This document is a chapter from a Greek first year high school mathematics textbook. It covers the topics of positive and negative real numbers, absolute value, opposites, and comparing real numbers. Some key points covered include: defining positive and negative numbers, their placement on the number line; absolute value as the distance from zero; opposites having the same absolute value but different signs; and the absolute value of positive numbers being themselves and negatives being their opposites. Examples are provided to illustrate these concepts along with exercises for students to practice.
How to Split Bills in the Odoo 17 POS ModuleCeline George
Bills have a main role in point of sale procedure. It will help to track sales, handling payments and giving receipts to customers. Bill splitting also has an important role in POS. For example, If some friends come together for dinner and if they want to divide the bill then it is possible by POS bill splitting. This slide will show how to split bills in odoo 17 POS.
Instructions for Submissions thorugh G- Classroom.pptxJheel Barad
This presentation provides a briefing on how to upload submissions and documents in Google Classroom. It was prepared as part of an orientation for new Sainik School in-service teacher trainees. As a training officer, my goal is to ensure that you are comfortable and proficient with this essential tool for managing assignments and fostering student engagement.
The Indian economy is classified into different sectors to simplify the analysis and understanding of economic activities. For Class 10, it's essential to grasp the sectors of the Indian economy, understand their characteristics, and recognize their importance. This guide will provide detailed notes on the Sectors of the Indian Economy Class 10, using specific long-tail keywords to enhance comprehension.
For more information, visit-www.vavaclasses.com
Ethnobotany and Ethnopharmacology:
Ethnobotany in herbal drug evaluation,
Impact of Ethnobotany in traditional medicine,
New development in herbals,
Bio-prospecting tools for drug discovery,
Role of Ethnopharmacology in drug evaluation,
Reverse Pharmacology.
Palestine last event orientationfvgnh .pptxRaedMohamed3
An EFL lesson about the current events in Palestine. It is intended to be for intermediate students who wish to increase their listening skills through a short lesson in power point.
Model Attribute Check Company Auto PropertyCeline George
In Odoo, the multi-company feature allows you to manage multiple companies within a single Odoo database instance. Each company can have its own configurations while still sharing common resources such as products, customers, and suppliers.
Students, digital devices and success - Andreas Schleicher - 27 May 2024..pptxEduSkills OECD
Andreas Schleicher presents at the OECD webinar ‘Digital devices in schools: detrimental distraction or secret to success?’ on 27 May 2024. The presentation was based on findings from PISA 2022 results and the webinar helped launch the PISA in Focus ‘Managing screen time: How to protect and equip students against distraction’ https://www.oecd-ilibrary.org/education/managing-screen-time_7c225af4-en and the OECD Education Policy Perspective ‘Students, digital devices and success’ can be found here - https://oe.cd/il/5yV
This is a presentation by Dada Robert in a Your Skill Boost masterclass organised by the Excellence Foundation for South Sudan (EFSS) on Saturday, the 25th and Sunday, the 26th of May 2024.
He discussed the concept of quality improvement, emphasizing its applicability to various aspects of life, including personal, project, and program improvements. He defined quality as doing the right thing at the right time in the right way to achieve the best possible results and discussed the concept of the "gap" between what we know and what we do, and how this gap represents the areas we need to improve. He explained the scientific approach to quality improvement, which involves systematic performance analysis, testing and learning, and implementing change ideas. He also highlighted the importance of client focus and a team approach to quality improvement.
How to Create Map Views in the Odoo 17 ERPCeline George
The map views are useful for providing a geographical representation of data. They allow users to visualize and analyze the data in a more intuitive manner.
Unit 8 - Information and Communication Technology (Paper I).pdfThiyagu K
This slides describes the basic concepts of ICT, basics of Email, Emerging Technology and Digital Initiatives in Education. This presentations aligns with the UGC Paper I syllabus.
The Roman Empire A Historical Colossus.pdfkaushalkr1407
The Roman Empire, a vast and enduring power, stands as one of history's most remarkable civilizations, leaving an indelible imprint on the world. It emerged from the Roman Republic, transitioning into an imperial powerhouse under the leadership of Augustus Caesar in 27 BCE. This transformation marked the beginning of an era defined by unprecedented territorial expansion, architectural marvels, and profound cultural influence.
The empire's roots lie in the city of Rome, founded, according to legend, by Romulus in 753 BCE. Over centuries, Rome evolved from a small settlement to a formidable republic, characterized by a complex political system with elected officials and checks on power. However, internal strife, class conflicts, and military ambitions paved the way for the end of the Republic. Julius Caesar’s dictatorship and subsequent assassination in 44 BCE created a power vacuum, leading to a civil war. Octavian, later Augustus, emerged victorious, heralding the Roman Empire’s birth.
