SlideShare a Scribd company logo
γ΄ λυκείου
Μαθηματικά Προσανατολισμού
Ερωτήσεις κλειστού τύπου
Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, Msc
kgeo67@gmail.com
2020-2021
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 1 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
Ερωτήσεις
Σωστού - Λάθους
Πανελλαδικές εξετάσεις 2000-2020
2o ΓΕΛ Καματερού 1 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 2 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2020: ημερήσια & εσπερινά
Ερωτήσεις (νέο σύστημα) Απαντήσεις
1. Για κάθε συνάρτηση 𝑓, ορισμένη, παραγωγίσιμη και γνησίως
αύξουσα στο ℝ, ισχύει 𝑓′(𝑥) > 0.
r Σ
r Λ
2. lim
𝑥→0
􏿶
1
𝑥2𝜈+1 􏿹 = +∞, για κάθε 𝜈 ∈ ℕ.
r Σ
r Λ
3. Αν 𝑓, 𝑔 είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α και Β,
αντίστοιχα, τότε η 𝑔 ∘ 𝑓 ορίζεται, αν 𝑓(𝐴) ∩ 𝐵 ≠ ∅.
r Σ
r Λ
4. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 𝑓(𝑥) = √|𝑥|, 𝑥 ∈ ℝ
έχει άξονα συμμετρίας τον 𝑦′𝑦.
r Σ
r Λ
5. Η εικόνα 𝑓(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη
σταθερής συνάρτησης είναι πάντα διάστημα.
r Σ
r Λ
6. Δίνεται ότι η συνάρτηση 𝑓 παραγωγίζεται στο ℝ και ότι η
γραφική της παράσταση είναι πάνω από τον άξονα 𝑥′𝑥. Αν
υπάρχει κάποιο σημείο 𝐴(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) της 𝐶𝑓, του οποίου η
απόσταση από τον άξονα 𝑥′𝑥 είναι μέγιστη (ή ελάχιστη), τότε σε
αυτό το σημείο η εφαπτομένη της 𝐶𝑓 είναι οριζόντια.
r Σ
r Λ
Ερωτήσεις (παλαιό σύστημα) Απαντήσεις
1. Για κάθε συνάρτηση 𝑓 με lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 0, ισχύει ότι
lim
𝑥→𝑥0
1
𝑓(𝑥)
= +∞ ή lim
𝑥→𝑥0
1
𝑓(𝑥)
= −∞.
r Σ
r Λ
2. Αν lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = +∞, τότε 𝑓(𝑥) > 0 για κάθε 𝑥 κοντά στο 𝑥0. r Σ
r Λ
3. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής στο [𝛼, 𝛽], παραγωγίσιμη
στο (𝛼, 𝛽) και 𝑓′(𝑥) ≠ 0 για κάθε 𝑥 ∈ (𝛼, 𝛽), τότε 𝑓(𝛼) ≠ 𝑓(𝛽).
r Σ
r Λ
4. Για κάθε συνάρτηση 𝑓 που είναι παραγωγίσιμη και γνησίως
αύξουσα στο ℝ, ισχύει 𝑓′(𝑥) > 0 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ.
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 2 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 3 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2020: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς
Ερωτήσεις (νέο σύστημα) Απαντήσεις
1. Κάθε συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε ένα σημείο του
πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.
r Σ
r Λ
2. lim
𝑥→−∞
𝑒𝑥 = −∞. r Σ
r Λ
3. Για κάθε συνάρτηση 𝑓, το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα
της 𝑓, εφόσον υπάρχουν, είναι το ολικό μέγιστο της 𝑓.
r Σ
r Λ
4. (ln|𝑥|)
′
= −
1
𝑥
, για κάθε 𝑥 < 0. r Σ
r Λ
5. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν
μηδενίζεται σε αυτό, τότε η 𝑓 διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ.
r Σ
r Λ
Ερωτήσεις (παλαιό σύστημα) Απαντήσεις
1. Για κάθε συνάρτηση 𝑓, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη
και κυρτή στο ℝ, ισχύει 𝑓″(𝑥) > 0 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ.
r Σ
r Λ
2. Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων 𝑓, 𝑔 για τις οποίες ορίζονται οι
συναρτήσεις 𝑓 ∘ 𝑔 και 𝑔 ∘ 𝑓 ισχύει
𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑔 ∘ 𝑓.
r Σ
r Λ
3. Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων 𝑓, 𝑔 για τις οποίες υπάρχουν τα
όρια lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥), lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) και 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) για κάθε 𝑥 κοντά στο
𝑥0, ισχύει
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) < lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥).
r Σ
r Λ
4. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής στο [𝛼, 𝛽], τότε η 𝑓 παίρνει
στο [𝛼, 𝛽], μια μέγιστη τιμή 𝑀 και μια ελάχιστη τιμή 𝑚.
r Σ
r Λ
5. Για κάθε 𝑥 ∈ ℝ − {0}, ισχύει (ln|𝑥|)′ =
1
𝑥
. r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 3 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 4 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2019:ημερήσια & εσπερινά
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Για κάθε συνάρτηση 𝑓, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο
Α = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) με 𝑓′(𝑥) = 0 για κάθε 𝑥 ∈ 𝐴, ισχύει ότι η
𝑓 είναι σταθερή στο Α.
r Σ
r Λ
2. Για κάθε συνάρτηση 𝑓 ∶ 𝐴 → ℝ, όταν υπάρχει το όριο της 𝑓
καθώς το 𝑥 τείνει στο 𝑥0 ∈ 𝐴, τότε αυτό το όριο ισούται με την
τιμή της 𝑓 στο 𝑥0.
r Σ
r Λ
2019: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Η γραφική παράσταση της |𝑓| αποτελείται από τα τμήματα
της γραφικής παράστασης της 𝑓 που βρίσκονται πάνω από τον
άξονα 𝑥′𝑥 και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα 𝑥′𝑥, των
τμημάτων της γραφικής παράστασης της 𝑓 που βρίσκονται κάτω
από αυτόν τον άξονα.
r Σ
r Λ
2. Ένα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης 𝑓 μπορεί να είναι
μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο της 𝑓.
r Σ
r Λ
3. Αν lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) > 0, τότε 𝑓(𝑥) > 0 για κάθε 𝑥 κοντά στο 𝑥0. r Σ
r Λ
4. Μια πολυωνυμική συνάρτηση 𝑓 ∶ ℝ → ℝ διατηρεί πρόσημο
σε κάθε ένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της
𝑓 χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 4 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 5 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2018:ημερήσια & εσπερινά
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Κάθε συνάρτηση 𝑓 ∶ ℝ → ℝ που είναι 1 − 1 είναι και γνησίως
μονότονη.
r Σ
r Λ
2. Η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = ημ𝑥 με 𝑥 ∈ ℝ έχει μία μόνο θέση ολικού
μεγίστου.
r Σ
r Λ
3. Για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση 𝑓 σε ένα διάστημα Δ, η
οποία είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει 𝑓′(𝑥) > 0 για κάθε 𝑥 ∈ Δ.
r Σ
r Λ
4. Ισχύει lim
𝑥→0
1 − συν𝑥
𝑥
= 0.
r Σ
r Λ
5. Αν η 𝑓 είναι αντιστρέψιμη συνάρτηση, τότε οι γραφικές
παραστάσεις 𝐶 και 𝐶′ των συναρτήσεων 𝑓 και 𝑓−1 αντίστοιχα
είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία 𝑦 = 𝑥.
r Σ
r Λ
6. Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τη
γραφική παράσταση μιας συνάρτησης 𝑓.
r Σ
r Λ
2018: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Για κάθε ζεύγος πραγματικών συναρτήσεων
𝑓, 𝑔 ∶ (0, +∞) → ℝ, αν ισχύει lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = +∞ και
lim
𝑥→0
𝑔(𝑥) = −∞, τότε lim
𝑥→0
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 0.
r Σ
r Λ
2. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης 𝑓 ∶ ℝ → ℝ μπορεί να
τέμνει την ασύμπτωτή της.
r Σ
r Λ
3. Αν μια συνάρτηση 𝑓 ∶ ℝ → ℝ είναι 1 − 1 , τότε κάθε οριζόντια
ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της 𝑓 το πολύ σε ένα σημείο.
r Σ
r Λ
4. Αν οι συναρτήσεις 𝑓 και 𝑔 έχουν πεδίο ορισμού το [0, 1] και
σύνολο τιμών το [2, 3], τότε ορίζεται η 𝑓 ∘ 𝑔 με πεδίο ορισμού το
[0, 1] και σύνολο τιμών το [2, 3]
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 5 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 6 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Ποια από τις συναρτήσεις 𝐹, 𝐺, 𝐻, 𝑇
μπορεί να είναι η παράγωγος της 𝑓 και
ποια της 𝑔.
r
r
r
r
2o ΓΕΛ Καματερού 6 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 7 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2017:ημερήσια & εσπερινά
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Κάθε συνάρτηση 𝑓, η οποία είναι συνεχής στο 𝑥0 είναι
παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.
r Σ
r Λ
2. Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων 𝑓 ∶ ℝ → ℝ και 𝑔 ∶ ℝ → ℝ, αν
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 0 και lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) = +∞ τότε lim
𝑥→𝑥0
[𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)] = 0.
r Σ
r Λ
3. Αν 𝑓, 𝑔 είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β
αντίστοιχα, τότε η 𝑔 ∘ 𝑓 ορίζεται αν 𝑓(𝐴) ∩ 𝐵 ≠ ∅.
r Σ
r Λ
4. Για κάθε συνάρτηση 𝑓 ∶ ℝ → ℝ που είναι παραγωγίσιμη και
δεν παρουσιάζει ακρότατα, ισχύει 𝑓′(𝑥) ≠ 0 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ.
r Σ
r Λ
5. Αν 0 < 𝛼 < 1, τότε lim
𝑥→−∞
𝛼𝑥 = +∞. r Σ
r Λ
6. Η εικόνα 𝑓(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη
σταθερής συνάρτησης 𝑓 είναι διάστημα.
r Σ
r Λ
7. Αν lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = −∞, τότε 𝑓(𝑥) > 0 κοντά στο 𝑥0. r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 7 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 8 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2017: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Για κάθε συνάρτηση 𝑓 η οποία είναι ορισμένη και δύο φορές
παραγωγίσιμη στο ℝ ισχύει 𝑓″(𝑥0) = 0, τότε το 𝑥0 είναι θέση
σημείου καμπής της 𝐶𝑓.
r Σ
r Λ
2. Μια συνάρτηση 𝑓 λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα
Δ του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχουν 𝑥1, 𝑥2 ∈ Δ με 𝑥1 < 𝑥2,
ώστε 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2).
r Σ
r Λ
3. Αν ένα σημείο Μ(𝛼, 𝛽) ανήκει στη γραφική παράσταση μιας
αντιστρέψιμης συνάρτησης 𝑓, τότε το σημείο Μ′(𝛽, 𝛼) ανήκει
στη γραφική παράσταση 𝐶′ της 𝑓−1.
r Σ
r Λ
4. Για κάθε συνεχή συνάρτηση 𝑓 ∶ [𝛼, 𝛽] → ℝ, η οποία είναι
παραγωγίσιμη στο (𝛼, 𝛽), αν 𝑓(𝛼) = 𝑓(𝛽), τότε υπάρχει ακριβώς
ένα 𝜉 ∈ (𝛼, 𝛽) τέτοιο ώστε 𝑓′(𝜉) = 0.
r Σ
r Λ
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Για κάθε συνεχή
συνάρτηση
𝑓 ∶ [𝛼, 𝛽] → ℝ,
αν ισχύει
𝑓(𝛼) ⋅ 𝑓(𝛽) > 0,
τότε
r η εξίσωση 𝑓(𝑥) = 0 δεν έχει λύση στο (𝛼, 𝛽).
r η εξίσωση 𝑓(𝑥) = 0 έχει ακριβώς μία λύση στο (𝛼, 𝛽).
r η εξίσωση 𝑓(𝑥) = 0 έχει τουλάχιστον δύο λύσεις στο (𝛼, 𝛽).
r δεν μπορούμε να έχουμε συμπέρασμα για το πλήθος των λύ-
σεων της εξίσωσης 𝑓(𝑥) = 0 στο (𝛼, 𝛽).
2o ΓΕΛ Καματερού 8 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 9 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2016: ημερήσια & εσπερινά
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Αν οι συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 έχουν όριο στο 𝑥0 και ισχύει
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) κοντά στο 𝑥0, τότε lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) ≤ lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥).
r Σ
r Λ
2. Κάθε συνάρτηση 𝑓, για την οποία ισχύει 𝑓′(𝑥) = 0 για κάθε
𝑥 ∈ (𝛼, 𝑥0) ∪ (𝑥0, 𝛽), είναι σταθερή στο (𝛼, 𝑥0) ∪ (𝑥0, 𝛽).
r Σ
r Λ
3. Μια συνάρτηση 𝑓 είναι 1 − 1, αν και μόνο αν, για κάθε
στοιχείο 𝑦 του συνόλου τιμών της, η εξίσωση 𝑦 = 𝑓(𝑥) έχει
ακριβώς μια λύση ως προς 𝑥.
r Σ
r Λ
4. Αν η 𝑓 είναι συνεχής στο [𝛼, 𝛽], τότε η 𝑓 παίρνει στο [𝛼, 𝛽],
μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή 𝑚.
r Σ
r Λ
5. lim
𝑥→0
ημ𝑥
𝑥
= 0 r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 9 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 10 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2016: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Ισχύει lim
𝑥→0
συν𝑥 − 1
𝑥
= 1.
r Σ
r Λ
2. Αν 𝑓(𝑥) = ln|𝑥| για κάθε 𝑥 ≠ 0, τότε 𝑓′(𝑥) =
1
|𝑥|
για κάθε
𝑥 ≠ 0.
r Σ
r Λ
3. Αν μια συνάρτηση 𝑓 δεν είναι συνεχής στο 𝑥0, τότε η 𝑓 δεν
είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0.
r Σ
r Λ
4. Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού 𝜈 ≥ 2, η οποία έχει
ασύμπτωτη.
r Σ
r Λ
1. Αν lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 0, και 𝑓(𝑥) > 0 κοντά στο 𝑥0, τότε:
lim
𝑥→𝑥0
1
𝑓(𝑥)
= +∞.
r Σ
r Λ
2. Το πεδίο ορισμού της 𝑔 ∘ 𝑓 αποτελείται από όλα τα στοιχεία 𝑥
του πεδίου ορισμού της 𝑓, για τα οποία το 𝑓(𝑥) ανήκει στο πεδίο
ορισμού της 𝑔.
r Σ
r Λ
3. Ένα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης 𝑓 μπορεί να είναι
μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο της 𝑓.
r Σ
r Λ
4. Για κάθε συνάρτηση 𝑓 που είναι γνησίως αύξουσα και
παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ ισχύει 𝑓′(𝑥) > 0, για κάθε 𝑥 ∈ Δ.
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 10 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 11 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2015: ημερήσια & εσπερινά
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Αν για δύο συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 ορίζονται οι συναρτήσεις 𝑓 ∘ 𝑔
και 𝑔 ∘ 𝑓, τότε ισχύει πάντοτε ότι 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑔 ∘ 𝑓.
r Σ
r Λ
2. Για κάθε 𝑥 ∈ ℝ ισχύει ότι (συν𝑥)′ = ημ𝑥.
r Σ
r Λ
3. Αν lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 0 και 𝑓(𝑥) > 0 κοντά στο 𝑥0, τότε:
lim
𝑥→𝑥0
1
𝑓(𝑥)
= +∞
r Σ
r Λ
2015: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Αν οι συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 έχουν όριο στο 𝑥0 και ισχύει
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) κοντά στο 𝑥0, τότε lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) ≤ lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥).
r Σ
r Λ
2. Αν lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = −∞, τότε 𝑓(𝑥) > 0 κοντά στο 𝑥0. r Σ
r Λ
3. Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου
του 2, της οποίας η γραφική παράσταση έχει ασύμπτωτη.
r Σ
r Λ
4. Για κάθε 𝑥 ∈ ℝ, ισχύει | ημ𝑥| < |𝑥|
r Σ
r Λ
5. Αν lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 0 και 𝑓(𝑥) > 0 κοντά στο 𝑥0, τότε:
lim
𝑥→𝑥0
1
𝑓(𝑥)
= −∞
r Σ
r Λ
6. Για κάθε 𝑥 ∈ ℝ𝟚 = ℝ − {𝑥| ημ𝑥 = 0} ισχύει (σφ𝑥)′ = −
1
ημ2 𝑥
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 11 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 12 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2014: ημερήσια & εσπερινά
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Αν lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = +∞ ή −∞, τότε lim
𝑥→𝑥0
1
𝑓(𝑥)
= 0.
r Σ
r Λ
2. Αν μια συνάρτηση 𝑓 παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό
θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα.
r Σ
r Λ
3. Έστω συνάρτηση 𝑓 συνεχής σε ένα διάστημα Δ και
παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η συνάρτηση
𝑓 είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ τότε η παράγωγος της είναι
υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του Δ.
r Σ
r Λ
4. Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του
2 δεν έχουν ασύμπτωτες.
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 12 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 13 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2014: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Έστω μια συνάρτηση 𝑓 που είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της
μορφής (𝛼, 𝑥0) ∪ (𝑥0, 𝛽). Ισχύει η ισοδυναμία
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = −∞ ⇔
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝ lim
𝑥→𝑥−
0
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑥+
0
𝑓(𝑥) = −∞
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
r Σ
r Λ
2. Αν 0 < 𝛼 < 1, τότε lim
𝑥→−∞
𝛼𝑥 = 0. r Σ
r Λ
3. Έστω μια συνάρτηση 𝑓 συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δυο
φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν η 𝑓 είναι κυρτή
στο Δ, τότε υποχρεωτικά 𝑓″(𝑥) > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο
του Δ.
r Σ
r Λ
4. Αν ορίζονται οι συναρτήσεις 𝑓 ∘𝑔 και 𝑔∘𝑓, τότε πάντοτε ισχύει
𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑔 ∘ 𝑓.
r Σ
r Λ
5. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε
ένα ανοικτό διάστημα (𝛼, 𝛽), τότε το σύνολο τιμών της στο
διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Α, Β), όπου
Α = lim
𝑥→𝛼+
𝑓(𝑥) και Β = lim
𝑥→𝛽−
𝑓(𝑥)
r Σ
r Λ
6. (ημ𝑥)′ = − συν𝑥, 𝑥 ∈ ℝ
r Σ
r Λ
7. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ,
τότε είναι και 1 − 1 στο διάστημα αυτό.
r Σ
r Λ
8. Ισχύει lim
𝑥→0
ημ𝑥
𝑥
= 0. r Σ
r Λ
9. Ισχύει (συν𝑥)′ = ημ𝑥, για κάθε 𝑥 ∈ ℝ.
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 13 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 14 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2013: ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Αν lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) < 0, τότε 𝑓(𝑥) < 0 κοντά στο 𝑥0. r Σ
r Λ
2. Ισχύει ότι: | ημ𝑥| ≤ |𝑥| για κάθε 𝑥 ∈ ℝ. r Σ
r Λ
3. Ισχύει ότι: lim
𝑥→0
συν𝑥 − 1
𝑥
= 1. r Σ
r Λ
4. Μια συνεχής συνάρτηση 𝑓 διατηρεί πρόσημο σε καθένα από
τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της 𝑓 χωρίζουν το
πεδίο ορισμού της.
r Σ
r Λ
5. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι 1 − 1 στο πεδίο ορισμού της, τότε
υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της 𝑓 με την ίδια
τεταγμένη.
r Σ
r Λ
6. Αν lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = −∞, τότε lim
𝑥→𝑥0
(−𝑓(𝑥)) = +∞. r Σ
r Λ
7. Για δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 παραγωγίσιμες στο 𝑥0
ισχύει:
(𝑓𝑔)′(𝑥0) = 𝑓′(𝑥0)𝑔(𝑥0) − 𝑓(𝑥0)𝑔′(𝑥0)
r Σ
r Λ
8. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν
μηδενίζεται σε αυτό, τότε η 𝑓 διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ.
r Σ
r Λ
9. Οι γραφικές παραστάσεις 𝐶 και 𝐶′ των συναρτήσεων 𝑓 και
