SlideShare a Scribd company logo
20
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Γ'  Λυκείου
Τσάτσος Χρήστος - Μαθηματικός
ΝΑΥΠΑΚΤΟΣ 2021
20
21
45+1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 1 of 19
1
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
E.1 Έστω η συνάρτηση  
2 2
x 1
x λx λ 3
f x
e x

  


, με λ   .
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
β) Να υπολογίσετε τα όρια: i)  
x
lim f x

ii)
 
x
1
lim
f x

iii)  
 
x
lim f f x

 
γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ το όριο  
x 1
limf x

είναι:
i) πραγματικός αριθμός. ii) μη πεπερασμένο.
δ) Να υπολογίσετε το όριο
     
     
8 3
3 2
x
α ημα f x f x
lim
ln α 2 f x f x 5

 
  
για τις διάφορες τιμές του πραγματικού
αριθμού α 2
  .
ε) Να υπολογίσετε το όριο    
x
lim 7 9f x μ 2 f x

 
  
 
για τις διάφορες τιμές του
πραγματικού αριθμού μ.
E.2 Δίνεται η συνάρτηση  
x
e
f x , x 1
x 1
 

.
α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
γ) Να βρείτε τις κατακόρυφες και οριζόντιες ασύμπτωτες της συνάρτησης f και να σχεδιάσετε την
γραφική της παράσταση.
δ) Να βρείτε την εφαπτομένη της f που διέρχεται από το σημείο  
A 1,0 .
ε) Δίνεται η ευθεία ζ : αx y 2021 0
   , α   . Για τις διάφορες τιμές του α, να βρείτε το πλήθος
των εφαπτομένων της f που είναι παράλληλες στην ευθεία ζ.
E.3 Δίνονται οι συναρτήσεις   x
f x e 1
  με x 0
 και  
g x 2lnx
 με x 0
 .
α) Να ορίσετε την συνάρτηση     
φ x f g x
  .
Δίνεται   2
φ x x 1
  , με x 1
 .
β) Αν ε είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της φ στο σημείο
3 3
A ,φ
2 2
 
 
 
 
 
 
,
να βρείτε την γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x
 η ευθεία ε.
γ) Να αποδείξετε ότι η φ αντιστρέφεται και να βρείτε την
1
φ
.
δ) Να υπολογίσετε το όριο  
x
lim φ x λx 2020

 
 
  για τις διάφορες τιμές του λ   .
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 2 of 19
2
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
E.4 Δίνεται η συνάρτηση  
x
x
e x
f x
e 1



, x 0
 .
α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f.
β) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα του πεδίου ορισμού της.
γ) Να αποδείξετε ότι η f έχει μια ρίζα  
0
x 1,0
  και ότι αυτή είναι η μοναδική της ρίζα.
δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης  
f x
e λ
 για τις διάφορες τιμές του λ 0
 .
E.5 Δίνεται η συνάρτηση   x
lnx
f x α
e
  με x 0
 και α 0
 .
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε: y α
 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της συνάρτησης f στο  και
στη συνέχεια ότι η f βρίσκεται πάνω από την ε για κάθε x 1
 .
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα  
0,1 .
γ) Να αποδείξετε ότι:
i) η συνάρτηση f έχει μια ρίζα  
0
x 0,1
 . ii) το 0
x είναι η μοναδική ρίζα της f.
δ) Δίνεται η συνάρτηση      
 
f x
h x f x e 1
  .
i) Να αποδείξετε ότι η h συνάρτηση εφάπτεται στον x x
 . ii) Να υπολογίσετε το όριο
 
0
x x
1
lim
h x

.
E.6 Δίνεται η συνάρτηση   3
f x αx βx 5
   , x   , της οποίας η γραφική παράσταση εφάπτεται
στην ευθεία y 18x 27
  στο σημείο  
 
A 2,f 2 .
α) Να βρείτε τους αριθμούς α και β.
Δίνονται α 2
 και β 6
  .
β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
γ) i) Να αποδείξετε ότι η f έχει μια ρίζα  
0
x 3, 2
   και ότι αυτή είναι μοναδική στο  .
ii) Να υπολογίσετε το όριο
 
0
x 0
0
x x
lim
f x x




.
E.7 Δίνεται η συνάρτηση   3 2
f x x αx β
   , x   . Αν η γραφική παράσταση της f εφάπτεται
στον άξονα x x
 στο σημείο με τετμημένη x 2
  , τότε:
α) Να βρείτε τους αριθμούς α και β.
Δίνονται α 3
 και β 4
  .
β) Να υπολογίσετε τα όρια: i)
 
 
x 2
ln x e
lim
f x


ii)
 
 
x 1
ln x 1
lim
f x


iii)
 
ν
x
f x
lim
x

, ν   .
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 3 of 19
3
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
γ) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
δ) Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ η εξίσωση 3 2
x 3x λ 4
   έχει ακριβώς
τρεις πραγματικές ρίζες.
E.8 Δίνεται η συνάρτηση  
3
2
x λx μ
f x
x 1
 


με λ, μ   για την οποία ισχύει ότι
 
x 1
4x
lim f x 3
x 1

 
  
 

 
.
α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ.
Δίνονται λ 9
  και μ 0
 .
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 2
x αx 9x α 0
    είναι ισοδύναμη με την  
f x α
 και στη
συνέχεια ότι έχει τρεις πραγματικές ρίζες για κάθε α   .
E.9 Δίνεται η συνάρτηση  
 
x
2
xe , x 0
f x
x
ln x 1 , x 0
2

 

 
   

.
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής.
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
δ) Να λύσετε την εξίσωση    
f ημx x 2f x
  .
E.10 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση  
αx
1
x
x e , x 0
f x
x β, x 0
  

 
  

, της οποίας η εφαπτομένη στο σημείο
 
 
Μ 1,f 1
  διέρχεται από το σημείο  
Λ 2, 2
  .
α) Να βρείτε τους αριθμούς α και β.
Δίνονται α 1
 και β 1
  .
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες τις f.
γ) Να αποδείξετε ότι η f έχει ακριβώς δύο κρίσιμα σημεία και να την μελετήσετε ως προς την μονοτονία
και τα ακρότατα.
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 4 of 19
4
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
E.11 Δίνεται η συνάρτηση  
 
2
x
x 1 αx, x 0
f x
ln e 2x β, x 0
   

 
   

, η οποία έχει ακριβώς ένα κρίσιμο
σημείο.
α) Να βρείτε τους αριθμούς α και β.
Δίνονται α 1
  και β 1
 .
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία.
δ) Να αποδείξετε ότι η f έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής.
E.12 Δίνεται η συνάρτηση  
x
x
xe 1, x 0
f x
x , x 0

  

 
 

.
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής.
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f.
γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
δ) Να υπολογίσετε το όριο
 
x
f ημx
lim
lnx

E.13 Δίνεται η συνάρτηση  
2 x 1
2
α e , x 1
f x
x αx, x 1
 
   

 
   

, η οποία ικανοποιεί τις υποθέσεις του
θεωρήματος Bolzano στο διάστημα  
1,1
 .
α) Να βρείτε το α.
Δίνεται α 2
 .
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
E.14 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση  
3 2
x λx 1
, x 1
x 1
f x
μ 4, x 1
  
 
 
 
   

, με λ,μ   .
α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ και να δείξετε ότι   2
f x x x 1
   , x   .
Δίνονται λ 2
 και μ 5
  .
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 5 of 19
5
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτομένες της f που σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο με
τους άξονες x x
 και y y
 και στη συνέχεια ότι αυτές τέμνονται κάθετα μεταξύ τους.
δ) Αν α 0
 , να δείξετε ότι η εξίσωση  
       
f α αf 2α α 4 f 3α
f x
2α 5
  


έχει ακριβώς δύο
ρίζες.
E.15 Δίνεται η συνάρτηση  
π
συνx αx, x ,0
2
f x
1
1 βx , x 0,
2
  
  
  
 

 
 
   
  

της οποίας η γραφική παράσταση έχει
στο σημείο  
 
A 0,f 0 , εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία x y e 0
   . Δίνεται επιπλέον η
συνάρτηση g : 
  για την οποία ισχύει η σχέση    
     
   
g x f x g x f x 1 2f x
    , για
κάθε π 1
x ,
2 2
 
 
 
 
.
α) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β.
Δίνονται α 1
 και β 2
  .
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα κρίσιμα σημεία και τα ακρότατα.
γ) Να αποδείξετε ότι  
x 0
limg x 0

 .
δ) i) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό
π
ξ ,0
6
 
 
 
 
τέτοιο, ώστε   π
f ξ
π 1
  

.
ii) Αν επιπλέον η g είναι συνεχής, να αποδείξετε ότι η εξίσωση       2020
π 1 ημx x ξ g x
2021
   
έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα  
0, ξ
 .
E.16 Δίνεται η συνάρτηση  
2
x
x 2x, x 0
f x
α 1, x 0
  

 
  

, με 0 α 1
  .
α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
β) Να υπολογίσετε το όριο
 
 
3 2
x
x x
lim
f f x 1



.
Δίνεται επιπλέον ότι η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο διάστημα
1 1
,
2e 2
 

 
 
.
γ) i) Να αποδείξετε ότι 2
α e
 .
ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή.
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 6 of 19
6
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
iii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό
1 1
ξ ,
2e 2
 
 
 
 
τέτοιο, ώστε να ισχύει
 
2
2
4e 1
f ξ
2e 2e

  

και στη συνέχεια να βρείτε την τιμή του ξ.
δ) i) Να εξηγήσετε γιατί η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη 1
f 
.
ii) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των f και 1
f 
στο ίδιο σύστημα αξόνων.
E.17 Δίνεται η συνάρτηση   x e
f x e ln x
x
   , x 0
 .
α) i) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
ii) Να λύσετε την εξίσωση      
2021 2020
f x f x f x
  .
β) i) Να εξηγήσετε γιατί η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της 1
f 
.
ii) Να λύσετε την ανίσωση  
x 1
e f x ημx 1

  .
γ) i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f f
 και να δείξετε ότι έχει μοναδική ρίζα 0
x .
ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
 
  
1
f x 2021
0
f f x x 1

 


έχει μια τουλάχιστον λύση στο
διάστημα  
0
1,x .
E.18 Δίνεται η συνάρτηση   x α x
f x e lnx 
 με x 0
 και α   της οποίας η γραφική παράσταση
εφάπτεται στον άξονα x x
 .
α) Να βρείτε το α.
Δίνεται α 1
 .
β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
γ) Να λύσετε την εξίσωση   e
f f x ln 0
x
 
 
 
 
.
δ) Να υπολογίσετε το όριο
   
2 2
x 0
1
lim
f 1 x f συν x
  
.
E.19 Δίνεται η συνάρτηση  
2
x
4x x 4 αx, x 0
f x
e βx 1, x 0
    

 
   

.
α) Αν η f έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο  και στο σημείο  
 
A 1,f 1 δέχεται οριζόντια
εφαπτομένη, να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β.
Για α 2 και β e
  :
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 7 of 19
7
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
β) Να βρείτε ποιες από τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle δεν ικανοποιούνται για την f στο
διάστημα  
1,1
 και να αιτιολογήσετε γιατί η f δεν αντιστρέφεται.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
δ) i) Να αποδείξετε ότι
7
e
e
ln 2
6
 .
ii) Δίνεται η συνάρτηση  
7
e
e
h x ln x ln
6
 
 
 
 
. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h f
 .
E.20 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση  
f : 0,π  με αρνητική κλίση στο π και για την οποία
ισχύει η σχέση  
2 2 2
x f x συν x c
  για κάθε  
x 0,π
 .
α) i) Να αποδείξετε ότι c 1
 . ii) Να βρείτε τον τύπο της f.
Δίνεται  
ημx
, 0 x π
x
f x
1, x 0
  

 
 

.
β) i) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό  
ξ 0,π
 τέτοιο ώστε   6ημ1 3ημ2 2ημ3
f ξ
18
 