Under Augustus, the empire experienced the Pax Romana, a 200-year period of relative peace and stability. Augustus reformed the military, established efficient administrative systems, and initiated grand construction projects. The empire's borders expanded, encompassing territories from Britain to Egypt and from Spain to the Euphrates. Roman legions, renowned for their discipline and engineering prowess, secured and maintained these vast territories, building roads, fortifications, and cities that facilitated control and integration.
The Roman Empire’s society was hierarchical, with a rigid class system. At the top were the patricians, wealthy elites who held significant political power. Below them were the plebeians, free citizens with limited political influence, and the vast numbers of slaves who formed the backbone of the economy. The family unit was central, governed by the paterfamilias, the male head who held absolute authority.
Culturally, the Romans were eclectic, absorbing and adapting elements from the civilizations they encountered, particularly the Greeks. Roman art, literature, and philosophy reflected this synthesis, creating a rich cultural tapestry. Latin, the Roman language, became the lingua franca of the Western world, influencing numerous modern languages.
Roman architecture and engineering achievements were monumental. They perfected the arch, vault, and dome, constructing enduring structures like the Colosseum, Pantheon, and aqueducts. These engineering marvels not only showcased Roman ingenuity but also served practical purposes, from public entertainment to water supply.
Synthetic Fiber Construction in lab .pptxPavel ( NSTU)
Synthetic fiber production is a fascinating and complex field that blends chemistry, engineering, and environmental science. By understanding these aspects, students can gain a comprehensive view of synthetic fiber production, its impact on society and the environment, and the potential for future innovations. Synthetic fibers play a crucial role in modern society, impacting various aspects of daily life, industry, and the environment. ynthetic fibers are integral to modern life, offering a range of benefits from cost-effectiveness and versatility to innovative applications and performance characteristics. While they pose environmental challenges, ongoing research and development aim to create more sustainable and eco-friendly alternatives. Understanding the importance of synthetic fibers helps in appreciating their role in the economy, industry, and daily life, while also emphasizing the need for sustainable practices and innovation.
2. Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου
Επιμέλεια: Αλεξάνδρα Στυλιανίδου 2
7.1 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) –Η ΕΥΘΕΙΑ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ-
ΤΕΤΜΗΜΕΝΗ ΣΗΜΕΙΟΥ
1. Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά:
α. Οι ρητοί που έχουν πρόσημο «+» λέγονται ……………………. ενώ αυτοί που έχουν πρόσημο «–» λέγονται
……………………
β. Οι αριθμοί με το ίδιο πρόσημο λέγονται ………………….. ενώ αυτοί με διαφορετικό πρόσημο λέγονται
…………………
γ. Στην ευθεία των αριθμών, δεξιά του μηδενός βρίσκονται οι …………………..ρητοί και αριστερά του μηδενός οι
…………………… ρητοί.
2. ∆ίνονται οι ακόλουθοι αριθμοί. Να συμπληρώσετε τον ακόλουθο πίνακα σημειώνοντας X στην κατάλληλη θέση.
Αριθμός 3
5
-3 6 3,2
−
6
3
0
Φυσικός
Ακέραιος
Ρητός
3. Στον παρακάτω άξονα των ρητών αριθμών να τοποθετήσετε τους αριθμούς:
0, 1, -2 ,
!
"
, 8,5 , -6,5 και −
1
2
4. Στον παρακάτω άξονα να βρείτε τις τετμημένες των σημείων Α, Β, Γ , Δ και Ε.
26.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 2 of 32
3. Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου
Επιμέλεια: Αλεξάνδρα Στυλιανίδου 3
5. Να εκφράσετε με ρητούς αριθμούς τις παρακάτω εκφράσεις:
α. ελάττωση θερμοκρασία κατά 5℃
β. ζημία 5€
γ. αύξηση πληθυσμού κατά 150 ανθρώπους
δ. 18 m κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας.
6. Στον παρακάτω πίνακα να σημειώσετε εάν οι αριθμοί της πρώτης στήλης είναι oμόσημοι ή ετερόσημοι :
Αριθμοί Ομόσημοι Ετερόσημοι
2 και -4
3 και +4
-6 και −
!
"
-11 και -23,7
-2, -3 και -1
8, 10 και -21
7. Μια μέρα του περσινού Φεβρουαρίου η θερμοκρασία κυμάνθηκε από -2 εώς 5 βαθμούς Κελσίου . Αν
συμβολίσουμε την θερμοκρασία με x να βρείτε τις ακέραιες τιμές που μπορεί να πάρει ο x.
8. Ένας ακέραιος αριθμός α είναι ανάμεσα από το -2,5 και το -1,5 . Μπορειτε να τον βρείτε;
26.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 3 of 32
4. Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου
Επιμέλεια: Αλεξάνδρα Στυλιανίδου 4
7.2 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΡΗΤΟΥ-ΑΝΤΙΘΕΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΡΗΤΩΝ
Θεωρία….
