Επιμέλεια: Κώστας Νικολετόπουλος για το 9ο ΓΕΛ Περιστερίου αποκλειστικά από το lisari

1. 9Ο
ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και x0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f
παρουσιάζει στο x0 τοπικό ακρότατο και είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό, να δείξετε ότι:
f΄(x0) = 0. Μονάδες 10
Α2.Να διατυπώσετε και να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Rolle. Μονάδες 5
α. Αν f(x) ≥ f(0) για κάθε xε[0 ∞+ ) και η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 τότε f΄(0) = 0
Μονάδες 2
β. Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α και ισχύει f(x)≤κ , κ∈ℜ για κάθε x∈A , τότε η f
παρουσιάζει μέγιστο. Μονάδες 2
γ. Τα κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης είναι πάντα οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων. Μονάδες 2
δ. Αν ρ1, ρ2 δύο διαδοχικές ρίζες της f, τότε είναι f(x)≠0, για κάθε x∈(ρ1, ρ2) Μονάδες 2
ε. Αν f’’
(xo)=0, τότε το xo είναι πιθανό σημείο καμπής. Μονάδες 2
ΘΕΜΑ Β
Έστω η συνάρτηση f:(0,+ ∞)→R με f (x) xln ln= α −β χ ,β > 0 και α>1.
Β1. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα Μονάδες 6
Β2. Να βρείτε τα ορια
x
lim f (x)
→+∞
και
x 0
lim f (x)+
→
Μονάδες 6
Β3. Να βρείτε το πληθος των ριζων της εξισωσης f(x)=0 Μονάδες 7
Β4. Aν η εξισωση xχ β
α = εχει μοναδικη ριζα Να δειχθεί ότι β =elnα Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Γ.
Δίνεται η συνάρτηση f : R R→ με f (0) 1= για την όποια ισχύει
( )
2016x
e f (x) e f ( ) xψ
− ψ ≤ − ψ για κάθε χ,ψ R∈
Γ1. Να δείξετε ότι x
f(x) e , x R= ∈ Μονάδες 7
Γ2. Να υπολογίσετε το όριο
4 2
x
f (x 2x 3 x)
lim
2 x 12→+∞
− + ηm
συν −
Μονάδες 6

2. 9Ο
ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
Γ3.Εστω g , h συναρτήσεις παραγωγισιμες στο διάστημα (0,+ ∞) με g(1) = h(1)
=0 και g (x) f(h(x))′ = − και h (x) f(g(x))′ = − . Να δείξετε ότι g(x)=h(x) για κάθε
χ>0 και να βρείτε τον τύπο της g στο (0,+ ∞) Μονάδες 6
Γ4. Έστω σημείο Μ της γραφικής παράστασης της f με θετική τετμημένη . Αν
η τετμημενη του Μ απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων με ταχύτητα 2
m/sec , Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης ΑΜ όπου Α(2,0), την
χρονική στιγμή που η τετμημενη του σημείου Μ είναι χ=5. Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Δ.
Για την δυο φορες παραγωγίσιμη συναρτηση f : R R→ ισχυουν:
1. ( )
2
f (x) f (x) f (x)′′ ′⋅ > >0 , για κάθε χ R∈
2. f(x)+f(-x) =f(x)f(-x) , για κάθε χ R∈
3. f (0) 1′ = , για κάθε χ R∈
A. Nα δείξετε ότι: η f είναι γνησιως αυξουσα και κυρτη στο R
B. α) Nα δείξετε ότι η συνάρτηση g(x)=ln(f(x)) , x R∈ είναι κυρτή και ότι ισχυει
x
2
f (x) 2 e ,≥ ⋅ για κάθε χ R∈
β) Αν 1 2, ,..., (0, )να α α ∈ +∞ και είναι 1 2 ... 1,να ⋅α ⋅ ⋅α = Nα δείξετε ότι
1 2f (ln ) f (ln ) ... f (ln ) 2 ,n ∗
nα ⋅ α ⋅ ⋅ α ≥ n∈Ν
Γ. Nα δείξετε ότι f (x) 1≠ και να βρειτε το σύνολο τιμών της f
Δ. Αν 1 2, (0, )α α ∈ +∞ να δείξετε ότι 1 2
1 2f ( ) f ( ) f ( )
2
α + α
≤ α ⋅ α
Μονάδες (6+(4+3)+6+6)