 .
γ) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και   1
g x
x
 έχουν κοινή εφαπτομένη ε στο κοινό τους
σημείο  
0 0
Μ x ,y και στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης αυτής.
E.21 Δίνεται η συνάρτηση  
f x x 2 x 1
   , x 0
 .
α) Να υπολογίσετε το όριο
 
x 1
x x 2x 1
lim
f x lnx

 

.
β) i) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει  
 
ημx ημ ημx
ημx ημ ημx
2

  για κάθε  
x 0,π
 .
γ) i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f f
 και να αποδείξετε ότι   
f f x x

 για
κάθε  
x 0,1
 .
ii) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β με 0 α 1 β
   και  
f α β
 . Να αποδείξετε ότι η
εξίσωση
   
f x α f x β
1
x β x α
 
 
 
έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα  
α,β .
δ) Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση   x
g x x λ 2
   , x   για την οποία ισχύει ότι  
g x 1

για κάθε x   .
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 8 of 19
8
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
i) Να βρείτε το λ.
ii) Αν λ e
 , να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν
δύο ακριβώς κοινά σημεία Α και Β με τετμημένες 0 και  
0
x 1,2
 αντίστοιχα.
E.22 Δίνεται η συνάρτηση  
f x 2συνx x x
  , x   .
α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
β) i) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της 1
f
.
ii) Nα υπολογίσετε το όριο
 
1
x
f x
lim
x


, αν γνωρίζετε ότι η 1
f
είναι συνεχής.
iii) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της 1
f
τέμνει τον άξονα y y
 σε σημείο με τεταγμένη
0
π
y 1,
3
 
 
 
.
γ) i) Να εξετάσετε αν η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο
π π
,
2 2
 

 
 
.
ii) Έστω τα σημεία
π π
A ,f
2 2
 
 
 
 
 
 
 
και
π π
B ,f
2 2
 
 
 
 
 
 
. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική
εφαπτομένη της f στο διάστημα
π π
,
2 2
 

 
 
που είναι παράλληλη στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.
E.23 Δίνεται η συνάρτηση   αx 1
f x
x α



, x α
 της οποίας η γραφική παράσταση δεν τέμνει την
ευθεία y x
 .
α) Να αποδείξετε ότι 1 α 1
   .
β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
γ) Να αποδείξετε ότι   
f f x x

 , x α
 .
δ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να αποδείξετε ότι 1
f f

 .
ε) Αν α 0
 , να αποδείξετε ότι η εξίσωση
   
f 2α αx f 3α αx
23
x 3 x 2
 
 
 
έχει μια τουλάχιστον
λύση στο διάστημα  
2,3 .
E.24 Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f : 
  και g : 
  για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις
  x
x 0
f x e 1 1
lim
x ημx 2

 


και   2
g x συνx 4x x
   για κάθε x   .
α) Να αποδείξετε ότι  
f 0 0
 και  
f 0 2
  .
β) Να αποδείξετε ότι  
g 0 1
  και  
g 0 4
   .
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 9 of 19
9
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης g f
 στο 0
x 0
 .
δ) Αν επιπλέον
● η f είναι γνησίως αύξουσα,
● η g είναι κυρτή,
● η f g
 ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο  
π,4 , να αποδείξετε ότι:
i) η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο  
π,4 .
ii) οι συναρτήσεις f g
 και g έχουν κοινή ρίζα  
ξ π,4
 .
iii) η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο σε μοναδική θέση  
ρ 0,ξ
 .
iv) δεν υπάρχει το όριο
   
h 0
h
lim
g ρ h g ρ
  
.
E.25 Δίνεται η συνάρτηση   2
f x x 2λlnx, x 0, λ 0
    .
α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
β) Να βρείτε την μεγαλύτερη τιμή του λ για την οποία ισχύει
2
x
2λ
xe 1

 για κάθε x 0
 .
γ) Να βρείτε για ποια τιμή του λ η ευθεία y x
 εφάπτεται στην γραφική παράσταση της f.
Δίνεται
1
λ
2
 .
δ) Να αποδείξετε ότι   2x ln2 1
f x
4
 
 για κάθε x 0
 .
ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό διάστημα  
α,α 1
 με α 0
 , στο οποίο η f ικανοποιεί τις
υποθέσεις του θεωρήματος Rolle.
E.26 Δίνεται η συνάρτηση    
3 2
f x λx 3λx 4 λ 1 x
    , x   , λ   .
α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η f είναι γνησίως φθίνουσα.
β) Έστω η συνάρτηση     
h x g f x

  όπου  
g x x
 , x 0
 .
i) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η συνάρτηση h ορίζεται στο  .
ii) Να υπολογίσετε το όριο  
x
lim h x 3x


 
  για τις διάφορες τιμές του λ.
γ) Αν λ 1
 , να δείξετε ότι η συνάρτηση    
2
4
φ x f x lnx
3
 
  
 
 
με x 0
 , έχει ακριβώς δύο
τοπικά ελάχιστα και ένα τοπικό μέγιστο.
E.27 Δίνεται η συνάρτηση  
f x lnx λx
  , όπου x 0
 και λ .
α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f για τις διάφορες τιμές του λ.
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 10 of 19
10
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
β) Να βρείτε την μικρότερη τιμή του λ για την οποία δεν ορίζεται η συνάρτηση f f
 .
Δίνεται λ 0
 .
γ) Να ορίσετε την συνάρτηση     
g x f f x
  και να την μελετήσετε ως προς την μονοτονία και την
κυρτότητα.
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν  
1 2
ξ , ξ 2,4
 , τέτοια ώστε    
1 2
g ξ g ξ ln2
 
  .
E.28 Δίνεται η συνάρτηση  
4
3 2
x
f x x λ x λ
4
    , με λ   .
α) Να δείξετε ότι η f έχει δύο σημεία καμπής Α και Β και να βρείτε την ελάχιστη απόσταση ΑΒ.
β) Να αποδείξετε ότι η f έχει το πολύ δύο κρίσιμα σημεία.
γ) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο σε μοναδικό σημείο 0
x 3
 .
δ) Αν λ 0
 , να βρείτε τις οριζόντιες και κατακόρυφες ασύμπτωτες της συνάρτησης  
 
x
6x e
h x
f x



.
E.29 Δίνεται η συνάρτηση  
f x x λ x
   , όπου x λ
 και λ .
α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
γ) Να βρείτε την μεγαλύτερη τιμή του λ για την οποία ορίζεται η συνάρτηση f f
 .
δ) Aν οι συναρτήσεις f και f f
 παρουσιάζουν την ίδια μέγιστη τιμή στην ίδια θέση, να βρείτε την
τιμή του λ και να επαληθεύσετε το αποτέλεσμα.
E.30 Δίνεται η συνάρτηση   2 λ
f x x λx e
   .
α) Να βρείτε την μεγαλύτερη τιμή του λ για την οποία το όριο  
x 1
limf x

είναι καλώς ορισμένο.
β) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τιμή του λ για την οποία η f να ορίζεται στο  .
γ) Να αποδείξετε ότι το ευρύτερο υποσύνολο του  στο οποίο μπορεί να οριστεί η f πραγματοποιείται
για μοναδικό  
λ 1,0
  .
E.31 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση  
f : 0,π  για την οποία ισχύουν:
●    
 
2
f x 2 f x ημxσυνx
  για κάθε  
x 0,π
 ,
●   π
f 0 f
4
 
  
 
και
● δεν ικανοποιείται για την f το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών στο διάστημα  
0,π .
α) Να αποδείξετε ότι  
f x 1 ημx συνx
   .
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 11 of 19
11
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
β) Να υπολογίσετε το όριο
 
x 0
f x
lim
x ημx

 
.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της.
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση  
f x x 1
  έχει ακριβώς μια ρίζα.
E.32 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 
  για την οποία ισχύει η σχέση
   
2 x
f x c lnf x e x
    για κάθε x   με c   .
α) Να αποδείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα.
β) Αν c 2
 , να βρείτε την συνάρτηση f.
Δίνεται   x
f x e
 , x   .
γ) Να υπολογίσετε τα όρια: i)
  x
x
1
lim
f x e
 
ii)
 
 
2 x
x
x
f x 2
lim
f x 2



.
δ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
ε) Να λύσετε την εξίσωση
x
2 2 e
x e 4 4 x
2
 
   
 
 
.
E.33 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση  
f : 0,1   για την οποία ισχύουν:
●
 
f x
2
ln x x 1
  , για κάθε  
x 0,1
 και
● η εξίσωση   α
f x e
 με α   είναι αδύνατη.
α) Να αποδείξετε ότι:  
1 x
, 0 x 1
lnx
f x
0, x 0
 
 

 



.
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική εφαπτομένη της f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
E.34 Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις  
f : 0,   και g : 
  για τις οποίες ισχύουν
οι σχέσεις    
x x
e g x f e

 
  για κάθε x   και
 
 
x 1
x 0
xg x x
lim 1
ημx f συνx





.
α) Να αποδείξετε ότι    
x
g x f e 1
  , x   .
β) Αν
   
h 0
f 1 2h g 0 1
lim 2
h

  
 , να αποδείξετε ότι:
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 12 of 19
12
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
i)  
f 1 1
  .
ii) η εφαπτομένη της f στο  
 
A 1,f 1 εφάπτεται της g στο  
 
B 0,g 0 .
γ) Έστω ότι   x
g x xe 1

  .
i) Να βρείτε τον τύπο της f.
ii) Αν   lnx
f x 2
x
  , να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε
σημείο με τετμημένη  
0
x 0,1
 .
iii) Nα αποδείξετε ότι    
g x f x
 για κάθε x 1
 .
E.35 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : 
  για την οποία ισχύουν:
●      
 
2
x 1 f x 2x f x 1 2
 
    για κάθε x .
● η ευθεία y x
  εφαπτεται της γραφικής παράστασης της f στο σημείο  
 
A 0,f 0 .
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση  
 
f x x
2
e
G x
x 1



είναι σταθερή και στη συνέχεια να βρείτε την f.
Δίνεται    
2
f x ln x 1 x
   .
β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
δ) Να υπολογίσετε τα όρια: i)
 
x 1
1
lim
f x ln2 1
  
ii)
 
x 1
x 1
lim
f x ln2 1


 
ε) Να λύσετε την εξίσωση    
2
x
f e f ημx ημx
   .
στ) Να αποδείξετε ότι    
 
f x f f x ln2 ln2
   για κάθε  
x 1,1
  .
E.36 Δίνεται συνάρτηση f : 
  για την οποία ισχύει    
f x 2f x

 για κάθε x   .
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση    
x 2
h x e f x

  είναι σταθερή.
β) Αν  
f 0 1
 , να βρείτε τον τύπο της f.
γ) Να αποδείξετε ότι:
i) η f αντιστρέφεται και να βρείτε την 1
f
.
ii)    
1
f x x f x

  για κάθε x 0
 .
δ) Να αποδείξετε ότι:
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 13 of 19
13
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
i) οι γραφικές παραστάσεις των f και 1
f
παρουσιάζουν ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση σε
μοναδική θέση  
0
x 2ln2, 2
 .
ii) οι εφαπτομένες των f και 1
f
είναι παράλληλες στο 0
x και σχηματίζουν με τον άξονα x x

γωνία
π π
ω ,
4 2
 
 
 
.
iii) 0
4
x
e
 .
E.37 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : 
  με  
f 0 1
  και έστω επίσης η συνάρτηση
   
 
x
2
x
x 2 xe
G x f x
e

  για την οποία ισχύει     2020
G x y G x y
   για κάθε x, y   .
α) Να αποδείξετε ότι η G είναι σταθερή και στη συνέχεια ότι  
G x 1, x
 .
β) Να αποδείξετε ότι:
i)    
2
2 x
f x xe 1
  ii) η f έχει μοναδική ρίζα  
0
x 0,1
 .
γ) Αν επιπλέον ισχύει
 