Η απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού α εκφράζει την απόσταση του σημείου με τετμημένη α από την
αρχή Ο του άξονα και συμβολίζεται με |α|.
Αντίθετοι ονομάζονται δύο αριθμοί που είναι ετερόσημοι και έχουν την ίδια απόλυτη τιμή.
H απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός.
H απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετός του.
H απόλυτη τιμή του μηδενός είναι το μηδέν.
1. Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά:
α. Απόλυτη τιμή ενός αριθμού ονομάζεται η ……………… του αριθμού από την αρχή 0 του άξονα.
β. Δύο αριθμοί ονομάζονται αντίθετοι όταν είναι ………………… και έχουν την …………. ………………. …………….
γ. Η απόλυτη τιμή ενός θετικού είναι ο …………………. …….
δ. Η απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού είναι ο …………………. ………
2. Στις παρακάτω προτάσεις να συμπληρώσετε Σ αν είναι σωστές και Λ αν είναι λανθασμένες.
i) Μόνο ο αριθμός +7 έχει απόλυτη τιμή 7. Σ Λ
ii) Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν ίσες απόλυτες τιμές. Σ Λ
iii) Ο αντίθετος του +5 είναι ο -5. Σ Λ
iv) Οι αριθμοί +3 και -4 είναι αντίθετοι Σ Λ
v) Δύο αντίθετοι αριθμοί είναι ομόσημοι. Σ Λ
vi) Η απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετός του. Σ Λ
vii) Η απόλυτη τιμή του μηδέν είναι ίση με μηδέν. Σ Λ
viii) Η απόλυτη τιμή είναι πάντοτε θετικός αριθμούς Σ Λ
26.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 4 of 32
5. Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου
Επιμέλεια: Αλεξάνδρα Στυλιανίδου 5
3. Να βρείτε την απόλυτη τιμή των αριθμών:
• |+4| =…………
• |−4| =…………
Τι παρατηρείτε;
4. Να βρείτε τον αντίθετο σε κάθε περίπτωση:
• Ο αντίθετος του 3 είναι ο……
• Ο αντίθετος του
!
"
είναι ο…….
• Ο αντίθετος του -5 είναι ο……
• Ο αντίθετος του -3,5 είναι ο…..
5. Να συμπληρώσετε τον πίνακα:
Αριθμός 5 -2,1 7
3
Αντίθετος 25
−
1
5
Απόλυτη τιμή 8
6. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:
𝒙 2 -3 8 -4 0
|𝒙|
−𝒙
−(−𝒙)
−|𝒙|
7. Να βρείτε τους αριθμούς που έχουν απόλυτη τιμή ίση με 3.
8. Να γράψετε όλους τους ακέραιους που έχουν απόλυτη τιμή:
• μικρότερη του 4.
• μικρότερη ή ίση του 1.
• μικρότερη ή ίση του 5.
26.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 5 of 32
7. Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου
Επιμέλεια: Αλεξάνδρα Στυλιανίδου 7
7.3 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θεωρία….
Για να προσθέσω δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτω τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμα
κρατάω το ίδιο πρόσημο με τους αριθμούς.
Για να προσθέσω δύο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρώ τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμα
κρατάω το πρόσημο εκείνου που είχε τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.
1. Να κάνετε τις πράξεις:
(-7)+(-3)=…………… (+10)+(-12)=…………… 5+(+11)=……………
(+7)+(-9)=…………… (-8)+(-4)=…………… (-5)+(+12)=……………
(-5)+(-3)=…………… (+7)+(+4)= …………… (-10)+(+9)=……………
(-6)+(+5)=…………… (+8)+(-4)=…………… -2+(-4)=……………
2. Να συμπληρώσετε τον πίνακα:
3. Να τοποθετήσετε στα κενά τα κατάλληλα πρόσημα έτσι ώστε να βγαίνουν αληθείς ισότητες.
α) (...4) + (...3) = −1 ε) (...7) + (...7) = 0
β) (...2) + (...3) = −5 ζ) (...5) + 0 = −5
γ) (...6) + (...8) = 14 η) (...1) + (...1) = −2
δ) (…5)+(…8)=-13 θ) (…3)+(…19)=-16
+ -3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
26.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 7 of 32
8. Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου
Επιμέλεια: Αλεξάνδρα Στυλιανίδου 8
4. Να αντιστοιχίσετε τα αθροίσματα της 1
ης
στήλης με το κατάλληλο αποτέλεσμα από τη 2
η
στήλη.