𝑓−1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία 𝑦 = 𝑥.
r Σ
r Λ
10. Αν 0 < 𝛼 < 1 τότε lim
𝑥→+∞
𝛼𝑥 = +∞ r Σ
r Λ
11. Αν μια συνάρτηση 𝑓 δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο 𝑥0, τότε
η 𝑓 είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0.
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 14 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 15 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2012: ημερήσια & εσπερινά
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Μια συνάρτηση 𝑓 είναι 1 − 1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο
𝑦 του συνόλου τιμών της η εξίσωση 𝑓(𝑥) = 𝑦 έχει ακριβώς μία
λύση ως προς 𝑥.
r Σ
r Λ
2. Αν είναι lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = +∞, τότε 𝑓(𝑥) < 0 κοντά στο 𝑥0. r Σ
r Λ
3. Ισχύει: (σφ𝑥)′ =
1
ημ2 𝑥
, 𝑥 ∈ ℝ − { 𝑥∶ ημ𝑥 = 0 }.
r Σ
r Λ
4. Αν δύο συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 είναι ορισμένες και συνεχείς σε ένα
διάστημα Δ και ισχύει ότι 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) για κάθε εσωτερικό
σημείο 𝑥 του Δ, τότε ισχύει πάντα 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) για κάθε 𝑥 ∈ Δ.
r Σ
r Λ
5. Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό
ελάχιστο.
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 15 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 16 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2012: επαναληπτικες ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης −𝑓 είναι συμμετρική,
ως προς τον άξονα 𝑥′𝑥, της γραφικής παράστασης της 𝑓.
r Σ
r Λ
2. Αν είναι 0 < 𝛼 < 1, τότε lim
𝑥→+∞
𝛼𝑥 = +∞. r Σ
r Λ
3. Αν μια συνάρτηση 𝑓 δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο 𝑥0, τότε
δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0.
r Σ
r Λ
4. Για την πολυωνυμική συνάρτηση
𝑃(𝑥) = 𝛼𝜈𝑥𝜈 + 𝛼𝜈−1𝑥𝜈−1 + ⋯ + 𝛼0 με 𝛼𝜈 ≠ 0 ισχύει:
lim
𝑥→+∞
𝑃(𝑥) = 𝛼0.
r Σ
r Λ
5. Αν μια συνάρτηση 𝑓 δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο 𝑥0, τότε
δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0.
r Σ
r Λ
6. Έστω μια συνάρτηση 𝑓 παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (𝛼, 𝛽),
με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του 𝑥0, στο οποίο όμως η 𝑓 είναι
συνεχής. Αν 𝑓′(𝑥) > 0 στο (𝛼, 𝑥0) και 𝑓′(𝑥) < 0 στο (𝑥0, 𝛽), τότε
το 𝑓(𝑥0) είναι τοπικό ελάχιστο της 𝑓.
r Σ
r Λ
7. Αν είναι lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = −∞, τότε lim
𝑥→𝑥0
|𝑓(𝑥)| = +∞. r Σ
r Λ
8. Ισχύει (εφ𝑥)′ = −
1
συν2 𝑥
, 𝑥 ∈ ℝ − { 𝑥 | συν𝑥 = 0 }
r Σ
r Λ
9. Αν οι συναρτήσεις 𝑓 και 𝑔 είναι παραγωγίσιμες στο 𝑥0 και
𝑔(𝑥0) ≠ 0, τότε και η συνάρτηση
𝑓
𝑔
είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0
και ισχύει:
􏿶
𝑓
𝑔
􏿹
′
(𝑥0) =
𝑓′(𝑥0)𝑔(𝑥0) − 𝑓(𝑥0)𝑔′(𝑥))
[𝑔(𝑥0)]2
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 16 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 17 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2011: ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Μια συνάρτηση 𝑓 ∶ 𝐴 → ℝ λέγεται συνάρτηση 1 − 1, όταν
για οποιαδήποτε 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴 ισχύει η συνεπαγωγή:
αν 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2)
r Σ
r Λ
2. Για κάθε 𝑥 ∈ ℝ𝟙 = ℝ − {𝑥| συν𝑥 = 0} ισχύει:
(εφ𝑥)′ = −
1
συν2 𝑥
.
r Σ
r Λ
3. Ισχύει ότι: lim
𝑥→+∞
ημ𝑥
𝑥
= 1. r Σ
r Λ
4. Οι γραφικές παραστάσεις 𝐶 και 𝐶′ των συναρτήσεων 𝑓 και
𝑓−1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία 𝑦 = 𝑥 που διχοτομεί τις
γωνίες 𝑥𝑂𝑦 και 𝑥′𝑂𝑦′.
r Σ
r Λ
5. Μια συνάρτηση 𝑓 με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι
παρουσιάζει στο 𝑥0 ∈ 𝐴 (ολικό) μέγιστο το 𝑓(𝑥0), όταν
𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0) για κάθε 𝑥 ∈ 𝐴.
r Σ
r Λ
6. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα
Δ, τότε είναι και 1 − 1 στο διάστημα αυτό.
r Σ
r Λ
7. Αν lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 0 και 𝑓(𝑥) > 0 κοντά στο 𝑥0, τότε
lim𝑥→𝑥0
1
𝑓(𝑥)
= +∞.
r Σ
r Λ
8. Κάθε συνάρτηση 𝑓 που είναι συνεχής σε ένα σημείο 𝑥0 του
πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.
r Σ
r Λ
9. Αν 𝑓, 𝑔, ℎ είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ℎ ∘ (𝑔 ∘ 𝑓),
τότε ορίζεται και η (ℎ ∘ 𝑔) ∘ 𝑓 και ισχύει ℎ ∘ (𝑔 ∘ 𝑓) = (ℎ ∘ 𝑔) ∘ 𝑓.
r Σ
r Λ
10. lim
𝑥→0
συν𝑥 − 1
𝑥
= 1 r Σ
r Λ
11. Αν 0 < 𝛼 < 1, τότε lim
𝑥→−∞
𝛼𝑥 = 0 r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 17 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 18 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2010: ημερήσια & εσπερινά
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Έστω συνάρτηση 𝑓 συνεχής σε ένα διάστημα Δ και
παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν η 𝑓 είναι γνησίως
αύξουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά
θετική στο εσωτερικό του Δ.
r Σ
r Λ
2. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε
ένα ανοικτό διάστημα (𝛼, 𝛽), τότε το σύνολο τιμών της στο
διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Α, Β), όπου:
Α = lim
𝑥→𝛼+
𝑓(𝑥) και 𝐵 = lim
𝑥→𝛽−
𝑓(𝑥)
r Σ
r Λ
3. Ισχύει: (συν𝑥)′ = ημ𝑥, 𝑥 ∈ ℝ.
r Σ
r Λ
4. Αν lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) < 0, τότε 𝑓(𝑥) < 0 κοντά στο 𝑥0. r Σ
r Λ
5. Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης 𝑓 είναι το σύνολο 𝐴 των
τετμημένων των σημείων της γραφικής παράστασης 𝐶𝑓 της
συνάρτησης.
r Σ
r Λ
6. Για κάθε συνάρτηση 𝑓 παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και
για κάθε πραγματικό αριθμό 𝑐, ισχύει ότι:
(𝑐 ⋅ 𝑓(𝑥))′ = 𝑓′(𝑥), για κάθε 𝑥 ∈ Δ.
r Σ
r Λ
7. Το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης 𝑓 με πεδίο
ορισμού το κλειστό διάστημα [𝑚, 𝑀], όπου 𝑚 η ελάχιστη και 𝑀
η μέγιστη τιμή της.
r Σ
r Λ
8. Αν lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = +∞, τότε 𝑓(𝑥) < 0 κοντά στο 𝑥0. r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 18 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 19 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2010: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Αν 𝑓(𝑥) = 𝛼𝑥, 𝛼 > 0, τότε ισχύει (𝛼𝑥)′ = 𝑥𝛼𝑥−1 r Σ
r Λ
2. Αν ορίζονται οι συναρτήσεις 𝑓 ∘ 𝑔 και 𝑔 ∘ 𝑓, τότε πάντοτε
ισχύει: 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑔 ∘ 𝑓.
r Σ
r Λ
3. Αν lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = +∞ ή −∞, τότε lim
𝑥→𝑥0
1
𝑓(𝑥)
= 0.
r Σ
r Λ
4. Για κάθε συνάρτηση 𝑓 η γραφική παράσταση της |𝑓|
αποτελείται από τα τμήματα της 𝐶𝑓, που βρίσκονται πάνω από
τον άξονα 𝑥′𝑥, και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα 𝑥′𝑥,
των τμημάτων της 𝐶𝑓, που βρίσκονται κάτω από τον άξονα 𝑥′𝑥.
r Σ
r Λ
5. Αν οι συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 έχουν όριο στο 𝑥0, και ισχύει
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) κοντά στο 𝑥0, τότε ισχύει:
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) ≤ lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥)
r Σ
r Λ
6. Αν οι συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 είναι παραγωγίσιμες στο 𝑥0 και
𝑔(𝑥0) ≠ 0, τότε και η συνάρτηση
𝑓
𝑔
είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0
και ισχύει: 􏿶
𝑓
𝑔
􏿹
′
(𝑥0) =
𝑓(𝑥0)𝑔′(𝑥0) − 𝑓′(𝑥0)𝑔(𝑥0)
􏿮𝑔(𝑥0)􏿱
2
r Σ
r Λ
7. Αν 𝛼 > 1, τότε lim
𝑥→+∞
𝛼𝑥 = +∞ r Σ
r Λ
8. Αν η συνάρτηση 𝑓 ∶ 𝐴 → ℝ είναι 1 − 1, τότε ισχύει
𝑓−1 􏿴𝑓(𝑥)􏿷 = 𝑥, 𝑥 ∈ 𝐴.
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 19 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 20 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2009: ημερήσια & εσπερινά
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Μια συνάρτηση 𝑓 με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει
(ολικό) ελάχιστο στο 𝑥0 ∈ 𝐴, όταν 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥0) για κάθε 𝑥 ∈ 𝐴.
r Σ
r Λ
2. lim
𝑥→0
συν𝑥 − 1
𝑥
= 1
r Σ
r Λ
3. Κάθε συνάρτηση 𝑓 συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού
της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.
r Σ
r Λ
4. lim
𝑥→0
ημ𝑥
𝑥
= 0 r Σ
r Λ
5. Αν μία συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα
[𝛼, 𝛽] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (𝛼, 𝛽), τότε
υπάρχει ένα τουλάχιστον 𝜉 ∈ (𝛼, 𝛽) τέτοιο, ώστε:
𝑓′(𝜉) =
𝑓(𝛽) − 𝑓(𝛼)
𝛽 − 𝛼
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 20 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 21 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2009: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Η συνάρτηση 𝑓 είναι 1 − 1, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια
ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της 𝑓 το πολύ σε ένα σημείο.
r Σ
r Λ
2. Αν lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 0 και 𝑓(𝑥) < 0 κοντά στο 𝑥0 τότε
lim
𝑥→𝑥0
1
𝑓(𝑥)
= +∞
r Σ
r Λ
3. Έστω η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = εφ𝑥. Η συνάρτηση 𝑓 είναι
παραγωγίσιμη στο ℝ1 = ℝ − { 𝑥| συν𝑥 = 0 } και ισχύει
𝑓′(𝑥) = −
1
συν2 𝑥
r Σ
r Λ
4. Κάθε συνάρτηση που είναι 1 − 1 είναι γνησίως μονότονη.
r Σ
r Λ
5. Ισχύει: lim
𝑥→0
ημ𝑥
𝑥
= 0. r Σ
r Λ
6. Η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = ln|𝑥|, 𝑥 ∈ ℝ∗, είναι παραγωγίσιμη στο
ℝ∗ και ισχύει (ln|𝑥|)
′
=
1
𝑥
.
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 21 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 22 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2008: ημερήσια & εσπερινά
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Αν μια συνάρτηση 𝑓 ∶ 𝐴 → ℝ είναι 1 − 1, τότε για την
αντίστροφη συνάρτηση 𝑓−1 ισχύει:
𝑓−1 􏿴𝑓(𝑥)􏿷 = 𝑥, 𝑥 ∈ 𝐴 και 𝑓 􏿴𝑓−1(𝑦)􏿷 = 𝑦, 𝑦 ∈ 𝑓(𝐴)
r Σ
r Λ
2. Μια συνεχής συνάρτηση 𝑓 διατηρεί πρόσημο σε καθένα από
τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της 𝑓 χωρίζουν το
πεδίο ορισμού της.
r Σ
r Λ
3. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ και
στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ΄ ανάγκη θα ισχύει
𝑓″(𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈ ℝ
r Σ
r Λ
4. Για κάθε 𝑥 ∈ ℝ ισχύει: (ημ𝑥)′ = − συν𝑥. r Σ
r Λ
5. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν
μηδενίζεται σε αυτό, τότε αυτή ή θα είναι θετική για κάθε 𝑥 ∈ Δ ή
είναι αρνητική για κάθε 𝑥 ∈ Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο
διάστημα Δ.
r Σ
r Λ
6. Αν μία συνάρτηση 𝑓 είναι:
• συνεχής στο κλειστό διάστημα [𝛼, 𝛽]
• παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (𝛼, 𝛽) και
• 𝑓(𝛼) = 𝑓(𝛽)
τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 𝜉 ∈ (𝛼, 𝛽) τέτοιο, ώστε: 𝑓′(𝜉) = 0.
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 22 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 23 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2008: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1 − 1, αλλά δεν είναι γνησίως
μονότονες.
r Σ
r Λ
2. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι κοίλη σε ένα διάστημα Δ, τότε η
εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της 𝑓 σε κάθε σημείο του
Δ, βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το
σημείο επαφή τους.
r Σ
r Λ
3. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής
(𝛼, 𝑥0) ∪ (𝑥0, 𝛽) και 𝑙 ένας πραγματικός αριθμός. Τότε ισχύει η
ισοδυναμία:
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝑙 ⇔ lim
𝑥→𝑥0
(𝑓(𝑥) − 𝑙) = 0
r Σ
r Λ
4. Δίνονται οι συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 με κοινό πεδίο ορισμού το σύνολο
Α. Τότε πάντα ισχύει:
lim
𝑥→𝑥0
􏿴𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)􏿷 = lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) ⋅ lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥).
r Σ
r Λ
5. Έστω μια συνάρτηση 𝑓 που είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.
Αν 𝑓′(𝑥) < 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η 𝑓 είναι
γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.
r Σ
r Λ
6. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η
εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της 𝑓, σε κάθε σημείο του
Δ, βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσταση της 𝑓 με
εξαίρεση το σημείο επαφή τους.
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 23 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 24 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2007: ημερήσια & εσπερινά
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Έστω 𝑓 μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και
παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο 𝑥 του Δ. Αν η
συνάρτηση 𝑓 είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, τότε 𝑓′(𝑥) > 0 σε
κάθε εσωτερικό σημείο 𝑥 του Δ.
r Σ
r Λ
2. Αν η συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής στο 𝑥0 και η συνάρτηση 𝑔
είναι συνεχής στο 𝑥0, τότε η σύνθεση τους 𝑔 ∘ 𝑓 είναι συνεχής
στο 𝑥0.
r Σ
r Λ
3. Αν 𝛼 > 1 τότε lim
𝑥→−∞
𝛼𝑥 = 0 r Σ
r Λ
4. Μια συνάρτηση 𝑓 είναι 1 − 1, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια
ευθεία (παράλληλη στον 𝑥′𝑥 ) τέμνει τη γραφική παράστασή της
το πολύ σε ένα σημείο.
r Σ
r Λ
5. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης 𝑓 στο 𝑥0 ∈ ℝ και
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) < 0, τότε 𝑓(𝑥) < 0 κοντά στο 𝑥0.
r Σ
r Λ
6. Αν 𝑓 είναι συνεχής συνάρτηση στο [𝛼, 𝛽], τότε η 𝑓 παίρνει
στο [𝛼, 𝛽] μια μέγιστη τιμή 𝑀 και μια ελάχιστη τιμή 𝑚.
r Σ
r Λ
7. Έστω η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = ημ𝑥 με πεδίο ορισμού το ℝ. Τότε,
𝑓′(𝑥) = − συν𝑥, για κάθε 𝑥 ∈ ℝ.
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 24 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 25 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2007: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Η εικόνα 𝑓(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς
συνάρτησης 𝑓 είναι διάστημα.
r Σ
r Λ
2. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα
ανοικτό διάστημα (𝛼, 𝛽), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα
αυτό είναι το διάστημα (Α, Β) όπου Α = lim
𝑥→𝛼+
𝑓(𝑥) και
Β = lim
𝑥→𝛽−
𝑓(𝑥).
r Σ
r Λ
3. Έστω δύο συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν
οι 𝑓, 𝑔 είναι συνεχείς στο Δ και 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) για κάθε εσωτερικό
σημείο 𝑥 του Δ, τότε ισχύει 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) για κάθε 𝑥 ∈ Δ.
r Σ
r Λ
4. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης −𝑓 είναι συμμετρική,
ως προς τον άξονα 𝑥′𝑥, της γραφικής παράστασης της 𝑓.
r Σ
r Λ
5. Αν 𝑓, 𝑔, ℎ είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ℎ ∘ (𝑔 ∘ 𝑓),
τότε ορίζεται και η (ℎ ∘ 𝑔) ∘ 𝑓 και ισχύει ℎ ∘ (𝑔 ∘ 𝑓) = (ℎ ∘ 𝑔) ∘ 𝑓.
r Σ
r Λ
6. Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του
2 έχουν ασύμπτωτες.
r Σ
r Λ
7. Ισχύει: lim
𝑥→0
συν𝑥 − 1
𝑥
= 1.
r Σ
r Λ
8. Αν μια συνάρτηση 𝑓 δεν είναι συνεχής σε ένα εσωτερικό σημείο
𝑥0 ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της, τότε η 𝑓 δεν είναι
παραγωγίσιμη στο 𝑥0.
r Σ
r Λ
9. Αν οι συναρτήσεις 𝑓 και 𝑔 είναι παραγωγίσιμες στο 𝑥0 και
𝑔(𝑥0) ≠ 0, τότε και η συνάρτηση
𝑓
𝑔
είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0
και ισχύει:
􏿶
𝑓
𝑔
􏿹
′
(𝑥0) =
𝑓′(𝑥0)𝑔(𝑥0) − 𝑓(𝑥0)𝑔′(𝑥0)
[𝑔(𝑥0)]2
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 25 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 26 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2006: ημερήσια & εσπερινά
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Αν υπάρχει το lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) > 0, τότε 𝑓(𝑥) > 0 κοντά στο 𝑥0. r Σ
r Λ
2. Η εικόνα 𝑓(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη
σταθερής συνάρτησης 𝑓 είναι διάστημα.
r Σ
r Λ
3. Ισχύει ο τύπος (3𝑥)′ = 𝑥 ⋅ 3𝑥−1, για κάθε 𝑥 ∈ ℝ.
r Σ
r Λ
4. Έστω 𝑓 πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Δ και
𝑥0 ∈ Δ. Έστω επίσης 𝑓(𝑥) ≠ 0 για κάθε 𝑥 ∈ Δ.
Αν lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = +∞ τότε lim
𝑥→𝑥0
1
𝑓(𝑥)
= −∞.
r Σ
r Λ
5. Αν μια πραγματική συνάρτηση 𝑓 δεν είναι συνεχής σε ένα
σημείο 𝑥0, τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0.
r Σ
r Λ
6. Έστω η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = √𝑥 με πεδίο ορισμού Δ = [0, +∞),
τότε 𝑓′(𝑥) =
1
√𝑥
για κάθε 𝑥 ∈ (0, +∞).
r Σ
r Λ
7. Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim
𝑥→𝑥+
0
𝑓(𝑥), lim
𝑥→𝑥−
0
𝑓(𝑥) είναι
+∞ ή −∞, τότε η ευθεία 𝑥 = 𝑥0 λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη
της γραφικής παράστασης της 𝑓.
r Σ
r Λ
8. Έστω δύο συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν
• οι 𝑓, 𝑔 είναι συνεχείς στο Δ και
• 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) για κάθε εσωτερικό σημείο 𝑥 του Δ,
τότε υπάρχει σταθερά 𝑐 τέτοια, ώστε για κάθε 𝑥 ∈ Δ ισχύει:
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝑐.
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 26 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 27 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2006: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Αν οι συναρτήσεις 𝑓 και 𝑔 είναι παραγωγίσιμες στο 𝑥0 και
𝑔(𝑥0) ≠ 0, τότε η συνάρτηση
𝑓
𝑔
είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0 και
ισχύει:
􏿶
𝑓
𝑔
􏿹
′