0
h 0
0
lnx
lim
f x h


 

, να αποδείξετε ότι:
i)   x
f x xe 1
  . ii)
 
0
x x
f x
lim 1
x lnx



.
E.38 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 
  και η συνάρτηση g : 
  για την οποία
ισχύει      
x
g x f x 1 f e
   για κάθε x και  
g 1 2
  .
α) Αν η f έχει ασύμπτωτη στο  την ευθεία y 2x
 , να αποδείξετε ότι η g έχει ασύμπτωτη
στο  την ευθεία  
y 2x f e
  .
Δίνεται επιπλέον ότι η g είναι κυρτή και έχει εφαπτομένη την ευθεία y x
 .
β) Να αποδείξετε ότι   1
f 1
2
  .
γ) Αν ε είναι η εφαπτομένη της f στο σημείο  
 
A 1,f 1 , να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς μια
εφαπτομένη της g που είναι κάθετη στην ε.
δ) Να δείξετε ότι η g έχει ολικό ελάχιστο.
E.39 Δίνεται η συνάρτηση f : 
  για την οποία ισχύει η σχέση    
3
1 x 2 x
f x f x e x
3

    
για κάθε x .
α) i) Να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c  τέτοια ώστε    
3
1 x x
f x x c e
3

   , x .
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 14 of 19
14
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
ii) Αν   7
f 1
3
 , να βρείτε τον τύπο της f.
Δίνεται    
3
1 x x
f x x 1 e
3

   .
β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
γ) Να αποδείξετε ότι η f έχει μια ρίζα  
0
x 1,0
  και ότι αυτή είναι μοναδική.
δ) Έστω πραγματικός αριθμός  
0
κ x ,1
 και η συνάρτηση   0
0
κ x
h x ln
x x



με 0
x x
 .
i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση    
f x h x e
  έχει λύση στο διάστημα  
0
x ,κ .
ii) Να βρείτε την εφαπτομένη της h στο σημείο  
 
Α κ,h κ και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι
η συνάρτηση    
 
 
2
0 0
0
x 2κx
φ x x ln x x x h x 1
2 κ x

    
 
 

είναι γνησίως αύξουσα.
E.40 Δίνεται η συνεχής και άρτια συνάρτηση f : 

  για την οποία ισχύουν   1
f x , x 0
x x
   
και  
f 1 1
 . Δίνεται επίσης το σημείο  
 
M α,f α , α 0
 .
α) Να αποδείξετε ότι   1
f x
x
 και να κάνετε την γραφική της παράσταση.
β) Έστω ε η εφαπτομένη της f στο σημείο Μ και Α, Β τα σημεία τομής της ε με τους άξονες
x x
 και y y
 αντίστοιχα.
i) Nα αποδείξετε ότι το Μ είναι το μέσο του ΑΒ.
ii) Αν η τετμημένη του Μ μειώνεται με ρυθμό 2 μονάδες το δευτερόλεπτο, να βρείτε τον ρυθμό με
τον οποίο μεταβάλλεται η τεταγμένη του Β την χρονική στιγμή που η ευθεία ε διέρχεται από το
σημείο  
Γ 1,0 .
γ) Δίνεται επιπλέον το ορθογώνιο ΜΚΛΝ, όπου το σημείο Κ ανήκει στην γραφική παράσταση της f
και τα σημεία Λ, Ν στον άξονα x x
 .
i) Να αποδείξετε ότι το ορθογώνιο ΜΚΛΝ έχει σταθερό εμβαδόν.
ii) Να βρείτε για ποια τιμή του α, το ορθογώνιο ΜΚΛΝ έχει ελάχιστη περίμετρο.
E.41 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση  
f : 1,
    με  
f 0 1
 για την οποία ισχύει η σχέση
    1
f x f x
2

  .
α) Να αποδείξετε ότι  
f x x 1
  .
β) i) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την συνάρτηση 1
f
.
ii) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των f και 1
f
στο ίδιο σύστημα αξόνων.
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 15 of 19
15
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
Έστω τα σημεία  
 
1
A x,f x

,  
 
1
B 0,f x

και  
Ο 0,0 .
γ) i) Να βρείτε την συνάρτηση  
Ε x που δίνει το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ για κάθε 0 x 1
  .
ii) Να βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης  
Ε x όταν  
x 0,1
 .
δ) Έστω επιπλέον το σημείο  
 
1
Γ 0,f 0

και η γωνία ˆ ˆ
θ ΒΑΓ
 .
i) Να υπολογίσετε τα όρια π
θ
2
ΑΓ
lim
ΑΒ

και  
π
θ
2
lim ΑΓ ΒΓ

 .
ii) Αν η τετμημένη του σημείου Α αυξάνεται με ρυθμό 1 μονάδα το δευτερόλεπτο, να βρείτε τον
ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται η γωνία θ την χρονική στιγμή 0
t όπου  
0
x t 2
 .
E.42 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2
x ln x 0
  έχει μια ακριβώς ρίζα  
0
x 0,1
 .
Δίνεται επιπλέον η συνεχής συνάρτηση  
0
f : x ,1   για την οποία ισχύει    
1
f x 2x f x
e x

 για κάθε
 
0
x x ,1
 και  
f 1 0
 .
β) i) Να αποδείξετε ότι   2
f x x x lnx
   .
ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
iii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση   0
1
f x ln x
4
  είναι αδύνατη.
γ) Έστω τα σημεία  
 
Α 1,f 1 και  
 
0 0
B x ,f x και το κινητό σημείο  
 
M x,f x που κινείται
πάνω στην γραφική παράσταση της f . Την χρονική στιγμή που το Μ διέρχεται από το σημείο
 
 
Γ ξ,f ξ στο οποίο η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f είναι παράλληλη με την ευθεία
ΑΒ, η τετμημένη του μεταβάλλεται με ρυθμό
1
0
1 x 
 μονάδες το δευτερόλεπτο. Να αποδείξετε ότι την
ίδια χρονική στιγμή η τεταγμένη του Μ μεταβάλλεται με ρυθμό 1 μονάδα το δευτερόλεπτο.
δ) Δίνεται η συνάρτηση     0
x
h x f x f
x
 
   
 
.
i) Να αποδείξετε ότι η h ορίζεται στο διάστημα  
0
x ,1 και στη συνέχεια ότι ικανοποιεί τις
υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα αυτό.
ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της h με αντίθετες
κλίσεις.
iii) Αν γνωρίζετε ότι η h είναι κυρτή, να λύσετε την εξίσωση   0
h x x
 .
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 16 of 19
16
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
E.43 Δίνεται η συνάρτηση f : 
  η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύουν    
f x
f x e x

  για
κάθε x  και  
f 
 .
α) i) Να αποδείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα και να βρείτε τη μονοτονία της.
ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη.
β) Να αποδείξετε ότι ότι η f δεν παρουσιάζει σημεία καμπής και να βρείτε την κυρτότητά της.
γ) Να λύσετε την ανίσωση  
 
   
 
f x f x
2
f e f x e f x 1
 
 
    .
δ) Να υπολογίσετε το όρια: i)    
x
lim f x 1 f x

 
 
  ii)  
x 0
lim xf lnx

 
 .
ε) i) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την 1
f 
.
ii) Να αποδείξετε ότι η ασύμπτωτη της 1
f 
στο  είναι η ασύμπτωτη της f στο  .
iii) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης f με τον άξονα x x
 .
iv) Να αποδείξετε ότι η f τέμνει την ευθεία y x
 σε μοναδικό σημείο με τετμημένη  
α 0,1
 .
v) Αν β είναι η τεταγμένη του σημείου όπου η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα yy
 ,
να λύσετε την εξίσωση  
f x
β
x
e β
e 1

 

.
E.44 Δίνονται οι συναρτήσεις    
2
f x 1 x 1, x 0,1
    και  
g x lnx x, x 0
   .
Δίνεται επίσης η συνάρτηση         x
φ x g f x g f α ln
α
  
  , με  
α 0,1
 .
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της φ και να αποδείξετε ότι τέμνει τον άξονα x x
 στο μοναδικό σημείο
 
A α,0 .
β) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της φ στο Α τέμνει τον άξονα y y
 στο σημείο  
2
B 0, 1 α
 και
στη συνέχεια να δείξετε ότι το ΑΒ έχει σταθερό μήκος.
γ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ μεγιστοποιείται όταν το τρίγωνο γίνεται ισοσκελές.
δ) Έστω ότι η τετμημένη του σημείου Α μειώνεται με ρυθμό 0,1 cm/s. Την χρονική στιγμή που το Α
έχει τετμημένη 0,6 , να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής:
i) της τεταγμένης του σημείου Β.
ii) της γωνίας 
θ ΟΑΒ
 .
iii) του εμβαδού του τριγώνου OAB.
ε) Να αποδείξετε ότι σε οποιοδήποτε διάστημα    
κ,λ 0,1
 υπάρχουν 1 2 3
ξ , ξ , ξ τέτοια ώστε
να ισχύει η σχέση
2 2
1 2
1 2 2 3
1 ξ 1 ξ 1 1
ξ ξ ξ ξ
 
   .
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 17 of 19
17
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
E.45 Δίνεται η συνάρτηση  
2
2
1 x , 1 x 0
f x π
συν x, 0 x
2
    

 
 


.
α) Να αποδείξετε ότι ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle σε κάθε διάστημα  
ημα,α
 , με
π
α 0,
2
 
 
 
.
Δίνεται παρακάτω η γραφική παράσταση της f και τα σημεία  
 
Α x,f x με
π
x 0,
2
 
 
 
,  
 
B 0,f 0
και  
Γ Γ
Γ x ,y με ΑΓ//x x
 .
β) Να αποδείξετε ότι Γ
x ημx
  .
γ) Έστω  
E x το εμβαδόν του πολυγώνου ΟΑΒΓ.
i) Nα αποδείξετε ότι   x ημx
E x
2

 ,
π
x 0,
2
 
 
 
.
ii) Να βρείτε για ποια τιμή του x το εμβαδόν Ε παρουσιάζει μέγιστη τιμή. Τι σχήμα είναι το
πολύγωνο σε αυτή την περίπτωση;
iii) Να αποδείξετε ότι  
0
1
E x
2
 για μοναδικό 0
1 π
x ,
2 6
 
 
 
.
iv) Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου Α είναι  
x t 2
  , να βρείτε τις
συντεταγμένες του Α την χρονική στιγμή που ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε ισούται με
3
2
.
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 18 of 19
18
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
E.46 Δίνονται τα σημεία  
Α 0,6 και  
B 8,0 στο παρακάτω σύστημα αξόνων, καθώς και το σημείο
 
Δ α,β το οποίο κινείται από το Α στο Β με ΑΔ κ
 .
α) Να αποδείξετε ότι
4κ
α
5
 και
 
3 10 κ
β
5

 .
β) Να βρείτε για ποια τιμή του κ μεγιστοποιείται το εμβαδόν του ορθογωνίου ΟΓΔΕ.
γ) Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του ορθογωνίου ΟΓΔΕ αυξάνεται με σταθερό ρυθμό, χωρίς όμως να
μπορεί να ξεπεράσει τα
2
3
της περιμέτρου του τριγώνου ΟΑΒ.
Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση    
2 2
3
f x x 2λ x λ 6, x , λ 0,8
4
 
      
 
 
 .
δ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f εφάπτεται στο τμήμα ΑΒ στο Δ και ότι α λ
 .
ε) Αν το λ αυξάνεται με ρυθμό 1 μονάδα το δευτερόλεπτο, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής:
i) των κ και β.
ii) του τμήματος ΟΔ την χρονική στιγμή που η συνάρτηση f ικανοποιεί το θεώρημα Rolle στο
διάστημα
35
0,
4
 
 
 
.
στ) Να αποδείξετε ότι  
   
     
f 4f x 23 f 4f x 24 f 1 3x f 3x
       για κάθε x .
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 19 of 19