1η
Στήλη 2η
Στήλη
1. (-3)+(+8) α. 17
2. (-8)+(+3) β. -5
3. (-9)+(-8) γ. +5
4. (+4)+(+13) δ. -17
5. Λύστε τα παρακάτω προβλήματα με τη βοήθεια της πρόσθεσης ρητών αριθμών:
1. Η τιμή ενός προϊόντος αυξήθηκε κατά 2€ την πρώτη εβδομάδα και μειώθηκε κατά 1€ την επόμενη
εβδομάδα. Πόση ήταν η συνολική αύξηση ή μείωση της τιμής του προϊόντος;
2. Η τιμή ενός προϊόντος μειώθηκε κατά 3€ τον πρώτο μήνα και κατά 4€ τον επόμενο μήνα. Πόση ήταν η
συνολική αύξηση ή μείωση της τιμής του προϊόντος;
3. Ένα ρομπότ βρίσκεται στην αρχή της αριθμογραμμής (σημείο με τετμημένη 0). Ποια η τετμημένη του
σημείου στο οποίο θα βρεθεί το ρομπότ αν κινηθεί πρώτα 7 βήματα αριστερά και στη συνέχεια 9 βήματα
δεξιά;
4. Ένα ρομπότ βρίσκεται στην αρχή της αριθμογραμμής (σημείο με τετμημένη 0). Ποια η τετμημένη του
σημείου στο οποίο θα βρεθεί το ρομπότ αν κινηθεί πρώτα 5 βήματα δεξιά και στη συνέχεια άλλα 6 βήματα
δεξιά;
5. Η θερμοκρασία στο Κάιρο ήταν 18°C το πρωί και ανέβηκε κατά 7°C το μεσημέρι. Πόση ήταν η θερμοκρασία
στο Κάιρο το μεσημέρι;
6. Η θερμοκρασία στη Στοκχόλμη ήταν 6°C το μεσημέρι και έπεσε κατά 8°C το βράδυ. Πόση ήταν η
θερμοκρασία στην Στοκχόλμη το βράδυ;
ΠΡΑΞΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ
1. (+2)+(-1)=+1 Η τιμή του προϊόντος αυξήθηκε συνολικά κατά 1€.
2.
3.
4.
5.
6.
6. Αν α=+3, β=-5 και γ=-2, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
Α=α+β+γ
26.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 8 of 32
9. Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου
Επιμέλεια: Αλεξάνδρα Στυλιανίδου 9
7. Αν α=12-18, β=-5+2 και γ=4-8+1, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
Α=α+β+γ
8. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α = x + y + ω + z όταν z = -2, y= -8, ω= +4, z=+1
Θεωρία…
Αν έχουμε άθροισμα ή διαφορά πολλών όρων, προτιμούμε να χωρίσουμε θετικούς από
αρνητικούς και να κάνουμε τις πράξεις μεταξύ τους, για παράδειγμα:
9. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα:
α) (-3)+(-2)+(+7)+(+3)=
β) (+5)+(+8)+(-3)+(-2)+(+5)+(-7)=
γ) (-5)+(+7)+(+4)+(-3)+(+1)+(-7)=
δ) (+4)+(+5)+(-4)+(-9)+(+2)=
ε) (+3)+(-5)+(+8)+(-2)=
ζ) (-8)+(+6)+(+3)+(-2)+(+7)=
η) (-3)+(-4)+(+8)+(+9)+(-1)=
26.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 9 of 32
11. Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου
Επιμέλεια: Αλεξάνδρα Στυλιανίδου 11
11. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα:
α) -3 +2 -9 -6 +7 -11 =
β) +5 +4 -3 -2 +7 =
γ) +4 -1 +3 -2 +1 -11 =
δ) +7 -1 +1 -4 -7 +4 =
12. Αν x=3-4+8, y= -5-6+3 ω=-8-7+2 , να υπολογίσετε τα παρακάτω:
α) x+y =
β) x+y+ω =
γ) y+ω =
δ) ω+x =
13. Τοποθέτησε ένα "X" στην αντίστοιχη θέση ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ
(α) Στους ρητούς αριθμούς η πρόσθεση σημαίνει πάντα αύξηση
(β) Αν το άθροισμα δύο ρητών είναι αρνητικός αριθμός, τότε και οι δύο ρητοί είναι
αρνητικοί αριθμοί
(γ) Αν α + β = 0, τότε οι α και β είναι αντίθετοι ρητοί αριθμοί
(δ) Αν το άθροισμα δύο ρητών είναι θετικός αριθμός, τότε και οι δύο ρητοί είναι
θετικοί αριθμοί.
(ε) Το άθροισμα ενός ρητού και του αντίθετου αυτού είναι πάντα μηδέν.