(𝑥0) =
𝑓(𝑥0)𝑔′(𝑥0) − 𝑓′(𝑥0)𝑔(𝑥0)
[𝑔(𝑥0)]2
r Σ
r Λ
2. Για κάθε 𝑥 ≠ 0 ισχύει [ln|𝑥|]
′
=
1
𝑥
.
r Σ
r Λ
3. Μια συνάρτηση 𝑓 ∶ 𝐴 → ℝ είναι 1 − 1, αν και μόνο αν για
κάθε στοιχείο 𝑦 του συνόλου τιμών της η εξίσωση 𝑦 = 𝑓(𝑥) έχει
ακριβώς μία λύση ως προς 𝑥.
r Σ
r Λ
4. Έστω η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = εφ𝑥. Η συνάρτηση 𝑓 είναι
παραγωγίσιμη στο ℝ1 = ℝ − { 𝑥| συν𝑥 = 0 } και ισχύει
𝑓′(𝑥) = −
1
συν2 𝑥
r Σ
r Λ
5. Αν lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) < 0, τότε 𝑓(𝑥) < 0 κοντά στο 𝑥0. r Σ
r Λ
2005: ημερήσια & εσπερινά
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Αν η 𝑓 είναι συνεχής στο [𝛼, 𝛽] με 𝑓(𝛼) < 0 και υπάρχει
𝜉 ∈ (𝛼, 𝛽) ώστε 𝑓(𝜉) = 0, τότε κατ΄ ανάγκη 𝑓(𝛽) > 0.
r Σ
r Λ
2. Αν υπάρχει το lim
𝑥→𝑥0
􏿴𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)􏿷, τότε κατ΄ ανάγκη υπάρχουν
τα lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) και lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥).
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 27 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 28 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
3. Αν η 𝑓 έχει αντίστροφη συνάρτηση 𝑓−1 και η γραφική
παράσταση της 𝑓 έχει κοινό σημείο Α με την ευθεία 𝑦 = 𝑥, τότε
το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της 𝑓−1.
r Σ
r Λ
4. Αν lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 0 και 𝑓(𝑥) > 0 κοντά στο 𝑥0, τότε
lim
𝑥→𝑥0
1
𝑓(𝑥)
= +∞.
r Σ
r Λ
5. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε
μηδενίζεται σε αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε 𝑥 ∈ Δ ή
είναι αρνητική για κάθε 𝑥 ∈ Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο
διάστημα Δ.
r Σ
r Λ
6. Μία συνάρτηση 𝑓 ∶ 𝐴 → ℝ λέγεται συνάρτηση 1 − 1, όταν
για οποιαδήποτε 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴 ισχύει η συνεπαγωγή:
αν 𝑥1 ≠ 𝑥2, τότε 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2).
r Σ
r Λ
7. Μία συνάρτηση 𝑓 με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι
παρουσιάζει στο 𝑥0 ∈ Α (ολικό) ελάχιστο, το 𝑓(𝑥0), όταν
𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0) για κάθε 𝑥 ∈ 𝐴.
r Σ
r Λ
8. Αν οι συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 έχουν όριο στο 𝑥0 και ισχύει
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) κοντά στο 𝑥0, τότε lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) > lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥).
r Σ
r Λ
9. Αν μία συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα
[𝛼, 𝛽] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (𝛼, 𝛽) τότε
υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 𝜉 ∈ (𝛼, 𝛽) τέτοιο, ώστε:
𝑓′(𝜉) =
𝑓(𝛽) − 𝑓(𝛼)
𝛽 − 𝛼
.
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 28 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 29 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2005: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ, στα οποία η 𝑓 δεν
παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το 0, λέγονται
κρίσιμα σημεία της 𝑓 στο διάστημα Δ.
r Σ
r Λ
2. Έστω μία συνάρτηση 𝑓 παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (𝛼, 𝛽) με
εξαίρεση ίσως ένα σημείο του 𝑥0. Αν η 𝑓 είναι κυρτή στο (𝛼, 𝑥0) και
κοίλη στο (𝑥0, 𝛽) ή αντιστρόφως, τότε το σημείο 𝐴(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) είναι
υποχρεωτικά σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της 𝑓.
r Σ
r Λ
3. Αν για δύο συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 ορίζονται οι 𝑓 ∘ 𝑔 και 𝑔 ∘ 𝑓, τότε
είναι υποχρεωτικά 𝑓 ∘ 𝑔 ≠ 𝑔 ∘ 𝑓.
r Σ
r Λ
4. Αν 𝑥 ≠ 0, τότε ισχύει lim
𝑥→0
1
𝑥2
= −∞. r Σ
r Λ
5. Έστω η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = εφ𝑥. Η συνάρτηση 𝑓 είναι
παραγωγίσιμη στο ℝ1 = ℝ − { 𝑥| συν𝑥 = 0 } και ισχύει:
𝑓′(𝑥) =
1
συν2 𝑥
.
r Σ
r Λ
6. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης 𝑓 στο 𝑥0 ∈ ℝ, τότε:
lim
𝑥→𝑥0
􏿴𝑘𝑓(𝑥)􏿷 = 𝑘 ⋅ lim
𝑥→𝑥0
(𝑓(𝑥)), για κάθε σταθερά 𝑘 ∈ ℝ.
r Σ
r Λ
7. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης 𝑓 στο 𝑥0, τότε ισχύει
lim
𝑥→𝑥0
|𝑓(𝑥)| = | lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)|.
r Σ
r Λ
8. Ισχύει (ημ𝑥)′ = − συν𝑥. r Σ
r Λ
9. Αν 𝑓 είναι συνεχής συνάρτηση στο [𝛼, 𝛽], τότε η 𝑓 παίρνει
στο [𝛼, 𝛽] μια μέγιστη τιμή 𝑀 και μια ελάχιστη τιμή 𝑚.
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 29 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 30 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2004: ημερήσια & εσπερινά
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝑙, αν και μόνο αν lim
𝑥→𝑥−
0
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑥+
0
𝑓(𝑥) = 𝑙 r Σ
r Λ
2. Αν οι συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 είναι παραγωγίσιμες στο 𝑥0, τότε η
συνάρτηση 𝑓 ⋅ 𝑔 είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0 και ισχύει:
(𝑓 ⋅ 𝑔)′(𝑥0) = 𝑓′(𝑥0) ⋅ 𝑔′(𝑥0)
r Σ
r Λ
3. Έστω μια συνάρτηση 𝑓, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα
Δ. Αν 𝑓′(𝑥) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο 𝑥 του Δ, τότε η 𝑓
είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.
r Σ
r Λ
4. Έστω δύο συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν
οι 𝑓, 𝑔 είναι συνεχείς στο Δ και 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) για κάθε εσωτερικό
σημείο 𝑥 του Δ, τότε υπάρχει σταθερά 𝑐 τέτοια, ώστε για κάθε
𝑥 ∈ Δ να ισχύει: 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝑐.
r Σ
r Λ
5. Μία συνάρτηση 𝑓 λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα
Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε 𝑥1, 𝑥2 ∈ Δ με
𝑥1 < 𝑥2 ισχύει: 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2).
r Σ
r Λ
6. Έστω η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = √𝑥. Η συνάρτηση 𝑓 είναι
παραγωγίσιμη στο (0, +∞) και ισχύει: 𝑓′(𝑥) =
2
√𝑥
.
r Σ
r Λ
7. Ο συντελεστής διεύθυνσης, 𝜆, της εφαπτομένης στο σημείο
𝐴(𝑥0, 𝑓(𝑥0)), της γραφικής παράστασης 𝐶𝑓 μιας συνάρτησης 𝑓,
παραγωγίσιμης στο σημείο 𝑥0 του πεδίου ορισμού της είναι
𝜆 = 𝑓′(𝑥0).
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 30 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 31 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2004: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Αν μία συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής σε ένα σημείο 𝑥0 του
πεδίου ορισμού της, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.
r Σ
r Λ
2. Αν 𝑓, 𝑔 είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού ℝ και
ορίζονται οι συνθέσεις 𝑓 ∘ 𝑔 και 𝑔 ∘ 𝑓, τότε αυτές οι συνθέσεις
είναι υποχρεωτικά ίσες.
r Σ
r Λ
3. Οι γραφικές παραστάσεις 𝐶 και 𝐶′ των συναρτήσεων 𝑓 και
𝑓−1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία 𝑦 = 𝑥 που διχοτομεί τις
γωνίες 𝑥𝑂𝑦 και 𝑥′𝑂𝑦′.
r Σ
r Λ
4. Αν υπάρχει το όριο της 𝑓 στο 𝑥0, τότε
lim
𝑥→𝑥0
𝑘
√𝑓(𝑥) = 𝑘
√
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥), εφόσον 𝑓(𝑥) ≥ 0 κοντά στο 𝑥0, με
𝑘 ∈ ℕ και 𝑘 ≥ 2.
r Σ
r Λ
5. Έστω η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = συν𝑥, όπου 𝑥 ∈ ℝ. Η συνάρτηση
𝑓 είναι παραγωγίσιμη και ισχύει 𝑓′(𝑥) = − ημ𝑥.
r Σ
r Λ
6. Έστω μία συνάρτηση 𝑓 ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η 𝑓
είναι συνεχής στο Δ και 𝑓′(𝑥) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο 𝑥
του Δ, τότε η 𝑓 είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.
r Σ
r Λ
7. Έστω μία συνάρτηση 𝑓, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα
Δ. Αν 𝑓′(𝑥) < 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο 𝑥 του Δ, τότε η 𝑓
είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.
r Σ
r Λ
8. Αν μία συνάρτηση 𝑓 είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 𝑥0 του
πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.
r Σ
r Λ
9. Έστω μία συνάρτηση 𝑓 συνεχής σε ένα διάστημα Δ και
παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Θα λέμε ότι: Η συνάρτηση
𝑓 στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η 𝑓′
είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ.
r Σ
r Λ
10. Έστω μια 1 − 1 συνάρτηση 𝑓 και 𝐶, 𝐶′ οι γραφικές
παραστάσεις των 𝑓 και 𝑓−1 στο ίδιο σύστημα αξόνων. Τότε οι
γραφικές παραστάσεις 𝐶 και 𝐶′ των συναρτήσεων 𝑓 και 𝑓−1
είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία 𝑦 = 𝑥.
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 31 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 32 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2003: ημερήσια & εσπερινά
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Έστω μία συνάρτηση 𝑓 συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο
φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν 𝑓″(𝑥) > 0 για κάθε
εσωτερικό σημείο 𝑥 του Δ, τότε η 𝑓 είναι κυρτή στο Δ.
r Σ
r Λ
2. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η
εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της 𝑓 σε κάθε σημείο του
Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση.
r Σ
r Λ
3. Έστω μια συνάρτηση 𝑓 ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και 𝑥0 ένα
εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η 𝑓 είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0 και
𝑓′(𝑥0) = 0, τότε η 𝑓 παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο
στο 𝑥0.
r Σ
r Λ
4. Αν δύο μεταβλητά μεγέθη 𝑥, 𝑦 συνδέονται με τη σχέση
𝑦 = 𝑓(𝑥), όταν 𝑓 είναι μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο 𝑥0, τότε
ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του 𝑦 ως προς το 𝑥 στο σημείο 𝑥0
την παράγωγο 𝑓′(𝑥0).
r Σ
r Λ
5. Έστω μία συνάρτηση 𝑓 παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (𝛼, 𝛽),
με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του 𝑥0, στο οποίο όμως η 𝑓 είναι
συνεχής. Αν 𝑓′(𝑥) > 0 στο (𝛼, 𝑥0) και 𝑓′(𝑥) < 0 στο (𝑥0, 𝛽), τότε το
𝑓(𝑥0) είναι τοπικό ελάχιστο της 𝑓.
r Σ
r Λ
6. Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων 𝑓 και 𝑔 στο 𝑥0, τότε
ισχύει: lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥)
εφόσον lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) ≠ 0.
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 32 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 33 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2003: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Έστω μία συνάρτηση 𝑓 παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (𝛼, 𝛽),
με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του 𝑥0, στο οποίο όμως η 𝑓 είναι
συνεχής. Αν 𝑓′(𝑥) > 0 στο (𝛼, 𝑥0) και 𝑓′(𝑥) < 0 στο (𝑥0, 𝛽), τότε το
𝑓(𝑥0) είναι τοπικό ελάχιστο της 𝑓.
r Σ
r Λ
2. Μία συνάρτηση 𝑓∶ 𝐴 → ℝ είναι συνάρτηση 1 − 1, αν και μόνο
αν για οποιαδήποτε 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴 ισχύει η συνεπαγωγή:
αν 𝑥1 = 𝑥2, τότε 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2)
r Σ
r Λ
2002: ημερήσια & εσπερινά
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Αν η συνάρτηση 𝑓 είναι ορισμένη στο [𝛼, 𝛽] και συνεχής στο
(𝛼, 𝛽], τότε η 𝑓 παίρνει πάντοτε στο [𝛼, 𝛽] μία μέγιστη τιμή.
r Σ
r Λ
2. Κάθε συνάρτηση, που είναι 1 − 1 στο πεδίο ορισμού της, είναι
γνησίως μονότονη
r Σ
r Λ
3. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης 𝑓 στο 𝑥0 και
lim
𝑥→𝑥0
|𝑓(𝑥)| = 0, τότε lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 0
r Σ
r Λ
4. Αν lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) > 0, τότε 𝑓(𝑥) > 0 κοντά στο 𝑥0. r Σ
r Λ
5. Αν μία συνάρτηση 𝑓 είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 𝑥0, τότε
είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.
r Σ
r Λ
6. Αν μία συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής σε ένα σημείο 𝑥0, τότε είναι
και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.
r Σ
r Λ
7. Αν μία συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει
𝑓′(𝑥) = 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο 𝑥 του Δ, τότε η 𝑓 είναι
γνησίως φθίνουσα στο Δ.
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 33 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 34 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
8. Αν μία συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει
𝑓′(𝑥) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο 𝑥 του Δ, τότε η 𝑓 είναι
γνησίως αύξουσα στο Δ.
r Σ
r Λ
9. Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων 𝑓 και 𝑔 στο 𝑥0, τότε
ισχύει:
lim
𝑥→𝑥)
􏿴𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)􏿷 = lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) + lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥)
r Σ
r Λ
10. Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων 𝑓 και 𝑔 στο 𝑥0, τότε
ισχύει:
lim
𝑥→𝑥)
􏿴𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)􏿷 = lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) − lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥)
r Σ
r Λ
2002: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Η εικόνα 𝑓(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη
σταθερής συνάρτησης 𝑓 είναι διάστημα.
r Σ
r Λ
2. Αν η συνάρτηση 𝑓 είναι παραγωγίσιμη στο ℝ και δεν είναι
αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα [𝛼, 𝛽], στο οποίο η
𝑓 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle.
r Σ
r Λ
3. Έστω συνάρτηση 𝑓 ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα
[𝛼, 𝛽] και σημείο 𝑥0 ∈ [𝛼, 𝛽] στο οποίο η 𝑓 παρουσιάζει τοπικό
μέγιστο. Τότε πάντα ισχύει ότι 𝑓′(𝑥0) = 0.
r Σ
r Λ
4. Αν η συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής στο διάστημα [𝛼, 𝛽] και
υπάρχει 𝑥0 ∈ (𝛼, 𝛽) τέτοιο ώστε 𝑓(𝑥0) = 0, τότε κατ΄ ανάγκη θα
ισχύει 𝑓(𝛼) ⋅ 𝑓(𝛽) < 0.
r Σ
r Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 34 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 35 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2000: ημερήσιο λύκειο
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Αν η 𝑓 είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0, τότε η 𝑓′ είναι πάντοτε
συνεχής στο 𝑥0.
r Σ
r Λ
2. Αν η 𝑓 δεν είναι συνεχής στο 𝑥0, τότε η 𝑓 είναι παραγωγίσιμη
στο 𝑥0.
r Σ
r Λ
3. Αν η 𝑓 έχει δεύτερη παράγωγο στο 𝑥0, τότε η 𝑓′ είναι συνεχής
στο 𝑥0.
r Σ
r Λ
▶Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της στήλης Α και δίπλα τον αριθμό της στήλης
Β που αντιστοιχεί στην εφαπτομένη της κάθε συνάρτησης στο σημείο 𝑥0.
Στήλη Α Στήλη Β
α. 𝑓(𝑥) = 3𝑥3, 𝑥0 = 1 1. 𝑦 = −2𝑥 + 𝜋
β. 𝑓(𝑥) = ημ2𝑥, 𝑥0 =
𝜋
2
2. 𝑦 =
1
4
𝑥 + 1
γ. 𝑓(𝑥) = 3|𝑥|, 𝑥0 = 0 3. 𝑦 = 9𝑥 − 6
δ. 𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑥0 = 4 4. 𝑦 = −9𝑥 + 5
5. δεν υπάρχει
2000: επαναληπτικές ημερήσιο λύκειο
Ερωτήσεις Απαντήσεις
1. Η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝑒1−𝑥 είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο
των πραγματικών αριθμών.
r Σ
r Λ
2. Η συνάρτηση 𝑓 με 𝑓′(𝑥) = −2 ημ𝑥 +
1
ημ2 𝑥
+ 3, όπου
𝑥 ∈ 􏿯
𝜋
2
, 𝜋􏿸 είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό.
r Σ
r Λ
3. Αν 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) + 3 για κάθε 𝑥 ∈ Δ, τότε η συνάρτηση
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.
r Σ
r Λ
©
2o ΓΕΛ Καματερού 35 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 36 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Απαντήσεις
2020 2020(Ε) 2019 2019(Ε) 2018 2018(Ε)
1. Λ 1. Λ 1. Λ 1.Σ 1. Λ 1. Λ
2. Λ 2. Λ 2. Λ 2.Σ 2. Λ 2. Σ
3. Σ 3. Λ 3.Σ 3. Λ 3. Σ
4. Σ 4. Λ 4.Σ 4. Σ 4. Λ
5. Σ 5. Σ 5. Σ 1. 𝑓 → 𝑇
6. Σ 1. Λ 6. Σ 1. 𝑔 → 𝐻
1. Λ 2. Λ
2. Σ 3. Λ
3. Σ 4. Σ
4. Λ 5. Σ
2017 2017(Ε) 2016 2016(Ε) 2015 2015(Ε)
1. Λ 1. Λ 1. Σ 1. Λ 1. Λ 1. Σ
2. Λ 2. Λ 2. Λ 2. Λ 2. Λ 2. Λ
3. Σ 3. Σ 3. Σ 3. Σ 3. Σ 3. Λ
4. Λ 4. Λ 4. Σ 4. Λ 4. Λ
5. Σ 1. 4 5. Λ 1. Σ 5. Λ
6. Σ 2. Σ 6. Σ
7. Λ 3. Σ
4. Λ
2014 2014(Ε) 2013 2012 2012(Ε) 2011
1. Σ 1. Σ 1. Σ 1. Σ 1. Σ 1. Σ
2. Σ 2. Λ 2. Σ 2. Λ 2. Λ 2. Λ
3. Λ 3. Λ 3. Λ 3. Λ 3. Σ 3. Λ
4. Σ 4. Λ 4. Σ 4. Λ 4. Λ 4. Σ
5. Λ 5. Λ 5. Σ 5. Σ 5. Σ
6. Λ 6. Σ 6. Λ 6. Σ
7. Σ 7. Λ 7. Σ 7. Σ
8. Λ 8. Σ 8. Λ 8. Λ
9. Λ 9. Σ 9. Σ 9. Σ
10. Λ 10. Λ
11. Λ 11. Λ
2o ΓΕΛ Καματερού 36 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 37 of 38
Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021
2010 2010(Ε) 2009 2009(E) 2008 2008(E)
1. Σ 1. Λ 1. Σ 1. Σ 1. Σ 1. Σ
2. Λ 2. Λ 2. Λ 2. Λ 2. Σ 2. Λ
3. Λ 3. Σ 3. Λ 3. Λ 3. Λ 3. Σ
4. Σ 4. Σ 4. Λ 4. Λ 4. Λ 4. Λ
5. Σ 5. Σ 5. Σ 5. Λ 5. Σ 5. Λ
6. Λ 6. Λ 6. Σ 6. Σ 6. Σ
7. Σ 7. Σ
8. Λ 8. Σ
2007 2007(Ε) 2006 2006(E) 2005 2005(E)
1. Λ 1. Λ 1. Σ 1. Λ 1. Λ 1. Σ
2. Λ 2. Σ 2. Σ 2. Σ 2. Λ 2. Λ
3. Σ 3. Λ 3. Λ 3. Σ 3. Σ 3. Λ
4. Σ 4. Σ 4. Λ 4. Λ 4. Σ 4. Λ
5. Σ 5. Σ 5. Σ 5. Σ 5. Σ 5. Σ
6. Σ 6. Λ 6. Λ 6. Σ 6. Σ
7. Λ 7. Λ 7. Λ 7. Λ 7. Σ
8. Σ 8. Σ 8. Λ 8. Λ
9. Σ 9. Σ 9. Σ
2004 2004(Ε) 2003 2003(E) 2002 2002(E)
1. Σ 1. Λ 1. Σ 1. Λ 1. Λ 1. Σ
2. Λ 2. Λ 2. Λ 2. Λ 2. Λ 2. Σ
3. Λ 3. Σ 3. Λ 3. Σ 3. Λ
4. Σ 4. Σ 4. Σ 4. Σ 4. Λ
5. Λ 5. Σ 5. Λ 5. Σ
6. Λ 6. Σ 6. Σ 6. Λ
7. Σ 7. Λ 7. Λ
8. Σ 8. Σ
9. Λ 9. Σ
10. Σ 10. Λ
2000 2000(Ε)
1. Λ 1. Λ
2. Λ 2. Σ
3. Σ 3. Λ
α. 3
β. 1
γ. 5
δ. 2
2o ΓΕΛ Καματερού 37 Κωνσταντίνος Γεωργίου
Μαθηματικός, MSc
27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 38 of 38

