Επιμέλεια: Ρωσσίδης Ιωσήφ για το lisari.blogspot.gr

1. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2.6 – 2.10
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : ΤΡΕΙΣ (3)
Θέμα Α
Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως
ένα σημείο του x0, στο οποίο, όμως, η f είναι συνεχής. Αν f΄(x) διατηρεί πρόσημο στο
(α, x0)⋃(x0, β), τότε να αποδείξετε ότι το f(x0) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι
γνησίως μονότονη στο (α, β).
Μονάδες 7
Α2. Πότε η ευθεία y =  λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της
f στο +∞;
Μονάδες 4
Α3. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με
εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0. Πότε το σημείο Α(x0, f(x0)) ονομάζεται σημείο
καμπής της Cf;
Μονάδες 4
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας,
δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι
σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α. Έστω μια συνάρτηση f που είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f′(x) > 0 σε κάθε
εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.
β. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο
του x0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f΄(x) > 0 στο (α, x0) και f΄(x) < 0 στο (x0, β),
τότε το f(x0) είναι τοπικό ελάχιστο της f.
γ. Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ, στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός
της είναι ίση με το 0, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ.
δ. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ.
Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 και f΄(x0) = 0, τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό
ακρότατο στο x0.
ε. Αν μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℜ και στρέφει τα κοίλα προς τα
άνω, τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει 0)(  xf για κάθε πραγματικό αριθμό x.
Μονάδες 10

2. ΘΕΜΑ Β
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:  για την οποία ισχύουν:
 )()3)(()(2 2
xfxfxxxf  για κάθε x

2
1
)1( f
Β1. Να αποδείξετε ότι:
1
)( 2
3


x
x
xf , x και στη συνέχεια ότι η συνάρτηση f
είναι γνησίως αύξουσα στο  .
Μονάδες 8
Β2. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f του
ερωτήματος Β1.
Μονάδες 4
Β3. Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την εξίσωση:
]1)6[(125)125()6( 223232
 xxxx .
Μονάδες 6
Β4. Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση:
   2232
)1(88)1(5  xfxf
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex-1
+ αlnx, με x > 0 και a . Επίσης ισχύει 1)( xf
για κάθε x > 0.
Γ1. Να αποδείξετε ότι α = -1.
Μονάδες 5
Γ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (0, 1] και
γνησίως αύξουσα στο διάστημα [1, +∞). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της
f.
Μονάδες 9
Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 1)
2
1
)(( xff έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες.
Μονάδες 5

3. Γ4. Αν x1, x2 με x1 < x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης του Γ3 ερωτήματος, να αποδείξετε ότι
υπάρχει ξ∈(x1, 1) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της Cf στο (ξ, f(ξ)) να διέρχεται από το σημείο
Μ 





2
3
,0 .
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Δ
Δ1. Να μελετήσετε την συνάρτηση f(x) = x – 2 – xlnx ως προς την μονοτονία και τα
ακρότατα.
Μονάδες 5
Δ2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο
σημείο Α(e, f(e)). Στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = – x + e – 2, x > 0
έχει ακριβώς μία λύση.
Μονάδες 5
Δ3. Να βρείτε το πλήθος των θετικών ριζών της εξίσωσης
2a
x
e
e
x

 για τις διάφορες
πραγματικές τιμές του α.
Μονάδες 5
Δ4. Να μελετήσετε την συνάρτηση g(x) =
2
ln
x
x
ως προς την μονοτονία.
Μονάδες 5
Δ5. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της g.
Μονάδες 5
Καλή Επιτυχία!!!