26.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 11 of 32
12. Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου
Επιμέλεια: Αλεξάνδρα Στυλιανίδου 12
7.4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θεωρία….
Στους ρητούς αριθμούς η αφαίρεση μετατρέπεται σε πρόσθεση και επομένως είναι πάντα
δυνατή!
Για να αφαιρέσουμε από τον αριθμό α τον αριθμό β, προσθέτουμε στον α τον αντίθετο του β.
α-β=α+(-β)
1. Να κάνετε τις πράξεις:
(+3)-(+5)=……………………. 3-(+3)=……………………… (+13)-(-18) =………………..
(-3)-(+5)=…………………… -3-(-3)= ……………………. (+11)-(+3) =…………………..
(+3)-(-5)= ………………….. 0-(+5)=…………………….. (-5)-(+25)=…………………….
(-3)-(-5)=……………………. 0-(-1)=………………………. (-16)-(-16)= …………………….
2. Να τοποθετήσετε στα κενά τα κατάλληλα πρόσημα έτσι ώστε να βγαίνουν αληθείς ισότητες.
α) (...4) - (...3) = −1 ε) (...7) - (...7) = 0
β) (...2) - (...3) = −5 ζ) (...5) - 0 = −5
γ) (...6) - (...8) = 14 η) (...1) - (...1) = −2
δ) (…5)-(…8)=-13 θ) (…3)-(…19)=-16
3. Αν α=+3, β=-5 και γ=-2, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
Α=α-β-γ και Β=-α+β+γ
26.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 12 of 32
13. Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου
Επιμέλεια: Αλεξάνδρα Στυλιανίδου 13
4. Λύστε τα παρακάτω προβλήματα με τη βοήθεια της πρόσθεσης ρητών αριθμών:
1. Ένα υποβρύχιο πλέει σε βάθος 1 χιλιόμετρο κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας και ένα δεύτερο
υποβρύχιο σε βάθος 2 χιλιόμετρα κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας. Ποια η διαφορά ανάμεσα στα
βάθη που πλέουν τα δύο υποβρύχια;
2. Ένα αεροπλάνο πετά σε ύψος 2 χιλιόμετρα πάνω από τη γη και ένα δεύτερο αεροπλάνο σε ύψος 3
χιλιόμετρα πάνω από τη γη. Ποια η διαφορά ανάμεσα στα ύψη που πετούν τα δύο αεροπλάνα;
3. Ένα ρομπότ βρίσκεται στο σημείο της αριθμογραμμής με τετμημένη +7 και ένα δεύτερο ρομπότ στο σημείο
της αριθμογραμμής με τετμημένη +1. Ποια η απόσταση ανάμεσα στα δύο ρομπότ;
4. Ένα ρομπότ βρίσκεται στο σημείο της αριθμογραμμής με τετμημένη +7 και ένα δεύτερο ρομπότ στο σημείο
της αριθμογραμμής με τετμημένη -1. Ποια η απόσταση ανάμεσα στα δύο ρομπότ;
5. Ένα πρωινό του Νοέμβρη, η θερμοκρασία στο Ροβανιέμι ήταν -2°C ενώ η θερμοκρασία στην Αθήνα 5°C.
Πόση ήταν η διαφορά θερμοκρασίας ανάμεσα στις δύο πόλεις;
6. Η θερμοκρασία στην Στοκχόλμη ήταν 6°C το μεσημέρι και έπεσε στους -3°C το βράδυ. Πόση ήταν η
διαφορά θερμοκρασίας ανάμεσα στο μεσημέρι και το βράδυ στη Στοκχόλμη;
ΠΡΑΞΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ
1. (-1)-(-2)=(-1)+(+2)=+1 1 χιλιόμετρο
Το πρώτο υποβρύχιο πλέει 1 χιλιόμετρο πιο κοντά στην επιφάνεια της
θάλασσας από το δεύτερο.
2.
3.
4.
5.
6.
5. Να λύσετε τις εξισώσεις:
α) x+2=1 γ) x-(-3)=4
β) x-3=-4 δ) 𝑥 +
%
#
= 1
26.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 13 of 32
14. Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου
Επιμέλεια: Αλεξάνδρα Στυλιανίδου 14
6. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω πινακάκια, σημειώνοντας αναλυτικά τις πράξεις:
x y ω x+y+ω x-y+ω x+y-ω
8 -5 6
-7 4 -8
5 9 -7
-6 -2 1
x y z x-y x +y +z x–y–z x+y-z
-3 -2 -1
-2 -1 0
-1 0 1
0 1 2
1 2 3
-1 2 3
-2 0 3
Θεωρία…
Απαλοιφή παρενθέσεων:
Όταν μπροστά από παρένθεση υπάρχει (+) ή τίποτα, τότε :
Διώχνουμε το (+) αν υπάρχει
Διώχνουμε την παρένθεση
Αφήνουμε τον ( τους) αριθμούς που έχει μέσα της η
παρένθεση, ως έχει
Όταν μπροστά από παρένθεση υπάρχει (-) τότε :
Διώχνουμε το (-)
Διώχνουμε την παρένθεση
Αλλάζουμε το πρόσημο του ( των) αριθμού που
έχει μέσα της η παρένθεση.