More Related Content

What's hot

Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + wordΕπαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
Μάκης Χατζόπουλος
 
Μονοτονία συνάρτησης με χρήση παραγώγων
Μονοτονία συνάρτησης με χρήση παραγώγωνΜονοτονία συνάρτησης με χρήση παραγώγων
Μονοτονία συνάρτησης με χρήση παραγώγων
dimandres
 
διαγωνισμα πολυωνυμα β λυκειου
διαγωνισμα πολυωνυμα β λυκειου  διαγωνισμα πολυωνυμα β λυκειου
διαγωνισμα πολυωνυμα β λυκειου
Θανάσης Δρούγας
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Μάκης Χατζόπουλος
 
104 ερωτήσεις θεωρίας
104 ερωτήσεις θεωρίας104 ερωτήσεις θεωρίας
104 ερωτήσεις θεωρίας
Μάκης Χατζόπουλος
 
Άλγεβρα Α Λυκείου - Εξισώσεις - Ανισώσεις 2020 [75 σελίδες]
Άλγεβρα Α Λυκείου - Εξισώσεις - Ανισώσεις 2020 [75 σελίδες]Άλγεβρα Α Λυκείου - Εξισώσεις - Ανισώσεις 2020 [75 σελίδες]
Άλγεβρα Α Λυκείου - Εξισώσεις - Ανισώσεις 2020 [75 σελίδες]
Μάκης Χατζόπουλος
 
Τεστ στην ομοιότητα τριγώνων - Γεωμετρία Β Λυκείου
Τεστ στην ομοιότητα τριγώνων - Γεωμετρία Β ΛυκείουΤεστ στην ομοιότητα τριγώνων - Γεωμετρία Β Λυκείου
Τεστ στην ομοιότητα τριγώνων - Γεωμετρία Β Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Άλγεβρα Β Γυμνασίου
Άλγεβρα Β Γυμνασίου Άλγεβρα Β Γυμνασίου
Άλγεβρα Β Γυμνασίου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείου
Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείουΘεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείου
Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείου
Θανάσης Δρούγας
 
Ένα επαναληπτικό και απαιτητικό διαγώνισμα στις συναρτήσεις (μέχρι παράγραφο ...
Ένα επαναληπτικό και απαιτητικό διαγώνισμα στις συναρτήσεις (μέχρι παράγραφο ...Ένα επαναληπτικό και απαιτητικό διαγώνισμα στις συναρτήσεις (μέχρι παράγραφο ...
Ένα επαναληπτικό και απαιτητικό διαγώνισμα στις συναρτήσεις (μέχρι παράγραφο ...
Μάκης Χατζόπουλος
 
Αντιπαραδείγματα σχολικού βιβλίου [2019]
Αντιπαραδείγματα σχολικού βιβλίου [2019]Αντιπαραδείγματα σχολικού βιβλίου [2019]
Αντιπαραδείγματα σχολικού βιβλίου [2019]
Μάκης Χατζόπουλος
 
Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]
Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]
Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]
Μάκης Χατζόπουλος
 
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο ΑνάλυσηςΤεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdf
Διαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdfΔιαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdf
Διαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdf
elmit2
 
συνολο τιμων συναρτησησ
συνολο τιμων συναρτησησσυνολο τιμων συναρτησησ
συνολο τιμων συναρτησησ
Christos Loizos
 
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο ΑνάλυσηςΤεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Μάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι την αντίστροφη συνάρτηση - Αρσάκειο 2017 - 18
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι την αντίστροφη συνάρτηση - Αρσάκειο 2017 - 18Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι την αντίστροφη συνάρτηση - Αρσάκειο 2017 - 18
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι την αντίστροφη συνάρτηση - Αρσάκειο 2017 - 18
Μάκης Χατζόπουλος
 

What's hot (20)

Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + wordΕπαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
 
Μονοτονία συνάρτησης με χρήση παραγώγων
Μονοτονία συνάρτησης με χρήση παραγώγωνΜονοτονία συνάρτησης με χρήση παραγώγων
Μονοτονία συνάρτησης με χρήση παραγώγων
 
διαγωνισμα πολυωνυμα β λυκειου
διαγωνισμα πολυωνυμα β λυκειου  διαγωνισμα πολυωνυμα β λυκειου
διαγωνισμα πολυωνυμα β λυκειου
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
 
104 ερωτήσεις θεωρίας
104 ερωτήσεις θεωρίας104 ερωτήσεις θεωρίας
104 ερωτήσεις θεωρίας
 
Άλγεβρα Α Λυκείου - Εξισώσεις - Ανισώσεις 2020 [75 σελίδες]
Άλγεβρα Α Λυκείου - Εξισώσεις - Ανισώσεις 2020 [75 σελίδες]Άλγεβρα Α Λυκείου - Εξισώσεις - Ανισώσεις 2020 [75 σελίδες]
Άλγεβρα Α Λυκείου - Εξισώσεις - Ανισώσεις 2020 [75 σελίδες]
 
Τεστ στην ομοιότητα τριγώνων - Γεωμετρία Β Λυκείου
Τεστ στην ομοιότητα τριγώνων - Γεωμετρία Β ΛυκείουΤεστ στην ομοιότητα τριγώνων - Γεωμετρία Β Λυκείου
Τεστ στην ομοιότητα τριγώνων - Γεωμετρία Β Λυκείου
 
Άλγεβρα Β Γυμνασίου
Άλγεβρα Β Γυμνασίου Άλγεβρα Β Γυμνασίου
Άλγεβρα Β Γυμνασίου
 
όρια γ λυκείου
όρια γ λυκείουόρια γ λυκείου
όρια γ λυκείου
 
Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείου
Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείουΘεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείου
Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείου
 
Ένα επαναληπτικό και απαιτητικό διαγώνισμα στις συναρτήσεις (μέχρι παράγραφο ...
Ένα επαναληπτικό και απαιτητικό διαγώνισμα στις συναρτήσεις (μέχρι παράγραφο ...Ένα επαναληπτικό και απαιτητικό διαγώνισμα στις συναρτήσεις (μέχρι παράγραφο ...
Ένα επαναληπτικό και απαιτητικό διαγώνισμα στις συναρτήσεις (μέχρι παράγραφο ...
 
Αντιπαραδείγματα σχολικού βιβλίου [2019]
Αντιπαραδείγματα σχολικού βιβλίου [2019]Αντιπαραδείγματα σχολικού βιβλίου [2019]
Αντιπαραδείγματα σχολικού βιβλίου [2019]
 
μ.χ πολυωνυμα θεωρια-νεο
μ.χ πολυωνυμα   θεωρια-νεομ.χ πολυωνυμα   θεωρια-νεο
μ.χ πολυωνυμα θεωρια-νεο
 
Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]
Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]
Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]
 
κυκλος
κυκλοςκυκλος
κυκλος
 
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο ΑνάλυσηςΤεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
 
Διαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdf
Διαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdfΔιαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdf
Διαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdf
 
συνολο τιμων συναρτησησ
συνολο τιμων συναρτησησσυνολο τιμων συναρτησησ
συνολο τιμων συναρτησησ
 
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο ΑνάλυσηςΤεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι την αντίστροφη συνάρτηση - Αρσάκειο 2017 - 18
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι την αντίστροφη συνάρτηση - Αρσάκειο 2017 - 18Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι την αντίστροφη συνάρτηση - Αρσάκειο 2017 - 18
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι την αντίστροφη συνάρτηση - Αρσάκειο 2017 - 18
 

Similar to Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021

IIT JAM Math 2022 Question Paper | Sourav Sir's Classes
IIT JAM Math 2022 Question Paper | Sourav Sir's ClassesIIT JAM Math 2022 Question Paper | Sourav Sir's Classes
IIT JAM Math 2022 Question Paper | Sourav Sir's Classes
SOURAV DAS
 
MAT-314 Relations and Functions
MAT-314 Relations and FunctionsMAT-314 Relations and Functions
MAT-314 Relations and Functions
Kevin Johnson
 
関数(&統計の続き)(人間科学のための基礎数学)
関数(&統計の続き)(人間科学のための基礎数学)関数(&統計の続き)(人間科学のための基礎数学)
関数(&統計の続き)(人間科学のための基礎数学)
Masahiro Okano
 
Lesson 21: More Algebra
Lesson 21: More AlgebraLesson 21: More Algebra
Lesson 21: More Algebra
Kevin Johnson
 
Per4 induction
Per4 inductionPer4 induction
Per4 induction
Evert Sandye Taasiringan
 
Inequalities list-2
Inequalities list-2Inequalities list-2
Inequalities list-2
Christos Loizos
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ ΓυμνασίουΚεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Unit 5 Correlation
Unit 5 CorrelationUnit 5 Correlation
Unit 5 Correlation
Rai University
 
Lesson 11: Functions and Function Notation
Lesson 11: Functions and Function NotationLesson 11: Functions and Function Notation
Lesson 11: Functions and Function Notation
Kevin Johnson
 
Relations and Functions.pdf
Relations and Functions.pdfRelations and Functions.pdf
Relations and Functions.pdf
GhanshyamGUPTA61
 
Linear equations in two variables
Linear equations in two variablesLinear equations in two variables
Linear equations in two variables
Edrin Jay Morta
 
Lesson 9: Linear Relations and Lines
Lesson 9: Linear Relations and LinesLesson 9: Linear Relations and Lines
Lesson 9: Linear Relations and Lines
Kevin Johnson
 
Lesson 2: Inequalities
Lesson 2: InequalitiesLesson 2: Inequalities
Lesson 2: Inequalities
Kevin Johnson
 
Semana 13 ecuaciones polinomiales ii álgebra-uni ccesa007
Semana 13   ecuaciones polinomiales ii  álgebra-uni ccesa007Semana 13   ecuaciones polinomiales ii  álgebra-uni ccesa007
Semana 13 ecuaciones polinomiales ii álgebra-uni ccesa007
Demetrio Ccesa Rayme
 
MT102 Лекц 16
MT102 Лекц 16MT102 Лекц 16
MT102 Лекц 16
ssuser184df1
 
Asso5411
Asso5411Asso5411
Asso5411
Maethus
 
MCA_UNIT-1_Computer Oriented Numerical Statistical Methods
MCA_UNIT-1_Computer Oriented Numerical Statistical MethodsMCA_UNIT-1_Computer Oriented Numerical Statistical Methods
MCA_UNIT-1_Computer Oriented Numerical Statistical Methods
Rai University
 
Lecture 4
Lecture 4Lecture 4
series.pdf
series.pdfseries.pdf
Lesson 3: Problem Set 4
Lesson 3: Problem Set 4Lesson 3: Problem Set 4
Lesson 3: Problem Set 4
Kevin Johnson
 

Similar to Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021 (20)

IIT JAM Math 2022 Question Paper | Sourav Sir's Classes
IIT JAM Math 2022 Question Paper | Sourav Sir's ClassesIIT JAM Math 2022 Question Paper | Sourav Sir's Classes
IIT JAM Math 2022 Question Paper | Sourav Sir's Classes
 
MAT-314 Relations and Functions
MAT-314 Relations and FunctionsMAT-314 Relations and Functions
MAT-314 Relations and Functions
 
関数(&統計の続き)(人間科学のための基礎数学)
関数(&統計の続き)(人間科学のための基礎数学)関数(&統計の続き)(人間科学のための基礎数学)
関数(&統計の続き)(人間科学のための基礎数学)
 
Lesson 21: More Algebra
Lesson 21: More AlgebraLesson 21: More Algebra
Lesson 21: More Algebra
 
Per4 induction
Per4 inductionPer4 induction
Per4 induction
 
Inequalities list-2
Inequalities list-2Inequalities list-2
Inequalities list-2
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ ΓυμνασίουΚεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
 