More Related Content

What's hot

Διαγώνισμα στη Γ Λυκείου έως ακρότατα
Διαγώνισμα στη Γ Λυκείου έως ακρόταταΔιαγώνισμα στη Γ Λυκείου έως ακρότατα
Διαγώνισμα στη Γ Λυκείου έως ακρότατα
Μάκης Χατζόπουλος
 
Ένα επαναληπτικό και απαιτητικό διαγώνισμα στις συναρτήσεις (μέχρι παράγραφο ...
Ένα επαναληπτικό και απαιτητικό διαγώνισμα στις συναρτήσεις (μέχρι παράγραφο ...Ένα επαναληπτικό και απαιτητικό διαγώνισμα στις συναρτήσεις (μέχρι παράγραφο ...
Ένα επαναληπτικό και απαιτητικό διαγώνισμα στις συναρτήσεις (μέχρι παράγραφο ...
Μάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + wordΕπαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
Μάκης Χατζόπουλος
 
Θέματα Προσομοίωσης μέχρι την εξίσωσης εφαπτομένης από την Ελληνογαλλική Σχολ...
Θέματα Προσομοίωσης μέχρι την εξίσωσης εφαπτομένης από την Ελληνογαλλική Σχολ...Θέματα Προσομοίωσης μέχρι την εξίσωσης εφαπτομένης από την Ελληνογαλλική Σχολ...
Θέματα Προσομοίωσης μέχρι την εξίσωσης εφαπτομένης από την Ελληνογαλλική Σχολ...
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγωνίσματα Γ Λυκείου από τα Αρσάκεια ΓΕΛ [2020]
Διαγωνίσματα Γ Λυκείου από τα Αρσάκεια ΓΕΛ [2020]Διαγωνίσματα Γ Λυκείου από τα Αρσάκεια ΓΕΛ [2020]
Διαγωνίσματα Γ Λυκείου από τα Αρσάκεια ΓΕΛ [2020]
Μάκης Χατζόπουλος
 
θεματα προσομοιωσης αλγεβρα β λυκειου
θεματα προσομοιωσης   αλγεβρα β λυκειουθεματα προσομοιωσης   αλγεβρα β λυκειου
θεματα προσομοιωσης αλγεβρα β λυκειου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Εφαπτομένη Ευθεία ΕΠΑΛ
Εφαπτομένη Ευθεία ΕΠΑΛΕφαπτομένη Ευθεία ΕΠΑΛ
Εφαπτομένη Ευθεία ΕΠΑΛ
Dina Kiourtidou
 
Συναρτησεις Γ Λυκειου Κατευθυνση
Συναρτησεις Γ Λυκειου ΚατευθυνσηΣυναρτησεις Γ Λυκειου Κατευθυνση
Συναρτησεις Γ Λυκειου ΚατευθυνσηLamprini Zourka
 
Διαγώνισμα 10- 2ο κεφάλαιο ΕΠΑ.Λ Γ Λυκείου
Διαγώνισμα 10- 2ο κεφάλαιο ΕΠΑ.Λ Γ ΛυκείουΔιαγώνισμα 10- 2ο κεφάλαιο ΕΠΑ.Λ Γ Λυκείου
Διαγώνισμα 10- 2ο κεφάλαιο ΕΠΑ.Λ Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Mαθηματικά Γ Λυκείου προσανατολισμού
Mαθηματικά Γ Λυκείου προσανατολισμούMαθηματικά Γ Λυκείου προσανατολισμού
Mαθηματικά Γ Λυκείου προσανατολισμού
Μάκης Χατζόπουλος
 
1.2: Ασκήσεις στην ισότητα και σύνθεση συναρτήσεων
1.2: Ασκήσεις στην ισότητα και σύνθεση συναρτήσεων 1.2: Ασκήσεις στην ισότητα και σύνθεση συναρτήσεων
1.2: Ασκήσεις στην ισότητα και σύνθεση συναρτήσεων
Μάκης Χατζόπουλος
 
M.x ρυθμοσ μεταβολησ θεωρια-μεοδολογια-ασκησεισ
M.x ρυθμοσ μεταβολησ θεωρια-μεοδολογια-ασκησεισM.x ρυθμοσ μεταβολησ θεωρια-μεοδολογια-ασκησεισ
M.x ρυθμοσ μεταβολησ θεωρια-μεοδολογια-ασκησεισ
Christos Loizos
 
Πλήρεις σημειώσεις στον Ολοκληρωτικό λογισμό (2015 - 16)
Πλήρεις σημειώσεις στον Ολοκληρωτικό λογισμό (2015 - 16)Πλήρεις σημειώσεις στον Ολοκληρωτικό λογισμό (2015 - 16)
Πλήρεις σημειώσεις στον Ολοκληρωτικό λογισμό (2015 - 16)
Μάκης Χατζόπουλος
 
Ekfoniseis liseis 1-200
Ekfoniseis liseis 1-200Ekfoniseis liseis 1-200
Ekfoniseis liseis 1-200
Μάκης Χατζόπουλος
 
Ασκήσεις Στατιστικής Γ' Λυκείου ΕΠΑΛ
Ασκήσεις Στατιστικής Γ' Λυκείου ΕΠΑΛΑσκήσεις Στατιστικής Γ' Λυκείου ΕΠΑΛ
Ασκήσεις Στατιστικής Γ' Λυκείου ΕΠΑΛ
Ρεβέκα Θεοδωροπούλου
 
Επαναληπτικές ασκήσεις ΕΠΑΛ 2017
Επαναληπτικές ασκήσεις ΕΠΑΛ  2017Επαναληπτικές ασκήσεις ΕΠΑΛ  2017
Επαναληπτικές ασκήσεις ΕΠΑΛ 2017
Μάκης Χατζόπουλος
 
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ ΛυκείουΦυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείου
Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείουΘεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείου
Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείου
Θανάσης Δρούγας
 

What's hot (20)

Διαγώνισμα στη Γ Λυκείου έως ακρότατα
Διαγώνισμα στη Γ Λυκείου έως ακρόταταΔιαγώνισμα στη Γ Λυκείου έως ακρότατα
Διαγώνισμα στη Γ Λυκείου έως ακρότατα
 
Ένα επαναληπτικό και απαιτητικό διαγώνισμα στις συναρτήσεις (μέχρι παράγραφο ...
Ένα επαναληπτικό και απαιτητικό διαγώνισμα στις συναρτήσεις (μέχρι παράγραφο ...Ένα επαναληπτικό και απαιτητικό διαγώνισμα στις συναρτήσεις (μέχρι παράγραφο ...
Ένα επαναληπτικό και απαιτητικό διαγώνισμα στις συναρτήσεις (μέχρι παράγραφο ...
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + wordΕπαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
 
Θέματα Προσομοίωσης μέχρι την εξίσωσης εφαπτομένης από την Ελληνογαλλική Σχολ...
Θέματα Προσομοίωσης μέχρι την εξίσωσης εφαπτομένης από την Ελληνογαλλική Σχολ...Θέματα Προσομοίωσης μέχρι την εξίσωσης εφαπτομένης από την Ελληνογαλλική Σχολ...
Θέματα Προσομοίωσης μέχρι την εξίσωσης εφαπτομένης από την Ελληνογαλλική Σχολ...
 
Διαγωνίσματα Γ Λυκείου από τα Αρσάκεια ΓΕΛ [2020]
Διαγωνίσματα Γ Λυκείου από τα Αρσάκεια ΓΕΛ [2020]Διαγωνίσματα Γ Λυκείου από τα Αρσάκεια ΓΕΛ [2020]
Διαγωνίσματα Γ Λυκείου από τα Αρσάκεια ΓΕΛ [2020]
 
θεματα προσομοιωσης αλγεβρα β λυκειου
θεματα προσομοιωσης   αλγεβρα β λυκειουθεματα προσομοιωσης   αλγεβρα β λυκειου
θεματα προσομοιωσης αλγεβρα β λυκειου
 
Εφαπτομένη Ευθεία ΕΠΑΛ
Εφαπτομένη Ευθεία ΕΠΑΛΕφαπτομένη Ευθεία ΕΠΑΛ
Εφαπτομένη Ευθεία ΕΠΑΛ
 
Συναρτησεις Γ Λυκειου Κατευθυνση
Συναρτησεις Γ Λυκειου ΚατευθυνσηΣυναρτησεις Γ Λυκειου Κατευθυνση
Συναρτησεις Γ Λυκειου Κατευθυνση
 
Διαγώνισμα 10- 2ο κεφάλαιο ΕΠΑ.Λ Γ Λυκείου
Διαγώνισμα 10- 2ο κεφάλαιο ΕΠΑ.Λ Γ ΛυκείουΔιαγώνισμα 10- 2ο κεφάλαιο ΕΠΑ.Λ Γ Λυκείου
Διαγώνισμα 10- 2ο κεφάλαιο ΕΠΑ.Λ Γ Λυκείου
 
Mαθηματικά Γ Λυκείου προσανατολισμού
Mαθηματικά Γ Λυκείου προσανατολισμούMαθηματικά Γ Λυκείου προσανατολισμού
Mαθηματικά Γ Λυκείου προσανατολισμού
 
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΗ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ
 
1.2: Ασκήσεις στην ισότητα και σύνθεση συναρτήσεων
1.2: Ασκήσεις στην ισότητα και σύνθεση συναρτήσεων 1.2: Ασκήσεις στην ισότητα και σύνθεση συναρτήσεων
1.2: Ασκήσεις στην ισότητα και σύνθεση συναρτήσεων
 
M.x ρυθμοσ μεταβολησ θεωρια-μεοδολογια-ασκησεισ
M.x ρυθμοσ μεταβολησ θεωρια-μεοδολογια-ασκησεισM.x ρυθμοσ μεταβολησ θεωρια-μεοδολογια-ασκησεισ
M.x ρυθμοσ μεταβολησ θεωρια-μεοδολογια-ασκησεισ
 
Πλήρεις σημειώσεις στον Ολοκληρωτικό λογισμό (2015 - 16)
Πλήρεις σημειώσεις στον Ολοκληρωτικό λογισμό (2015 - 16)Πλήρεις σημειώσεις στον Ολοκληρωτικό λογισμό (2015 - 16)
Πλήρεις σημειώσεις στον Ολοκληρωτικό λογισμό (2015 - 16)
 
2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
 
Ekfoniseis liseis 1-200
Ekfoniseis liseis 1-200Ekfoniseis liseis 1-200
Ekfoniseis liseis 1-200
 
Ασκήσεις Στατιστικής Γ' Λυκείου ΕΠΑΛ
Ασκήσεις Στατιστικής Γ' Λυκείου ΕΠΑΛΑσκήσεις Στατιστικής Γ' Λυκείου ΕΠΑΛ
Ασκήσεις Στατιστικής Γ' Λυκείου ΕΠΑΛ
 
Επαναληπτικές ασκήσεις ΕΠΑΛ 2017
Επαναληπτικές ασκήσεις ΕΠΑΛ  2017Επαναληπτικές ασκήσεις ΕΠΑΛ  2017
Επαναληπτικές ασκήσεις ΕΠΑΛ 2017
 
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ ΛυκείουΦυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
 
Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείου
Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείουΘεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείου
Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείου
 

Similar to 45+1 Θέματα Γ Λυκείου

επαναληπτικές ασκήσεις 100+1
επαναληπτικές ασκήσεις 100+1επαναληπτικές ασκήσεις 100+1
επαναληπτικές ασκήσεις 100+1
Christos Loizos
 
Ασκήσεις πολλαπλού τύπου για τη Γ Λυκείου
Ασκήσεις πολλαπλού τύπου για τη Γ ΛυκείουΑσκήσεις πολλαπλού τύπου για τη Γ Λυκείου
Ασκήσεις πολλαπλού τύπου για τη Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
1000+1 exercises
1000+1 exercises1000+1 exercises
1000+1 exercises
Christos Loizos
 