26.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 14 of 32
15. Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου
Επιμέλεια: Αλεξάνδρα Στυλιανίδου 15
7. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων αφού πρώτα κάνετε απαλοιφή παρενθέσεων:
α) (-2)+(-5)-(+12)+(-1)-(-6)+(+3)=
β) (+7)-(+8)+(+5)-(-2)-(-3)=
γ) (-9)-(+11)-(+3)-(+5)+(-22)=
δ) (+1)+(-7)-(-3)+(+4)-(+7)=
ε) −(−9)+(−5)−(+11)−(−12)+(−3)+(+10) =
ζ) (-3+2)+(7-8)-(5-3)=
η) -3-(11-9)+(5-9-5)=
θ) -3+(-4+2-7)-(-9+2+1+5)-(-6)=
ι) -8-(-4)+(-6+8-5)-(-5-3+1)=
κ) –(3-4-2)+(-6+2)=
λ) -2+(3-4+5)-(-1-3-7)+(-3)-(-3)=
μ) –(+9-2)-[-(-4+18)+(+3-8)]-(-5)=
26.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 15 of 32
17. Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου
Επιμέλεια: Αλεξάνδρα Στυλιανίδου 17
9. Να κάνετε τις πράξεις:
(α) |+3| +|-2| + |-9|=
(β) |-20| + |-10| -|+ 10|=
(γ) |-3| - |-2| + |-5| -|+6|=
10. Αν είναι 𝑥 = −2, 𝑦 = 3 𝜅𝛼𝜄 𝑧 = − 1 να υπολογιστεί η παράσταση:
𝛢 = − [− 𝑥 + 2 − (− 𝑦 + 𝑥)] − (−𝑥 − 𝑧)
11. Τοποθέτησε ένα "X" στην αντίστοιχη θέση ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ
(α) Στους ρητούς αριθμούς η αφαίρεση σημαίνει πάντα ελάττωση
(β) Αν η διαφορά δύο ρητών είναι αρνητικός αριθμός, τότε και οιδύο ρητοί είναι αρνητικοί
αριθμοί,
(γ) Ισχύει στην αφαίρεση η αντιμεταθετική ιδιότητα: α - β = β - α
(δ) Ισχύει ότι: 6-(+8) + (+5) + (-3) + (2) + (-1) = 0
(ε) Λύση της εξίσωσης x + (-3) = -2 είναι ο αριθμός +1
(στ) Οι εξισώσεις x+ (-2) = +5 και x-( +7)=-10+(+5) έχουν την ίδια λύση.
(ζ) Λύση της εξίσωσης x - (-2) = -8 + (+7) - (-4) είναι ο αριθμός +1.
26.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 17 of 32
18. Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου
Επιμέλεια: Αλεξάνδρα Στυλιανίδου 18
7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θεωρία….
Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ομόσημους ρητούς αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις
απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε το πρόσημο «+».
Δηλαδή: + · + = + και - · - = +
Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ετερόσημους ρητούς αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις
απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε το πρόσημο «-».
Δηλαδή: + · - = - και - · + = -
(+) ∙ (+) = (+)
(−) ∙ (−) = (+)
(+) ∙ (−) = (−)
(−) ∙ (+) = (−)
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ
Αντιμεταθετική Ιδιότητα: 𝜶 ⋅ 𝜷 = 𝜷 ⋅ 𝜶
Προσεταιριστική Ιδιότητα: 𝜶 ⋅ (𝜷 ⋅ 𝜸) = (𝜶 ⋅ 𝜷) ⋅ 𝜸
Ιδιότητα Ουδετέρου: 𝜶 ∙ 𝟏 = 𝜶
Ιδιότητα Αντιστρόφου: 𝜶 ∙
𝟏
𝜶
= 𝟏 , 𝜶 ≠ 𝟎
1. Να υπολογίσετε τα γινόμενα:
(+5)(+2)=……………………. (+1)∙(-100)=……………………… !−
!
#
# ∙ !+
#
%
# =………………..
(-8)(-6)=…………………… (-1)(-1)= ……………………. !+
%
&
# ∙ !−
&
%
# =…………………..
(-6)(+7)=………………….. 0∙(+5)= …………………….. !−
&
%
# ∙ !−
"
&
#=…………………….
(-6)∙0=……………………. 0∙(-1)=………………………. (+3) ∙ !−
"
&
#…………………….