Unit 5 Correlation
Unit 5 CorrelationUnit 5 Correlation
Unit 5 Correlation
 
Lesson 11: Functions and Function Notation
Lesson 11: Functions and Function NotationLesson 11: Functions and Function Notation
Lesson 11: Functions and Function Notation
 
Relations and Functions.pdf
Relations and Functions.pdfRelations and Functions.pdf
Relations and Functions.pdf
 
Linear equations in two variables
Linear equations in two variablesLinear equations in two variables
Linear equations in two variables
 
Lesson 9: Linear Relations and Lines
Lesson 9: Linear Relations and LinesLesson 9: Linear Relations and Lines
Lesson 9: Linear Relations and Lines
 
Lesson 2: Inequalities
Lesson 2: InequalitiesLesson 2: Inequalities
Lesson 2: Inequalities
 
Semana 13 ecuaciones polinomiales ii álgebra-uni ccesa007
Semana 13   ecuaciones polinomiales ii  álgebra-uni ccesa007Semana 13   ecuaciones polinomiales ii  álgebra-uni ccesa007
Semana 13 ecuaciones polinomiales ii álgebra-uni ccesa007
 
MT102 Лекц 16
MT102 Лекц 16MT102 Лекц 16
MT102 Лекц 16
 
Asso5411
Asso5411Asso5411
Asso5411
 
MCA_UNIT-1_Computer Oriented Numerical Statistical Methods
MCA_UNIT-1_Computer Oriented Numerical Statistical MethodsMCA_UNIT-1_Computer Oriented Numerical Statistical Methods
MCA_UNIT-1_Computer Oriented Numerical Statistical Methods
 
Lecture 4
Lecture 4Lecture 4
Lecture 4
 
series.pdf
series.pdfseries.pdf
series.pdf
 
Lesson 3: Problem Set 4
Lesson 3: Problem Set 4Lesson 3: Problem Set 4
Lesson 3: Problem Set 4
 

More from Μάκης Χατζόπουλος

Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Μάκης Χατζόπουλος
 
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Μάκης Χατζόπουλος
 
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛΠανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Μάκης Χατζόπουλος
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Μάκης Χατζόπουλος
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
Μάκης Χατζόπουλος
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μάκης Χατζόπουλος
 
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3οΞεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Μάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Μάκης Χατζόπουλος
 
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου 45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Μάκης Χατζόπουλος
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
Μάκης Χατζόπουλος
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Μάκης Χατζόπουλος
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΕργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Μάκης Χατζόπουλος
 
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από ΣούρμπηΔιαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Μάκης Χατζόπουλος
 
Ιδιότητες του αριθμού 2021
Ιδιότητες του αριθμού 2021Ιδιότητες του αριθμού 2021
Ιδιότητες του αριθμού 2021
Μάκης Χατζόπουλος
 

More from Μάκης Χατζόπουλος (20)

Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
 
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
 
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛΠανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
 
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3οΞεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
 
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου 45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΕργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
 
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από ΣούρμπηΔιαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
 
Ιδιότητες του αριθμού 2021
Ιδιότητες του αριθμού 2021Ιδιότητες του αριθμού 2021
Ιδιότητες του αριθμού 2021
 

Recently uploaded

HYPERTENSION - SLIDE SHARE PRESENTATION.
HYPERTENSION - SLIDE SHARE PRESENTATION.HYPERTENSION - SLIDE SHARE PRESENTATION.
HYPERTENSION - SLIDE SHARE PRESENTATION.
deepaannamalai16
 
Creation or Update of a Mandatory Field is Not Set in Odoo 17
Creation or Update of a Mandatory Field is Not Set in Odoo 17Creation or Update of a Mandatory Field is Not Set in Odoo 17
Creation or Update of a Mandatory Field is Not Set in Odoo 17
Celine George
 
skeleton System.pdf (skeleton system wow)
skeleton System.pdf (skeleton system wow)skeleton System.pdf (skeleton system wow)
skeleton System.pdf (skeleton system wow)
Mohammad Al-Dhahabi
 
Skimbleshanks-The-Railway-Cat by T S Eliot
Skimbleshanks-The-Railway-Cat by T S EliotSkimbleshanks-The-Railway-Cat by T S Eliot
Skimbleshanks-The-Railway-Cat by T S Eliot
nitinpv4ai
 
Ch-4 Forest Society and colonialism 2.pdf
Ch-4 Forest Society and colonialism 2.pdfCh-4 Forest Society and colonialism 2.pdf
Ch-4 Forest Society and colonialism 2.pdf
lakshayrojroj
 
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 - CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - NĂM HỌC 2023-2024 (B...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 - CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - NĂM HỌC 2023-2024 (B...BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 - CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - NĂM HỌC 2023-2024 (B...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 - CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - NĂM HỌC 2023-2024 (B...
Nguyen Thanh Tu Collection
 
CIS 4200-02 Group 1 Final Project Report (1).pdf
CIS 4200-02 Group 1 Final Project Report (1).pdfCIS 4200-02 Group 1 Final Project Report (1).pdf
CIS 4200-02 Group 1 Final Project Report (1).pdf
blueshagoo1
 
A Free 200-Page eBook ~ Brain and Mind Exercise.pptx
A Free 200-Page eBook ~ Brain and Mind Exercise.pptxA Free 200-Page eBook ~ Brain and Mind Exercise.pptx
A Free 200-Page eBook ~ Brain and Mind Exercise.pptx
OH TEIK BIN
 
Elevate Your Nonprofit's Online Presence_ A Guide to Effective SEO Strategies...
Elevate Your Nonprofit's Online Presence_ A Guide to Effective SEO Strategies...Elevate Your Nonprofit's Online Presence_ A Guide to Effective SEO Strategies...
Elevate Your Nonprofit's Online Presence_ A Guide to Effective SEO Strategies...
TechSoup
 
A Visual Guide to 1 Samuel | A Tale of Two Hearts
A Visual Guide to 1 Samuel | A Tale of Two HeartsA Visual Guide to 1 Samuel | A Tale of Two Hearts
A Visual Guide to 1 Samuel | A Tale of Two Hearts
Steve Thomason
 
The basics of sentences session 7pptx.pptx
The basics of sentences session 7pptx.pptxThe basics of sentences session 7pptx.pptx
The basics of sentences session 7pptx.pptx
heathfieldcps1
 
Contiguity Of Various Message Forms - Rupam Chandra.pptx
Contiguity Of Various Message Forms - Rupam Chandra.pptxContiguity Of Various Message Forms - Rupam Chandra.pptx
Contiguity Of Various Message Forms - Rupam Chandra.pptx
Kalna College
 
Data Structure using C by Dr. K Adisesha .ppsx
Data Structure using C by Dr. K Adisesha .ppsxData Structure using C by Dr. K Adisesha .ppsx
Data Structure using C by Dr. K Adisesha .ppsx
Prof. Dr. K. Adisesha
 
NIPER 2024 MEMORY BASED QUESTIONS.ANSWERS TO NIPER 2024 QUESTIONS.NIPER JEE 2...
NIPER 2024 MEMORY BASED QUESTIONS.ANSWERS TO NIPER 2024 QUESTIONS.NIPER JEE 2...NIPER 2024 MEMORY BASED QUESTIONS.ANSWERS TO NIPER 2024 QUESTIONS.NIPER JEE 2...
NIPER 2024 MEMORY BASED QUESTIONS.ANSWERS TO NIPER 2024 QUESTIONS.NIPER JEE 2...
Payaamvohra1
 
Observational Learning
Observational Learning Observational Learning
Observational Learning
sanamushtaq922
 
Level 3 NCEA - NZ: A Nation In the Making 1872 - 1900 SML.ppt
Level 3 NCEA - NZ: A  Nation In the Making 1872 - 1900 SML.pptLevel 3 NCEA - NZ: A  Nation In the Making 1872 - 1900 SML.ppt
Level 3 NCEA - NZ: A Nation In the Making 1872 - 1900 SML.ppt
Henry Hollis
 
220711130082 Srabanti Bag Internet Resources For Natural Science
220711130082 Srabanti Bag Internet Resources For Natural Science220711130082 Srabanti Bag Internet Resources For Natural Science
220711130082 Srabanti Bag Internet Resources For Natural Science
Kalna College
 
欧洲杯下注-欧洲杯下注押注官网-欧洲杯下注押注网站|【​网址​🎉ac44.net🎉​】
欧洲杯下注-欧洲杯下注押注官网-欧洲杯下注押注网站|【​网址​🎉ac44.net🎉​】欧洲杯下注-欧洲杯下注押注官网-欧洲杯下注押注网站|【​网址​🎉ac44.net🎉​】
欧洲杯下注-欧洲杯下注押注官网-欧洲杯下注押注网站|【​网址​🎉ac44.net🎉​】
andagarcia212
 
SWOT analysis in the project Keeping the Memory @live.pptx
SWOT analysis in the project Keeping the Memory @live.pptxSWOT analysis in the project Keeping the Memory @live.pptx
SWOT analysis in the project Keeping the Memory @live.pptx
zuzanka
 
Educational Technology in the Health Sciences
Educational Technology in the Health SciencesEducational Technology in the Health Sciences
Educational Technology in the Health Sciences
Iris Thiele Isip-Tan
 

Recently uploaded (20)

HYPERTENSION - SLIDE SHARE PRESENTATION.
HYPERTENSION - SLIDE SHARE PRESENTATION.HYPERTENSION - SLIDE SHARE PRESENTATION.
HYPERTENSION - SLIDE SHARE PRESENTATION.
 
Creation or Update of a Mandatory Field is Not Set in Odoo 17
Creation or Update of a Mandatory Field is Not Set in Odoo 17Creation or Update of a Mandatory Field is Not Set in Odoo 17
Creation or Update of a Mandatory Field is Not Set in Odoo 17
 
skeleton System.pdf (skeleton system wow)
skeleton System.pdf (skeleton system wow)skeleton System.pdf (skeleton system wow)
skeleton System.pdf (skeleton system wow)
 
Skimbleshanks-The-Railway-Cat by T S Eliot
Skimbleshanks-The-Railway-Cat by T S EliotSkimbleshanks-The-Railway-Cat by T S Eliot
Skimbleshanks-The-Railway-Cat by T S Eliot
 
Ch-4 Forest Society and colonialism 2.pdf
Ch-4 Forest Society and colonialism 2.pdfCh-4 Forest Society and colonialism 2.pdf
Ch-4 Forest Society and colonialism 2.pdf
 
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 - CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - NĂM HỌC 2023-2024 (B...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 - CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - NĂM HỌC 2023-2024 (B...BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 - CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - NĂM HỌC 2023-2024 (B...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 - CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - NĂM HỌC 2023-2024 (B...
 
CIS 4200-02 Group 1 Final Project Report (1).pdf
CIS 4200-02 Group 1 Final Project Report (1).pdfCIS 4200-02 Group 1 Final Project Report (1).pdf
CIS 4200-02 Group 1 Final Project Report (1).pdf
 
A Free 200-Page eBook ~ Brain and Mind Exercise.pptx
A Free 200-Page eBook ~ Brain and Mind Exercise.pptxA Free 200-Page eBook ~ Brain and Mind Exercise.pptx
A Free 200-Page eBook ~ Brain and Mind Exercise.pptx
 
Elevate Your Nonprofit's Online Presence_ A Guide to Effective SEO Strategies...
Elevate Your Nonprofit's Online Presence_ A Guide to Effective SEO Strategies...Elevate Your Nonprofit's Online Presence_ A Guide to Effective SEO Strategies...
Elevate Your Nonprofit's Online Presence_ A Guide to Effective SEO Strategies...
 
A Visual Guide to 1 Samuel | A Tale of Two Hearts
A Visual Guide to 1 Samuel | A Tale of Two HeartsA Visual Guide to 1 Samuel | A Tale of Two Hearts
A Visual Guide to 1 Samuel | A Tale of Two Hearts
 
The basics of sentences session 7pptx.pptx
The basics of sentences session 7pptx.pptxThe basics of sentences session 7pptx.pptx
The basics of sentences session 7pptx.pptx
 
Contiguity Of Various Message Forms - Rupam Chandra.pptx
Contiguity Of Various Message Forms - Rupam Chandra.pptxContiguity Of Various Message Forms - Rupam Chandra.pptx
Contiguity Of Various Message Forms - Rupam Chandra.pptx
 
Data Structure using C by Dr. K Adisesha .ppsx
Data Structure using C by Dr. K Adisesha .ppsxData Structure using C by Dr. K Adisesha .ppsx
Data Structure using C by Dr. K Adisesha .ppsx
 
NIPER 2024 MEMORY BASED QUESTIONS.ANSWERS TO NIPER 2024 QUESTIONS.NIPER JEE 2...
NIPER 2024 MEMORY BASED QUESTIONS.ANSWERS TO NIPER 2024 QUESTIONS.NIPER JEE 2...NIPER 2024 MEMORY BASED QUESTIONS.ANSWERS TO NIPER 2024 QUESTIONS.NIPER JEE 2...
NIPER 2024 MEMORY BASED QUESTIONS.ANSWERS TO NIPER 2024 QUESTIONS.NIPER JEE 2...
 
Observational Learning
Observational Learning Observational Learning
Observational Learning
 
Level 3 NCEA - NZ: A Nation In the Making 1872 - 1900 SML.ppt
Level 3 NCEA - NZ: A  Nation In the Making 1872 - 1900 SML.pptLevel 3 NCEA - NZ: A  Nation In the Making 1872 - 1900 SML.ppt
Level 3 NCEA - NZ: A Nation In the Making 1872 - 1900 SML.ppt
 
220711130082 Srabanti Bag Internet Resources For Natural Science
220711130082 Srabanti Bag Internet Resources For Natural Science220711130082 Srabanti Bag Internet Resources For Natural Science
220711130082 Srabanti Bag Internet Resources For Natural Science
 
欧洲杯下注-欧洲杯下注押注官网-欧洲杯下注押注网站|【​网址​🎉ac44.net🎉​】
欧洲杯下注-欧洲杯下注押注官网-欧洲杯下注押注网站|【​网址​🎉ac44.net🎉​】欧洲杯下注-欧洲杯下注押注官网-欧洲杯下注押注网站|【​网址​🎉ac44.net🎉​】
欧洲杯下注-欧洲杯下注押注官网-欧洲杯下注押注网站|【​网址​🎉ac44.net🎉​】
 
SWOT analysis in the project Keeping the Memory @live.pptx
SWOT analysis in the project Keeping the Memory @live.pptxSWOT analysis in the project Keeping the Memory @live.pptx
SWOT analysis in the project Keeping the Memory @live.pptx
 
Educational Technology in the Health Sciences
Educational Technology in the Health SciencesEducational Technology in the Health Sciences
Educational Technology in the Health Sciences
 

Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021

  • 1. γ΄ λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Ερωτήσεις κλειστού τύπου Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, Msc kgeo67@gmail.com 2020-2021 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 1 of 38
  • 2. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 Ερωτήσεις Σωστού - Λάθους Πανελλαδικές εξετάσεις 2000-2020 2o ΓΕΛ Καματερού 1 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 2 of 38
  • 3. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2020: ημερήσια & εσπερινά Ερωτήσεις (νέο σύστημα) Απαντήσεις 1. Για κάθε συνάρτηση 𝑓, ορισμένη, παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο ℝ, ισχύει 𝑓′(𝑥) > 0. r Σ r Λ 2. lim 𝑥→0 􏿶 1 𝑥2𝜈+1 􏿹 = +∞, για κάθε 𝜈 ∈ ℕ. r Σ r Λ 3. Αν 𝑓, 𝑔 είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α και Β, αντίστοιχα, τότε η 𝑔 ∘ 𝑓 ορίζεται, αν 𝑓(𝐴) ∩ 𝐵 ≠ ∅. r Σ r Λ 4. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 𝑓(𝑥) = √|𝑥|, 𝑥 ∈ ℝ έχει άξονα συμμετρίας τον 𝑦′𝑦. r Σ r Λ 5. Η εικόνα 𝑓(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι πάντα διάστημα. r Σ r Λ 6. Δίνεται ότι η συνάρτηση 𝑓 παραγωγίζεται στο ℝ και ότι η γραφική της παράσταση είναι πάνω από τον άξονα 𝑥′𝑥. Αν υπάρχει κάποιο σημείο 𝐴(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) της 𝐶𝑓, του οποίου η απόσταση από τον άξονα 𝑥′𝑥 είναι μέγιστη (ή ελάχιστη), τότε σε αυτό το σημείο η εφαπτομένη της 𝐶𝑓 είναι οριζόντια. r Σ r Λ Ερωτήσεις (παλαιό σύστημα) Απαντήσεις 1. Για κάθε συνάρτηση 𝑓 με lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = 0, ισχύει ότι lim 𝑥→𝑥0 1 𝑓(𝑥) = +∞ ή lim 𝑥→𝑥0 1 𝑓(𝑥) = −∞. r Σ r Λ 2. Αν lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = +∞, τότε 𝑓(𝑥) > 0 για κάθε 𝑥 κοντά στο 𝑥0. r Σ r Λ 3. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής στο [𝛼, 𝛽], παραγωγίσιμη στο (𝛼, 𝛽) και 𝑓′(𝑥) ≠ 0 για κάθε 𝑥 ∈ (𝛼, 𝛽), τότε 𝑓(𝛼) ≠ 𝑓(𝛽). r Σ r Λ 4. Για κάθε συνάρτηση 𝑓 που είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο ℝ, ισχύει 𝑓′(𝑥) > 0 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ. r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 2 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 3 of 38
  • 4. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2020: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς Ερωτήσεις (νέο σύστημα) Απαντήσεις 1. Κάθε συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. r Σ r Λ 2. lim 𝑥→−∞ 𝑒𝑥 = −∞. r Σ r Λ 3. Για κάθε συνάρτηση 𝑓, το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα της 𝑓, εφόσον υπάρχουν, είναι το ολικό μέγιστο της 𝑓. r Σ r Λ 4. (ln|𝑥|) ′ = − 1 𝑥 , για κάθε 𝑥 < 0. r Σ r Λ 5. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν μηδενίζεται σε αυτό, τότε η 𝑓 διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ. r Σ r Λ Ερωτήσεις (παλαιό σύστημα) Απαντήσεις 1. Για κάθε συνάρτηση 𝑓, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο ℝ, ισχύει 𝑓″(𝑥) > 0 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ. r Σ r Λ 2. Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων 𝑓, 𝑔 για τις οποίες ορίζονται οι συναρτήσεις 𝑓 ∘ 𝑔 και 𝑔 ∘ 𝑓 ισχύει 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑔 ∘ 𝑓. r Σ r Λ 3. Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων 𝑓, 𝑔 για τις οποίες υπάρχουν τα όρια lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥), lim 𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥) και 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) για κάθε 𝑥 κοντά στο 𝑥0, ισχύει lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) < lim 𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥). r Σ r Λ 4. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής στο [𝛼, 𝛽], τότε η 𝑓 παίρνει στο [𝛼, 𝛽], μια μέγιστη τιμή 𝑀 και μια ελάχιστη τιμή 𝑚. r Σ r Λ 5. Για κάθε 𝑥 ∈ ℝ − {0}, ισχύει (ln|𝑥|)′ = 1 𝑥 . r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 3 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 4 of 38
  • 5. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2019:ημερήσια & εσπερινά Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Για κάθε συνάρτηση 𝑓, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο Α = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) με 𝑓′(𝑥) = 0 για κάθε 𝑥 ∈ 𝐴, ισχύει ότι η 𝑓 είναι σταθερή στο Α. r Σ r Λ 2. Για κάθε συνάρτηση 𝑓 ∶ 𝐴 → ℝ, όταν υπάρχει το όριο της 𝑓 καθώς το 𝑥 τείνει στο 𝑥0 ∈ 𝐴, τότε αυτό το όριο ισούται με την τιμή της 𝑓 στο 𝑥0. r Σ r Λ 2019: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Η γραφική παράσταση της |𝑓| αποτελείται από τα τμήματα της γραφικής παράστασης της 𝑓 που βρίσκονται πάνω από τον άξονα 𝑥′𝑥 και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα 𝑥′𝑥, των τμημάτων της γραφικής παράστασης της 𝑓 που βρίσκονται κάτω από αυτόν τον άξονα. r Σ r Λ 2. Ένα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης 𝑓 μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο της 𝑓. r Σ r Λ 3. Αν lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) > 0, τότε 𝑓(𝑥) > 0 για κάθε 𝑥 κοντά στο 𝑥0. r Σ r Λ 4. Μια πολυωνυμική συνάρτηση 𝑓 ∶ ℝ → ℝ διατηρεί πρόσημο σε κάθε ένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της 𝑓 χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 4 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 5 of 38
  • 6. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2018:ημερήσια & εσπερινά Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Κάθε συνάρτηση 𝑓 ∶ ℝ → ℝ που είναι 1 − 1 είναι και γνησίως μονότονη. r Σ r Λ 2. Η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = ημ𝑥 με 𝑥 ∈ ℝ έχει μία μόνο θέση ολικού μεγίστου. r Σ r Λ 3. Για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση 𝑓 σε ένα διάστημα Δ, η οποία είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει 𝑓′(𝑥) > 0 για κάθε 𝑥 ∈ Δ. r Σ r Λ 4. Ισχύει lim 𝑥→0 1 − συν𝑥 𝑥 = 0. r Σ r Λ 5. Αν η 𝑓 είναι αντιστρέψιμη συνάρτηση, τότε οι γραφικές παραστάσεις 𝐶 και 𝐶′ των συναρτήσεων 𝑓 και 𝑓−1 αντίστοιχα είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία 𝑦 = 𝑥. r Σ r Λ 6. Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης 𝑓. r Σ r Λ 2018: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Για κάθε ζεύγος πραγματικών συναρτήσεων 𝑓, 𝑔 ∶ (0, +∞) → ℝ, αν ισχύει lim 𝑥→0 𝑓(𝑥) = +∞ και lim 𝑥→0 𝑔(𝑥) = −∞, τότε lim 𝑥→0 [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 0. r Σ r Λ 2. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης 𝑓 ∶ ℝ → ℝ μπορεί να τέμνει την ασύμπτωτή της. r Σ r Λ 3. Αν μια συνάρτηση 𝑓 ∶ ℝ → ℝ είναι 1 − 1 , τότε κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της 𝑓 το πολύ σε ένα σημείο. r Σ r Λ 4. Αν οι συναρτήσεις 𝑓 και 𝑔 έχουν πεδίο ορισμού το [0, 1] και σύνολο τιμών το [2, 3], τότε ορίζεται η 𝑓 ∘ 𝑔 με πεδίο ορισμού το [0, 1] και σύνολο τιμών το [2, 3] r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 5 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 6 of 38
  • 7. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Ποια από τις συναρτήσεις 𝐹, 𝐺, 𝐻, 𝑇 μπορεί να είναι η παράγωγος της 𝑓 και ποια της 𝑔. r r r r 2o ΓΕΛ Καματερού 6 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 7 of 38
  • 8. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2017:ημερήσια & εσπερινά Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Κάθε συνάρτηση 𝑓, η οποία είναι συνεχής στο 𝑥0 είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. r Σ r Λ 2. Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων 𝑓 ∶ ℝ → ℝ και 𝑔 ∶ ℝ → ℝ, αν lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = 0 και lim 𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥) = +∞ τότε lim 𝑥→𝑥0 [𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)] = 0. r Σ r Λ 3. Αν 𝑓, 𝑔 είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β αντίστοιχα, τότε η 𝑔 ∘ 𝑓 ορίζεται αν 𝑓(𝐴) ∩ 𝐵 ≠ ∅. r Σ r Λ 4. Για κάθε συνάρτηση 𝑓 ∶ ℝ → ℝ που είναι παραγωγίσιμη και δεν παρουσιάζει ακρότατα, ισχύει 𝑓′(𝑥) ≠ 0 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ. r Σ r Λ 5. Αν 0 < 𝛼 < 1, τότε lim 𝑥→−∞ 𝛼𝑥 = +∞. r Σ r Λ 6. Η εικόνα 𝑓(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης 𝑓 είναι διάστημα. r Σ r Λ 7. Αν lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = −∞, τότε 𝑓(𝑥) > 0 κοντά στο 𝑥0. r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 7 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 8 of 38
  • 9. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2017: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Για κάθε συνάρτηση 𝑓 η οποία είναι ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ ισχύει 𝑓″(𝑥0) = 0, τότε το 𝑥0 είναι θέση σημείου καμπής της 𝐶𝑓. r Σ r Λ 2. Μια συνάρτηση 𝑓 λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχουν 𝑥1, 𝑥2 ∈ Δ με 𝑥1 < 𝑥2, ώστε 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2). r Σ r Λ 3. Αν ένα σημείο Μ(𝛼, 𝛽) ανήκει στη γραφική παράσταση μιας αντιστρέψιμης συνάρτησης 𝑓, τότε το σημείο Μ′(𝛽, 𝛼) ανήκει στη γραφική παράσταση 𝐶′ της 𝑓−1. r Σ r Λ 4. Για κάθε συνεχή συνάρτηση 𝑓 ∶ [𝛼, 𝛽] → ℝ, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (𝛼, 𝛽), αν 𝑓(𝛼) = 𝑓(𝛽), τότε υπάρχει ακριβώς ένα 𝜉 ∈ (𝛼, 𝛽) τέτοιο ώστε 𝑓′(𝜉) = 0. r Σ r Λ Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Για κάθε συνεχή συνάρτηση 𝑓 ∶ [𝛼, 𝛽] → ℝ, αν ισχύει 𝑓(𝛼) ⋅ 𝑓(𝛽) > 0, τότε r η εξίσωση 𝑓(𝑥) = 0 δεν έχει λύση στο (𝛼, 𝛽). r η εξίσωση 𝑓(𝑥) = 0 έχει ακριβώς μία λύση στο (𝛼, 𝛽). r η εξίσωση 𝑓(𝑥) = 0 έχει τουλάχιστον δύο λύσεις στο (𝛼, 𝛽). r δεν μπορούμε να έχουμε συμπέρασμα για το πλήθος των λύ- σεων της εξίσωσης 𝑓(𝑥) = 0 στο (𝛼, 𝛽). 2o ΓΕΛ Καματερού 8 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 9 of 38
  • 10. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2016: ημερήσια & εσπερινά Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Αν οι συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 έχουν όριο στο 𝑥0 και ισχύει 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) κοντά στο 𝑥0, τότε lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) ≤ lim 𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥). r Σ r Λ 2. Κάθε συνάρτηση 𝑓, για την οποία ισχύει 𝑓′(𝑥) = 0 για κάθε 𝑥 ∈ (𝛼, 𝑥0) ∪ (𝑥0, 𝛽), είναι σταθερή στο (𝛼, 𝑥0) ∪ (𝑥0, 𝛽). r Σ r Λ 3. Μια συνάρτηση 𝑓 είναι 1 − 1, αν και μόνο αν, για κάθε στοιχείο 𝑦 του συνόλου τιμών της, η εξίσωση 𝑦 = 𝑓(𝑥) έχει ακριβώς μια λύση ως προς 𝑥. r Σ r Λ 4. Αν η 𝑓 είναι συνεχής στο [𝛼, 𝛽], τότε η 𝑓 παίρνει στο [𝛼, 𝛽], μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή 𝑚. r Σ r Λ 5. lim 𝑥→0 ημ𝑥 𝑥 = 0 r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 9 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 10 of 38
  • 11. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2016: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Ισχύει lim 𝑥→0 συν𝑥 − 1 𝑥 = 1. r Σ r Λ 2. Αν 𝑓(𝑥) = ln|𝑥| για κάθε 𝑥 ≠ 0, τότε 𝑓′(𝑥) = 1 |𝑥| για κάθε 𝑥 ≠ 0. r Σ r Λ 3. Αν μια συνάρτηση 𝑓 δεν είναι συνεχής στο 𝑥0, τότε η 𝑓 δεν είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0. r Σ r Λ 4. Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού 𝜈 ≥ 2, η οποία έχει ασύμπτωτη. r Σ r Λ 1. Αν lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = 0, και 𝑓(𝑥) > 0 κοντά στο 𝑥0, τότε: lim 𝑥→𝑥0 1 𝑓(𝑥) = +∞. r Σ r Λ 2. Το πεδίο ορισμού της 𝑔 ∘ 𝑓 αποτελείται από όλα τα στοιχεία 𝑥 του πεδίου ορισμού της 𝑓, για τα οποία το 𝑓(𝑥) ανήκει στο πεδίο ορισμού της 𝑔. r Σ r Λ 3. Ένα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης 𝑓 μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο της 𝑓. r Σ r Λ 4. Για κάθε συνάρτηση 𝑓 που είναι γνησίως αύξουσα και παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ ισχύει 𝑓′(𝑥) > 0, για κάθε 𝑥 ∈ Δ. r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 10 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 11 of 38
  • 12. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2015: ημερήσια & εσπερινά Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Αν για δύο συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 ορίζονται οι συναρτήσεις 𝑓 ∘ 𝑔 και 𝑔 ∘ 𝑓, τότε ισχύει πάντοτε ότι 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑔 ∘ 𝑓. r Σ r Λ 2. Για κάθε 𝑥 ∈ ℝ ισχύει ότι (συν𝑥)′ = ημ𝑥. r Σ r Λ 3. Αν lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = 0 και 𝑓(𝑥) > 0 κοντά στο 𝑥0, τότε: lim 𝑥→𝑥0 1 𝑓(𝑥) = +∞ r Σ r Λ 2015: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Αν οι συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 έχουν όριο στο 𝑥0 και ισχύει 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) κοντά στο 𝑥0, τότε lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) ≤ lim 𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥). r Σ r Λ 2. Αν lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = −∞, τότε 𝑓(𝑥) > 0 κοντά στο 𝑥0. r Σ r Λ 3. Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2, της οποίας η γραφική παράσταση έχει ασύμπτωτη. r Σ r Λ 4. Για κάθε 𝑥 ∈ ℝ, ισχύει | ημ𝑥| < |𝑥| r Σ r Λ 5. Αν lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = 0 και 𝑓(𝑥) > 0 κοντά στο 𝑥0, τότε: lim 𝑥→𝑥0 1 𝑓(𝑥) = −∞ r Σ r Λ 6. Για κάθε 𝑥 ∈ ℝ𝟚 = ℝ − {𝑥| ημ𝑥 = 0} ισχύει (σφ𝑥)′ = − 1 ημ2 𝑥 r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 11 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 12 of 38
  • 13. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2014: ημερήσια & εσπερινά Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Αν lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = +∞ ή −∞, τότε lim 𝑥→𝑥0 1 𝑓(𝑥) = 0. r Σ r Λ 2. Αν μια συνάρτηση 𝑓 παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα. r Σ r Λ 3. Έστω συνάρτηση 𝑓 συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η συνάρτηση 𝑓 είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ τότε η παράγωγος της είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του Δ. r Σ r Λ 4. Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 δεν έχουν ασύμπτωτες. r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 12 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 13 of 38
  • 14. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2014: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Έστω μια συνάρτηση 𝑓 που είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (𝛼, 𝑥0) ∪ (𝑥0, 𝛽). Ισχύει η ισοδυναμία lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = −∞ ⇔ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ lim 𝑥→𝑥− 0 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→𝑥+ 0 𝑓(𝑥) = −∞ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ r Σ r Λ 2. Αν 0 < 𝛼 < 1, τότε lim 𝑥→−∞ 𝛼𝑥 = 0. r Σ r Λ 3. Έστω μια συνάρτηση 𝑓 συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν η 𝑓 είναι κυρτή στο Δ, τότε υποχρεωτικά 𝑓″(𝑥) > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. r Σ r Λ 4. Αν ορίζονται οι συναρτήσεις 𝑓 ∘𝑔 και 𝑔∘𝑓, τότε πάντοτε ισχύει 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑔 ∘ 𝑓. r Σ r Λ 5. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (𝛼, 𝛽), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Α, Β), όπου Α = lim 𝑥→𝛼+ 𝑓(𝑥) και Β = lim 𝑥→𝛽− 𝑓(𝑥) r Σ r Λ 6. (ημ𝑥)′ = − συν𝑥, 𝑥 ∈ ℝ r Σ r Λ 7. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, τότε είναι και 1 − 1 στο διάστημα αυτό. r Σ r Λ 8. Ισχύει lim 𝑥→0 ημ𝑥 𝑥 = 0. r Σ r Λ 9. Ισχύει (συν𝑥)′ = ημ𝑥, για κάθε 𝑥 ∈ ℝ. r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 13 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 14 of 38
  • 15. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2013: ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Αν lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) < 0, τότε 𝑓(𝑥) < 0 κοντά στο 𝑥0. r Σ r Λ 2. Ισχύει ότι: | ημ𝑥| ≤ |𝑥| για κάθε 𝑥 ∈ ℝ. r Σ r Λ 3. Ισχύει ότι: lim 𝑥→0 συν𝑥 − 1 𝑥 = 1. r Σ r Λ 4. Μια συνεχής συνάρτηση 𝑓 διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της 𝑓 χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. r Σ r Λ 5. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι 1 − 1 στο πεδίο ορισμού της, τότε υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της 𝑓 με την ίδια τεταγμένη. r Σ r Λ 6. Αν lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = −∞, τότε lim 𝑥→𝑥0 (−𝑓(𝑥)) = +∞. r Σ r Λ 7. Για δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 παραγωγίσιμες στο 𝑥0 ισχύει: (𝑓𝑔)′(𝑥0) = 𝑓′(𝑥0)𝑔(𝑥0) − 𝑓(𝑥0)𝑔′(𝑥0) r Σ r Λ 8. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν μηδενίζεται σε αυτό, τότε η 𝑓 διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ. r Σ r Λ 9. Οι γραφικές παραστάσεις 𝐶 και 𝐶′ των συναρτήσεων 𝑓 και 𝑓−1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία 𝑦 = 𝑥. r Σ r Λ 10. Αν 0 < 𝛼 < 1 τότε lim 𝑥→+∞ 𝛼𝑥 = +∞ r Σ r Λ 11. Αν μια συνάρτηση 𝑓 δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο 𝑥0, τότε η 𝑓 είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0. r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 14 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 15 of 38