Ασκήσεις επανάληψης 2017 Γ Λυκείου Κατεύθυνσης
Ασκήσεις επανάληψης 2017 Γ Λυκείου ΚατεύθυνσηςΑσκήσεις επανάληψης 2017 Γ Λυκείου Κατεύθυνσης
Ασκήσεις επανάληψης 2017 Γ Λυκείου Κατεύθυνσης
Μάκης Χατζόπουλος
 
θεματα πανελλαδικων παραγωγοι
θεματα πανελλαδικων παραγωγοιθεματα πανελλαδικων παραγωγοι
θεματα πανελλαδικων παραγωγοι
Christos Loizos
 
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
Μάκης Χατζόπουλος
 
20 epanaliptikes askhseis
20 epanaliptikes askhseis20 epanaliptikes askhseis
20 epanaliptikes askhseis
Christos Loizos
 
Η εκδίκηση των αρχείων από τη Γ Λυκείου
Η εκδίκηση των αρχείων από τη Γ ΛυκείουΗ εκδίκηση των αρχείων από τη Γ Λυκείου
Η εκδίκηση των αρχείων από τη Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Fylladio 50 themata_stis_paragwgous
Fylladio 50 themata_stis_paragwgousFylladio 50 themata_stis_paragwgous
Fylladio 50 themata_stis_paragwgous
Christos Loizos
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από ΣούρμπηΔιαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Μάκης Χατζόπουλος
 
30 επαναληπτικά Γ τάξης ΓΠ
30 επαναληπτικά Γ τάξης ΓΠ30 επαναληπτικά Γ τάξης ΓΠ
30 επαναληπτικά Γ τάξης ΓΠ
Παύλος Τρύφων
 
27 επαναληπτικά θέματα (2017 2018)
27 επαναληπτικά θέματα (2017 2018)27 επαναληπτικά θέματα (2017 2018)
27 επαναληπτικά θέματα (2017 2018)
Athanasios Kopadis
 
5 διαγωνίσματα με θέματα από το σχολικό βιβλίο Γ Λυκείου [2020]
5 διαγωνίσματα με θέματα από το σχολικό βιβλίο Γ Λυκείου [2020]5 διαγωνίσματα με θέματα από το σχολικό βιβλίο Γ Λυκείου [2020]
5 διαγωνίσματα με θέματα από το σχολικό βιβλίο Γ Λυκείου [2020]
Μάκης Χατζόπουλος
 
θέματα οεφε 2001 2015
θέματα οεφε 2001 2015θέματα οεφε 2001 2015
θέματα οεφε 2001 2015
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα προσομοίωσης 2016 Γ Λυκείου
Διαγώνισμα προσομοίωσης 2016 Γ ΛυκείουΔιαγώνισμα προσομοίωσης 2016 Γ Λυκείου
Διαγώνισμα προσομοίωσης 2016 Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Splinisdiagonisma 10 01-15
Splinisdiagonisma 10 01-15Splinisdiagonisma 10 01-15
Splinisdiagonisma 10 01-15
Christos Loizos
 
100 επαναληπτικα θεματα στις παραγωγους σε word
100 επαναληπτικα θεματα στις παραγωγους σε word100 επαναληπτικα θεματα στις παραγωγους σε word
100 επαναληπτικα θεματα στις παραγωγους σε word
Μάκης Χατζόπουλος
 
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word
Μάκης Χατζόπουλος
 
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε wordΜάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό 2020
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό 2020Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό 2020
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό 2020
Μάκης Χατζόπουλος
 

Similar to 45+1 Θέματα Γ Λυκείου (20)

επαναληπτικές ασκήσεις 100+1
επαναληπτικές ασκήσεις 100+1επαναληπτικές ασκήσεις 100+1
επαναληπτικές ασκήσεις 100+1
 
Ασκήσεις πολλαπλού τύπου για τη Γ Λυκείου
Ασκήσεις πολλαπλού τύπου για τη Γ ΛυκείουΑσκήσεις πολλαπλού τύπου για τη Γ Λυκείου
Ασκήσεις πολλαπλού τύπου για τη Γ Λυκείου
 
1000+1 exercises
1000+1 exercises1000+1 exercises
1000+1 exercises
 
Ασκήσεις επανάληψης 2017 Γ Λυκείου Κατεύθυνσης
Ασκήσεις επανάληψης 2017 Γ Λυκείου ΚατεύθυνσηςΑσκήσεις επανάληψης 2017 Γ Λυκείου Κατεύθυνσης
Ασκήσεις επανάληψης 2017 Γ Λυκείου Κατεύθυνσης
 
θεματα πανελλαδικων παραγωγοι
θεματα πανελλαδικων παραγωγοιθεματα πανελλαδικων παραγωγοι
θεματα πανελλαδικων παραγωγοι
 
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
 
20 epanaliptikes askhseis
20 epanaliptikes askhseis20 epanaliptikes askhseis
20 epanaliptikes askhseis
 
Η εκδίκηση των αρχείων από τη Γ Λυκείου
Η εκδίκηση των αρχείων από τη Γ ΛυκείουΗ εκδίκηση των αρχείων από τη Γ Λυκείου
Η εκδίκηση των αρχείων από τη Γ Λυκείου
 
Fylladio 50 themata_stis_paragwgous
Fylladio 50 themata_stis_paragwgousFylladio 50 themata_stis_paragwgous
Fylladio 50 themata_stis_paragwgous
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από ΣούρμπηΔιαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
 
30 επαναληπτικά Γ τάξης ΓΠ
30 επαναληπτικά Γ τάξης ΓΠ30 επαναληπτικά Γ τάξης ΓΠ
30 επαναληπτικά Γ τάξης ΓΠ
 
27 επαναληπτικά θέματα (2017 2018)
27 επαναληπτικά θέματα (2017 2018)27 επαναληπτικά θέματα (2017 2018)
27 επαναληπτικά θέματα (2017 2018)
 
5 διαγωνίσματα με θέματα από το σχολικό βιβλίο Γ Λυκείου [2020]
5 διαγωνίσματα με θέματα από το σχολικό βιβλίο Γ Λυκείου [2020]5 διαγωνίσματα με θέματα από το σχολικό βιβλίο Γ Λυκείου [2020]
5 διαγωνίσματα με θέματα από το σχολικό βιβλίο Γ Λυκείου [2020]
 
θέματα οεφε 2001 2015
θέματα οεφε 2001 2015θέματα οεφε 2001 2015
θέματα οεφε 2001 2015
 
Διαγώνισμα προσομοίωσης 2016 Γ Λυκείου
Διαγώνισμα προσομοίωσης 2016 Γ ΛυκείουΔιαγώνισμα προσομοίωσης 2016 Γ Λυκείου
Διαγώνισμα προσομοίωσης 2016 Γ Λυκείου
 
Splinisdiagonisma 10 01-15
Splinisdiagonisma 10 01-15Splinisdiagonisma 10 01-15
Splinisdiagonisma 10 01-15
 
100 επαναληπτικα θεματα στις παραγωγους σε word
100 επαναληπτικα θεματα στις παραγωγους σε word100 επαναληπτικα θεματα στις παραγωγους σε word
100 επαναληπτικα θεματα στις παραγωγους σε word
 
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word
 
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό 2020
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό 2020Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό 2020
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι το Διαφορικό Λογισμό 2020
 

More from Μάκης Χατζόπουλος

Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Μάκης Χατζόπουλος
 
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛΠανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Μάκης Χατζόπουλος
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Μάκης Χατζόπουλος
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
Μάκης Χατζόπουλος
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μάκης Χατζόπουλος
 
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3οΞεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Μάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
Μάκης Χατζόπουλος
 
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Μάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Μάκης Χατζόπουλος
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
Μάκης Χατζόπουλος
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Μάκης Χατζόπουλος
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ ΓυμνασίουΚεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΕργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Μάκης Χατζόπουλος
 
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
Μάκης Χατζόπουλος
 
Ιδιότητες του αριθμού 2021
Ιδιότητες του αριθμού 2021Ιδιότητες του αριθμού 2021
Ιδιότητες του αριθμού 2021
Μάκης Χατζόπουλος
 

More from Μάκης Χατζόπουλος (20)

Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
 
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛΠανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
 
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3οΞεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
 
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ ΓυμνασίουΚεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΕργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
 
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
 
Ιδιότητες του αριθμού 2021
Ιδιότητες του αριθμού 2021Ιδιότητες του αριθμού 2021
Ιδιότητες του αριθμού 2021
 

Recently uploaded

Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.ppt
nikzoit
 
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Χαρά Μαριάμι).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Χαρά Μαριάμι).pptΕργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Χαρά Μαριάμι).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Χαρά Μαριάμι).ppt
nikzoit
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.ppt
nikzoit
 
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).pptΕργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).ppt
nikzoit
 
Θεμιστοκλής Ρίγγας Ευεργέτης Παραμυθιάς.pptx
Θεμιστοκλής Ρίγγας Ευεργέτης Παραμυθιάς.pptxΘεμιστοκλής Ρίγγας Ευεργέτης Παραμυθιάς.pptx
Θεμιστοκλής Ρίγγας Ευεργέτης Παραμυθιάς.pptx
ssuser978255
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΣΠΥΡΟΣ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΣΠΥΡΟΣ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΣΠΥΡΟΣ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΣΠΥΡΟΣ.ppt
nikzoit
 
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson RefresherΑνακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
oureilidouan
 
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Τάσος Βανέσα).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Τάσος Βανέσα).pptΕργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Τάσος Βανέσα).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Τάσος Βανέσα).ppt
nikzoit
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
nikzoit
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΡΗΣ ΧΑΡΙΚΛΕΙΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΡΗΣ ΧΑΡΙΚΛΕΙΑ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΡΗΣ ΧΑΡΙΚΛΕΙΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΡΗΣ ΧΑΡΙΚΛΕΙΑ.ppt
nikzoit
 
Τα θέματα στην Ιστορία Προσανατολισμού για τις Πανελλήνιες 2024
Τα θέματα στην Ιστορία Προσανατολισμού για τις Πανελλήνιες 2024Τα θέματα στην Ιστορία Προσανατολισμού για τις Πανελλήνιες 2024
Τα θέματα στην Ιστορία Προσανατολισμού για τις Πανελλήνιες 2024
Newsroom8
 
Beige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdf
Beige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdfBeige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdf
Beige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdf
oureilidouan
 
ΤΟ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΚΙ ΜΑΣ-11ο ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ
ΤΟ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΚΙ ΜΑΣ-11ο ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ  ΧΑΝΙΩΝΤΟ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΚΙ ΜΑΣ-11ο ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ  ΧΑΝΙΩΝ
ΤΟ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΚΙ ΜΑΣ-11ο ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ
marscord
 
Independence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - Αφίσα
Independence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - ΑφίσαIndependence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - Αφίσα
Independence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - Αφίσα
Tassos Karampinis
 
Θέματα φυσικής πανελλαδικών εξετάσεων 2024
Θέματα φυσικής πανελλαδικών εξετάσεων  2024Θέματα φυσικής πανελλαδικών εξετάσεων  2024
Θέματα φυσικής πανελλαδικών εξετάσεων 2024
Θεόδωρος Μαραγκούλας
 
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdfyear-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
MariaAlexiou13
 
2024Istoriapanellinies2024apantiseisistoria.pdf
2024Istoriapanellinies2024apantiseisistoria.pdf2024Istoriapanellinies2024apantiseisistoria.pdf
2024Istoriapanellinies2024apantiseisistoria.pdf
konstantinantountoum1
 
ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΛΛΑΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ 12.ppt
ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΛΛΑΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ 12.pptΣΥΝΟΛΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΛΛΑΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ 12.ppt
ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΛΛΑΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ 12.ppt
nikzoit
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΗΛΙΑΝΑ ΜΑΡΙΑΝΝΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΗΛΙΑΝΑ ΜΑΡΙΑΝΝΑ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΗΛΙΑΝΑ ΜΑΡΙΑΝΝΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΗΛΙΑΝΑ ΜΑΡΙΑΝΝΑ.ppt
nikzoit
 

