)
Δ2. η συνάρτηση f είναι κοίλη και να λύσετε την εξίσωση

4. Σελίδα 4 από 4
2 2 22ln 1 2 2 2 2 ln 2 1
        
                 
         f x f x x f x x f x x
(Μονάδες 5)
Δ3. η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό μέγιστο σε σημείο  2, 0ox  
(Μονάδες 6)
Δ4. Έστω επιπλέον η παραγωγίσιμη συνάρτηση :g R R , η οποία έχει
συνεχή την 1η
της παράγωγο και ισχύουν οι σχέσεις:
(0) 1g και
3 2
0
'( ) 2 3
 
  
    
 
  
xf g x x e dx
τότε να δείξετε ότι :
i)
3 2
0
'( ) 2 0 
  
  
xg x x e dx και (Μονάδες 5)
ii) 2( )  xg x x e (Μονάδες 4)
Καλή Επιτυχία!