  • 16. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2012: ημερήσια & εσπερινά Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Μια συνάρτηση 𝑓 είναι 1 − 1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο 𝑦 του συνόλου τιμών της η εξίσωση 𝑓(𝑥) = 𝑦 έχει ακριβώς μία λύση ως προς 𝑥. r Σ r Λ 2. Αν είναι lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = +∞, τότε 𝑓(𝑥) < 0 κοντά στο 𝑥0. r Σ r Λ 3. Ισχύει: (σφ𝑥)′ = 1 ημ2 𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ − { 𝑥∶ ημ𝑥 = 0 }. r Σ r Λ 4. Αν δύο συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 είναι ορισμένες και συνεχείς σε ένα διάστημα Δ και ισχύει ότι 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) για κάθε εσωτερικό σημείο 𝑥 του Δ, τότε ισχύει πάντα 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) για κάθε 𝑥 ∈ Δ. r Σ r Λ 5. Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο. r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 15 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 16 of 38
  • 17. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2012: επαναληπτικες ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης −𝑓 είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα 𝑥′𝑥, της γραφικής παράστασης της 𝑓. r Σ r Λ 2. Αν είναι 0 < 𝛼 < 1, τότε lim 𝑥→+∞ 𝛼𝑥 = +∞. r Σ r Λ 3. Αν μια συνάρτηση 𝑓 δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο 𝑥0, τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0. r Σ r Λ 4. Για την πολυωνυμική συνάρτηση 𝑃(𝑥) = 𝛼𝜈𝑥𝜈 + 𝛼𝜈−1𝑥𝜈−1 + ⋯ + 𝛼0 με 𝛼𝜈 ≠ 0 ισχύει: lim 𝑥→+∞ 𝑃(𝑥) = 𝛼0. r Σ r Λ 5. Αν μια συνάρτηση 𝑓 δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο 𝑥0, τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0. r Σ r Λ 6. Έστω μια συνάρτηση 𝑓 παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (𝛼, 𝛽), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του 𝑥0, στο οποίο όμως η 𝑓 είναι συνεχής. Αν 𝑓′(𝑥) > 0 στο (𝛼, 𝑥0) και 𝑓′(𝑥) < 0 στο (𝑥0, 𝛽), τότε το 𝑓(𝑥0) είναι τοπικό ελάχιστο της 𝑓. r Σ r Λ 7. Αν είναι lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = −∞, τότε lim 𝑥→𝑥0 |𝑓(𝑥)| = +∞. r Σ r Λ 8. Ισχύει (εφ𝑥)′ = − 1 συν2 𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ − { 𝑥 | συν𝑥 = 0 } r Σ r Λ 9. Αν οι συναρτήσεις 𝑓 και 𝑔 είναι παραγωγίσιμες στο 𝑥0 και 𝑔(𝑥0) ≠ 0, τότε και η συνάρτηση 𝑓 𝑔 είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0 και ισχύει: 􏿶 𝑓 𝑔 􏿹 ′ (𝑥0) = 𝑓′(𝑥0)𝑔(𝑥0) − 𝑓(𝑥0)𝑔′(𝑥)) [𝑔(𝑥0)]2 r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 16 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 17 of 38
  • 18. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2011: ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Μια συνάρτηση 𝑓 ∶ 𝐴 → ℝ λέγεται συνάρτηση 1 − 1, όταν για οποιαδήποτε 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴 ισχύει η συνεπαγωγή: αν 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2) r Σ r Λ 2. Για κάθε 𝑥 ∈ ℝ𝟙 = ℝ − {𝑥| συν𝑥 = 0} ισχύει: (εφ𝑥)′ = − 1 συν2 𝑥 . r Σ r Λ 3. Ισχύει ότι: lim 𝑥→+∞ ημ𝑥 𝑥 = 1. r Σ r Λ 4. Οι γραφικές παραστάσεις 𝐶 και 𝐶′ των συναρτήσεων 𝑓 και 𝑓−1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία 𝑦 = 𝑥 που διχοτομεί τις γωνίες 𝑥𝑂𝑦 και 𝑥′𝑂𝑦′. r Σ r Λ 5. Μια συνάρτηση 𝑓 με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο 𝑥0 ∈ 𝐴 (ολικό) μέγιστο το 𝑓(𝑥0), όταν 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0) για κάθε 𝑥 ∈ 𝐴. r Σ r Λ 6. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, τότε είναι και 1 − 1 στο διάστημα αυτό. r Σ r Λ 7. Αν lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = 0 και 𝑓(𝑥) > 0 κοντά στο 𝑥0, τότε lim𝑥→𝑥0 1 𝑓(𝑥) = +∞. r Σ r Λ 8. Κάθε συνάρτηση 𝑓 που είναι συνεχής σε ένα σημείο 𝑥0 του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. r Σ r Λ 9. Αν 𝑓, 𝑔, ℎ είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ℎ ∘ (𝑔 ∘ 𝑓), τότε ορίζεται και η (ℎ ∘ 𝑔) ∘ 𝑓 και ισχύει ℎ ∘ (𝑔 ∘ 𝑓) = (ℎ ∘ 𝑔) ∘ 𝑓. r Σ r Λ 10. lim 𝑥→0 συν𝑥 − 1 𝑥 = 1 r Σ r Λ 11. Αν 0 < 𝛼 < 1, τότε lim 𝑥→−∞ 𝛼𝑥 = 0 r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 17 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 18 of 38
  • 19. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2010: ημερήσια & εσπερινά Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Έστω συνάρτηση 𝑓 συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν η 𝑓 είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του Δ. r Σ r Λ 2. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (𝛼, 𝛽), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Α, Β), όπου: Α = lim 𝑥→𝛼+ 𝑓(𝑥) και 𝐵 = lim 𝑥→𝛽− 𝑓(𝑥) r Σ r Λ 3. Ισχύει: (συν𝑥)′ = ημ𝑥, 𝑥 ∈ ℝ. r Σ r Λ 4. Αν lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) < 0, τότε 𝑓(𝑥) < 0 κοντά στο 𝑥0. r Σ r Λ 5. Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης 𝑓 είναι το σύνολο 𝐴 των τετμημένων των σημείων της γραφικής παράστασης 𝐶𝑓 της συνάρτησης. r Σ r Λ 6. Για κάθε συνάρτηση 𝑓 παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και για κάθε πραγματικό αριθμό 𝑐, ισχύει ότι: (𝑐 ⋅ 𝑓(𝑥))′ = 𝑓′(𝑥), για κάθε 𝑥 ∈ Δ. r Σ r Λ 7. Το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης 𝑓 με πεδίο ορισμού το κλειστό διάστημα [𝑚, 𝑀], όπου 𝑚 η ελάχιστη και 𝑀 η μέγιστη τιμή της. r Σ r Λ 8. Αν lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = +∞, τότε 𝑓(𝑥) < 0 κοντά στο 𝑥0. r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 18 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 19 of 38
  • 20. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2010: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Αν 𝑓(𝑥) = 𝛼𝑥, 𝛼 > 0, τότε ισχύει (𝛼𝑥)′ = 𝑥𝛼𝑥−1 r Σ r Λ 2. Αν ορίζονται οι συναρτήσεις 𝑓 ∘ 𝑔 και 𝑔 ∘ 𝑓, τότε πάντοτε ισχύει: 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑔 ∘ 𝑓. r Σ r Λ 3. Αν lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = +∞ ή −∞, τότε lim 𝑥→𝑥0 1 𝑓(𝑥) = 0. r Σ r Λ 4. Για κάθε συνάρτηση 𝑓 η γραφική παράσταση της |𝑓| αποτελείται από τα τμήματα της 𝐶𝑓, που βρίσκονται πάνω από τον άξονα 𝑥′𝑥, και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα 𝑥′𝑥, των τμημάτων της 𝐶𝑓, που βρίσκονται κάτω από τον άξονα 𝑥′𝑥. r Σ r Λ 5. Αν οι συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 έχουν όριο στο 𝑥0, και ισχύει 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) κοντά στο 𝑥0, τότε ισχύει: lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) ≤ lim 𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥) r Σ r Λ 6. Αν οι συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 είναι παραγωγίσιμες στο 𝑥0 και 𝑔(𝑥0) ≠ 0, τότε και η συνάρτηση 𝑓 𝑔 είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0 και ισχύει: 􏿶 𝑓 𝑔 􏿹 ′ (𝑥0) = 𝑓(𝑥0)𝑔′(𝑥0) − 𝑓′(𝑥0)𝑔(𝑥0) 􏿮𝑔(𝑥0)􏿱 2 r Σ r Λ 7. Αν 𝛼 > 1, τότε lim 𝑥→+∞ 𝛼𝑥 = +∞ r Σ r Λ 8. Αν η συνάρτηση 𝑓 ∶ 𝐴 → ℝ είναι 1 − 1, τότε ισχύει 𝑓−1 􏿴𝑓(𝑥)􏿷 = 𝑥, 𝑥 ∈ 𝐴. r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 19 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 20 of 38
  • 21. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2009: ημερήσια & εσπερινά Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Μια συνάρτηση 𝑓 με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο 𝑥0 ∈ 𝐴, όταν 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥0) για κάθε 𝑥 ∈ 𝐴. r Σ r Λ 2. lim 𝑥→0 συν𝑥 − 1 𝑥 = 1 r Σ r Λ 3. Κάθε συνάρτηση 𝑓 συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. r Σ r Λ 4. lim 𝑥→0 ημ𝑥 𝑥 = 0 r Σ r Λ 5. Αν μία συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [𝛼, 𝛽] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (𝛼, 𝛽), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον 𝜉 ∈ (𝛼, 𝛽) τέτοιο, ώστε: 𝑓′(𝜉) = 𝑓(𝛽) − 𝑓(𝛼) 𝛽 − 𝛼 r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 20 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 21 of 38
  • 22. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2009: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Η συνάρτηση 𝑓 είναι 1 − 1, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της 𝑓 το πολύ σε ένα σημείο. r Σ r Λ 2. Αν lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = 0 και 𝑓(𝑥) < 0 κοντά στο 𝑥0 τότε lim 𝑥→𝑥0 1 𝑓(𝑥) = +∞ r Σ r Λ 3. Έστω η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = εφ𝑥. Η συνάρτηση 𝑓 είναι παραγωγίσιμη στο ℝ1 = ℝ − { 𝑥| συν𝑥 = 0 } και ισχύει 𝑓′(𝑥) = − 1 συν2 𝑥 r Σ r Λ 4. Κάθε συνάρτηση που είναι 1 − 1 είναι γνησίως μονότονη. r Σ r Λ 5. Ισχύει: lim 𝑥→0 ημ𝑥 𝑥 = 0. r Σ r Λ 6. Η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = ln|𝑥|, 𝑥 ∈ ℝ∗, είναι παραγωγίσιμη στο ℝ∗ και ισχύει (ln|𝑥|) ′ = 1 𝑥 . r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 21 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 22 of 38
  • 23. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2008: ημερήσια & εσπερινά Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Αν μια συνάρτηση 𝑓 ∶ 𝐴 → ℝ είναι 1 − 1, τότε για την αντίστροφη συνάρτηση 𝑓−1 ισχύει: 𝑓−1 􏿴𝑓(𝑥)􏿷 = 𝑥, 𝑥 ∈ 𝐴 και 𝑓 􏿴𝑓−1(𝑦)􏿷 = 𝑦, 𝑦 ∈ 𝑓(𝐴) r Σ r Λ 2. Μια συνεχής συνάρτηση 𝑓 διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της 𝑓 χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. r Σ r Λ 3. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ΄ ανάγκη θα ισχύει 𝑓″(𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈ ℝ r Σ r Λ 4. Για κάθε 𝑥 ∈ ℝ ισχύει: (ημ𝑥)′ = − συν𝑥. r Σ r Λ 5. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν μηδενίζεται σε αυτό, τότε αυτή ή θα είναι θετική για κάθε 𝑥 ∈ Δ ή είναι αρνητική για κάθε 𝑥 ∈ Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ. r Σ r Λ 6. Αν μία συνάρτηση 𝑓 είναι: • συνεχής στο κλειστό διάστημα [𝛼, 𝛽] • παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (𝛼, 𝛽) και • 𝑓(𝛼) = 𝑓(𝛽) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 𝜉 ∈ (𝛼, 𝛽) τέτοιο, ώστε: 𝑓′(𝜉) = 0. r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 22 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 23 of 38
  • 24. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2008: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1 − 1, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες. r Σ r Λ 2. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι κοίλη σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της 𝑓 σε κάθε σημείο του Δ, βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφή τους. r Σ r Λ 3. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (𝛼, 𝑥0) ∪ (𝑥0, 𝛽) και 𝑙 ένας πραγματικός αριθμός. Τότε ισχύει η ισοδυναμία: lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = 𝑙 ⇔ lim 𝑥→𝑥0 (𝑓(𝑥) − 𝑙) = 0 r Σ r Λ 4. Δίνονται οι συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 με κοινό πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Τότε πάντα ισχύει: lim 𝑥→𝑥0 􏿴𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)􏿷 = lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) ⋅ lim 𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥). r Σ r Λ 5. Έστω μια συνάρτηση 𝑓 που είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν 𝑓′(𝑥) < 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η 𝑓 είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. r Σ r Λ 6. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της 𝑓, σε κάθε σημείο του Δ, βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσταση της 𝑓 με εξαίρεση το σημείο επαφή τους. r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 23 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 24 of 38
  • 25. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2007: ημερήσια & εσπερινά Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Έστω 𝑓 μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο 𝑥 του Δ. Αν η συνάρτηση 𝑓 είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, τότε 𝑓′(𝑥) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο 𝑥 του Δ. r Σ r Λ 2. Αν η συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής στο 𝑥0 και η συνάρτηση 𝑔 είναι συνεχής στο 𝑥0, τότε η σύνθεση τους 𝑔 ∘ 𝑓 είναι συνεχής στο 𝑥0. r Σ r Λ 3. Αν 𝛼 > 1 τότε lim 𝑥→−∞ 𝛼𝑥 = 0 r Σ r Λ 4. Μια συνάρτηση 𝑓 είναι 1 − 1, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία (παράλληλη στον 𝑥′𝑥 ) τέμνει τη γραφική παράστασή της το πολύ σε ένα σημείο. r Σ r Λ 5. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης 𝑓 στο 𝑥0 ∈ ℝ και lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) < 0, τότε 𝑓(𝑥) < 0 κοντά στο 𝑥0. r Σ r Λ 6. Αν 𝑓 είναι συνεχής συνάρτηση στο [𝛼, 𝛽], τότε η 𝑓 παίρνει στο [𝛼, 𝛽] μια μέγιστη τιμή 𝑀 και μια ελάχιστη τιμή 𝑚. r Σ r Λ 7. Έστω η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = ημ𝑥 με πεδίο ορισμού το ℝ. Τότε, 𝑓′(𝑥) = − συν𝑥, για κάθε 𝑥 ∈ ℝ. r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 24 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 25 of 38
  • 26. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2007: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Η εικόνα 𝑓(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης 𝑓 είναι διάστημα. r Σ r Λ 2. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (𝛼, 𝛽), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Α, Β) όπου Α = lim 𝑥→𝛼+ 𝑓(𝑥) και Β = lim 𝑥→𝛽− 𝑓(𝑥). r Σ r Λ 3. Έστω δύο συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι 𝑓, 𝑔 είναι συνεχείς στο Δ και 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) για κάθε εσωτερικό σημείο 𝑥 του Δ, τότε ισχύει 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) για κάθε 𝑥 ∈ Δ. r Σ r Λ 4. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης −𝑓 είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα 𝑥′𝑥, της γραφικής παράστασης της 𝑓. r Σ r Λ 5. Αν 𝑓, 𝑔, ℎ είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ℎ ∘ (𝑔 ∘ 𝑓), τότε ορίζεται και η (ℎ ∘ 𝑔) ∘ 𝑓 και ισχύει ℎ ∘ (𝑔 ∘ 𝑓) = (ℎ ∘ 𝑔) ∘ 𝑓. r Σ r Λ 6. Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 έχουν ασύμπτωτες. r Σ r Λ 7. Ισχύει: lim 𝑥→0 συν𝑥 − 1 𝑥 = 1. r Σ r Λ 8. Αν μια συνάρτηση 𝑓 δεν είναι συνεχής σε ένα εσωτερικό σημείο 𝑥0 ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της, τότε η 𝑓 δεν είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0. r Σ r Λ 9. Αν οι συναρτήσεις 𝑓 και 𝑔 είναι παραγωγίσιμες στο 𝑥0 και 𝑔(𝑥0) ≠ 0, τότε και η συνάρτηση 𝑓 𝑔 είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0 και ισχύει: 􏿶 𝑓 𝑔 􏿹 ′ (𝑥0) = 𝑓′(𝑥0)𝑔(𝑥0) − 𝑓(𝑥0)𝑔′(𝑥0) [𝑔(𝑥0)]2 r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 25 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 26 of 38
  • 27. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2006: ημερήσια & εσπερινά Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Αν υπάρχει το lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) > 0, τότε 𝑓(𝑥) > 0 κοντά στο 𝑥0. r Σ r Λ 2. Η εικόνα 𝑓(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης 𝑓 είναι διάστημα. r Σ r Λ 3. Ισχύει ο τύπος (3𝑥)′ = 𝑥 ⋅ 3𝑥−1, για κάθε 𝑥 ∈ ℝ. r Σ r Λ 4. Έστω 𝑓 πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Δ και 𝑥0 ∈ Δ. Έστω επίσης 𝑓(𝑥) ≠ 0 για κάθε 𝑥 ∈ Δ. Αν lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = +∞ τότε lim 𝑥→𝑥0 1 𝑓(𝑥) = −∞. r Σ r Λ 5. Αν μια πραγματική συνάρτηση 𝑓 δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο 𝑥0, τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0. r Σ r Λ 6. Έστω η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = √𝑥 με πεδίο ορισμού Δ = [0, +∞), τότε 𝑓′(𝑥) = 1 √𝑥 για κάθε 𝑥 ∈ (0, +∞). r Σ r Λ 7. Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim 𝑥→𝑥+ 0 𝑓(𝑥), lim 𝑥→𝑥− 0 𝑓(𝑥) είναι +∞ ή −∞, τότε η ευθεία 𝑥 = 𝑥0 λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της 𝑓. r Σ r Λ 8. Έστω δύο συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν • οι 𝑓, 𝑔 είναι συνεχείς στο Δ και • 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) για κάθε εσωτερικό σημείο 𝑥 του Δ, τότε υπάρχει σταθερά 𝑐 τέτοια, ώστε για κάθε 𝑥 ∈ Δ ισχύει: 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝑐. r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 26 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 27 of 38