Recently uploaded (20)

Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.ppt
 
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Χαρά Μαριάμι).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Χαρά Μαριάμι).pptΕργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Χαρά Μαριάμι).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Χαρά Μαριάμι).ppt
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.ppt
 
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).pptΕργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).ppt
 
Θεμιστοκλής Ρίγγας Ευεργέτης Παραμυθιάς.pptx
Θεμιστοκλής Ρίγγας Ευεργέτης Παραμυθιάς.pptxΘεμιστοκλής Ρίγγας Ευεργέτης Παραμυθιάς.pptx
Θεμιστοκλής Ρίγγας Ευεργέτης Παραμυθιάς.pptx
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΣΠΥΡΟΣ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΣΠΥΡΟΣ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΣΠΥΡΟΣ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΣΠΥΡΟΣ.ppt
 
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson RefresherΑνακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
 
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Τάσος Βανέσα).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Τάσος Βανέσα).pptΕργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Τάσος Βανέσα).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Τάσος Βανέσα).ppt
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΡΗΣ ΧΑΡΙΚΛΕΙΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΡΗΣ ΧΑΡΙΚΛΕΙΑ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΡΗΣ ΧΑΡΙΚΛΕΙΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΡΗΣ ΧΑΡΙΚΛΕΙΑ.ppt
 
Τα θέματα στην Ιστορία Προσανατολισμού για τις Πανελλήνιες 2024
Τα θέματα στην Ιστορία Προσανατολισμού για τις Πανελλήνιες 2024Τα θέματα στην Ιστορία Προσανατολισμού για τις Πανελλήνιες 2024
Τα θέματα στην Ιστορία Προσανατολισμού για τις Πανελλήνιες 2024
 
Beige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdf
Beige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdfBeige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdf
Beige Aesthetic Neutral Thesis Defense Presentation (1).pdf
 
ΤΟ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΚΙ ΜΑΣ-11ο ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ
ΤΟ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΚΙ ΜΑΣ-11ο ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ  ΧΑΝΙΩΝΤΟ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΚΙ ΜΑΣ-11ο ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ  ΧΑΝΙΩΝ
ΤΟ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΚΙ ΜΑΣ-11ο ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ
 
Independence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - Αφίσα
Independence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - ΑφίσαIndependence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - Αφίσα
Independence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - Αφίσα
 
Θέματα φυσικής πανελλαδικών εξετάσεων 2024
Θέματα φυσικής πανελλαδικών εξετάσεων  2024Θέματα φυσικής πανελλαδικών εξετάσεων  2024
Θέματα φυσικής πανελλαδικών εξετάσεων 2024
 
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdfyear-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
 
2024Istoriapanellinies2024apantiseisistoria.pdf
2024Istoriapanellinies2024apantiseisistoria.pdf2024Istoriapanellinies2024apantiseisistoria.pdf
2024Istoriapanellinies2024apantiseisistoria.pdf
 
ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΛΛΑΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ 12.ppt
ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΛΛΑΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ 12.pptΣΥΝΟΛΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΛΛΑΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ 12.ppt
ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΛΛΑΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ 12.ppt
 
POTITISTIKO CHIOS, HISTORY,CULTURE,TRADITIONAL VILAGEES
POTITISTIKO CHIOS, HISTORY,CULTURE,TRADITIONAL VILAGEESPOTITISTIKO CHIOS, HISTORY,CULTURE,TRADITIONAL VILAGEES
POTITISTIKO CHIOS, HISTORY,CULTURE,TRADITIONAL VILAGEES
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΗΛΙΑΝΑ ΜΑΡΙΑΝΝΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΗΛΙΑΝΑ ΜΑΡΙΑΝΝΑ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΗΛΙΑΝΑ ΜΑΡΙΑΝΝΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΗΛΙΑΝΑ ΜΑΡΙΑΝΝΑ.ppt
 

