Αποκλειστικά από το lisari για τους μαθητές της Γ΄ Λυκείου Γενικής Παιδείας

1. Διαγώνισμα …ο: Τύπου Δ΄
(γενικά θέματα)
…..ο Κεφάλαιο ……… – …………
Παράγραφοι:…………………………..
Διάρκεια διαγωνίσματος: 3 ώρες
Ημερομηνία Εξέτασης: ……………………. 201..
Στοιχεία μαθητή:
……………………………….……………………………
Βαθμός (100) …………
Βαθμός (20) …………..
2015
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το http://lisari.blogspot.gr
1/1/2015

2. ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
Γ΄ ΤΑΞΗ
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ
ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
………………… …… ……………… 2015
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6)
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος http://lisari.blogspot.gr
ΘΕΜΑ Α
Α1. Ας υποθέσουμε ότι x1,x2,…,xk είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα
άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, όπου k,ν μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί με
k  ν.
α. Τι ονομάζεται απόλυτη συχνότητα νi, που αντιστοιχεί στην τιμή xi , i = 1,2,…,k;
Μονάδες 5
β. Να αποδείξετε ότι:
i) 0  fi  1 για i = 1, 2,…,k
ii) f1 + f2 + …+ fk = 1.
Μονάδες 10
Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας
δίπλα, στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση
είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Η διακύμανση εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι
παρατηρήσεις.
Μονάδες 2
β) Στη κανονική κατανομή το εύρος ισούται περίπου με έξι φορές τη μέση τιμή,
δηλαδή R ≈ 6x .
Μονάδες 2
γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει         f g x f g x g x

 
Μονάδες 2
δ) Πάντοτε ένα μεγαλύτερο δείγμα δίνει πιο αξιόπιστα αποτελέσματα από ένα
μικρότερο δείγμα.
Μονάδες 2
ε) Σε μια κανονική κατανομή στο διάστημα  x s,x s  αντιστοιχούν το 68% των
παρατηρήσεων.
Μονάδες 2

3. ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
Γ΄ ΤΑΞΗ
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΘΕΜΑ Β (κατασκευή Μάκης Χατζόπουλος)
Δίνονται τα ενδεχόμενα Α, Β ενός πειράματος τύχης με δειγματικό χώρο Ω, τέτοια
ώστε:
 
 
 
A B 2,3,α,β,11 , α,β
Β Α 2,7
A B 5
  
 
 
B1. Να βρείτε τους αριθμούς α, β και τα ενδεχόμενα Α, Β.
Μονάδες 8
B2. Αν τα ενδεχόμενα του πειράματος τύχης είναι απλά και ισοπίθανα με
Ν(Ω) = 2015, βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα
από τα ενδεχόμενα Α και Β.
Μονάδες 9
B3. Αν
       
 P 11
P 2 P 3 2P α 2P β
2
   
και
 
3
P B A
56
 
βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από Α και Β.
Μονάδες 8

4. ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
Γ΄ ΤΑΞΗ
ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΘΕΜΑ Γ
Δίνονται οι παρατηρήσεις ενός δείγματος, που δεν είναι όλες ίσες μεταξύ
τους,
1 2 3 4 5
t λ, t 3λ, t 5λ, t 7λ, t 9λ, λ     R
Γ1. Να δείξετε ότι λ 0
Μονάδες 2
Γ2. Να δείξετε ότι το δείγμα των παρατηρήσεων δεν είναι ομοιογενές για
κάθε πραγματικό αριθμό λ.
Μονάδες 6
Γ3. Βρείτε τον θετικό ακέραιο λ έτσι ώστε η ποσότητα 2
s 5 x  να γίνεται
ελάχιστη και να βρείτε την ελάχιστη τιμή.
Μονάδες 10
Γ4. Αν  *
Ω λ / 2λ,3λ,5λ,7λ,9λ  ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος
τύχης με ισοπίθανα ενδεχόμενα, βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου η
μέση τιμή των αριθμών α, α+2, α + 4, α+ 6 όπου α Ω , να είναι μικρότερη
ή ίση από τη διασπορά τους.
Μονάδες 7

5. ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
Γ΄ ΤΑΞΗ
ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΘΕΜΑ Δ (κατασκευή Μάκης Χατζόπουλος)
Δίνεται η συνάρτηση
 
 2 x 4
x 4
e 1
12,5 2 ,x 4
f x e 1
0 ,x 4


  
    
   
 
Έστω Χ η μεταβλητή με παρατηρήσεις που διατάσσονται σε 4 ισοπλατείς κλάσεις,
όπως φαίνεται στο ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις εκατό (Fi%).
Αν η εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο x0 = 4
συμπίπτει με το πολύγωνο των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις εκατό, τότε:
Δ1. Να αποδείξετε ότι
i)    x 4
f x 12,5 e 1 , x
  R
Μονάδες 5
ii) H εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της Cf στο x0 = 4 είναι η y = 12,5x – 50
Μονάδες 4
Δ2. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα σχετικών συχνοτήτων (μονάδες 8)

6. ΑΡΧΗ 6ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
Γ΄ ΤΑΞΗ
ΤΕΛΟΣ 6ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
Κλάσεις xi fi Fi Fi%
[ , )
[ , )
[ , )
[ , )
Σύνολο - - -
και στη συνέχεια να σχεδιάσετε το κυκλικό διάγραμμα (μονάδες 2).
Μονάδες 10
Δ4. Να αποδείξετε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές (μονάδες 3) και στη συνέχεια να
βρείτε τον ελάχιστο ακέραιο αριθμό που πρέπει να προσθέσουμε σε κάθε τιμή, ώστε
το δείγμα να γίνει ομοιογενές (μονάδες 3).
Μονάδες 6
ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους)
1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο
μάθημα). Τα θέματα να μην τα αντιγράψετε στο τετράδιο. Τα σχήματα που θα χρησιμοποιήσετε στο
τετράδιο, μπορούν να γίνουν και με μολύβι.
2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων μόλις σας
παραδοθούν. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε.
Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα
φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν μετά το πέρας της εξέτασης.
3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα.
4. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
5. Διάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μιάμιση (1 1/2) ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