Επιμέλεια: Κώστας Νικολετόπουλος για το lisari

1. 9ο
ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΕΤΑΡΤΗ 26 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2017
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x0
ένα εσωτερικό σημείο του Δ . Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και
είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι 0'( ) 0f x  . (Μ.10)
Α2. Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ ; (Μ.2)
Α3. Πότε το σημείο 0 0( , ( ))A x f x λέγεται σημείο καμπής μιας συνάρτησης f ;
(Μ.3)
Α4. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις γράφοντας στο φύλλο των απαντήσεων
σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό , αν η
πρόταση είναι σωστή , ή Λάθος , αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α. Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και 1f  είναι
συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x που διχοτομεί τ ις γωνίες  και   
β.Ισχύει ότι: lim
x 0
συνx -1
=1
x
.
γ. Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε
εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε η
παράγωγός της είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του Δ.
δ. Το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα μιας συνάρτησης είναι το ολικό της ελάχιστο.
ε. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R , τότε η fC δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη.
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ B
Δίνεται η συνάρτηση
2
f(x) x 2xln x  , χ>0.
Β1. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής (μον 8 )
Β2. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία , τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο
τιμών της ( μον 8 )
Β3. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 2ln x x

 

για τις διάφορες τιμές του
R (μον 9)

2. ΘΕΜΑ Γ
Εστω συνάρτηση f :(1, ) R  η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια ώστε
f(e)=1 και 2 f(x)f (x)
x 4 4x
f (x)f(x)

 

για κάθε χ>1
Γ1. Να αποδείξετε ότι
2
f(x) ln x , x 1. 
Γ2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της fC που διέρχεται από την αρχή των
αξόνων
Γ3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την fC , την εφαπτομένη
της (ε) και τις ευθείες χ=e και χ= 2
e
Γ4. Ένα σημείο Μ(χ,f(x)) κινείται πάνω στην γραφική παράσταση της f . Εστω Ν η
προβολή του Μ στον αξόνα xx . Αν το Ν απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων
με ταχύτητα 3m/sec να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της γωνίας ΝΟΜ την
χρονική στιγμή που το Μ διέρχεται από το σημείο ( e,f(e)) . ( μον 7+5+6+7)
ΘΕΜΑ Δ
Εστω συνάρτηση f : R R η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια ώστε
f(1) f (x) f(2)  για κάθε χ R . Εστω επίσης η συνάρτηση g:R R με τύπο
21
g(x) F(x) f (1) x , x R
2
     οπου F μια παράγουσα της f στο R τέτοια ώστε F(0)=0.
Να αποδείξετε ότι:
Δ1. f(1)>0
Δ2. Η εξίσωση f(x)=0 εχει μοναδική πραγματική ρίζα στο διαστημα (0,1)
Δ3.
2 2
1 1
2 f(x)dx xf(x)dx 
Δ4. Η συνάρτηση g είναι κυρτή , η ευθεία y f(0)x είναι εφαπτομένη της
γραφικής παράστασης της g και ισχύει η σχέση F(2)>2f(0)+2f(1)
( μον 5+5+5+(2+3+5))
ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ !!!!!