45+1 Θέματα Γ Λυκείου

  • 1. 20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ'  Λυκείου Τσάτσος Χρήστος - Μαθηματικός ΝΑΥΠΑΚΤΟΣ 2021 20 21 45+1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 1 of 19
  • 2. 1 Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός E.1 Έστω η συνάρτηση   2 2 x 1 x λx λ 3 f x e x       , με λ   . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να υπολογίσετε τα όρια: i)   x lim f x  ii)   x 1 lim f x  iii)     x lim f f x    γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ το όριο   x 1 limf x  είναι: i) πραγματικός αριθμός. ii) μη πεπερασμένο. δ) Να υπολογίσετε το όριο             8 3 3 2 x α ημα f x f x lim ln α 2 f x f x 5       για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού α 2   . ε) Να υπολογίσετε το όριο     x lim 7 9f x μ 2 f x         για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού μ. E.2 Δίνεται η συνάρτηση   x e f x , x 1 x 1    . α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. γ) Να βρείτε τις κατακόρυφες και οριζόντιες ασύμπτωτες της συνάρτησης f και να σχεδιάσετε την γραφική της παράσταση. δ) Να βρείτε την εφαπτομένη της f που διέρχεται από το σημείο   A 1,0 . ε) Δίνεται η ευθεία ζ : αx y 2021 0    , α   . Για τις διάφορες τιμές του α, να βρείτε το πλήθος των εφαπτομένων της f που είναι παράλληλες στην ευθεία ζ. E.3 Δίνονται οι συναρτήσεις   x f x e 1   με x 0  και   g x 2lnx  με x 0  . α) Να ορίσετε την συνάρτηση      φ x f g x   . Δίνεται   2 φ x x 1   , με x 1  . β) Αν ε είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της φ στο σημείο 3 3 A ,φ 2 2             , να βρείτε την γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x  η ευθεία ε. γ) Να αποδείξετε ότι η φ αντιστρέφεται και να βρείτε την 1 φ . δ) Να υπολογίσετε το όριο   x lim φ x λx 2020        για τις διάφορες τιμές του λ   . 08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 2 of 19
  • 3. 2 Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός E.4 Δίνεται η συνάρτηση   x x e x f x e 1    , x 0  . α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f. β) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα του πεδίου ορισμού της. γ) Να αποδείξετε ότι η f έχει μια ρίζα   0 x 1,0   και ότι αυτή είναι η μοναδική της ρίζα. δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης   f x e λ  για τις διάφορες τιμές του λ 0  . E.5 Δίνεται η συνάρτηση   x lnx f x α e   με x 0  και α 0  . α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε: y α  είναι οριζόντια ασύμπτωτη της συνάρτησης f στο  και στη συνέχεια ότι η f βρίσκεται πάνω από την ε για κάθε x 1  . β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα   0,1 . γ) Να αποδείξετε ότι: i) η συνάρτηση f έχει μια ρίζα   0 x 0,1  . ii) το 0 x είναι η μοναδική ρίζα της f. δ) Δίνεται η συνάρτηση         f x h x f x e 1   . i) Να αποδείξετε ότι η h συνάρτηση εφάπτεται στον x x  . ii) Να υπολογίσετε το όριο   0 x x 1 lim h x  . E.6 Δίνεται η συνάρτηση   3 f x αx βx 5    , x   , της οποίας η γραφική παράσταση εφάπτεται στην ευθεία y 18x 27   στο σημείο     A 2,f 2 . α) Να βρείτε τους αριθμούς α και β. Δίνονται α 2  και β 6   . β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. γ) i) Να αποδείξετε ότι η f έχει μια ρίζα   0 x 3, 2    και ότι αυτή είναι μοναδική στο  . ii) Να υπολογίσετε το όριο   0 x 0 0 x x lim f x x     . E.7 Δίνεται η συνάρτηση   3 2 f x x αx β    , x   . Αν η γραφική παράσταση της f εφάπτεται στον άξονα x x  στο σημείο με τετμημένη x 2   , τότε: α) Να βρείτε τους αριθμούς α και β. Δίνονται α 3  και β 4   . β) Να υπολογίσετε τα όρια: i)     x 2 ln x e lim f x   ii)     x 1 ln x 1 lim f x   iii)   ν x f x lim x  , ν   . 08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 3 of 19
  • 4. 3 Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός γ) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. δ) Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ η εξίσωση 3 2 x 3x λ 4    έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες. E.8 Δίνεται η συνάρτηση   3 2 x λx μ f x x 1     με λ, μ   για την οποία ισχύει ότι   x 1 4x lim f x 3 x 1            . α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ. Δίνονται λ 9   και μ 0  . β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f. γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 2 x αx 9x α 0     είναι ισοδύναμη με την   f x α  και στη συνέχεια ότι έχει τρεις πραγματικές ρίζες για κάθε α   . E.9 Δίνεται η συνάρτηση     x 2 xe , x 0 f x x ln x 1 , x 0 2            . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη κυρτότητα και τα σημεία καμπής. δ) Να λύσετε την εξίσωση     f ημx x 2f x   . E.10 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση   αx 1 x x e , x 0 f x x β, x 0           , της οποίας η εφαπτομένη στο σημείο     Μ 1,f 1   διέρχεται από το σημείο   Λ 2, 2   . α) Να βρείτε τους αριθμούς α και β. Δίνονται α 1  και β 1   . β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες τις f. γ) Να αποδείξετε ότι η f έχει ακριβώς δύο κρίσιμα σημεία και να την μελετήσετε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. 08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 4 of 19
  • 5. 4 Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός E.11 Δίνεται η συνάρτηση     2 x x 1 αx, x 0 f x ln e 2x β, x 0             , η οποία έχει ακριβώς ένα κρίσιμο σημείο. α) Να βρείτε τους αριθμούς α και β. Δίνονται α 1   και β 1  . β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f. γ) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. δ) Να αποδείξετε ότι η f έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής. E.12 Δίνεται η συνάρτηση   x x xe 1, x 0 f x x , x 0           . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής. β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. δ) Να υπολογίσετε το όριο   x f ημx lim lnx  E.13 Δίνεται η συνάρτηση   2 x 1 2 α e , x 1 f x x αx, x 1               , η οποία ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα   1,1  . α) Να βρείτε το α. Δίνεται α 2  . β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. γ) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. E.14 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση   3 2 x λx 1 , x 1 x 1 f x μ 4, x 1               , με λ,μ   . α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ και να δείξετε ότι   2 f x x x 1    , x   . Δίνονται λ 2  και μ 5   . β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της f. 08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 5 of 19
  • 6. 5 Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτομένες της f που σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο με τους άξονες x x  και y y  και στη συνέχεια ότι αυτές τέμνονται κάθετα μεταξύ τους. δ) Αν α 0  , να δείξετε ότι η εξίσωση           f α αf 2α α 4 f 3α f x 2α 5      έχει ακριβώς δύο ρίζες. E.15 Δίνεται η συνάρτηση   π συνx αx, x ,0 2 f x 1 1 βx , x 0, 2                         της οποίας η γραφική παράσταση έχει στο σημείο     A 0,f 0 , εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία x y e 0    . Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση g :    για την οποία ισχύει η σχέση               g x f x g x f x 1 2f x     , για κάθε π 1 x , 2 2         . α) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β. Δίνονται α 1  και β 2   . β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα κρίσιμα σημεία και τα ακρότατα. γ) Να αποδείξετε ότι   x 0 limg x 0   . δ) i) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό π ξ ,0 6         τέτοιο, ώστε   π f ξ π 1     . ii) Αν επιπλέον η g είναι συνεχής, να αποδείξετε ότι η εξίσωση       2020 π 1 ημx x ξ g x 2021     έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα   0, ξ  . E.16 Δίνεται η συνάρτηση   2 x x 2x, x 0 f x α 1, x 0           , με 0 α 1   . α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. β) Να υπολογίσετε το όριο     3 2 x x x lim f f x 1    . Δίνεται επιπλέον ότι η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο διάστημα 1 1 , 2e 2        . γ) i) Να αποδείξετε ότι 2 α e  . ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή. 08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 6 of 19
  • 7. 6 Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός iii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 1 1 ξ , 2e 2         τέτοιο, ώστε να ισχύει   2 2 4e 1 f ξ 2e 2e      και στη συνέχεια να βρείτε την τιμή του ξ. δ) i) Να εξηγήσετε γιατί η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη 1 f  . ii) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των f και 1 f  στο ίδιο σύστημα αξόνων. E.17 Δίνεται η συνάρτηση   x e f x e ln x x    , x 0  . α) i) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii) Να λύσετε την εξίσωση       2021 2020 f x f x f x   . β) i) Να εξηγήσετε γιατί η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της 1 f  . ii) Να λύσετε την ανίσωση   x 1 e f x ημx 1    . γ) i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f f  και να δείξετε ότι έχει μοναδική ρίζα 0 x . ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση      1 f x 2021 0 f f x x 1      έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα   0 1,x . E.18 Δίνεται η συνάρτηση   x α x f x e lnx   με x 0  και α   της οποίας η γραφική παράσταση εφάπτεται στον άξονα x x  . α) Να βρείτε το α. Δίνεται α 1  . β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. γ) Να λύσετε την εξίσωση   e f f x ln 0 x         . δ) Να υπολογίσετε το όριο     2 2 x 0 1 lim f 1 x f συν x    . E.19 Δίνεται η συνάρτηση   2 x 4x x 4 αx, x 0 f x e βx 1, x 0              . α) Αν η f έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο  και στο σημείο     A 1,f 1 δέχεται οριζόντια εφαπτομένη, να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β. Για α 2 και β e   : 08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 7 of 19
  • 8. 7 Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός β) Να βρείτε ποιες από τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle δεν ικανοποιούνται για την f στο διάστημα   1,1  και να αιτιολογήσετε γιατί η f δεν αντιστρέφεται. γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. δ) i) Να αποδείξετε ότι 7 e e ln 2 6  . ii) Δίνεται η συνάρτηση   7 e e h x ln x ln 6         . Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h f  . E.20 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση   f : 0,π  με αρνητική κλίση στο π και για την οποία ισχύει η σχέση   2 2 2 x f x συν x c   για κάθε   x 0,π  . α) i) Να αποδείξετε ότι c 1  . ii) Να βρείτε τον τύπο της f. Δίνεται   ημx , 0 x π x f x 1, x 0          . β) i) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό   ξ 0,π  τέτοιο ώστε   6ημ1 3ημ2 2ημ3 f ξ 18    . γ) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και   1 g x x  έχουν κοινή εφαπτομένη ε στο κοινό τους σημείο   0 0 Μ x ,y και στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης αυτής. E.21 Δίνεται η συνάρτηση   f x x 2 x 1    , x 0  . α) Να υπολογίσετε το όριο   x 1 x x 2x 1 lim f x lnx     . β) i) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει     ημx ημ ημx ημx ημ ημx 2    για κάθε   x 0,π  . γ) i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f f  και να αποδείξετε ότι    f f x x   για κάθε   x 0,1  . ii) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β με 0 α 1 β    και   f α β  . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση     f x α f x β 1 x β x α       έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα   α,β . δ) Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση   x g x x λ 2    , x   για την οποία ισχύει ότι   g x 1  για κάθε x   . 08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 8 of 19
  • 9. 8 Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός i) Να βρείτε το λ. ii) Αν λ e  , να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν δύο ακριβώς κοινά σημεία Α και Β με τετμημένες 0 και   0 x 1,2  αντίστοιχα. E.22 Δίνεται η συνάρτηση   f x 2συνx x x   , x   . α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. β) i) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της 1 f . ii) Nα υπολογίσετε το όριο   1 x f x lim x   , αν γνωρίζετε ότι η 1 f είναι συνεχής. iii) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της 1 f τέμνει τον άξονα y y  σε σημείο με τεταγμένη 0 π y 1, 3       . γ) i) Να εξετάσετε αν η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο π π , 2 2        . ii) Έστω τα σημεία π π A ,f 2 2               και π π B ,f 2 2             . Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική εφαπτομένη της f στο διάστημα π π , 2 2        που είναι παράλληλη στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. E.23 Δίνεται η συνάρτηση   αx 1 f x x α    , x α  της οποίας η γραφική παράσταση δεν τέμνει την ευθεία y x  . α) Να αποδείξετε ότι 1 α 1    . β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ) Να αποδείξετε ότι    f f x x   , x α  . δ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να αποδείξετε ότι 1 f f   . ε) Αν α 0  , να αποδείξετε ότι η εξίσωση     f 2α αx f 3α αx 23 x 3 x 2       έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα   2,3 . E.24 Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f :    και g :    για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις   x x 0 f x e 1 1 lim x ημx 2      και   2 g x συνx 4x x    για κάθε x   . α) Να αποδείξετε ότι   f 0 0  και   f 0 2   . β) Να αποδείξετε ότι   g 0 1   και   g 0 4    . 08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 9 of 19
  • 10. 9 Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης g f  στο 0 x 0  . δ) Αν επιπλέον ● η f είναι γνησίως αύξουσα, ● η g είναι κυρτή, ● η f g  ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο   π,4 , να αποδείξετε ότι: i) η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο   π,4 . ii) οι συναρτήσεις f g  και g έχουν κοινή ρίζα   ξ π,4  . iii) η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο σε μοναδική θέση   ρ 0,ξ  . iv) δεν υπάρχει το όριο     h 0 h lim g ρ h g ρ    . E.25 Δίνεται η συνάρτηση   2 f x x 2λlnx, x 0, λ 0     . α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να βρείτε την μεγαλύτερη τιμή του λ για την οποία ισχύει 2 x 2λ xe 1   για κάθε x 0  . γ) Να βρείτε για ποια τιμή του λ η ευθεία y x  εφάπτεται στην γραφική παράσταση της f. Δίνεται 1 λ 2  . δ) Να αποδείξετε ότι   2x ln2 1 f x 4    για κάθε x 0  . ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό διάστημα   α,α 1  με α 0  , στο οποίο η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle. E.26 Δίνεται η συνάρτηση     3 2 f x λx 3λx 4 λ 1 x     , x   , λ   . α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η f είναι γνησίως φθίνουσα. β) Έστω η συνάρτηση      h x g f x    όπου   g x x  , x 0  . i) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η συνάρτηση h ορίζεται στο  . ii) Να υπολογίσετε το όριο   x lim h x 3x       για τις διάφορες τιμές του λ. γ) Αν λ 1  , να δείξετε ότι η συνάρτηση     2 4 φ x f x lnx 3          με x 0  , έχει ακριβώς δύο τοπικά ελάχιστα και ένα τοπικό μέγιστο. E.27 Δίνεται η συνάρτηση   f x lnx λx   , όπου x 0  και λ . α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f για τις διάφορες τιμές του λ. 08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 10 of 19