  • 28. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2006: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Αν οι συναρτήσεις 𝑓 και 𝑔 είναι παραγωγίσιμες στο 𝑥0 και 𝑔(𝑥0) ≠ 0, τότε η συνάρτηση 𝑓 𝑔 είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0 και ισχύει: 􏿶 𝑓 𝑔 􏿹 ′ (𝑥0) = 𝑓(𝑥0)𝑔′(𝑥0) − 𝑓′(𝑥0)𝑔(𝑥0) [𝑔(𝑥0)]2 r Σ r Λ 2. Για κάθε 𝑥 ≠ 0 ισχύει [ln|𝑥|] ′ = 1 𝑥 . r Σ r Λ 3. Μια συνάρτηση 𝑓 ∶ 𝐴 → ℝ είναι 1 − 1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο 𝑦 του συνόλου τιμών της η εξίσωση 𝑦 = 𝑓(𝑥) έχει ακριβώς μία λύση ως προς 𝑥. r Σ r Λ 4. Έστω η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = εφ𝑥. Η συνάρτηση 𝑓 είναι παραγωγίσιμη στο ℝ1 = ℝ − { 𝑥| συν𝑥 = 0 } και ισχύει 𝑓′(𝑥) = − 1 συν2 𝑥 r Σ r Λ 5. Αν lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) < 0, τότε 𝑓(𝑥) < 0 κοντά στο 𝑥0. r Σ r Λ 2005: ημερήσια & εσπερινά Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Αν η 𝑓 είναι συνεχής στο [𝛼, 𝛽] με 𝑓(𝛼) < 0 και υπάρχει 𝜉 ∈ (𝛼, 𝛽) ώστε 𝑓(𝜉) = 0, τότε κατ΄ ανάγκη 𝑓(𝛽) > 0. r Σ r Λ 2. Αν υπάρχει το lim 𝑥→𝑥0 􏿴𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)􏿷, τότε κατ΄ ανάγκη υπάρχουν τα lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) και lim 𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥). r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 27 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 28 of 38
  • 29. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 3. Αν η 𝑓 έχει αντίστροφη συνάρτηση 𝑓−1 και η γραφική παράσταση της 𝑓 έχει κοινό σημείο Α με την ευθεία 𝑦 = 𝑥, τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της 𝑓−1. r Σ r Λ 4. Αν lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = 0 και 𝑓(𝑥) > 0 κοντά στο 𝑥0, τότε lim 𝑥→𝑥0 1 𝑓(𝑥) = +∞. r Σ r Λ 5. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σε αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε 𝑥 ∈ Δ ή είναι αρνητική για κάθε 𝑥 ∈ Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ. r Σ r Λ 6. Μία συνάρτηση 𝑓 ∶ 𝐴 → ℝ λέγεται συνάρτηση 1 − 1, όταν για οποιαδήποτε 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴 ισχύει η συνεπαγωγή: αν 𝑥1 ≠ 𝑥2, τότε 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2). r Σ r Λ 7. Μία συνάρτηση 𝑓 με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο 𝑥0 ∈ Α (ολικό) ελάχιστο, το 𝑓(𝑥0), όταν 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0) για κάθε 𝑥 ∈ 𝐴. r Σ r Λ 8. Αν οι συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 έχουν όριο στο 𝑥0 και ισχύει 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) κοντά στο 𝑥0, τότε lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) > lim 𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥). r Σ r Λ 9. Αν μία συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [𝛼, 𝛽] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (𝛼, 𝛽) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 𝜉 ∈ (𝛼, 𝛽) τέτοιο, ώστε: 𝑓′(𝜉) = 𝑓(𝛽) − 𝑓(𝛼) 𝛽 − 𝛼 . r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 28 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 29 of 38
  • 30. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2005: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ, στα οποία η 𝑓 δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το 0, λέγονται κρίσιμα σημεία της 𝑓 στο διάστημα Δ. r Σ r Λ 2. Έστω μία συνάρτηση 𝑓 παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (𝛼, 𝛽) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του 𝑥0. Αν η 𝑓 είναι κυρτή στο (𝛼, 𝑥0) και κοίλη στο (𝑥0, 𝛽) ή αντιστρόφως, τότε το σημείο 𝐴(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) είναι υποχρεωτικά σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της 𝑓. r Σ r Λ 3. Αν για δύο συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 ορίζονται οι 𝑓 ∘ 𝑔 και 𝑔 ∘ 𝑓, τότε είναι υποχρεωτικά 𝑓 ∘ 𝑔 ≠ 𝑔 ∘ 𝑓. r Σ r Λ 4. Αν 𝑥 ≠ 0, τότε ισχύει lim 𝑥→0 1 𝑥2 = −∞. r Σ r Λ 5. Έστω η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = εφ𝑥. Η συνάρτηση 𝑓 είναι παραγωγίσιμη στο ℝ1 = ℝ − { 𝑥| συν𝑥 = 0 } και ισχύει: 𝑓′(𝑥) = 1 συν2 𝑥 . r Σ r Λ 6. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης 𝑓 στο 𝑥0 ∈ ℝ, τότε: lim 𝑥→𝑥0 􏿴𝑘𝑓(𝑥)􏿷 = 𝑘 ⋅ lim 𝑥→𝑥0 (𝑓(𝑥)), για κάθε σταθερά 𝑘 ∈ ℝ. r Σ r Λ 7. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης 𝑓 στο 𝑥0, τότε ισχύει lim 𝑥→𝑥0 |𝑓(𝑥)| = | lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥)|. r Σ r Λ 8. Ισχύει (ημ𝑥)′ = − συν𝑥. r Σ r Λ 9. Αν 𝑓 είναι συνεχής συνάρτηση στο [𝛼, 𝛽], τότε η 𝑓 παίρνει στο [𝛼, 𝛽] μια μέγιστη τιμή 𝑀 και μια ελάχιστη τιμή 𝑚. r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 29 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 30 of 38
  • 31. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2004: ημερήσια & εσπερινά Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = 𝑙, αν και μόνο αν lim 𝑥→𝑥− 0 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→𝑥+ 0 𝑓(𝑥) = 𝑙 r Σ r Λ 2. Αν οι συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 είναι παραγωγίσιμες στο 𝑥0, τότε η συνάρτηση 𝑓 ⋅ 𝑔 είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0 και ισχύει: (𝑓 ⋅ 𝑔)′(𝑥0) = 𝑓′(𝑥0) ⋅ 𝑔′(𝑥0) r Σ r Λ 3. Έστω μια συνάρτηση 𝑓, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν 𝑓′(𝑥) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο 𝑥 του Δ, τότε η 𝑓 είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ. r Σ r Λ 4. Έστω δύο συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι 𝑓, 𝑔 είναι συνεχείς στο Δ και 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) για κάθε εσωτερικό σημείο 𝑥 του Δ, τότε υπάρχει σταθερά 𝑐 τέτοια, ώστε για κάθε 𝑥 ∈ Δ να ισχύει: 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝑐. r Σ r Λ 5. Μία συνάρτηση 𝑓 λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε 𝑥1, 𝑥2 ∈ Δ με 𝑥1 < 𝑥2 ισχύει: 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2). r Σ r Λ 6. Έστω η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = √𝑥. Η συνάρτηση 𝑓 είναι παραγωγίσιμη στο (0, +∞) και ισχύει: 𝑓′(𝑥) = 2 √𝑥 . r Σ r Λ 7. Ο συντελεστής διεύθυνσης, 𝜆, της εφαπτομένης στο σημείο 𝐴(𝑥0, 𝑓(𝑥0)), της γραφικής παράστασης 𝐶𝑓 μιας συνάρτησης 𝑓, παραγωγίσιμης στο σημείο 𝑥0 του πεδίου ορισμού της είναι 𝜆 = 𝑓′(𝑥0). r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 30 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 31 of 38
  • 32. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2004: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Αν μία συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής σε ένα σημείο 𝑥0 του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. r Σ r Λ 2. Αν 𝑓, 𝑔 είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού ℝ και ορίζονται οι συνθέσεις 𝑓 ∘ 𝑔 και 𝑔 ∘ 𝑓, τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες. r Σ r Λ 3. Οι γραφικές παραστάσεις 𝐶 και 𝐶′ των συναρτήσεων 𝑓 και 𝑓−1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία 𝑦 = 𝑥 που διχοτομεί τις γωνίες 𝑥𝑂𝑦 και 𝑥′𝑂𝑦′. r Σ r Λ 4. Αν υπάρχει το όριο της 𝑓 στο 𝑥0, τότε lim 𝑥→𝑥0 𝑘 √𝑓(𝑥) = 𝑘 √ lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥), εφόσον 𝑓(𝑥) ≥ 0 κοντά στο 𝑥0, με 𝑘 ∈ ℕ και 𝑘 ≥ 2. r Σ r Λ 5. Έστω η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = συν𝑥, όπου 𝑥 ∈ ℝ. Η συνάρτηση 𝑓 είναι παραγωγίσιμη και ισχύει 𝑓′(𝑥) = − ημ𝑥. r Σ r Λ 6. Έστω μία συνάρτηση 𝑓 ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η 𝑓 είναι συνεχής στο Δ και 𝑓′(𝑥) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο 𝑥 του Δ, τότε η 𝑓 είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. r Σ r Λ 7. Έστω μία συνάρτηση 𝑓, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν 𝑓′(𝑥) < 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο 𝑥 του Δ, τότε η 𝑓 είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. r Σ r Λ 8. Αν μία συνάρτηση 𝑓 είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 𝑥0 του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. r Σ r Λ 9. Έστω μία συνάρτηση 𝑓 συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Θα λέμε ότι: Η συνάρτηση 𝑓 στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η 𝑓′ είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ. r Σ r Λ 10. Έστω μια 1 − 1 συνάρτηση 𝑓 και 𝐶, 𝐶′ οι γραφικές παραστάσεις των 𝑓 και 𝑓−1 στο ίδιο σύστημα αξόνων. Τότε οι γραφικές παραστάσεις 𝐶 και 𝐶′ των συναρτήσεων 𝑓 και 𝑓−1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία 𝑦 = 𝑥. r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 31 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 32 of 38
  • 33. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2003: ημερήσια & εσπερινά Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Έστω μία συνάρτηση 𝑓 συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν 𝑓″(𝑥) > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο 𝑥 του Δ, τότε η 𝑓 είναι κυρτή στο Δ. r Σ r Λ 2. Αν μια συνάρτηση 𝑓 είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της 𝑓 σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση. r Σ r Λ 3. Έστω μια συνάρτηση 𝑓 ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και 𝑥0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η 𝑓 είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0 και 𝑓′(𝑥0) = 0, τότε η 𝑓 παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο 𝑥0. r Σ r Λ 4. Αν δύο μεταβλητά μεγέθη 𝑥, 𝑦 συνδέονται με τη σχέση 𝑦 = 𝑓(𝑥), όταν 𝑓 είναι μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο 𝑥0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του 𝑦 ως προς το 𝑥 στο σημείο 𝑥0 την παράγωγο 𝑓′(𝑥0). r Σ r Λ 5. Έστω μία συνάρτηση 𝑓 παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (𝛼, 𝛽), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του 𝑥0, στο οποίο όμως η 𝑓 είναι συνεχής. Αν 𝑓′(𝑥) > 0 στο (𝛼, 𝑥0) και 𝑓′(𝑥) < 0 στο (𝑥0, 𝛽), τότε το 𝑓(𝑥0) είναι τοπικό ελάχιστο της 𝑓. r Σ r Λ 6. Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων 𝑓 και 𝑔 στο 𝑥0, τότε ισχύει: lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) lim 𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥) εφόσον lim 𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥) ≠ 0. r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 32 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 33 of 38
  • 34. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2003: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά + ομογενείς Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Έστω μία συνάρτηση 𝑓 παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (𝛼, 𝛽), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του 𝑥0, στο οποίο όμως η 𝑓 είναι συνεχής. Αν 𝑓′(𝑥) > 0 στο (𝛼, 𝑥0) και 𝑓′(𝑥) < 0 στο (𝑥0, 𝛽), τότε το 𝑓(𝑥0) είναι τοπικό ελάχιστο της 𝑓. r Σ r Λ 2. Μία συνάρτηση 𝑓∶ 𝐴 → ℝ είναι συνάρτηση 1 − 1, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴 ισχύει η συνεπαγωγή: αν 𝑥1 = 𝑥2, τότε 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) r Σ r Λ 2002: ημερήσια & εσπερινά Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Αν η συνάρτηση 𝑓 είναι ορισμένη στο [𝛼, 𝛽] και συνεχής στο (𝛼, 𝛽], τότε η 𝑓 παίρνει πάντοτε στο [𝛼, 𝛽] μία μέγιστη τιμή. r Σ r Λ 2. Κάθε συνάρτηση, που είναι 1 − 1 στο πεδίο ορισμού της, είναι γνησίως μονότονη r Σ r Λ 3. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης 𝑓 στο 𝑥0 και lim 𝑥→𝑥0 |𝑓(𝑥)| = 0, τότε lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = 0 r Σ r Λ 4. Αν lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) > 0, τότε 𝑓(𝑥) > 0 κοντά στο 𝑥0. r Σ r Λ 5. Αν μία συνάρτηση 𝑓 είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 𝑥0, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. r Σ r Λ 6. Αν μία συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής σε ένα σημείο 𝑥0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. r Σ r Λ 7. Αν μία συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει 𝑓′(𝑥) = 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο 𝑥 του Δ, τότε η 𝑓 είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 33 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 34 of 38
  • 35. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 8. Αν μία συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει 𝑓′(𝑥) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο 𝑥 του Δ, τότε η 𝑓 είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. r Σ r Λ 9. Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων 𝑓 και 𝑔 στο 𝑥0, τότε ισχύει: lim 𝑥→𝑥) 􏿴𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)􏿷 = lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) + lim 𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥) r Σ r Λ 10. Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων 𝑓 και 𝑔 στο 𝑥0, τότε ισχύει: lim 𝑥→𝑥) 􏿴𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)􏿷 = lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) − lim 𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥) r Σ r Λ 2002: επαναληπτικές ημερήσια & εσπερινά Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Η εικόνα 𝑓(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης 𝑓 είναι διάστημα. r Σ r Λ 2. Αν η συνάρτηση 𝑓 είναι παραγωγίσιμη στο ℝ και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα [𝛼, 𝛽], στο οποίο η 𝑓 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle. r Σ r Λ 3. Έστω συνάρτηση 𝑓 ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα [𝛼, 𝛽] και σημείο 𝑥0 ∈ [𝛼, 𝛽] στο οποίο η 𝑓 παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Τότε πάντα ισχύει ότι 𝑓′(𝑥0) = 0. r Σ r Λ 4. Αν η συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής στο διάστημα [𝛼, 𝛽] και υπάρχει 𝑥0 ∈ (𝛼, 𝛽) τέτοιο ώστε 𝑓(𝑥0) = 0, τότε κατ΄ ανάγκη θα ισχύει 𝑓(𝛼) ⋅ 𝑓(𝛽) < 0. r Σ r Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 34 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 35 of 38
  • 36. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2000: ημερήσιο λύκειο Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Αν η 𝑓 είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0, τότε η 𝑓′ είναι πάντοτε συνεχής στο 𝑥0. r Σ r Λ 2. Αν η 𝑓 δεν είναι συνεχής στο 𝑥0, τότε η 𝑓 είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0. r Σ r Λ 3. Αν η 𝑓 έχει δεύτερη παράγωγο στο 𝑥0, τότε η 𝑓′ είναι συνεχής στο 𝑥0. r Σ r Λ ▶Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της στήλης Α και δίπλα τον αριθμό της στήλης Β που αντιστοιχεί στην εφαπτομένη της κάθε συνάρτησης στο σημείο 𝑥0. Στήλη Α Στήλη Β α. 𝑓(𝑥) = 3𝑥3, 𝑥0 = 1 1. 𝑦 = −2𝑥 + 𝜋 β. 𝑓(𝑥) = ημ2𝑥, 𝑥0 = 𝜋 2 2. 𝑦 = 1 4 𝑥 + 1 γ. 𝑓(𝑥) = 3|𝑥|, 𝑥0 = 0 3. 𝑦 = 9𝑥 − 6 δ. 𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑥0 = 4 4. 𝑦 = −9𝑥 + 5 5. δεν υπάρχει 2000: επαναληπτικές ημερήσιο λύκειο Ερωτήσεις Απαντήσεις 1. Η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝑒1−𝑥 είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. r Σ r Λ 2. Η συνάρτηση 𝑓 με 𝑓′(𝑥) = −2 ημ𝑥 + 1 ημ2 𝑥 + 3, όπου 𝑥 ∈ 􏿯 𝜋 2 , 𝜋􏿸 είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό. r Σ r Λ 3. Αν 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) + 3 για κάθε 𝑥 ∈ Δ, τότε η συνάρτηση ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. r Σ r Λ © 2o ΓΕΛ Καματερού 35 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 36 of 38
  • 37. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Απαντήσεις 2020 2020(Ε) 2019 2019(Ε) 2018 2018(Ε) 1. Λ 1. Λ 1. Λ 1.Σ 1. Λ 1. Λ 2. Λ 2. Λ 2. Λ 2.Σ 2. Λ 2. Σ 3. Σ 3. Λ 3.Σ 3. Λ 3. Σ 4. Σ 4. Λ 4.Σ 4. Σ 4. Λ 5. Σ 5. Σ 5. Σ 1. 𝑓 → 𝑇 6. Σ 1. Λ 6. Σ 1. 𝑔 → 𝐻 1. Λ 2. Λ 2. Σ 3. Λ 3. Σ 4. Σ 4. Λ 5. Σ 2017 2017(Ε) 2016 2016(Ε) 2015 2015(Ε) 1. Λ 1. Λ 1. Σ 1. Λ 1. Λ 1. Σ 2. Λ 2. Λ 2. Λ 2. Λ 2. Λ 2. Λ 3. Σ 3. Σ 3. Σ 3. Σ 3. Σ 3. Λ 4. Λ 4. Λ 4. Σ 4. Λ 4. Λ 5. Σ 1. 4 5. Λ 1. Σ 5. Λ 6. Σ 2. Σ 6. Σ 7. Λ 3. Σ 4. Λ 2014 2014(Ε) 2013 2012 2012(Ε) 2011 1. Σ 1. Σ 1. Σ 1. Σ 1. Σ 1. Σ 2. Σ 2. Λ 2. Σ 2. Λ 2. Λ 2. Λ 3. Λ 3. Λ 3. Λ 3. Λ 3. Σ 3. Λ 4. Σ 4. Λ 4. Σ 4. Λ 4. Λ 4. Σ 5. Λ 5. Λ 5. Σ 5. Σ 5. Σ 6. Λ 6. Σ 6. Λ 6. Σ 7. Σ 7. Λ 7. Σ 7. Σ 8. Λ 8. Σ 8. Λ 8. Λ 9. Λ 9. Σ 9. Σ 9. Σ 10. Λ 10. Λ 11. Λ 11. Λ 2o ΓΕΛ Καματερού 36 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 37 of 38
  • 38. Μαθηματικά Προσανατολισμού Απρίλιος 2021 2010 2010(Ε) 2009 2009(E) 2008 2008(E) 1. Σ 1. Λ 1. Σ 1. Σ 1. Σ 1. Σ 2. Λ 2. Λ 2. Λ 2. Λ 2. Σ 2. Λ 3. Λ 3. Σ 3. Λ 3. Λ 3. Λ 3. Σ 4. Σ 4. Σ 4. Λ 4. Λ 4. Λ 4. Λ 5. Σ 5. Σ 5. Σ 5. Λ 5. Σ 5. Λ 6. Λ 6. Λ 6. Σ 6. Σ 6. Σ 7. Σ 7. Σ 8. Λ 8. Σ 2007 2007(Ε) 2006 2006(E) 2005 2005(E) 1. Λ 1. Λ 1. Σ 1. Λ 1. Λ 1. Σ 2. Λ 2. Σ 2. Σ 2. Σ 2. Λ 2. Λ 3. Σ 3. Λ 3. Λ 3. Σ 3. Σ 3. Λ 4. Σ 4. Σ 4. Λ 4. Λ 4. Σ 4. Λ 5. Σ 5. Σ 5. Σ 5. Σ 5. Σ 5. Σ 6. Σ 6. Λ 6. Λ 6. Σ 6. Σ 7. Λ 7. Λ 7. Λ 7. Λ 7. Σ 8. Σ 8. Σ 8. Λ 8. Λ 9. Σ 9. Σ 9. Σ 2004 2004(Ε) 2003 2003(E) 2002 2002(E) 1. Σ 1. Λ 1. Σ 1. Λ 1. Λ 1. Σ 2. Λ 2. Λ 2. Λ 2. Λ 2. Λ 2. Σ 3. Λ 3. Σ 3. Λ 3. Σ 3. Λ 4. Σ 4. Σ 4. Σ 4. Σ 4. Λ 5. Λ 5. Σ 5. Λ 5. Σ 6. Λ 6. Σ 6. Σ 6. Λ 7. Σ 7. Λ 7. Λ 8. Σ 8. Σ 9. Λ 9. Σ 10. Σ 10. Λ 2000 2000(Ε) 1. Λ 1. Λ 2. Λ 2. Σ 3. Σ 3. Λ α. 3 β. 1 γ. 5 δ. 2 2o ΓΕΛ Καματερού 37 Κωνσταντίνος Γεωργίου Μαθηματικός, MSc 27/4/21 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 38 of 38