Επιμέλεια: Θωμάς Ραϊκόφτσαλης για το mathjazz

1. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 1
—
–ŸÙ
Εισαγωγικό μάθημα
Σκοπός και στόχος του εισαγωγικού μαθήματος
1. Να ξέρεις τα βασικά αριθμοσύνολα.
2. Να ξέρεις την έννοια του διαστήματος και τις αλγεβρικές (ανισοτικές) σχέσεις που
καθορίζουν τα στοιχεία κάθε μορφής διαστήματος.
3. Να ξέρεις την έννοια μη φραγμένου διαστήματος και τις αλγεβρικές (ανισοτικές)
σχέσεις που καθορίζουν τα στοιχεία κάθε μορφής διαστήματος.
Ας δούμε στη συνέχεια το μάθημα στην ανάπτυξή του.
Οι Βασικές έννοιες
1. Αριθμοσύνολα
Οι φυσικοί αριθμοί είναι το σύνολο Õ {0, 1, 2, 3,...}= .
Οι ακέραιοι αριθμοί είναι το σύνολο Ÿ {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...}= − − − .
Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή
α
β
, όπου α,
β ακέραιοι με β 0≠ . Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με –.
Είναι, δηλαδή, –
α
/ α,β ακέραιοι με β 0
β
⎧ ⎫
= ≠⎨ ⎬
⎩ ⎭
.
Άρρητοι λέγονται οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί, για παράδειγμα ο 5 , ο e, το π, ο 3
7 ,
ο 5
2 10+ κ.λ.π. Το σύνολο των αρρήτων αριθμών συμβολίζεται με ¿. Είναι, δηλαδή, ¿
{x= ∈—/ x∉– }=—-–.
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών
Το σύνολο — των πραγματικών αριθμών
αποτελείται από τους ρητούς – και τους
άρρητους —=¿ ∪ –.
Τα στοιχεία του — παριστάνονται με τα
σημεία ενός άξονα, του άξονα των
πραγματικών αριθμών.
x΄ x
πe3
543210−1−2−3−5 −4
• Για τα σύνολα Õ, Ÿ, – και — ισχύει: Õ ⊆
Ÿ ⊆ – ⊆ —.
• Τα σύνολα Õ {0}− , Ÿ {0}− , – {0}− και — {0}− τα συμβολίζουμε συντομότερα με Õ*
, Ÿ*
, –*
και —*
αντιστοίχως.
Μελετάμε και μαθαίνουμε!

2. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 2
a
a
a
a
β
β
β
β
Προσοχή!
2. Διαστήματα πραγματικών αριθμών
Αν α,β∈— με α β< , τότε ονομάζουμε διαστήματα με άκρα τα α, β καθένα από τα
παρακάτω σύνολα:
(α, β)={x∈—/α<x<β}: ανοικτό διάστημα.
[α, β]={x∈—/α£x£β}: κλειστό διάστημα.
[α, β)={x∈—/α£x<β}: κλειστό - ανοικτό διάστημα.
(α, β]={x∈—/α<x£β}: ανοικτό - κλειστό διάστημα.
(α,β)
[α,β)
(α,β]
[α,β]
Αν α∈—, τότε ονομάζουμε μη φραγμένα διαστήματα με άκρο το α καθένα από τα παρακάτω
σύνολα:
(α, ) {x /x α}+∞ = ∈ >—
[α, ) {x /x α}+∞ = ∈ ≥—
( ,α) {x /x α}−∞ = ∈ <—
( ,α] {x /x α}−∞ = ∈ ≤—
Υπό μορφή διαστήματος το σύνολο — το συμβολίζουμε με ( , )−∞ + ∞ .
Τα σημεία ενός διαστήματος Δ, που είναι διαφορετικά από τα άκρα του, λέγονται
εσωτερικά σημεία του Δ.
B. Μεθοδεύσεις και Λυμένα Θέματα
Θέμα 1ον
Να γραφούν υπό μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων τα σύνολα:
i.
1
A x / 1
x
⎧ ⎫
= ∈ ≤⎨ ⎬
⎩ ⎭
— , ii.
1
B x / 2 1
x
⎧ ⎫
= ∈ − <⎨ ⎬
⎩ ⎭
— .
Λύση
Θυμήσου ότι στις ρητές ανισώσεις δεν κάνουμε (γενικά) απαλοιφή παρονομαστών, επειδή δεν
γνωρίζουμε το πρόσημό τους, αλλά, φέρνουμε τους όρους στο 1ο
μέλος, κάνουμε τα κλάσματα
ομώνυμα και επιλύουμε την ανίσωση που προκύπτει.
a
a
a
a

3. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 3
i. Είναι:
1 1
1 1 0
x x
≤ ⇔ − ≤
1 x
0
x
−
⇔ ≤ 2 21 x
x 0 x x(x 1) 0
x
−
⇔ ⋅ ≤ ⋅ ⇔ − ≥ και
x 0≠ x 0⇔ < ή x 1≥ . Άρα A ( ,0) [1, )= −∞ ∪ +∞ .
ii. Είναι:
1 1
2 1 1 2 1
x x
− < ⇔ − < − <
1
1 3
x
⇔ < < και επειδή έχουμε θετικές παραστάσεις,
αντιστρέφουμε και αλλάζουμε τη φορά και έχουμε
1
1 x
3
> > . Άρα
1
B , 1
3
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Για εξάσκηση λύσε τα ακόλουθα θέματα
Διαστήματα πραγματικών αριθμών
Θέμα 1
Να γραφεί υπό μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων το σύνολο:
1
A x / 2
x
⎧ ⎫
= ∈ ≥⎨ ⎬
⎩ ⎭
— .
Θέμα 2
Να γραφεί υπό μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων το σύνολο:
1
A x / 4 3
x 1
⎧ ⎫
= ∈ − >⎨ ⎬
−⎩ ⎭
— .
Θέμα 3
Να γραφεί υπό μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων το σύνολο:
1
A x /1 2
x
⎧ ⎫
= ∈ < ≤⎨ ⎬
⎩ ⎭
— .
Θέμα 4
Να γραφεί υπό μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων το σύνολο:
1
A x /2 4 5
x 1
⎧ ⎫
= ∈ ≤ − <⎨ ⎬
−⎩ ⎭
— .
Θέμα 5
Να γραφεί υπό μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων το σύνολο:
2
1
A x /1 4
x
⎧ ⎫
= ∈ < ≤⎨ ⎬
⎩ ⎭
— .
Θέμα 6
Να γραφεί υπό μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων το σύνολο:
1
A x /2 4 5
x 1
⎧ ⎫
= ∈ ≤ − <⎨ ⎬
−⎩ ⎭
— .
Θέμα 7
Να γραφεί υπό μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων το σύνολο:
1
A x / x 1 10 και 3
x
⎧ ⎫
= ∈ − ≤ >⎨ ⎬
⎩ ⎭
—

4. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 4
Μάθημα 1ον
«Συνάρτηση – Πεδίο ορισμού – Σύνολο τιμών – Ισότητα συναρτήσεων»
Σκοπός και στόχος του μαθήματος
1. Να ξέρεις τον ορισμό της συνάρτησης με πεδίο ορισμού το μη κενό
υποσύνολο Α του R.
2. Να ξέρεις τους δυο μαθηματικούς ορισμούς για να αποτελεί μια σχέση του Α
στο R συνάρτηση.
3. Να ξέρεις ότι μια συνάρτηση είναι μια σχέση η οποία σχετίζει κάθε στοιχείο
του Α (πρότυπο) με έναν μοναδικό πραγματικό αριθμό y (εικόνα του x).
4.
Να ξέρεις να ξεχωρίζεις την ανεξάρτητη μεταβλητή από την εξαρτημένη.
5. Να ξέρεις ότι αν τα 1 2f(x ),f(x ) A∈ τότε και 1 2f(f(x )) f(f(x ))=
6. Να ξέρεις να διατυπώνεις με άνεση τους τύπους:
Πεδίο ορισμού: A {x= ∈—:f(x) ∈—} ≠ ∅.
Σύνολο τιμών:
y : / η εξίσωση y f(x) ως προς x
f(A)
έχει τουλάχιστον μια ρίζα x A
∈ =⎧ ⎫
= ⎨ ⎬
∈⎩ ⎭
— :
7. Να ξέρεις να υπολογίζεις το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών απλών
συναρτήσεων.
8. Να ξέρεις να γράφεις το πεδίο ορισμού σαν διάστημα ή ένωση διαστημάτων.
9. Να ξέρεις ποιες είναι οι συνθήκες ώστε δυο συναρτήσεις f,g να είναι ίσες.
10. Να ξέρεις ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση της f
ένα το πολύ κοινό σημείο.
Ας δούμε στη συνέχεια το μάθημα στην ανάπτυξή του.

5. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 5
Α. Θεωρητικές έννοιες του μαθήματος
Ορισμός της πραγματικής συνάρτησης με πεδίο ορισμού το Α
Έστω Α ένα μη κενό υποσύνολο του —.
Καλούμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α κάθε διαδικασία (κανόνα) f, με την
οποία σε κάθε στοιχείο x A∈ , το οποίο το καλούμε πρότυπο, αντιστοιχίζουμε έναν μοναδικό
πραγματικό αριθμό y, τον οποίο τον καλούμε εικόνα του x
Ο ορισμός που δώσαμε είναι ο ορισμός της πραγματικής συνάρτησης (δηλαδή οι εικόνες y
είναι πραγματικοί αριθμοί), πραγματικής μεταβλητής, δηλαδή τα πρότυπα x ανήκουν στο
πεδίο ορισμού Α που είναι επίσης υποσύνολο του —.
Σχόλιο
Ο αριθμός y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f(x) , δηλαδή y f(x)= .
Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε:
f : A → — και x f(x)→ ή y f(x)= , x A∈ .
Μαθηματικός ορισμός 1
Για κάθε 1 2x ,x ∈Α≠∅ με 1 2x x= συνεπάγεται ότι 1 2f(x ) f(x )=
Μαθηματικός ορισμός 2 (ισοδύναμος του 1)
για κάθε 1 2x ,x ∈Α≠∅ με 1 2f(x ) f(x )≠ συνεπάγεται ότι 1 2x x≠ .
Πρόσεξε
Έστω η συνάρτηση f : A → —. Αν τα 1 2f(x ),f(x ) A∈ και =1 2f(x ) f(x )τότε και 1 2f(f(x )) f(f(x ))= .
Ο Τύπος της συνάρτησης Παραδείγματα
συναρτησιακών σχέσεων
Η ανεξάρτητη και η εξαρτημένη μεταβλητή
Το γράμμα x, που παριστάνει το οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη
μεταβλητή.
Το γράμμα y, που παριστάνει την τιμή της f στο x, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή.

6. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 6
Κύρια στοιχεία της συνάρτησης
Για να οριστεί μια πραγματική συνάρτηση f, αρκεί να δοθούν δύο στοιχεία της:
• το πεδίο ορισμού της (το σύνολο των προτύπων της),
• η τιμή της f(x) (ο νόμοςf), για κάθε x του πεδίου ορισμού της.
Τι δημιουργεί μια συνάρτηση
Κάθε πραγματική συνάρτηση f απεικονίζει το πεδίου ορισμού
της Α στο σύνολο τιμών της f(A) και δημιουργεί ένα σύνολο
διατεταγμένων ζευγών της μορφής , όπου x A∈ και f(x)∈— η
εικόνα του x.
Το γράφημα
Το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών (x,f(x)) καλείται γράφημα της συνάρτησης και
καθορίζει πλήρως τη συνάρτηση.
Το πεδίο ορισμού
Το πεδίο ορισμού (domain) Α της συνάρτησης f συμβολίζεται και με fD ή fA και είναι το
σύνολο όλων των προτύπων.
• Στη περίπτωση που δίνεται μόνον ο τύπος με τον οποίο εκφράζεται το f(x) , τότε το
πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών x, για τους
οποίους το f(x) έχει νόημα στο —, δηλαδή:
fD {x= ∈—:f(x) ∈—} ≠ ∅.
Το σύνολο τιμών
Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f (εικόνες) σε όλα τα x A∈ , λέγεται
σύνολο τιμών (range) της f και συμβολίζεται με f(A) . Είναι
y : η εξίσωση y f(x) ως προς x
f(A) .
έχει τουλάχιστον μια ρίζα x A
∈ =⎧ ⎫
= ⎨ ⎬
∈⎩ ⎭
— :
Για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f : A → — εργαζόμαστε ως εξής:
• Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού fD της συνάρτησης (αν δεν δίνεται).
• Λύνουμε τον τύπο της συνάρτησης f ως προς x, δηλαδή επιλύουμε τη σχέση y f(x)= ως
προς x και καταλήγουμε στη σχέση x g(y)= , δηλαδή εκφράζουμε το x συναρτήσει του y.
• Επειδή fx D∈ , απαιτούμε fg(y) D∈ , οπότε βρίσκουμε το σύνολο τιμών ff(D ) .
f
f(A)A

7. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 7
x
y
Ο
Γ
A
B
O x
y
Cf
Α
O x
y
C
Προσοχή!
Όταν λέμε ότι «Η πραγματική συνάρτηση f είναι ορισμένη σ’ ένα
σύνολο Β», θα εννοούμε ότι το Β είναι υποσύνολο του πεδίου
ορισμού της. Στην περίπτωση αυτή με f(B) συμβολίζουμε το
σύνολο των τιμών της f σε κάθε x B∈ . Είναι
{ }f(B) y : η εξίσωση y f(x) ως προς x έχει τουλάχιστον μια ρίζα x B= = ∈
• Θα ασχοληθούμε
μόνο με
συναρτήσεις που
έχουν για πεδίο
ορισμού διάστημα
ή ένωση
διαστημάτων.
Ισότητα συναρτήσεων
Δυο συναρτήσεις f,g είναι ίσες όταν καθορίζουν το ίδιο σύνολο διατεταγμένων ζευγών. Για
να συμβεί αυτό θα πρέπει οι δυο συναρτήσεις να έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού και για τα ίδια
x A∈ να έχουμε ίσες αντίστοιχες εικόνες, άρα:
f g= όταν:
• έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και
• για κάθε x A∈ ισχύει f(x) g(x)= .
Έστω τώρα f, g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β αντιστοίχως
και Γ ένα υποσύνολο των Α και Β. Αν για κάθε x Γ∈ ισχύει
f(x) g(x)= , τότε λέμε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες στο
σύνολο Γ.
Δυο συναρτήσεις f,g με αντίστοιχα πεδία ορισμού f gA ,A που δεν
είναι ίσες, πιθανόν να είναι ίσες σε κάποιο υποσύνολο του f gA A∩ ,
όπως φαίνεται στο σχήμα.
Γραφική παράσταση
Έστω f μια πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και
Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Η f δημιουργεί
ένα πλήθος διατεταγμένων ζευγών της μορφής (x, f(x)) που
καθορίζουν πλήρως τη συνάρτηση.
Το σύνολο των σημείων M(x,y) για τα οποία ισχύει y f(x)= ,
δηλαδή το σύνολο των σημείων M(x, f(x)) , x A∈ , λέγεται
γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται με fC .
• Η εξίσωση, y f(x)= επαληθεύεται μόνο από τα σημεία της
fC . Επομένως, η y f(x)= είναι η εξίσωση της γραφικής
παράστασης της f.
• Επειδή κάθε x A∈ αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο yŒ—, δεν
υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της f με την
ίδια τετμημένη. Αυτό σημαίνει ότι:
“κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση
της f το πολύ ένα κοινό σημείο”
Για τον λόγο αυτό ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική
παράσταση συνάρτησης.
y
x
f
f(A)A

8. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 8
Β. Μεθοδολογίες
Βασικό χαρακτηριστικό της έννοιας «πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α» είναι:
«σε ΚΑΘΕ στοιχείο xŒΑ αντιστοιχεί ΕΝΑΣ ΜΟΝΑΔΙΚΟΣ πραγματικός αριθμός yŒ—», που
σημαίνει ότι δεν θα πρέπει σε ένα στοιχείο του Α να αντιστοιχίζονται δυο ή περισσότεροι
πραγματικοί αριθμοί, άρα τα κοινά πρότυπα εφόσον υπάρχουν πρέπει να έχουν ίσες εικόνες!
Μέθοδος 1 «τα κοινά πρότυπα έχουν ίσες εικόνες!»
Σε ένα xŒΑ ένα yŒ—»
Θέμα 2
Εξετάστε αν ο τύπος
-2x , x 0
f(x)
3 x , x 0
≤⎧⎪
= ⎨
≥⎪⎩
ορίζει συνάρτηση.
Λύση
Ο κάθε κλάδος της f για κάθε x 0≠ ορίζει προφανώς συνάρτηση. Θα πρέπει οι δυο κλάδοι
της σχέσης για x 0= να δίνουν το ίδιο f(0).
Ο πρώτος τύπος για x=0 δίνει f(0) 2 0 0= − ⋅ = .
Ο δεύτερος τύπος για x=0 δίνει f(0) 3 0 0= ⋅ = . Οπότε ο τύπος f ορίζει συνάρτηση με πεδίο
ορισμού το fA = — .
Θέμα 3
Να βρεθεί ο ακέραιος κ ώστε να ορίζει συνάρτηση η σχέση
2
2 2
3x 1, x 2 2
f(x)
x 1, 3 x
⎧ + ≤ κ − κ +
= ⎨
+ κ − κ + ≤⎩
.
Προσοχή!
Η παράμετρος είναι στο πεδίο ορισμού οπότε:
1. Θέτουμε το δεξιό άκρο του προηγούμενου διαστήματος μικρότερο ή ίσο του αριστερού άκρου
του επόμενου διαστήματος.
2. Λύνουμε την ανίσωση.
3. Ελέγχουμε τις τιμές που βρήκαμε.
Λύση
Για να ορίζει η δοσμένη σχέση συνάρτηση θα πρέπει οι δυο τύποι:
ή να μην ορίζονται για κοινά x, οπότε θα ισχύει 2 2
3 2 2κ − κ + > κ − κ + ⇔ 2
1 0κ − < ⇔
( 1,1)κ∈ − και επειδή κ ∈ Z θα έχουμε τελικά 0κ = , οπότε έχουμε 2
3x 1 x 2
f(x)
x 1 x 3
+ ≤⎧
= ⎨
+ ≥⎩
, σχέση
που αποτελεί συνάρτηση.
ή για όσα κοινά x ορίζονται θα πρέπει να έχουμε κοινά y, δηλαδή θα πρέπει οι λύσεις
της εξίσωσης 2 2
3 2 2κ − κ + = κ − κ + να μας δίνουν x που έχουν και με τους δυο τύπους ίσα y.
Αν λοιπόν 2 2
3 2 2κ − κ + = κ − κ + ⇔ 2
1κ = ⇔ 1κ = − ή 1κ = .
Για 1κ = − έχουμε 2
3x 1 x 5
f(x)
x 1 x 5
+ ≤⎧
= ⎨
+ ≥⎩
. Η σχέση αυτή δεν ορίζει συνάρτηση γιατί για x 5= ο
πρώτος τύπος μας δίνει f(5) 16= και ο δεύτερος f(5) 26=
Για 1κ = έχουμε 2
3x 1 x 3
f(x)
x 1 x 3
+ ≤⎧
= ⎨
+ ≥⎩
. Η σχέση αυτή ορίζει συνάρτηση γιατί για x 3= ο
πρώτος τύπος μας δίνει f(3) 10= και ο δεύτερος f(3) 10= , άρα η τιμή 1κ = είναι δεκτή.

9. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 9
Μέθοδος 2 «Πότε μια σχέση ορίζει συνάρτηση;»
Έστω μια σχέση της μορφής Q(x, y)=0, x, y∈— .
Για να βρούμε για ποιες τιμές του x έχει νόημα, λύνουμε τη σχέση ως προς y και
καταλήγουμε ότι y f(x)= .
Στη συνέχεια επειδή y f(x)∈ ⇔ ∈— — , σχέση η οποία, εφόσον κρατηθούν οι ισοδυναμίες στις
πράξεις, μας οδηγεί στην εύρεση των x, δηλαδή βρίσκουμε ένα σύνολο Α, για κάθε x του
οποίου ορίζεται η σχέση.
Θέμα 4
Έστω η σχέση 3
x y 10+ = , x,y∈—.
Α. Να βρείτε για ποιες τιμές του x έχει νόημα.
Β. Δείξτε ότι η σχέση ορίζει συνάρτηση με ανεξάρτητη μεταβλητή το x, της οποίας να
βρεθεί ο τύπος.
Προσοχή!
Για να δείξουμε ότι η σχέση αυτή ορίζει συνάρτηση με ανεξάρτητη μεταβλητή το x και
εξαρτημένη το y, θα εργαζόμαστε ως εξής:
• ή θεωρούμε 1 2x , x A∈ τέτοια ώστε 1 2y y≠ , οπότε με μια σειρά πράξεων καταλήγουμε
στη σχέση 1 2x x≠ ,
• ή θεωρούμε 1 2x , x A∈ τέτοια ώστε 1 2x x= , οπότε συνθετικά με μια σειρά πράξεων
καταλήγουμε στη σχέση 1 2y y= .
Λύση
Έχουμε 3 3
x y 10 y 10 x+ = ⇔ = − , x,y∈—.
Α. Αναζητούμε τα x∈— για τα οποία y ∈— ⇔ 3
y ∈— ⇔ (10 x)− ∈— ⇔ x∈—, δηλαδή
x ( , )∈ −∞ +∞ .
Β. Έστω 1 2x ,x ( , )∈ −∞ +∞ με αντίστοιχες τιμές 1 2y ,y τέτοιες ώστε:
3 3
1 2 1 2y y y y≠ ⇒ ≠ ⇒ 1 210 x 10 x− ≠ − ⇒ 1 2x x≠ , οπότε η σχέση ορίζει συνάρτηση f με πεδίο
ορισμού το —.
Έχουμε 3
y 10 x= − , οπότε για x 10> ⇒ y 0< , ενώ για x 10 y 0≤ ⇒ ≥ , άρα:
3
3
x 10 x 10
f(x)
1 x x 10
⎧− − αν >⎪
= ⎨
− αν ≤⎪⎩
.
Θέμα 5
Έστω η σχέση 2
x y 10+ = , x,y ∈— με ανεξάρτητη μεταβλητή την x και εξαρτημένη
μεταβλητή την y.
Α. Να βρείτε για ποιες τιμές του x έχει νόημα.
Β. Δείξτε ότι η σχέση αυτή δεν ορίζει συνάρτηση.
Προσοχή!
Για να δείξουμε ότι η σχέση αυτή δεν ορίζει συνάρτηση με ανεξάρτητη μεταβλητή το x και
εξαρτημένη το y, αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x∈A το οποίο σχετίζεται με
τουλάχιστον δυο 1 2y , y ∈— .
Συνήθως το τελευταίο το δείχνουμε με αντιπαράδειγμα.

10. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 10
Λύση
Έχουμε 2 2
x y 10 y 10 x+ = ⇔ = − , x,y∈—.
Α. Αναζητούμε τα x∈— για τα οποία y ∈— ⇔ 2
y 0≥ για κάθε y ∈— ⇔ 10 x 0 x 10− ≥ ⇔ ≤ ,
οπότε η σχέση αυτή ορίζεται για κάθε x ( ,10]∈ −∞ , δηλαδή το πεδίο ορισμού της είναι το
A ( ,10]= −∞ .
Β. Για να αποτελεί μια σχέση συνάρτηση πρέπει το κάθε x∈A να σχετίζεται με ένα
μοναδικό y∈—.
Είναι 2
y 10 x= − ⇔
10 x
y
10 x
⎧ −
⎪
= ⎨
⎪
− −⎩
ή , οπότε για το ίδιο x ( , 10]∈ −∞ έχουμε δυο τιμές για τη
μεταβλητή y, που σημαίνει ότι η σχέση δεν ορίζει συνάρτηση.
Μπορούμε επίσης να αποδείξουμε ότι δεν είναι συνάρτηση και με ένα αντιπαράδειγμα:
Έστω 1 2x ,x A∈ με αντίστοιχες εικόνες 1y 3= − , 2y 3= , οπότε: 1 2y y≠ .
Όμως 2 2
1 2y y 9= = ⇔ 1 210 x 10 x− = − ⇔ 1 2x x 1= = , που σημαίνει ότι η σχέση δεν είναι
συνάρτηση
Μέθοδος 3 «Πως βρίσκουμε το Πεδίο Ορισμού»
Για να βρούμε το πεδίου ορισμού μιας πραγματικής συνάρτησης f εργαζόμαστε ως εξής:
Αν είναι γνωστή η γραφική παράσταση fC , τότε το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α
των τετμημένων των σημείων της fC , δηλαδή είναι το σύνολο των σημείων του άξονα x x′
που είναι οι προβολές των σημείων της γραφικής παράστασης πάνω σ' αυτόν.
Αν για τη συνάρτηση f γνωρίζουμε τον τύπο της y f(x)= , τότε το πεδίο ορισμού της είναι
συμβατικά το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών x, για τους οποίους το f(x) έχει
νόημα στο —, δηλαδή: fD {x= ∈—:f(x) ∈—}.
Να γράφεις πάντα το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης σαν διάστημα ή σαν ένωση
διαστημάτων!!!
Μελέτησε και μάθε πως βρίσκουμε τα πεδία ορισμού βασικών μορφών συναρτήσεων
Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού το —, δηλαδή κάθε συνάρτηση με
τύπο 1 1
1 1 0f(x) x x ... xν ν−
ν ν−= α + α + + α + α , *
ν∈Õ , έχει Π.Ο το σύνολο —, (εφόσον δεν υπάρχει
άλλος περιορισμός).
Cf
O
y
xΑ

11. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 11
Σε συναρτήσεις που στον τύπο τους υπάρχουν παρονομαστές, πρέπει να τους έχουν
όλους διάφορους του μηδενός, δηλαδή η συνάρτηση με τύπο
g(x)
f(x)
h(x)
= έχει Π.Ο το
σύνολο { }f g hD x /x D D και h(x) 0= ∈ ∈ ∩ ≠—
Να ξέρεις λοιπόν ότι πάντα οι παρονομαστές πρέπει να είναι διάφοροι του μηδενός.
Σε συναρτήσεις που στον τύπο τους υπάρχουν ριζικά, πρέπει να έχουν όλα τα υπόρριζα
μη αρνητικά, δηλαδή η συνάρτηση με τύπο f(x) g(x)ν= , {0,1}ν∈ −Õ - με 2ν ≥ έχει Π.Ο το
σύνολο { }f gD x /x D και g(x) 0= ∈ ∈ ≥R
Να ξέρεις λοιπόν ότι πάντα τα υπόρριζα πρέπει να είναι μη αρνητικά.
Σε συναρτήσεις που στον τύπο τους υπάρχουν λογάριθμοι, πρέπει να έχουν τις
παραστάσεις που λογαριθμίζονται θετικούς αριθμούς, δηλαδή η συνάρτηση με τύπο
f(x) lng(x)= έχει Π.Ο το σύνολο { }f gD x /x D και g(x) 0= ∈ ∈ >—
Να ξέρεις λοιπόν ότι λογάριθμο έχουν μόνον οι θετικοί αριθμοί.
Σε συναρτήσεις που ο τύπος τους έχει την εκθετική μορφή ( )
h(x)
f(x) g(x)= , πρέπει η
βάση να είναι θετικός αριθμός και διάφορος του 1, δηλαδή η συνάρτηση με τύπο
( )
h(x) h(x) lng(x)
f(x) g(x) e ⋅
= = έχει Π.Ο το σύνολο
{ }f g hD x /x D D με g(x) 0 και g(x) 1= ∈ ∈ ∩ > ≠—
Να ξέρεις ότι σε μια συνάρτηση που έχει εκθετική μορφή, η βάση πρέπει να είναι θετικός
αριθμός και διάφορη του 1.
Πρόσεξε
Αν δεν είσαι σίγουρος ότι η συνάρτηση είναι εκθετική τότε αρκεί να απαιτήσεις ότι
g(x)>0, δηλαδή στη περίπτωση αυτή έχουμε:
{ }f g hD x /x D D με g(x) 0= ∈ ∈ ∩ >—
Σε συναρτήσεις που στον τύπο τους υπάρχουν ημίτονα ή συνημίτονα, δεν υπάρχουν
περιορισμοί για τα τόξα, δηλαδή οι συναρτήσεις που ο τύπος τους έχει την μορφή
( )f(x) g(x)= ημ ή ( )f(x) g(x)= συν έχουν Π.Ο το σύνολο { }f gD x /x D= ∈ ∈R .
Να ξέρεις λοιπόν ότι τα ημx και συνx ορίζονται για κάθε x∈—.
Σε συναρτήσεις που στον τύπο τους υπάρχουν εφαπτόμενες, πρέπει τα τόξα να είναι
διάφορα του
2
π
κπ + , κ ∈ Ÿ , δηλαδή η συνάρτηση με τύπο ( )f(x) g(x)= εϕ έχει Π.Ο το
σύνολο f gD x /x D με g(x) και κ
2
π⎧ ⎫
= ∈ ∈ ≠ κπ + ∈⎨ ⎬
⎩ ⎭
— Ÿ
Να ξέρεις λοιπόν ότι η εφx ορίζεται για τόξα x με x
2
π
≠ κπ + .

12. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 12
Σε συναρτήσεις που στον τύπο τους υπάρχουν συνεφαπτόμενες, πρέπει τα τόξα να είναι
διάφορα του κπ , κ ∈ Ÿ , δηλαδή οι συναρτήσεις που ο τύπος τους έχει την μορφή
( )f(x) g(x)= σϕ έχει Π.Ο το σύνολο { }f gD x /x D με g(x) και κ= ∈ ∈ ≠ κπ ∈— Ÿ
Να ξέρεις λοιπόν ότι η σφx ορίζεται για τόξα x με x ≠ κπ .
Ρίζες και πρόσημο τριωνύμου
Έστω το τριώνυμο 2
x xα + β + γ , 0α ≠ , αν:
0Δ > , έχει δυο άνισες ρίζες τις εξής:
1x
2
−β − Δ
=
α
, 2x
2
−β + Δ
=
α
και είναι:
• ομόσημο του α όταν το x παίρνει τιμές έξω από το διάστημα των ριζών, δηλαδή 1x x< ή
2x x> ,
• ετερόσημο του α όταν το x παίρνει τιμές μέσα στο διάστημα των ριζών, δηλαδή 1 2x x x< < .
0Δ = , έχει μια διπλή ρίζα την 0x
2
β
= −
α
και είναι:
• ομόσημο του α για κάθε x∈— με x
2
β
≠ −
α
,
• για x
2
−β
=
α
το τριώνυμο ισούται με μηδέν.
0Δ < δεν έχει ρίζες και είναι:
• ομόσημο του α για κάθε x∈ —.
Μελέτησε πάρα πολύ καλά και αναλυτικά τα ακόλουθα θέματα
Θέμα 6
Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων με τύπους:
Α.
2
x 3x 2
f(x)
x
− +
= ,
Β.
2
2
x x 6
g(x)
x 1
− + +
=
−
.
Λύση
Α. H συνάρτηση f ορίζεται για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς x∈ — για τους οποίους
ισχύουν: 2
x 3x 2 0− + ≥ και x 0≠ .
Το τριώνυμο 2
x 3x 2− + έχει διακρίνουσα, 2
( 3) 4 1 2 9 8 1 0Δ = − − ⋅ ⋅ = − = > οπότε έχει ρίζες τους
αριθμούς
( 3) 1
1
2 1
− − −
=
⋅
ή
( 3) 1
2
2 1
− − +
=
⋅
και 1 0α = > . Οπότε η ανίσωση 2
x 3x 2 0− + ≥
αληθεύει, όταν τριώνυμο είναι ομόσημο του 1 0α = > , που συμβαίνει όταν και μόνο όταν x 1≤ ή
x 2≥ . Επομένως, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A ( ,0) (0, 1] [2, )= −∞ ∪ ∪ +∞ .
Β. H συνάρτηση g ορίζεται για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς x∈ — για τους οποίους

13. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 13
ισχύουν: 2
x x 6 0− + + ≥ και 2
x 1 0− ≠ .
Το τριώνυμο 2
x x 6− + + έχει διακρίνουσα 2
1 4 ( 1) 6 1 24 25 0Δ = − ⋅ − ⋅ = + = > και ρίζες τους
αριθμούς
1 25
3
2 ( 1)
− −
=
⋅ −
ή
1 25
2
2 ( 1)
− +
= −
⋅ −
και 1 0α = − < . Οπότε η ανίσωση 2
x x 6 0− + + ≥
αληθεύει, όταν τριώνυμο είναι ετερόσημο του 1 0α = − < , που συμβαίνει όταν και μόνο όταν
2 x 3− ≤ ≤ .
Έχουμε επίσης 2
x 1 0 (x 1)(x 1) 0− ≠ ⇔ − + ≠ ⇔ x 1≠ και x 1≠ − . Επομένως, το πεδίο ορισμού της
f είναι το σύνολο A [ 2, -1) ( 1, 1) (1, 2]= − ∪ − ∪ .
Θέμα 7
Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων με τύπους:
Α.
2
2
x ln3
g(x)
x 4x 4
+
=
+ +
,
Β.
2
2
x x 2
f(x)
x e
+ +
=
+
.
Λύση
Α. H συνάρτηση g ορίζεται για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς x∈ — για τους οποίους
ισχύουν: 2
x 4x 4 0+ + ≥ και 2
x 4x 4 0+ + ≠ , οπότε τελικά όταν 2
x 4x 4 0+ + > .
Το τριώνυμο 2
x 4x 4− + έχει διακρίνουσα 2
4 4 1 4 16 16 0Δ = − ⋅ ⋅ = − = και 1 0α = > οπότε έχει μια
διπλή ρίζα που είναι ο αριθμός
4
2
2 1
−
= −
⋅
1 0α = > . Θέλουμε 2
x 4x 4 0+ + > δηλαδή να είναι
ομόσημο του συντελεστή 1 0α = > , άρα x 2≠ − . Επομένως, το πεδίο ορισμού της g είναι το
σύνολο A ( , 2) ( 2, )= −∞ − ∪ − + ∞ .
Β. H συνάρτηση f ορίζεται για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς x∈ — για τους οποίους
ισχύουν: 2
x x 2 0+ + ≥ και 2
x e 0+ ≠ .
Το τριώνυμο όμως 2
x x 2+ + έχει διακρίνουσα 2
1 4 1 2 1 8 7 0Δ = − ⋅ ⋅ = − = − < και 1 0α = > . Οπότε
ισχύει 2
x x 2 0+ + > για κάθε x∈ —.
Έχουμε επίσης 2
x 0≥ για κάθε x∈ — και e 0> , οπότε 2
x e e+ ≥ για κάθε x∈ —, οπότε 2
x e 0+ ≠
x∈ —.
Επομένως, το πεδίο ορισμού της f είναι όλο το — , δηλαδή A = — .
Θέμα 8
Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων με τύπους:
A. f(x) 1 lnx= − ,
B. x
g(x) ln(e 1)= − .
Λύση
A. Το h(x) έχει νόημα για h(x) 0≥ , οπότε η συνάρτηση f ορίζεται για εκείνους τους
πραγματικούς αριθμούς x∈ — για τους οποίους ισχύουν: 1 lnx 0− ≥ και x 0> .
1 lnx 0 lnx 1− ≥ ⇔ ≤ lnx lne⇔ ≤ ⇔ 0 x e< ≤ . Επομένως, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο
A (0, e]= .
B. Το ln(g(x)) έχει νόημα για g(x) 0> , οπότε η συνάρτηση g ορίζεται για εκείνους τους
πραγματικούς αριθμούς x∈ — για τους οποίους ισχύει: x
e 1 0− > ⇔ x
e 1> ⇔ x 0
e e> . Η τελευταία

14. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 14
σχέση ισχύει αν και μόνο αν x 0> . Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι το A (0, )= +∞ .
Θέμα 9
Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων με τους ακόλουθους τύπους:
A. f(x) 1 x= − ,
Β. g(x) x 3 6= − − .
Λύση
Με 0θ ≥ ισχύουν οι ανισότητες:
Αν x ≤ θ ⇔ x−θ ≤ ≤ θ ,
Αν x ≥ θ ⇔ x ≤ −θ ή x ≥ θ.
A. Η συνάρτηση f ορίζεται για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς x∈ — για τους οποίους
ισχύει: 1 x 0 x 1 1 x 1− ≥ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ . Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης θα είναι το
A [ 1, 1]= − .
Β. Η συνάρτηση g ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x∈ — για τους οποίους
x 3 6 0− − ≥ ⇔ ή x 3 6 x 3 6 x 9− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ x 3 6 x 3− ≤ − ⇔ ≤ − . Επομένως το πεδίο ορισμού
της συνάρτησης θα είναι το A ( , -3] [9, + )= −∞ ∪ ∞
Θέμα 10
Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων με τύπους:
A. f(x) 1 x= − ημ ,
B. g(x) 1 x= + συν .
Λύση
Επανέλαβε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των βασικών τόξων.
Μάθε να επιλύεις τις βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις και ανισώσεις.
Θυμήσου ότι: 1 x 1− ≤ ημ ≤ και 1 x 1− ≤ συν ≤ .
A. Η συνάρτηση f με τύπο f(x) 1 x= − ημ ορίζεται, όταν 1 x 0− ημ ≥ .
1 x 0− ημ ≥ ⇔ 1 x≥ ημ , που ισχύει γιατί 1 x 1− ≤ ημ ≤ για κάθε x∈ —, άρα το πεδίο ορισμού της f
είναι το σύνολο A = — .
B. Η συνάρτηση g με τύπο g(x) 1 x= + συν ορίζεται όταν 1 x 0− συν ≥ . 1 x 0− συν ≥ ⇔
1 x≥ συν , που ισχύει γιατί 1 x 1− ≤ συν ≤ για κάθε x∈—, άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το
σύνολο A = —
Θέμα 11
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f με τύπο x
f(x) (2 x)= + .
Λύση
Θυμήσου ότι η συνάρτηση ( )
h(x)
f(x) g(x)= απαιτεί g(x) 0> .
Η συνάρτηση f ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους ισχύει:
2 x 0 x 2+ > ⇔ > − .
Μελετάμε και μαθαίνουμε!

15. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 15
Μελετάμε και μαθαίνουμε!
Επομένως το πεδίο ορισμού είναι A [ 1,2] [3, )= − ∪ +∞ .
Θέμα 12
Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων με τύπους:
A.
1 x
f(x) ln
1 x
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
+⎝ ⎠
, B.
2x 1
g(x) 1
x 2
−
= −
−
.
Λύση
Μάθε να επιλύεις ρητές ανισώσεις.
Θυμήσου ότι στις ρητές ανισώσεις δεν κάνουμε (γενικά) απαλοιφή παρονομαστών επειδή δεν
ξέρουμε το πρόσημο των παρονομαστών .
A. Η συνάρτηση με τύπο
1 x
f(x) ln
1 x
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
ορίζεται, όταν 1 x 0 x 1+ ≠ ⇔ ≠ − και
1 x
0
1 x
−
> ⇔
+
2 21 x
(1 x) 0 (1 x) (1 x) (1 x) 0
1 x
−
⇔ ⋅ + > ⋅ + ⇔ − ⋅ + >
+
⇔ 1 x 1− < < , οπότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το σύνολο ( 1, 1)Α = − .
Β. Η συνάρτηση με τύπο
2x 1
g(x) 1
x 2
−
= −
−
ορίζεται, όταν x 2 0 x 2− ≠ ⇔ ≠ και
2x 1 (2x 1) (x 2)
1 0 0
x 2 x 2
− − − −
− ≥ ⇔ ≥ ⇔
− −
2 2x 1
(x 2) 0 (x 2) (x 1) (x 2) 0
x 2
+
⇔ ⋅ − ≥ ⋅ − ⇔ + ⋅ − ≥
−
⇔ x 1≤ − ή x 2≥ .
Θέμα 13
Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων με τους ακόλουθους τύπους:
A. f(x) x 3 2 x 5= − − −
Β. 2
g(x) x 5 x 4= − + .
Λύση
A. Η συνάρτηση f ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους ισχύει:
x 3 2 x 5 0 x 3 2 x 5 .− − − ≥ ⇔ − ≥ −
Θυμήσου τη μέθοδο του τετραγωνισμού και ότι για να υψώσουμε και τα δυο μέλη μιας ισότητας ή
μιας ανισότητας στο τετράγωνο πρέπει να έχουμε μέλη ομόσημα, οπότε έχουμε:
( )
22
x 3 2 x 5− ≥ − ⇔ ( )
22
x 3 2 x 5 0− − − ≥ ⇔
( ) ( )(x 3 2(x 5) (x 3 2(x 5) 0− − − ⋅ − + − ≥ ⇔
( ) ( )
13
x 7 3x 13 0 x , 7
3
⎡ ⎤
− + ⋅ − ≥ ⇔ ∈ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
.
Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης θα είναι το
13
A , 7
3
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
.
Β. Η συνάρτηση g ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους
2
x 5 x 4 0− + ≥ ⇔
2
x 5 x 4 0− + ≥ .

16. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 16
Μελετάμε και μαθαίνουμε!
Μελετάμε και μαθαίνουμε!
Μπορούμε με κατάλληλη αντικατάσταση να επιλύσουμε ευκολότερα μια εξίσωση ή μια ανίσωση,
οπότε αν θέσουμε x y 0= ≥ έχουμε: 2
y 5y 4 0− + ≥ ⇔ 0 y 1≤ ≤ ή y 4≥ , οπότε x 1 1 x 1≤ ⇔ − ≤ ≤ ή
x 4≥ ⇔ x 4≤ − ή x 4≥ . Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης θα είναι το
A ( , -4] [ 1,1] [4, + )= −∞ ∪ − ∪ ∞ .
Θέμα 14
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο f(x) x 3 2 x 6 1= − − − + .
Λύση
Θυμήσου ότι ο γενικός τρόπος επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων που περιέχουν απόλυτες τιμές
είναι να διακρίνεις περιπτώσεις για το πρόσημο των παραστάσεων που είναι στα απόλυτα.
Αυτό διευκολύνεται καταρτίζοντας πίνακα προσήμων.
Η συνάρτηση f ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους ισχύει:
x 3 2 x 6 1 0− − − + ≥ (Α).
Με τη βοήθεια του πίνακα προσήμων θα επιλύσουμε την ανίσωση (Α):
Για x 3< η (Α) παίρνει τη μορφή:
( ) ( )x 3 2 x 6 1 0− + − − + + ≥ ⇔
x 3 2x 12 1 0 x 8 0 x 8− + + − + ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ που είναι αδύνατη.
Για 3 x 6≤ < η (Α) παίρνει τη μορφή:
( ) ( )x 3 2 x 6 1 0− − − + + ≥ ⇔ x 3 2x 12 1 0− + − + ≥ ⇔
14
3x 14 0 x
3
⇔ − ≥ ⇔ ≥ , άρα
14
x ,6
3
⎡ ⎞
∈ ⎟⎢
⎣ ⎠
.
Για x 6≥ η (Α) παίρνει τη μορφή:
( ) ( )x 3 2 x 6 1 0− − − + ≥ ⇔ x 3 2x 12 1 0− − + + ≥ ⇔
x 10 0 x 10⇔ − + ≥ ⇔ ≤ , άρα [ ]x 6,10∈ . Επομένως το πεδίο ορισμού είναι
14
A , 10
3
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
.
Θέμα 15
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f με 3 2
f(x) x 4x x 6= − + + .
Λύση
x-3 - + +
x-6 - - +
x 3− -x+3 x-3 x-3
x 6− -x+6 -x+6 x-6
-∞ 3 6 +∞
0
0

17. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 17
0
0
0 0 0
0
-1 2 3 +∞
Η συνάρτηση f ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους ισχύει:
3 2
x 4x x 6 0− + + ≥ (Α).
Παραγοντοποιούμε με τη βοήθεια του σχήματος Horner το πολυώνυμο
3 2
x 4x x 6− + + , το οποίο έχει ρίζα 0x 1= − και έχουμε:
3 2 2
x 4x x 6 (x 1)(x 5x 6)− + + = + − + = (x 1)(x 2)(x 3)= + − − ,
οπότε η (Α) γίνεται:
(x 1)(x 2)(x 3) 0+ − − ≥ , την οποία θα την επιλύσουμε αφού βρούμε το πρόσημο κάθε παράγοντά της.
x+1 _ + + +
x-2 _ _ + +
x-3 _ _ _ +
(x 1)(x 2)(x 3)+ − − _ + _ +
Από τον πίνακα προσήμων των όρων της (Α), έχουμε ότι οι λύσεις της είναι κάθε x [ 1,2] [3, )∈ − ∪ +∞ .
Επομένως το πεδίο ορισμού είναι A [ 1,2] [3, )= − ∪ +∞ .
Θέμα 16
Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων με τύπους:
A. ( )x x
f(x) ln (e 2)(e 1)= + −
Β.
x
x
2 4
g(x)
2 8
−
=
−
Λύση
A. Η συνάρτηση f ορίζεται για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους
ισχύει: x x
(e 2)(e 1) 0+ − > , που σημαίνει ότι οι όροι x
e 2+ και x
e 1− είναι ομόσημοι. Επειδή όμως
x
e 2 0+ > , θα είναι υποχρεωτικά x
e 1 0− > ⇔ x
e 1> ⇔ x 0
e e> ⇔ x 0> . Επομένως το πεδίο
ορισμού είναι A (0, )= +∞ .
Β. Η συνάρτηση g ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους ισχύει:
x x 3
2 8 0 2 2 x 3− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ και
x
x
2 4
0
2 8
−
≥
−
⇔ ( ) ( )
x
2 2
x x
x
2 4
2 8 0 2 8
2 8
−
⋅ − ≥ ⋅ −
−
⇔ ( ) ( )x x
2 4 2 8 0− ⋅ − ≥ .
Θέτουμε x
2 y 0= > και έχουμε να επιλύσουμε την ισοδύναμη ανίσωση ( ) ( )y 4 y 8 0− ⋅ − ≥ ⇔ y 4≤ ή
y 8≥ . Άρα x x 2
2 4 2 2 x 2≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ή x x 3
2 8 2 2≥ ⇔ ≥ ⇔ x 3⇔ ≥ . Επομένως το πεδίο ορισμού
είναι A ( ,2] [3, )= −∞ ∪ +∞ .
Θέμα 17
Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων με τους τύπους:
Α. ( )5 5 52log x 1 log x log 6
f(x) ln 5 5 5+
= − − ,
Β. lnx ln3
g(x) 3 x 18= + − .
1 -4 1 6
-1 5 -6 -1
1 -5 6 0
-∞

18. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 18
Μελετάμε και μαθαίνουμε!
Λύση
Πρέπει να γνωρίζουμε ότι logα θ
α = θ, οπότε: 5log x
5 x= και 5log 6
5 6= . Επίσης πρέπει να ξέρουμε
ότι ισχύει
log logβ α
α = β οπότε lnx ln3
3 x= .
Α. Η συνάρτηση f ορίζεται για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους
ισχύουν: x 0> και 5 5 52log x 1 log x log 6
5 5 5 0+
− − > (Α). Η (Α) γίνεται: ( )5 5 5
2
log x log x log 6
5 5 5 5 0− ⋅ − > ⇔
2
x 5x 6 0− − > ⇔ x 1< − ή x 6> .
Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι A (6, )= +∞ .
Β. Η συνάρτηση g ορίζεται για τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους ισχύουν:
x 0> και lnx ln3
3 x 18 0+ − > (Β). Η (Β) γίνεται: lnx lnx
3 3 18 0+ − > ⇔ lnx
2 3 18⋅ > ⇔ lnx
3 9> ⇔
lnx 2
3 3> ⇔ lnx 2> ⇔ 2
lnx lne> ⇔ 2
x e> .
Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι 2
A (e , )= +∞ .
Μέθοδος 4 «Πως βρίσκουμε το Σύνολο Τιμών»
Για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας πραγματικής συνάρτησης f εργαζόμαστε ως εξής:
A. «Πως βρίσκουμε το Σύνολο Τιμών»
Αν είναι γνωστή η γραφική παράσταση fC , τότε το σύνολο
τιμών της f είναι το σύνολο f(A) των τεταγμένων των
σημείων της fC , δηλαδή είναι το σύνολο των σημείων του
άξονα y y′ που είναι οι προβολές των σημείων της γραφικής
παράστασης πάνω σ' αυτόν.
Αν για τη συνάρτηση f γνωρίζουμε τον τύπο της y f(x)= , τότε:
1. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της Α (αν δεν δίνεται).
2. Λύνουμε τον τύπο της συνάρτησης f ως προς x, δηλαδή επιλύουμε τη σχέση y f(x)= ως προς x
και καταλήγουμε στη σχέση x g(y)= , δηλαδή εκφράζουμε το x συναρτήσει του y. Προσέχουμε
πολύ ώστε κατά την διάρκεια της επίλυσης να θέτουμε τις συνθήκες εκείνες (περιορισμοί για να
διατηρούνται οι ισοδυναμίες μεταξύ των διαδοχικών πράξεων) που πρέπει να ικανοποιεί το y,
ώστε να έχει νόημα η διαδικασία της επίλυσης.
3. Επειδή x A∈ , απαιτούμε g(y) A∈ , οπότε βρίσκουμε και άλλες συνθήκες που πρέπει να
ικανοποιεί το y , οπότε συναληθεύοντας όλες τις συνθήκες που προέρχονται από την όλη
διαδικασία, βρίσκουμε το σύνολο τιμών f(A) .
4. Αν η συνάρτηση είναι πολλαπλού τύπου, τότε βρίσκουμε το σύνολο τιμών κάθε κλάδου, οπότε η
ένωση των επιμέρους συνόλων αποτελούν το σύνολο τιμών της συνάρτησης.
Αν για παράδειγμα έχουμε:
Cf
O
y
x
f(Α)

19. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 19
Προσοχή!
Προσοχή!
1
2
g(x) αν x A
f(x)
h(x) αν x A
∈⎧
= ⎨
∈⎩
, τότε πρώτα βρίσκουμε τα 1f(A ), 2f(A ) και στη συνέχεια θα έχουμε
1 2f(A) f(A ) f(A )= ∪ .
5. Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι το σύνολο τιμών είναι ένα δοσμένο σύνολο Β, εργαζόμαστε
ως εξής:
i. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α,
ii. Δείχνουμε με ισοδυναμίες ότι η σχέση f(x) B∈ , δηλαδή y f(A)∈ είναι αληθής για κάθε x A∈ .
Γενικά, αν δουλεύουμε με τον τύπο y f(x)= για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας
πραγματικής συνάρτησης f όταν το πεδίο ορισμού fD είναι το ευρύτερο υποσύνολο που
ορίζει ο τύπος, τότε οι περιορισμοί για τα x που προέρχονται από το fD , δεν μας δίνουν
ποτέ περιορισμούς για τα y!!!
Θέμα 18
Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f με τύπο f(x) 2x 1= − .
Λύση
Έχουμε, fA = — . Λύνουμε την εξίσωση y f(x)= ως προς x. Οι περιορισμοί για το y, αν υπάρξουν,
δίνουν το σύνολο τιμών.
y f(x)= ⇔ y 2x 1= − ⇔
y 1
x
2
−
= . Επειδή x∈ ⇔—
y 1
y
2
−
∈ ⇔ ∈— — , οπότε f(A) = — .
Θέμα 19
Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f με τύπο f(x) 2 x 1= − − .
Λύση
1. Πρέπει f(x)∈— x 1 0⇔ − ≥ ⇔ , x 1≥ άρα fD [1, )= +∞ .
2. y 2 x 1 x 1 2 y= − − ⇔ − = − .
Όταν θέλουμε να υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας ισότητας ή ανισότητας σε
άρτια δύναμη, πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι τα δυο μέλη είναι ομόσημα!
Επειδή λοιπόν x 1 0− ≥ θα είναι και 2 y 0− ≥ . Οπότε έχουμε 2
x 1 (2 y)− = − με y 2≤ ⇔
2
x 1 (2 y)= + − με y 2≤ .
3. fx D x 1∈ ⇔ ≥ ⇔ 2 2
1 (2 y) 1 (2 y) 0+ − ≥ ⇔ − ≥ , σχέση που ισχύει για κάθε y , άρα τελικά
ff(D ) ( ,2]= −∞ .
Θέμα 20
Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f με τύπο
x 1
f(x)
x 1
−
=
+
.
Λύση
Έχουμε, x 1 0 x 1+ ≠ ⇔ ≠ − . Επομένως το πεδίο ορισμού της f είναι το ( ) ( )A , -1 1, += −∞ ∪ − ∞ .
Λύνουμε την εξίσωση y f(x)= ως προς x. Οι περιορισμοί για το y, αν υπάρξουν, δίνουν το σύνολο
τιμών.
x 1
y f(x) y y (x 1) x 1
x 1
−
= ⇔ = ⇔ ⋅ + = − ⇔
+

20. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 20
Προσοχή!
yx y x 1 yx x 1 y x(y 1) 1 y⇔ + = − ⇔ − = − − ⇔ − = − − (1).
Θέλουμε να λύσουμε την (1) ως προς x, οπότε θα διαιρέσουμε με το y 1− και επειδή η διαίρεση με
το 0 είναι μη επιτρεπτή πράξη, πρέπει να διακρίνουμε περιπτώσεις.
Αν y 1 0 y 1− = ⇔ = , από την (1) έχουμε: 0 x 2⋅ = − , αδύνατο, οπότε από την (1) έχουμε
1 y
x
y 1
− −
=
−
με
y 1≠ . Άρα f(A) ( ,1) (1, )= −∞ ∪ +∞ .
Θέμα 21
Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f με τύπο
2
2
x 9
f(x)
x 5x 6
−
=
− +
.
Λύση
1. Πρέπει f(x)∈— ⇔ 2
x 5x 6 0− + ≠ ⇔
(x 3)(x 2) 0⇔ − − ≠ ⇔ x 3≠ και x 2≠ , άρα
fD ( ,2) (2,3) (3, )= −∞ ∪ ∪ +∞ .
2.
(x 3)(x 3) x 3
y y
(x 3)(x 2) x 2
− + +
= ⇔ = ⇔
− − −
y(x 2) x 3 yx 2y x 3− = + ⇔ − = + ⇔
yx x 2y 3 (y 1)x 2y 3− = + ⇔ − = + .
Θέλουμε να λύσουμε ως προς x, οπότε θα διαιρέσουμε με το y 1− και επειδή η διαίρεση με το 0 είναι
μη επιτρεπτή πράξη, πρέπει να διακρίνουμε περιπτώσεις.
2α. Αν y 1 0 y 1− = ⇔ = ⇔ 0 x 5⋅ = , αδύνατον, άρα y 1 0− ≠ ⇔ y 1≠ .
2β. Αφού y 1 0− ≠ έχουμε ότι
2y 3
x
y 1
+
=
−
.
3. f
2y 3
x D x 2,3 2
y 1
+
∈ ⇔ ≠ ⇔ ≠
−
και
2y 3
3
y 1
+
≠
−
.
3α.
2y 3
2
y 1
+
≠ ⇔
−
2y 3 2y 2 3 2+ ≠ − ⇔ ≠ , που ισχύει.
3β.
2y 3
3 2y 3 3y 3
y 1
+
≠ ⇔ + ≠ − ⇔
−
y 6 y 6− ≠ − ⇔ ≠ άρα, ff(D ) ( ,1) (1,6) (6, )= −∞ ∪ ∪ +∞ .
Για να βρούμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης δουλέψαμε με τον απλοποιημένο τύπο της
x 3
y
x 2
+
=
−
.
Ο τύπος αυτός δεν ορίζεται για x 2= , ενώ ορίζεται για x 3= , δηλαδή αν βάλουμε στη θέση του x το
2 δεν θα μας δώσει y, ενώ αν βάλουμε στη θέση του x το 3, θα μας δώσει. Η σχέση
2y 3
x
y 1
+
=
−
είναι
ισοδύναμη της σχέσης
x 3
y
x 2
+
=
−
, οπότε η σχέση
2y 3
2
y 1
+
≠
−
δεν θα μας δώσει περιορισμό για
το y ενώ η σχέση
2y 3
3
y 1
+
≠
−
θα μας δώσει περιορισμό για το y.
Θέμα 22
Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f με τύπο ( )x
f(x) ln e 1= + .

21. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 21
Προσοχή!
Λύση
Είναι x
e 1 0+ > για κάθε x∈— , A = — .
Λύνουμε την εξίσωση y f(x)= ως προς x. Οι περιορισμοί για το y, αν υπάρξουν, δίνουν το σύνολο
τιμών.
( )x y x x y
y f(x) y ln e 1 e e 1 e e 1= ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = − (1).
Επειδή το πρώτο μέλος της (1) είναι x
e 0> ⇔
y y y 0
e 1 0 e 1 e e y 0− > ⇔ > ⇔ > ⇔ > , οπότε λύνοντας την (1) ως προς x, έχουμε ( )y
x ln e 1= − , με
y 0> , άρα το σύνολο τιμών της f είναι ( )f(A) 0, += ∞ .
• Στα προηγούμενα θέματα καταλήξαμε να επιλύσουμε πρωτοβάθμια εξίσωση ως προς x. Στη
συνέχεια ακολουθεί ένα θέμα στο οποίο καταλήγουμε σε δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς x.
Θέμα 23
Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f με τύπο
2
2
x 1
f(x)
x 5x 6
+
=
− +
.
Λύση
1. f(x)∈ ⇔— 2
x 5x 6 0− + ≠ ⇔
(x 3)(x 2) 0− − ≠ ⇔ x 3≠ και x 2≠ , άρα
fD ( ,2) (2,3) (3, )= −∞ ∪ ∪ +∞ .
2. Ο τύπος της συνάρτησης δεν επιδέχεται απλοποίηση, οπότε έχουμε τα εξής:
2
2 2
2
x 1
y y(x 5x 6) x 1
x 5x 6
+
= ⇔ − + = + ⇔
− +
2 2
yx 5yx 6y x 1 0− + − − = ⇔
2
(y 1)x 5yx (6y 1) 0⇔ − − + − = (Ε).
Η (Ε) φαίνεται σαν δευτεροβάθμια, αλλά αυτό συμβαίνει μόνον όταν y 1 0− ≠ . Για τον λόγο
αυτό θα εξετάσουμε δυο περιπτώσεις.
i) Αν y 1 0 y 1− = ⇔ = η (Ε) γίνεται:
5x 5 0 x 1− + = ⇔ = , επειδή τώρα fx 1 D= ∈ ⇔ fy 1 f(D )⇔ = ∈ .
ii) Αν y 1 0 y 1− ≠ ⇔ ≠ τότε η (Ε) είναι δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς x . Για
οποιοδήποτε y (εικόνα) που ψάχνουμε να βρούμε η δευτεροβάθμια εξίσωση που προκύπτει
έχει λύσεις τα αντίστοιχα x (πρότυπα) που είναι πραγματικοί αριθμοί, διότι ανήκουν στο
fD ⊆ — , άρα έχει 0Δ ≥ , οπότε:
2
25y 4(y 1)(6y 1) 0− − − ≥ ⇔
2 2
25y 24y 4y 24y 4 0− + + − ≥ ⇔ 2
y 28y 4 0+ − ≥ .
Το τριώνυμο 2
y 28y 4+ − έχει διακρίνουσα 2 2
28 4( 4) 784 16 800 2.400 2.20′Δ = − − = + = = = και
ρίζες τα 1 2y ,y , όπου 1
28 20 2
y 14 10 2
2
− −
= = − − , 2
28 20 2
y 14 10 2
2
− +
= = − + , οπότε
y 14 10 2≤ − − ή y 14 10 2≥ − + .
3. Οι περιορισμοί x 3≠ και x 2≠ , είναι εκείνοι που καθορίζουν ότι το πεδίο ορισμού είναι
το ευρύτερο υποσύνολο του — που καθορίζει ο τύπος της συνάρτησης f, άρα δεν μας δίνουν
άλλους περιορισμούς για τα y, οπότε έχουμε ότι:

22. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 22
ff(D ) ( , 14 2] [ 14 2, ) {1}= −∞ − − ∪ − + +∞ ∪ = ( , 14 2] [ 14 2, )−∞ − − ∪ − + +∞ .
Θέμα 24
Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f με τύπο
2 x
f(x)
2 x
+ ημ
=
− ημ
.
Λύση
1. Πρέπει f(x)∈— 2 x 0 x 2⇔ − ημ ≠ ⇔ ημ ≠ , που ισχύει για κάθε x, άρα fD = —.
2.
2 x
y y(2 x) 2 x
2 x
+ ημ
= ⇔ − ημ = + ημ ⇔
− ημ
2y y x 2 x⇔ − ημ = + ημ .
Επειδή ο τύπος δεν μπορεί να λυθεί ως προς x, θα τον λύσουμε ως προς ημx, οπότε:
y x x 2y 2ημ + ημ = − ⇔
y x x 2y 2 (y 1) x 2y 2ημ + ημ = − ⇔ + ημ = − (E).
Θέλουμε να λύσουμε ως προς ημx, οπότε θα διαιρέσουμε με το y 1+ και επειδή η διαίρεση με το 0
είναι μη επιτρεπτή πράξη, πρέπει να διακρίνουμε περιπτώσεις.
i. Αν y 1 0 y 1+ = ⇔ = − , τότε η (Ε) δίνει 0 x 4⋅ ημ = − , αδύνατον, άρα y 1 0 y 1+ ≠ ⇔ ≠ − . (1)
ii. Αφού y 1 0+ ≠ , λύνουμε την (Ε) ως προς ημx και έχουμε
2y 2
x
y 1
−
ημ =
+
. Ξέρουμε ότι
1 x 1− ≤ ημ ≤ ⇔
2y 2
1 1
y 1
−
⇔ − ≤ ≤
+
. Έχουμε λοιπόν να λύσουμε το ανισωτικό σύστημα:
2y 2
1
y 1
−
− ≤
+
και
2y 2
1
y 1
−
≤
+
.
α.
2y 2 2y 2
1 1 0
y 1 y 1
− −
− ≤ ⇔ + ≥ ⇔
+ +
2y 2 y 1
0
y 1
− + +
⇔ ≥ ⇔
+
3y 1
0
y 1
−
⇔ ≥ ⇔
+
y 1< − ή
1
y
3
≥ . (2)
β.
2y 2 2y 2 2y 2 y 1
1 1 0 0
y 1 y 1 y 1
− − − − −
≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ⇔
+ + +
y 3
0
y 1
−
⇔ ≤ ⇔
+
1 y 3− < ≤ . (3)
Από (1) , (2) και (3) συνάγουμε ότι
1
y 3
3
≤ ≤ .
3. Περιορισμοί για το x δεν έχουμε, οπότε f
1
f(D ) ,3
3
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
.
B. «Πως βρίσκουμε το Σύνολο τιμών συνάρτησης πολλαπλού τύπου;»
Όταν η συνάρτηση είναι πολλαπλού τύπου, τότε βρίσκουμε το σύνολο τιμών κάθε κλάδου, οπότε η
ένωση των επιμέρους συνόλων αποτελούν το σύνολο τιμών της συνάρτησης.
Αν για παράδειγμα έχουμε 1
2
g(x) αν x A
f(x)
h(x) αν x A
∈⎧
= ⎨
∈⎩
, τότε πρώτα θα βρούμε τα 1f(A ), 2f(A ) και
στη συνέχεια θα έχουμε 1 2f(A) f(A ) f(A )= ∪ .

23. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 23
Θέμα 25
Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f με τύπο
3x 1 , x 1
f(x)
lnx , x 1
− + <⎧
= ⎨
≥⎩
.
Λύση
Έχουμε f(x) 3x 1= − + , με 1x A ( , 1)∈ = −∞ και f(x) lnx= με 2x A [1, + )∈ = ∞ .
3x 1 , x 1
f(x)
lnx , x 1
− + <⎧
= ⇔⎨
≥⎩
y 3x 1 , x 1
y lnx , x 1
= − + <⎧
⇔⎨
= ≥⎩
y
y 1
x , x 1
3
x e , x 1
− +⎧
= <⎪
⇔⎨
⎪ = ≥⎩
y 0
y
y 1
y 1 31
3
e e
e 1
− +⎧
− + << ⎧⎪
⇔ ⇔⎨ ⎨
≥⎩⎪ ≥⎩
y 2
y 0
> −⎧
⇔⎨
≥⎩
1
2
f(A ) ( 2, + )
.
f(A ) [1, + )
= − ∞⎧
⎨
= ∞⎩
Οπότε το σύνολο τιμών είναι:
1 2f(A) f(A ) f(A ) ( 2, + )= ∪ = − ∞ .
Γ. «Πως αποδεικνύουμε ότι το Σύνολο τιμών είναι ένα δοσμένο σύνολο Β;»
Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι το σύνολο τιμών είναι ένα δοσμένο σύνολο Β, εργαζόμαστε ως
εξής:
i. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α,
ii. Δείχνουμε με ισοδυναμίες ότι η σχέση f(x) B∈ , δηλαδή y A∈ είναι αληθής για κάθε x A∈ .
Θέμα 26
Δείξτε ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης f με τύπο 2
f(x) x 4x 3= − + είναι το [ )B 1, += − ∞ .
Λύση
Έχουμε A = — . Αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει f(x) 1≥ − για κάθε x A∈ ή ισοδύναμα 2
x 4x 3 1− + ≥ −
για κάθε x∈— .
2 2 2
x 4x 3 1 x 4x 4 0 (x 2) 0− + ≥ − ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ σχέση που ισχύει για κάθε x∈— .
Μέθοδος 5 Συναρτησιακές Σχέσεις που ισχύουν για κάθε xŒ—.
Θέμα 27
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις f : →— — με την ιδιότητα 2
f(x) x x f(x 1) x− ≤ ≤ − +
για κάθε x∈—.
Πρόσεξε
Από τη δοσμένη σχέση 2
f(x) x x f(x 1) x− ≤ ≤ − + , x∈—, πρέπει να βρούμε μια συνάρτηση h
ώστε για κάθε x∈— να ισχύει: f(x) h(x)≤ και f(x) h(x)≥ .
Λύση
Έχουμε
2
2
2
f(x) x x (1)
f(x) x x f(x 1) x
x f(x 1) x (2)
⎧ − ≤
− ≤ ≤ − + ⇔ ⎨
≤ − +⎩
.

24. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 24
Η σχέση (1) 2
f(x) x x⇔ ≤ + (3).
Η σχέση (2) 2
f(x 1) x x⇔ − ≥ − . Η σχέση αυτή ισχύει για κάθε x∈—, άρα θα ισχύει και για το
x 1+ , οπότε έχουμε:
( ) 2
f (x 1) 1 (x 1) (x 1)+ − ≥ + − + ⇔ 2
f(x) x 2x 1 x 1≥ + + − − ⇔ 2
f(x) x x≥ + (4).
Από τις (3) και (4) έχουμε:
2 2
x x f(x) x x+ ≤ ≤ + ⇔ 2
f(x) x x= + , x∈—.
Θέμα 28
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις f : →— — με την ιδιότητα f(x y) f(x) f(y)− = ⋅ για
κάθε x,y ∈—.
Πρόσεξε
Όταν από σχέσεις της μορφής f(x y) ...± = αναζητάμε το f(x) , θα βρίσκουμε το f(0).
Λύση
Η σχέση f(x y) f(x) f(y)− = ⋅ ισχύει για κάθε x,y ∈—.
Για x y 0= = έχουμε:
2
f(0 0) f(0) f(0) f(0) f (0)− = ⋅ ⇔ = ⇔ ( )f(0) 1 f(0) 0− = ⇔ f(0) 0= ή f(0) 1= .
• Έστω f(0) 0= . Η σχέση f(x y) f(x) f(y)− = ⋅ για y 0= μας δίνει: f(x 0) f(x) f(0)− = ⋅ ⇔
f(x) 0= , για κάθε x∈—.
• Έστω f(0) 1= . Η σχέση f(x y) f(x) f(y)− = ⋅ για
x
y
2
= μας δίνει:
x x
f x f(x) f
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = ⋅ ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2x x x
f f(x) f
2 2
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⋅ ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x x
f f(x) f
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⋅ ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )
x
f 1 f(x) 0
2
⎛ ⎞
− = ⇔⎜ ⎟
⎝ ⎠
x
f 0
2
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
ή f(x) 1= , για κάθε x∈—.
Η αρχική σχέση f(x y) f(x) f(y)− = ⋅ για x y= δίνει f(x x) f(x) f(x)− = ⋅ ⇔ 2
f(0) f (x)= ⇔
2
1 f (x)= , άρα f(x) 0≠ , οπότε τελικά έχουμε f(x) 1= , για κάθε x∈—. Τελικά οι λύσεις της
άσκησης είναι οι συναρτήσεις: f(x) 0= , για κάθε x∈— ή f(x) 1= , για κάθε x∈—.
Θέμα 29
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις *
f : →— — με την ιδιότητα 2 2
f(x y) f(x) f(y) x y⋅ = ⋅ − −
για κάθε x,y ∈—*
.
Πρόσεξε
Όταν από σχέσεις της μορφής f(x y) ......⋅ = αναζητάμε το f(x) , θα βρίσκουμε το f(1)
Λύση
Η σχέση 2 2
f(x y) f(x) f(y) x y⋅ = ⋅ − − ισχύει για κάθε x,y∈—, οπότε για x y 1= = έχουμε:
2 2 2
f(1 1) f(1) f(1) 1 1 f(1) f (1) 2⋅ = ⋅ − − ⇔ = − ⇔
2
f (1) f(1) 2 0− − = f(1) 2⇔ = ή f(1) 1= − .
• Αν f(1) 2= τότε θέτουμε στην αρχική y 1= και έχουμε:
2 2
f(x 1) f(x) f(1) x 1⋅ = ⋅ − − ⇔ 2 2
f(x) 2f(x) x 1= − − ⇔ 2
f(x) x 1= + , x∈—(1).
Θα εξετάσουμε αν η σχέση (1) είναι αποδεκτή.

25. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 25
Στη σχέση (1) αν βάλουμε όπου x το xy έχουμε
2
f(xy) (xy) 1= + .
Αν στην αρχική σχέση βάλουμε όπου f(x) το 2
x 1+ και όπου f(y) το 2
y 1+ έχουμε:
2 2 2 2 2 2
f(x y) f(x) f(y) x y (x 1)(y 1) x y⋅ = ⋅ − − = + + − − = 2 2 2 2 2 2
x y x y 1 x y+ + + − − ⇔ 2
f(x y) (xy) 1⋅ = +
, οπότε η συνάρτηση 2
f(x) x 1= + , x∈—, είναι δεκτή γιατί επαληθεύει και την αρχική σχέση.
• Αν f(1) 1= − τότε θέτουμε στην αρχική y 1= και έχουμε:
2 2
f(x 1) f(x) f(1) x 1⋅ = ⋅ − − ⇔ 2 2
f(x) f(x) x 1= − − − ⇔ 2
2f(x) x 1= − − ⇔ ( )21
f(x) x 1
2
= − + , x∈—.
Στη σχέση αυτή αν βάλουμε όπου x το xy έχουμε ( )21
f(xy) (xy) 1
2
= − + .
Αν στην αρχική σχέση βάλουμε όπου f(x) το ( )21
x 1
2
− + και όπου f(y) το ( )21
y 1
2
− + έχουμε:
2 2
f(x y) f(x) f(y) x y⋅ = ⋅ − − =
2 2 2 21 1
(x 1) (y 1) x y
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + ⋅ − + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )2 2 2 2 2 21
x y x y 1 x y
4
+ + + − − = 2 2 2 2 2 21 1 1 1 4 4
x y x y x y
4 4 4 4 4 4
+ + + − − = 2 2 2 21 3 3 1
x y x y
4 4 4 4
− − +
( )21
(xy) 1
2
≠ − + .
Η συνάρτηση ( )21
f(x) x 1
2
= − + , x∈— δεν είναι δεκτή γιατί δεν επαληθεύει την αρχική σχέση.
Θέμα 30
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το — οι οποίες να
ικανοποιούν τη σχέση f(x) g(y) x y⋅ = + για κάθε x, y ∈—.
Λύση
Έστω ότι υπάρχουν συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το — οι οποίες να ικανοποιούν για
κάθε x, y ∈— τη σχέση f(x) g(y) x y⋅ = + .
Για x 0= και y 1= έχουμε:
f(0) g(1) 0 1 f(0) g(1) 1⋅ = + ⇔ ⋅ = (1).
Για x 1= και y 0= έχουμε:
f(1) g(0) 1 0 f(1) g(0) 1⋅ = + ⇔ ⋅ = (2).
Για x 0= και y 0= έχουμε:
f(0) g(0) 0 0 f(0) g(0) 0⋅ = + ⇔ ⋅ = (3).
Οι σχέσεις (1) και (2) μας δίνουν f(0) g(1) f(1) g(0) 1⋅ ⋅ ⋅ = ⇔
(3)
f(0) g(0) f(1) g(1) 1 0 1⋅ ⋅ ⋅ = ⇔ = , άτοπο.
Άρα δεν υπάρχουν συναρτήσεις f, g οι οποίες να ικανοποιούν σχέση f(x) g(y) x y⋅ = + για
κάθε x, y ∈—.
Θέμα 31
Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση f : →— — βαθμού 3ν ≥ , με την ιδιότητα
xf(x) (x 3)f(x 1)= − + για κάθε x∈—. Αν επί πλέον f(2005) 2004 2003 2002= ⋅ ⋅ , τότε δείξτε ότι:

26. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 26
Προσοχή!
Α. Οι αριθμοί 1,2,3 είναι ρίζες του πολυωνύμου f(x) .
Β. f(x) (x 1)(x 2)(x 3)= − − − , για κάθε x∈—.
Λύση
Α. Για x 0= έχουμε:
0 f(0) (0 3)f(0 1) f(1) 0⋅ = − + ⇔ = .
Για x 1= έχουμε:
1 f(1) (1 3)f(1 1)⋅ = − + ⇔ 1 0 2 f(2) f(2) 0⋅ = − ⋅ ⇔ = .
Για x 3= έχουμε:
3 f(3) (3 3)f(3 1) f(3) 0⋅ = − + ⇔ = .
Β. Αφού οι αριθμοί 1,2,3 είναι ρίζες του πολυωνύμου θα έχουμε:
f(x) (x 1)(x 2)(x 3)P(x)= − − − , για κάθε x∈—.
Είναι: f(x 1) (x 1 1)(x 1 2)(x 1 3)P(x 1)+ = + − + − + − + ⇔ f(x 1) x(x 1)(x 2)P(x 1)+ = − − + ,
οπότε η δοσμένη σχέση παίρνει τη μορφή:
x(x 1)(x 2)(x 3)P(x)− − − = (x 3)x(x 1)(x 2)P(x 1)= − − − + ⇔ P(x 1) P(x)+ = , για κάθε x∈—.
Από τη σχέση αυτή διαδοχικά για x 0,1,2,...,= ν με ν ∈ Õ*
έχουμε
P( ) ... P(2) P(1) P(0) kν = = = = = .
Το πολυώνυμο Q(x) P(x) k= − έχει άπειρες λύσεις που είναι οι φυσικοί αριθμοί 0,1,2,..., ,...ν
άρα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, οπότε:
Q(x) 0 P(x) k 0 P(x) k= ⇔ − = ⇔ = για κάθε x∈—,
συνεπώς:
f(x) (x 1)(x 2)(x 3)k= − − − και επειδή f(2005) 2004 2003 2002= ⋅ ⋅ έχουμε
2004 2003 2002 2004 2003 2002 k k 1⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ = , οπότε f(x) (x 1)(x 2)(x 3)= − − − .
Μέθοδος 5 «Πως αποδεικνύουμε την ισότητα μεταξύ δυο συναρτήσεων»
Δυο πραγματικές συναρτήσεις f, g είναι ίσες, όταν:
• έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α
και
• για κάθε x A∈ ισχύει f(x) g(x)= (δεν λέμε έχουν τον ίδιο τύπο γιατί δεν είναι σωστό)
Δυο συναρτήσεις f,g με αντίστοιχα πεδία ορισμού f gA ,A που δεν είναι ίσες, πιθανόν να είναι ίσες
σε κάποιο υποσύνολο του f gA A∩ .

27. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 27
Θέμα 32
Έστω οι συναρτήσεις:
3
2
x x
f(x)
x 1
+
=
+
και g(x) x= . Να εξετασθεί αν f g= ;
Λύση
Οι συναρτήσεις f και g έχουν κοινό πεδίο ορισμού το σύνολο A = — (ισχύει 2
x 1 0+ > για κάθε
x∈—, οπότε και 2
x 1 0+ ≠ για κάθε x∈—).
Είναι
3 2
2 2
x x x(x 1)
f(x) x g(x)
x 1 x 1
+ +
= = = =
+ +
.
Άρα ισχύει f(x) g(x)= για κάθε x A∈ , οπότε οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες.
Θέμα 33
Έστω οι συναρτήσεις:
2
x 1
f(x)
x 1
−
=
−
και
2
x x
g(x)
x
+
= . Να εξετασθεί αν υπάρχει σύνολο Γ για κάθε
στοιχείο του οποίου να είναι f g= ;
Λύση
Οι δυο συναρτήσεις έχουν αντίστοιχα πεδία ορισμού τα σύνολα fA {1}= −— και gB {0}= −— , άρα
δεν είναι ίσες.
Στο σύνολο f gΓ = Α ∩ Β {0, 1}= −R ορίζονται και οι δύο.
Έχουμε:
2
x 1 (x 1)(x 1)
f(x) x 1
x 1 x 1
− − +
= = = +
− −
και
2
x x x(x 1)
g(x) x 1
x x
+ +
= = = + , οπότε f(x) g(x)= για
κάθε x Γ∈ .
Προτεινόμενες ασκήσεις
Τα κοινά πρότυπα έχουν ίσες εικόνες
Θέμα 8
Εξετάστε αν ορίζει συνάρτηση ο τύπος:
2
x +1 , x 0
f(x)
3x , x 0
⎧ ≤
= ⎨
συν ≥⎩
.
Θέμα 9
Εξετάστε αν ορίζει συνάρτηση ο τύπος:
3
2x +1 , x 0
f(x)
3x , x 0
⎧ ≤
= ⎨
ημ ≥⎩
.
Θέμα 10
Να βρεθεί οι τιμές του πραγματικού κ ώστε η σχέση
2
4
3 1
3 x 1 x 3
f(x)
3 x 1 3 x
κ
κ κ+
⎧ + ≤⎪
= ⎨
+ ≤⎪⎩
να ορίζει συνάρτηση.
Θέμα 11
Να βρεθεί οι τιμές του πραγματικού κ ώστε η σχέση

28. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 28
2
2
x 5 x 4
f(x)
x 4 x
⎧ + κ ≤⎪
= ⎨
+ κ ≤⎪⎩
να ορίζει συνάρτηση.
Μια σχέση f(x,y) 0= ορίζει συνάρτηση
Θέμα 12
Έστω η σχέση:
2 3
x 2y 9− = , x,y ∈—.
Α. Να βρείτε για ποιες τιμές του x έχει νόημα.
Β. Εξετάστε αν η σχέση ορίζει συνάρτηση με ανεξάρτητη μεταβλητή το x.
Θέμα 13
Έστω η σχέση:
2 2
x y 9+ = , x,y ∈—.
Α. Να βρείτε για ποιες τιμές του x έχει νόημα η σχέση.
Β. Εξετάστε αν η σχέση ορίζει συνάρτηση με ανεξάρτητη μεταβλητή το x. Στη περίπτωση
που ορίζει συνάρτηση να βρεθεί ο τύπος της.
Θέμα 14
Έστω η σχέση:
2
x(x 5)y x 4(1 y)− = + − , x,y ∈—.
Α. Να βρείτε για ποιες τιμές του x έχει νόημα.
Β. Εξετάστε αν η σχέση αυτή ορίζει συνάρτηση με ανεξάρτητη μεταβλητή το x.
Γ. Δείξτε ότι η εξαρτημένη μεταβλητή y παίρνει όλες τις τιμές της από το σύνολο
4
( , 4] , +
9
⎡ ⎞
−∞ − ∪ ∞⎟⎢
⎣ ⎠
.
Πεδίο Ορισμού
Θέμα 15
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους:
i. 2
x 3
f(x)
x 4x 12
−
=
+ −
, ii. 3 2
x 2
g(x)
x x 2x
+
=
+ −
.
Θέμα 16
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους:
i. 2
f(x) ln(9 x )= − ,
ii. g(x) 1 x= − .
Θέμα 17
Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων;
i.
2
ln(x 2)
f(x)
x 3x 2
+
=
− +
,
ii. x
f(x) (1 x)= − .

29. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 29
Θέμα 18
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπο:
i.
2
x
f(x) (1 x)= − , ii. x
f(x) ln(1 e )= − .
Θέμα 19
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπο:
i.
9 x
f(x)
2 x
−
=
−
,
ii.
3 x
f(x) ln
3 x
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
.
Θέμα 20
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπο:
i.
2
x
f(x)
x 5x 4
=
− + −
, ii.
x x
f(x)
lnx 1
ημ
=
−
.
Θέμα 21
Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων με τύπους:
i. ( )2lnx 1 lnx 2
f(x) ln e e 2e+
= − − ,
ii. lnx ln5
g(x) 5 x 50= + − .
Θέμα 22
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπο:
i.
x
e 1
f(x)
x
−
= , ii.
x
g(x)
1 lnx
=
−
.
Θέμα 23
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους:
i.
x 1
f(x)
x 2
+
=
−
, ii. 2 3
f(x) x 4 x 1= − + + .
Θέμα 24
Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [0, 1]. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των
συναρτήσεων:
i. f (x2
) ii. f (x - 4) iii. f (lnx) .
Θέμα 25
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού fA της συνάρτησης f με 2
f(x) x 2x= − + , όταν το σύνολο τιμών
της είναι το f(A) [ 3, 1]= − .
Θέμα 26
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού fA της συνάρτησης f με 3 2
f(x) x 3x 3x 9= − + − + , όταν το σύνολο
τιμών της είναι το f(A) [0, 9]= .
Θέμα 27
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού fA της συνάρτησης f με
4x 12
f(x)
x 2
+
=
+
, όταν το σύνολο τιμών
της είναι το f(A) [5, 6]= .
Θέμα 28
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού fA της συνάρτησης f με
2
2
x 5x 6
f(x)
x 5x 6
− +
=
− +
, όταν το σύνολο τιμών
της είναι το ( ]f(A) , 1= −∞ .

30. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 30
Θέμα 29
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού fA της συνάρτησης f με 2
f(x) x 4x 4= λ − + για τις διάφορες
τιμές του λ ∈—.
Θέμα 30
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού fA της συνάρτησης f με ( )2
f(x) ln x= λ − λ + λ για τις διάφορες
τιμές της παραμέτρου λ ∈—.
Θέμα 32
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού fA της συνάρτησης f με 2
x 1
f(x)
x 2x 1
−
=
λ − +
για τις διάφορες
τιμές της παραμέτρου λ ∈—.
Θέμα 33
Να προσδιορισθούν οι τιμές της παραμέτρου λ ∈— ώστε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
με
2
2
x 1
f(x)
x 2x 1
+
=
λ − +
, να είναι fA = — .
Τιμή συνάρτησης στο x0
Σχέσεις μεταξύ των τιμών μιας συνάρτησης
Απλοποίηση τύπου
Θέμα 34
Δίνεται η συνάρτηση f με 2
f(x) x x 1= + + .
Να προσδιορισθούν οι τιμές:
f(0), f( 1)− , f
6
π⎛ ⎞
ημ⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Θέμα 35
Δίνεται η συνάρτηση f με
2
x 1 x 0
f(x)
2x 1 x 0
⎧ + αν ≤
= ⎨
+ αν >⎩
. Να προσδιορισθούν οι τιμές:
f( 1)− , f(1), f
2
π⎛ ⎞
συν⎜ ⎟
⎝ ⎠
, f( 1)λ − .
Θέμα 36
Δίνεται η συνάρτηση f με
1 x ρητ ς
f(x)
0 x ρρητος
αν⎧
= ⎨
αν⎩
ό
ά
. Να προσδιορισθούν οι τιμές:
f( 1)− , f(1), f
2
π⎛ ⎞
συν⎜ ⎟
⎝ ⎠
, f( 1)λ − .
Θέμα 37
Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) x= α + β , ,α β∈— και x∈— . Να αποδειχθεί ότι για x∈— ισχύει
ότι f(x 2) f(x) 2f(x 1)+ + = + .
Θέμα 38
Δίνεται η συνάρτηση f με
2
x 1
f(x)
x 1
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
, x 1≠ − .
Να αποδειχθεί ότι για x 0≠ ισχύει ότι
1
f f(x)
x
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Θέμα 39
Δίνεται η συνάρτηση f με
3x 1
f(x)
2x 3
+
=
−
,
3
x
2
≠ .
Να αποδειχθεί ότι ( )f f(x) x= .

31. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 31
Θέμα 40
Δίνεται οι συναρτήσεις f, g με
x x
e e
f(x)
2
−
+
= και
x x
e e
g(x)
2
−
−
= . Για κάθε , βα ∈—.
Να αποδειχθούν οι σχέσεις:
i. ( )f f( )f( ) g( )g( )α + β = α β + α β .
ii. ( )g g( )f( ) g( )f( )α + β = α β + β α .
Θέμα 41
Να εκφρασθούν οι τύποι των συναρτήσεων χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής:
i.
2
x 1
f(x)
x 1
−
=
+
, ii. f(x) x 4 x 1= + + − .
Θέμα 42
Να εκφρασθούν οι τύποι των συναρτήσεων χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής:
i. x x x x
f(x) e e 3 3 3 e= − + − − + , ii. f(x) lnx 2 2 x lnx 3= − + − + + .
Θέμα 43
Να απλοποιηθούν οι τύποι των συναρτήσεων:
i. { }f(x) max 2x 1, -2x-7= + , ii. { }2 2
h(x) max 2x 2x 1, x 8x 4= + + + − .
iii. { }g(x) min 2x 1, -2x-7= + , v. { }2 2
q(x) min 2x 2x 1, x 8x 4= + + + − .
Θέμα 44
Να απλοποιηθούν οι τύποι των συναρτήσεων:
i. ( )lnx
f(x) ln x e= ⋅ , ii.
x 1 x
f(x) ln
x 1 x
⎛ ⎞+ −
= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
.
Σύνολο Τιμών
Θέμα 45
Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους:
i. f(x) x 5= − , x [ 3, 3]∈ − ,
ii. 2
f(x) x 1= + , x [1, 5]∈ .
Θέμα 46
Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους:
i.
x 1
f(x) 2
x 3
−
= −
+
, ii.
2
2
x 9
g(x)
x 5x 6
−
=
− +
.
Θέμα 47
Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους:
i. f(x) 2 x 1= + + ,
ii.
x 1 x 1
g(x)
2x 3 x 1
+ αν ≤⎧
= ⎨
− + αν >⎩
.
iii. 2
h(x) 2 x 1= − + ,
v.
2
2
x 1
q(x)
x x 1
+
=
+ +
.
Θέμα 48
Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους:
i.
1 x
f(x)
1 x
− ημ
=
+ ημ
, ii.
2 x
g(x)
2 x
+ συν
=
− συν
.
Θέμα 49
Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους:

32. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 32
i. f(x) 2x 1= − , x 7≤ ,
ii. 2
g(x) 2x= − , x 0≥ .
Θέμα 50
Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους:
i.
2x 1
f(x)
x 1
−
=
+
, ii. x
g(x) ln(e 1)= + .
Θέμα 51
Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους:
i.
x
x
e 1
f(x)
e 1
−
=
+
, ii.
2x
2x
e 1
g(x)
e 1
+
=
−
.
Θέμα 52
Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους:
i. f(x) 4 2 x 2= − − ,
ii.
2x 1 x 1
g(x)
ln x 1 x 1
− + αν ≤⎧
= ⎨
+ αν >⎩
.
Θέμα 53
Δείξτε ότι η συνάρτηση f με τύπο f(x)=x2
−3x −4 έχει σύνολο τιμών το
25
, +
4
⎡ ⎞
− ∞⎟⎢
⎣ ⎠
.
Θέμα 54
Δείξτε ότι η συνάρτηση f με τύπο
2
2
x x 1
f(x)
x x 1
− +
=
+ +
έχει σύνολο τιμών το
1
, 3
3
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
.
Θέμα 55
Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους:
i. x
f(x) e 5= − , ii. ( )f(x) ln x 1= + .
Θέμα 56
Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους:
i.
3 x
f(x) ln
x 1
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
, ii.
x
x
e 2
f(x)
e 1
−
=
+
.
Θέμα 57
Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους:
i. 2x x
f(x) 3 8 3 6= − ⋅ + , ii.
x x
x x
e e
f(x)
e e
−
−
−
=
+
.
Θέμα 58
Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου λ ∈— ώστε η συνάρτηση f με 2
x
f(x)
x 1
λ
=
+
να έχει σύνολο
τιμών το f(A) [ 1, 1]= − .
Θέμα 59
Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου λ ∈— ώστε η συνάρτηση f με
2
2
x
f(x)
x x 1
+ λ
=
+ λ +
να έχει σύνολο
τιμών το f(A) [ 1, 1]= − .
Ισότητα συναρτήσεων
Θέμα 60
Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f g= . Στις περιπτώσεις που είναι f g≠
να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του — στο οποίο ισχύει f(x) g(x)= .

33. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 33
i. 2
f(x) x= και 2
g(x) ( x)=
ii.
2
2
x 1
f(x)
x | x |
−
=
+
και
1
g(x) 1
| x |
= −
iii.
x 1
f(x)
x 1
−
=
−
και g(x) x 1= + .
Θέμα 61
Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x + 1.
α. Να εξετάσετε ποιες από τις συναρτήσεις του παρακάτω πίνακα είναι ίσες με τη συνάρτηση f.
2
1
x - 1
f (x)
x - 1
=
3
2 2
x 1
f (x)
x - x 1
+
=
+
( )
2
3f (x) x 1= +
4
1
f (x) x 1
x
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
x 1
5f (x) lne +
= ln(x 1)
6f (x) e +
=
β. Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες
ίσες.
Θέμα 62
Δίνονται οι συναρτήσεις:
1
x - 1
f (x)
x 1
=
+
2
x 1
f (x)
x 1
−
=
+
3
1
1 -
xf (x)
1
1
x
=
+
2
4 2
(x - 1)
f (x)
x - 1
=
5 2
x 1
f (x)
x 1
−
=
−
6
x 1
f (x)
x 1 - x 1
−
=
− +
α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού καθεμιάς συνάρτησης.
β. Να εξετάσετε αν υπάρχουν ζεύγη ίσων συναρτήσεων.
γ. Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες
ίσες.
Θέμα 63
Δίνονται οι συναρτήσεις
2
2
2x 2αx α
g(x)
2 (x - 1)
+ +
= , α∈R και
x 1
f(x)
x - 1
+
= , x > 0.
α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f, g
β. Για ποια τιμή του α ισχύει f = g;
Θέμα 64
Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f g= . Στις περιπτώσεις που είναι f g≠
να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του — στο οποίο ισχύει f(x) g(x)= .
i. 2
f(x) x 3x 2= − + , g(x) x 1 x 2= − ⋅ − .

34. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 34
ii. ( )( )f(x) x 1 2 x= − − , g(x) x 1 2 x= − ⋅ − .
Θέμα 65
Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f g= . Στις περιπτώσεις που είναι f g≠
να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του — στο οποίο ισχύει f(x) g(x)= .
i.
1 x
f(x) ln
x
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
, ( )g(x) ln 1 x ln x= − − .
ii. f(x) x 2 x 1= − + , g(x) x 1= − .
Θέμα 66
Δίνονται οι συναρτήσεις f, g έτσι ώστε για κάθε x∈ — να ισχύει η σχέση
f(x) g(x)
1 f(x) 1 g(x)
=
+ +
. Να
αποδείξετε ότι f g= .
Επιλεγμένα Θέματα
Θέμα 67
Έστω η πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το — η οποία για κάθε x,y ∈— ικανοποιεί
τη σχέση f(x y) f(x) f(y) x y+ ≥ + ≥ + . Να αποδείξετε ότι:
i. Η γραφική παράστασης της συνάρτησης f διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
ii. f( x) f(x)− = − για κάθε x∈—.
iii. f(x) x= για κάθε x∈—.
Θέμα 68
Έστω η συνάρτηση g με g(x) x 2= λ + − λ , λ∈—.
i. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g διέρχεται από σταθερό
σημείο για κάθε τιμή της παραμέτρου λ∈—.
ii. Αν επί πλέον ορίσουμε και τη συνάρτηση f με
2
f(x)
x
= , να αποδειχθεί ότι:
α. Οι γραφικές παραστάσεις fC και gC έχουν κοινά σημεία για κάθε τιμή της παραμέτρου
λ∈—.
β. Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου λ∈— για τις οποίες η fC εφάπτεται της gC .
Θέμα 69
Έστω η συνάρτηση g με τύπο:
3 2 2 2 2
g(x) x ( 3 1)x (2 2)x 3 3 2,= λ + λ + λ + + λ − λ + − λ − λ − λ∈—. Να αποδείξετε ότι η γραφική
παράσταση της συνάρτησης g διέρχεται από δυο σταθερά σημεία για κάθε τιμή της
παραμέτρου λ∈—.
Θέμα 70
Έστω η συνάρτηση g με
2
2
x 2 x
g(x)
x 2x 3
+ α + β
=
+ +
α, β∈—. Να βρεθούν οι αριθμοί α, β∈—, ώστε η
συνάρτηση g να έχει σύνολο τιμών το διάστημα [ )1, 1− .
Θέμα 71
Έστω η συνάρτηση f πεδίο ορισμού το [ ]A 0, 4= και τύπο
f(x) 8 x 4 4 x 8 x 4 4 x= − + − + − − − . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή.
Θέμα 72
Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση f με την ιδιότητα f(x y) f(x) f(y) 2xy 1+ = + = − για κάθε
x,y ∈—. Αν f(0) 91= , να αποδείξετε ότι 2
f(x) x x 1= − + .

35. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 35
Φύλλο Εργασίας
Α. Εξηγείστε τα ακόλουθα:
1.
2.
Β.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Γ.
1.
2.
3.
4.
5.

36. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 36
Δ.

37. www.mathjazz.com
www.mathjazz.com ­ συναρτήσεις Σελίδα 37
Ασκήσεις που πρέπει όλοι να κάνετε για τη θεμελίωση του 1ου
μαθήματος
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.