  • 11. 10 Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός β) Να βρείτε την μικρότερη τιμή του λ για την οποία δεν ορίζεται η συνάρτηση f f  . Δίνεται λ 0  . γ) Να ορίσετε την συνάρτηση      g x f f x   και να την μελετήσετε ως προς την μονοτονία και την κυρτότητα. δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν   1 2 ξ , ξ 2,4  , τέτοια ώστε     1 2 g ξ g ξ ln2     . E.28 Δίνεται η συνάρτηση   4 3 2 x f x x λ x λ 4     , με λ   . α) Να δείξετε ότι η f έχει δύο σημεία καμπής Α και Β και να βρείτε την ελάχιστη απόσταση ΑΒ. β) Να αποδείξετε ότι η f έχει το πολύ δύο κρίσιμα σημεία. γ) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο σε μοναδικό σημείο 0 x 3  . δ) Αν λ 0  , να βρείτε τις οριζόντιες και κατακόρυφες ασύμπτωτες της συνάρτησης     x 6x e h x f x    . E.29 Δίνεται η συνάρτηση   f x x λ x    , όπου x λ  και λ . α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ) Να βρείτε την μεγαλύτερη τιμή του λ για την οποία ορίζεται η συνάρτηση f f  . δ) Aν οι συναρτήσεις f και f f  παρουσιάζουν την ίδια μέγιστη τιμή στην ίδια θέση, να βρείτε την τιμή του λ και να επαληθεύσετε το αποτέλεσμα. E.30 Δίνεται η συνάρτηση   2 λ f x x λx e    . α) Να βρείτε την μεγαλύτερη τιμή του λ για την οποία το όριο   x 1 limf x  είναι καλώς ορισμένο. β) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τιμή του λ για την οποία η f να ορίζεται στο  . γ) Να αποδείξετε ότι το ευρύτερο υποσύνολο του  στο οποίο μπορεί να οριστεί η f πραγματοποιείται για μοναδικό   λ 1,0   . E.31 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση   f : 0,π  για την οποία ισχύουν: ●       2 f x 2 f x ημxσυνx   για κάθε   x 0,π  , ●   π f 0 f 4        και ● δεν ικανοποιείται για την f το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών στο διάστημα   0,π . α) Να αποδείξετε ότι   f x 1 ημx συνx    . 08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 11 of 19
  • 12. 11 Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός β) Να υπολογίσετε το όριο   x 0 f x lim x ημx    . γ) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της. δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση   f x x 1   έχει ακριβώς μια ρίζα. E.32 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :    για την οποία ισχύει η σχέση     2 x f x c lnf x e x     για κάθε x   με c   . α) Να αποδείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα. β) Αν c 2  , να βρείτε την συνάρτηση f. Δίνεται   x f x e  , x   . γ) Να υπολογίσετε τα όρια: i)   x x 1 lim f x e   ii)     2 x x x f x 2 lim f x 2    . δ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ε) Να λύσετε την εξίσωση x 2 2 e x e 4 4 x 2           . E.33 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση   f : 0,1   για την οποία ισχύουν: ●   f x 2 ln x x 1   , για κάθε   x 0,1  και ● η εξίσωση   α f x e  με α   είναι αδύνατη. α) Να αποδείξετε ότι:   1 x , 0 x 1 lnx f x 0, x 0           . β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f. γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική εφαπτομένη της f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. E.34 Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις   f : 0,   και g :    για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις     x x e g x f e      για κάθε x   και     x 1 x 0 xg x x lim 1 ημx f συνx      . α) Να αποδείξετε ότι     x g x f e 1   , x   . β) Αν     h 0 f 1 2h g 0 1 lim 2 h      , να αποδείξετε ότι: 08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 12 of 19
  • 13. 12 Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός i)   f 1 1   . ii) η εφαπτομένη της f στο     A 1,f 1 εφάπτεται της g στο     B 0,g 0 . γ) Έστω ότι   x g x xe 1    . i) Να βρείτε τον τύπο της f. ii) Αν   lnx f x 2 x   , να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε σημείο με τετμημένη   0 x 0,1  . iii) Nα αποδείξετε ότι     g x f x  για κάθε x 1  . E.35 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :    για την οποία ισχύουν: ●         2 x 1 f x 2x f x 1 2       για κάθε x . ● η ευθεία y x   εφαπτεται της γραφικής παράστασης της f στο σημείο     A 0,f 0 . α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση     f x x 2 e G x x 1    είναι σταθερή και στη συνέχεια να βρείτε την f. Δίνεται     2 f x ln x 1 x    . β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. δ) Να υπολογίσετε τα όρια: i)   x 1 1 lim f x ln2 1    ii)   x 1 x 1 lim f x ln2 1     ε) Να λύσετε την εξίσωση     2 x f e f ημx ημx    . στ) Να αποδείξετε ότι       f x f f x ln2 ln2    για κάθε   x 1,1   . E.36 Δίνεται συνάρτηση f :    για την οποία ισχύει     f x 2f x   για κάθε x   . α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση     x 2 h x e f x    είναι σταθερή. β) Αν   f 0 1  , να βρείτε τον τύπο της f. γ) Να αποδείξετε ότι: i) η f αντιστρέφεται και να βρείτε την 1 f . ii)     1 f x x f x    για κάθε x 0  . δ) Να αποδείξετε ότι: 08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 13 of 19
  • 14. 13 Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός i) οι γραφικές παραστάσεις των f και 1 f παρουσιάζουν ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση σε μοναδική θέση   0 x 2ln2, 2  . ii) οι εφαπτομένες των f και 1 f είναι παράλληλες στο 0 x και σχηματίζουν με τον άξονα x x  γωνία π π ω , 4 2       . iii) 0 4 x e  . E.37 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :    με   f 0 1   και έστω επίσης η συνάρτηση       x 2 x x 2 xe G x f x e    για την οποία ισχύει     2020 G x y G x y    για κάθε x, y   . α) Να αποδείξετε ότι η G είναι σταθερή και στη συνέχεια ότι   G x 1, x  . β) Να αποδείξετε ότι: i)     2 2 x f x xe 1   ii) η f έχει μοναδική ρίζα   0 x 0,1  . γ) Αν επιπλέον ισχύει   0 h 0 0 lnx lim f x h      , να αποδείξετε ότι: i)   x f x xe 1   . ii)   0 x x f x lim 1 x lnx    . E.38 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :    και η συνάρτηση g :    για την οποία ισχύει       x g x f x 1 f e    για κάθε x και   g 1 2   . α) Αν η f έχει ασύμπτωτη στο  την ευθεία y 2x  , να αποδείξετε ότι η g έχει ασύμπτωτη στο  την ευθεία   y 2x f e   . Δίνεται επιπλέον ότι η g είναι κυρτή και έχει εφαπτομένη την ευθεία y x  . β) Να αποδείξετε ότι   1 f 1 2   . γ) Αν ε είναι η εφαπτομένη της f στο σημείο     A 1,f 1 , να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς μια εφαπτομένη της g που είναι κάθετη στην ε. δ) Να δείξετε ότι η g έχει ολικό ελάχιστο. E.39 Δίνεται η συνάρτηση f :    για την οποία ισχύει η σχέση     3 1 x 2 x f x f x e x 3       για κάθε x . α) i) Να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c  τέτοια ώστε     3 1 x x f x x c e 3     , x . 08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 14 of 19
  • 15. 14 Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός ii) Αν   7 f 1 3  , να βρείτε τον τύπο της f. Δίνεται     3 1 x x f x x 1 e 3     . β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ) Να αποδείξετε ότι η f έχει μια ρίζα   0 x 1,0   και ότι αυτή είναι μοναδική. δ) Έστω πραγματικός αριθμός   0 κ x ,1  και η συνάρτηση   0 0 κ x h x ln x x    με 0 x x  . i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση     f x h x e   έχει λύση στο διάστημα   0 x ,κ . ii) Να βρείτε την εφαπτομένη της h στο σημείο     Α κ,h κ και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η συνάρτηση         2 0 0 0 x 2κx φ x x ln x x x h x 1 2 κ x            είναι γνησίως αύξουσα. E.40 Δίνεται η συνεχής και άρτια συνάρτηση f :     για την οποία ισχύουν   1 f x , x 0 x x     και   f 1 1  . Δίνεται επίσης το σημείο     M α,f α , α 0  . α) Να αποδείξετε ότι   1 f x x  και να κάνετε την γραφική της παράσταση. β) Έστω ε η εφαπτομένη της f στο σημείο Μ και Α, Β τα σημεία τομής της ε με τους άξονες x x  και y y  αντίστοιχα. i) Nα αποδείξετε ότι το Μ είναι το μέσο του ΑΒ. ii) Αν η τετμημένη του Μ μειώνεται με ρυθμό 2 μονάδες το δευτερόλεπτο, να βρείτε τον ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται η τεταγμένη του Β την χρονική στιγμή που η ευθεία ε διέρχεται από το σημείο   Γ 1,0 . γ) Δίνεται επιπλέον το ορθογώνιο ΜΚΛΝ, όπου το σημείο Κ ανήκει στην γραφική παράσταση της f και τα σημεία Λ, Ν στον άξονα x x  . i) Να αποδείξετε ότι το ορθογώνιο ΜΚΛΝ έχει σταθερό εμβαδόν. ii) Να βρείτε για ποια τιμή του α, το ορθογώνιο ΜΚΛΝ έχει ελάχιστη περίμετρο. E.41 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση   f : 1,     με   f 0 1  για την οποία ισχύει η σχέση     1 f x f x 2    . α) Να αποδείξετε ότι   f x x 1   . β) i) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την συνάρτηση 1 f . ii) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των f και 1 f στο ίδιο σύστημα αξόνων. 08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 15 of 19
  • 16. 15 Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός Έστω τα σημεία     1 A x,f x  ,     1 B 0,f x  και   Ο 0,0 . γ) i) Να βρείτε την συνάρτηση   Ε x που δίνει το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ για κάθε 0 x 1   . ii) Να βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης   Ε x όταν   x 0,1  . δ) Έστω επιπλέον το σημείο     1 Γ 0,f 0  και η γωνία ˆ ˆ θ ΒΑΓ  . i) Να υπολογίσετε τα όρια π θ 2 ΑΓ lim ΑΒ  και   π θ 2 lim ΑΓ ΒΓ   . ii) Αν η τετμημένη του σημείου Α αυξάνεται με ρυθμό 1 μονάδα το δευτερόλεπτο, να βρείτε τον ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται η γωνία θ την χρονική στιγμή 0 t όπου   0 x t 2  . E.42 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 x ln x 0   έχει μια ακριβώς ρίζα   0 x 0,1  . Δίνεται επιπλέον η συνεχής συνάρτηση   0 f : x ,1   για την οποία ισχύει     1 f x 2x f x e x   για κάθε   0 x x ,1  και   f 1 0  . β) i) Να αποδείξετε ότι   2 f x x x lnx    . ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. iii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση   0 1 f x ln x 4   είναι αδύνατη. γ) Έστω τα σημεία     Α 1,f 1 και     0 0 B x ,f x και το κινητό σημείο     M x,f x που κινείται πάνω στην γραφική παράσταση της f . Την χρονική στιγμή που το Μ διέρχεται από το σημείο     Γ ξ,f ξ στο οποίο η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f είναι παράλληλη με την ευθεία ΑΒ, η τετμημένη του μεταβάλλεται με ρυθμό 1 0 1 x   μονάδες το δευτερόλεπτο. Να αποδείξετε ότι την ίδια χρονική στιγμή η τεταγμένη του Μ μεταβάλλεται με ρυθμό 1 μονάδα το δευτερόλεπτο. δ) Δίνεται η συνάρτηση     0 x h x f x f x         . i) Να αποδείξετε ότι η h ορίζεται στο διάστημα   0 x ,1 και στη συνέχεια ότι ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα αυτό. ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της h με αντίθετες κλίσεις. iii) Αν γνωρίζετε ότι η h είναι κυρτή, να λύσετε την εξίσωση   0 h x x  . 08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 16 of 19
  • 17. 16 Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός E.43 Δίνεται η συνάρτηση f :    η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύουν     f x f x e x    για κάθε x  και   f   . α) i) Να αποδείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα και να βρείτε τη μονοτονία της. ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη. β) Να αποδείξετε ότι ότι η f δεν παρουσιάζει σημεία καμπής και να βρείτε την κυρτότητά της. γ) Να λύσετε την ανίσωση           f x f x 2 f e f x e f x 1         . δ) Να υπολογίσετε το όρια: i)     x lim f x 1 f x        ii)   x 0 lim xf lnx     . ε) i) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την 1 f  . ii) Να αποδείξετε ότι η ασύμπτωτη της 1 f  στο  είναι η ασύμπτωτη της f στο  . iii) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης f με τον άξονα x x  . iv) Να αποδείξετε ότι η f τέμνει την ευθεία y x  σε μοναδικό σημείο με τετμημένη   α 0,1  . v) Αν β είναι η τεταγμένη του σημείου όπου η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα yy  , να λύσετε την εξίσωση   f x β x e β e 1     . E.44 Δίνονται οι συναρτήσεις     2 f x 1 x 1, x 0,1     και   g x lnx x, x 0    . Δίνεται επίσης η συνάρτηση         x φ x g f x g f α ln α      , με   α 0,1  . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της φ και να αποδείξετε ότι τέμνει τον άξονα x x  στο μοναδικό σημείο   A α,0 . β) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της φ στο Α τέμνει τον άξονα y y  στο σημείο   2 B 0, 1 α  και στη συνέχεια να δείξετε ότι το ΑΒ έχει σταθερό μήκος. γ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ μεγιστοποιείται όταν το τρίγωνο γίνεται ισοσκελές. δ) Έστω ότι η τετμημένη του σημείου Α μειώνεται με ρυθμό 0,1 cm/s. Την χρονική στιγμή που το Α έχει τετμημένη 0,6 , να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής: i) της τεταγμένης του σημείου Β. ii) της γωνίας  θ ΟΑΒ  . iii) του εμβαδού του τριγώνου OAB. ε) Να αποδείξετε ότι σε οποιοδήποτε διάστημα     κ,λ 0,1  υπάρχουν 1 2 3 ξ , ξ , ξ τέτοια ώστε να ισχύει η σχέση 2 2 1 2 1 2 2 3 1 ξ 1 ξ 1 1 ξ ξ ξ ξ      . 08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 17 of 19
  • 18. 17 Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός E.45 Δίνεται η συνάρτηση   2 2 1 x , 1 x 0 f x π συν x, 0 x 2             . α) Να αποδείξετε ότι ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle σε κάθε διάστημα   ημα,α  , με π α 0, 2       . Δίνεται παρακάτω η γραφική παράσταση της f και τα σημεία     Α x,f x με π x 0, 2       ,     B 0,f 0 και   Γ Γ Γ x ,y με ΑΓ//x x  . β) Να αποδείξετε ότι Γ x ημx   . γ) Έστω   E x το εμβαδόν του πολυγώνου ΟΑΒΓ. i) Nα αποδείξετε ότι   x ημx E x 2   , π x 0, 2       . ii) Να βρείτε για ποια τιμή του x το εμβαδόν Ε παρουσιάζει μέγιστη τιμή. Τι σχήμα είναι το πολύγωνο σε αυτή την περίπτωση; iii) Να αποδείξετε ότι   0 1 E x 2  για μοναδικό 0 1 π x , 2 6       . iv) Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου Α είναι   x t 2   , να βρείτε τις συντεταγμένες του Α την χρονική στιγμή που ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε ισούται με 3 2 . 08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 18 of 19
  • 19. 18 Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός E.46 Δίνονται τα σημεία   Α 0,6 και   B 8,0 στο παρακάτω σύστημα αξόνων, καθώς και το σημείο   Δ α,β το οποίο κινείται από το Α στο Β με ΑΔ κ  . α) Να αποδείξετε ότι 4κ α 5  και   3 10 κ β 5   . β) Να βρείτε για ποια τιμή του κ μεγιστοποιείται το εμβαδόν του ορθογωνίου ΟΓΔΕ. γ) Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του ορθογωνίου ΟΓΔΕ αυξάνεται με σταθερό ρυθμό, χωρίς όμως να μπορεί να ξεπεράσει τα 2 3 της περιμέτρου του τριγώνου ΟΑΒ. Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση     2 2 3 f x x 2λ x λ 6, x , λ 0,8 4               . δ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f εφάπτεται στο τμήμα ΑΒ στο Δ και ότι α λ  . ε) Αν το λ αυξάνεται με ρυθμό 1 μονάδα το δευτερόλεπτο, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής: i) των κ και β. ii) του τμήματος ΟΔ την χρονική στιγμή που η συνάρτηση f ικανοποιεί το θεώρημα Rolle στο διάστημα 35 0, 4       . στ) Να αποδείξετε ότι             f 4f x 23 f 4f x 24 f 1 3x f 3x        για κάθε x . 08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 19 of 19