26.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 18 of 32
19. Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου
Επιμέλεια: Αλεξάνδρα Στυλιανίδου 19
2. Να συμπληρώσετε τον πίνακα:
3. Αν α=+3, β=-1 και γ=-3, να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:
Α = αβ - 3β + αγ και Β = γ + αβγ + 3β + 1
4. Αν α = −2, β = −3 και γ = −1, να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων:
𝛢 = 3𝛼 − 2𝛽 + 5𝛾
𝛣 = 𝛼𝛽 − 𝛽𝛾 + 𝛾
𝛤 = 𝛾 − 𝛼𝛽𝛾 + 2𝛽
∆ = (𝛼 − 𝛽 ) ⋅ (𝛽 − 3𝛾 )
⦁ -3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
26.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 19 of 32
20. Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου
Επιμέλεια: Αλεξάνδρα Στυλιανίδου 20
Θεωρία…
Για να υπολογίσουμε ένα γινόμενο πολλών παραγόντων (που κανένας δεν είναι μηδέν),
πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε:
Το πρόσημο +, αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι άρτιο (ζυγό).
Το πρόσημο -, αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι περιττό (μονό).
Αν τουλάχιστον ένας παράγοντας είναι μηδέν, τότε και το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν
Το σημείο του πολλαπλασιασμού «.» μεταξύ των γραμμάτων και των παρενθέσεων παραλείπεται.
5. Να υπολογίσετε τα γινόμενα:
α) (−5) ∙ (+4) ∙ (−2) ∙ (+7) =
β) (+6) ∙ (−6) ∙ (+5) ∙ (−2) ∙ (+1) =
γ) −2 ∙ (−5) ∙ (+4) =
δ) −5 ∙ 2 ∙ 4 =
ε) (−2) ∙ (+5) ∙ (−1) ∙ (−6) ∙ (+3) =
ζ) (−5) ∙ (+2) ∙ (−3) ∙ (+4) ∙ (−1) =
η) 5 ∙ (−2) ∙ 4 =
θ) (+2) ∙ (+3) ∙ 0 ∙ (−4) ∙ (−5) =
26.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 20 of 32
21. Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου
Επιμέλεια: Αλεξάνδρα Στυλιανίδου 21
6. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:
𝛢 = (−3)(−3)(−3)(−3)(−3) =
𝛣 = G−
1
2
H G−
2
3
H G−
3
4
H G−
4
5
H G−
5
6
H =
𝛤 = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ G−
1
2
H G−
1
3
H G−
1
2
H =
7. Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων:
• 𝛢 = (𝛼 − 4)(𝛼 + 4)(𝛼 − 1)(𝛼 + 1) για 𝛼 = 2
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
• 𝛣 = 𝛽(2𝛽 − 5)(𝛽 − 1)(𝛽 + 1) για 𝛽 = −2
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
• 𝛤 = (3𝛼 − 4)(6𝛼 − 5)(𝛼 − 1)(𝛼 + 1) για 𝛾 =
!
%
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
26.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 21 of 32
22. Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου
Επιμέλεια: Αλεξάνδρα Στυλιανίδου 22
8.Να συμπληρώσετε τους πίνακες:
9. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:
𝛢 = −1 − 5 + 3 ∙ (−2) 𝛣 = (−1 − 5 + 3) ∙ (−2)
𝛤 = (−1 − 5)(+3 − 2) 𝛥 = −1 − [(5 + 3) ∙ (−2)]
10. Να συμπληρωθούν τα παρακάτω κενά:
α) Το πρόσημο του γινομένου δύο ομόσημων ρητών είναι πάντα ..................................................................
β) Το πρόσημο του γινομένου δύο ετερόσημων ρητών είναι πάντα
.............................................................................. .
γ) Ένας ρητός όταν πολλαπλασιάζεται με το 1 δεν
......................................................................................................... .
δ) Το γινόμενο δύο αντίστροφων αριθμών είναι πάντα ίσο
με....................................................................................... .
ε) Το πρόσημο γινομένου πολλών παραγόντων εξαρτάται από το πλήθος των .............................................
παραγόντων.
α β αβ
4 -8
-12 3
-6 -3
5 -5
-3 -6
-2
2 -10
-3 -18
-5
x y z xy+xz yz-xy
3 2 1
-3 -2 1
3 -2 -1
-3 4 -2
-5 2 -3
4 -5 1
-4 -2 -3
-1 5 2
2 -3 -4
26.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 22 of 32
23. Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου
Επιμέλεια: Αλεξάνδρα Στυλιανίδου 23
7.6 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θεωρία….
Για να διαιρέσουμε δύο ρητούς αριθμούς, διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και στο πηλίκο
βάζουμε:
το πρόσημο +, αν είναι ομόσημοι. Δηλαδή: + : + = + και - : - = +
το πρόσημο -, αν είναι ετερόσημοι. Δηλαδή: + : - = - και - : + = -
(+) ∶ (+) = (+)
(−) ∶ (−) = (+)
(+) ∶ (−) = (−)
(−) ∶ (+) = (−)
Το πηλίκο της διαίρεσης α:β ή
𝜶
𝜷
λέγεται λόγος του α προς το β και ορίζεται ως η μοναδική λύση της
εξίσωσης β · x = α .
1. Να υπολογίσετε τα πηλίκα:
(+49):(+7)=……………………. (-40)∙(-5)=……………………… !−
%
*
# : !−
"
#
# = ………………..
(-3):(+1)=…………………… (+2500):(-25)=……………………. !−
&
%
# : !−
#
)
# = …………………..
(-100):(-10)=………………….. (+6):(+6)=…………………….. !−
'
"
# :
!
!(
=…………………….
(-5): (-5)=……………………. (+81): (-27)=……………………….
%
"
: (−4) =………………
2. Να βρείτε τα πηλίκα:
𝛼)
+100
−50
= 𝛽)
−120
+40
= 𝛾)
+96
−30
=
𝛿)
−48
−6
= 𝜀)
−5
+4
= 𝜁)
0
−5
=
26.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 23 of 32
24. Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου
Επιμέλεια: Αλεξάνδρα Στυλιανίδου 24
3. Να βρείτε τα πηλίκα:
𝛼)
−4
5
∶
9
−2
= 𝛽)
7
−2
∶
−1
14
= 𝛾)
−1
3
∶ ;−
9
2
< =
𝛿)
−1
5
∶
−3
−3
= 𝜀)
−5
2
∶
−2
5
= 𝜁)
−1
6
∶
1
6
=
4. Να κάνετε τις πράξεις:
𝛼)
−8
3
−
−2
4
+
4
−12
=
𝛽)
(−3)(−1)(−5)
−6 ⋅ 2
=
𝛾)
(−3)(−4)(−1)(+5)
−100
=
𝛿) G
−5
6
+
3
−2
H ∶ G
−2
4
H =
𝜀) G
−7
3
−
−5
3
H ∶ G−
3
2
H =
𝜁) G
9
−4
−
−3
4
H ∶ G
−11
4
−
13
−4
H =
5. Να συμπληρωθούν τα παρακάτω κενά:
α) Το πρόσημο του πηλίκου δύο ομόσημων ρητών είναι πάντα ......................................................... .
β) Το πρόσημο του πηλίκου δύο ετερόσημων ρητών είναι πάντα ...................................................... .
γ) Γα να διαιρέσουμε δύο ρητούς, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε το ...................................................... με
τον αντίστροφο του ..................................................... .
δ) Ένα πηλίκο α : β λέγεται και ........................................................... του α προς το β.
26.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 24 of 32
28. Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου
Επιμέλεια: Αλεξάνδρα Στυλιανίδου 28
7. Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα:
ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΝΤΙΘΕΤΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ
-3
8
8. Να βάλετε το κατάλληλο σύμβολο ( , , ) στο κενό.
𝜶) (−3)(+3) … (−2)(+6) 𝜺) (−3)(−8) … − 3 − 8
𝜷) |+5| … |−5| 𝜻) 8 − 4 − 3 … (8 − 3)(−4)
𝜸) |−9| … 0
𝜼)
1
2
…
2
9
𝜹) −
2
3
… V
2 − 4
3
V 𝜽) 0 … −
1
2
9. Αν μια από τις παρακάτω φράσεις είναι σωστή κυκλώστε το γράμμα Σ, αν πάλι είναι λάθος, κυκλώστε
το Λ.
α) Ο αριθμός -21 είναι φυσικός. Σ Λ
β) Δύο αντίθετοι αριθμοί είναι ομόσημοι. Σ Λ
γ) Δύο αριθμοί που έχουν διαφορετικό πρόσημο λέγονται ετερόσημοι. Σ Λ
δ) Το άθροισμα δύο αντίστροφων αριθμών είναι ίσο με μηδέν. Σ Λ
ε) Το γινόμενο δύο ετερόσημων αριθμών είναι θετικός αριθμός. Σ Λ
στ) Το άθροισμα δύο αρνητικών αριθμών είναι αρνητικός αριθμός. Σ Λ
ζ) Το γινόμενο δύο αντίθετων αριθμών είναι ίσο με +1. Σ Λ
η) Μεταξύ δύο αρνητικών αριθμών μεγαλύτερος είναι εκείνος με τη
μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.
Σ Λ
3
4
-
1
5
3
< = >
26.03.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 28 of 32