SlideShare a Scribd company logo
Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Σελίδα 1 από 18
Άσκηση 1η
Να υπολογίσετε το όριο:
( )
x
x 0
lim 1 e ln x
−
→
− .
2η παραλλαγή της άσκησης
Να υπολογίσετε το όριο:
( )
x
x
x 0
e 1 ln x
lim
e
→
−
3η παραλλαγή της άσκησης
Να υπολογίσετε το όριο:
( )
x
x
x 0
e 1 ln x
lim
e
→
−
Σε ξέρω από κάπου; Έχουμε ξανασυναντηθεί;
Είναι η άσκηση Β6 στην παράγραφο 2.9. Το βιβλίο μας κατευθύνει με ποιον τρόπο να
το αντιμετωπίζουμε. Όταν όμως θα τεθεί στις εξετάσεις δεν θα δίνεται καμία
βοήθεια!
Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Σελίδα 2 από 18
Λύση
Η πρώτη και η δεύτερη παραλλαγή, είναι τα ίδια όρια όπως θα δούμε παρακάτω.
Υπενθυμίζουμε πώς λύνονται:
( ) ( )
( )
( )
x x x
x
x x
x 0 x 0 x 0 x 0
e 1 ln x e 1 1 e
lim lim ln x lim 1 e ln x lim ln x 1 0 0
e e
x
x
−
−
→ → → →
   
− − −
   
=  = − =  =  =
   
   
■
Με ανάλογο τρόπο προκύπτει και η τρίτη παραλλαγή.
Και πώς μπορεί να τεθεί στις Πανελλαδικές εξετάσεις με το «ζόρι»;
Αρκεί να έχουμε μια συνάρτηση f που το όριο της να τείνει στο μηδέν! Τότε αντί για
x στο παραπάνω όριο μπορούμε να το αντικαταστήσουμε με τη συνάρτηση f.
Για παράδειγμα
Α) Θεματοδότης: Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )
2
f x 1 x συν 2x
= + − ….
Εμείς: Να υπολογίσετε το όριο:
( )
( ) ( )
( )
f x
f x
x 0
e 1 ln f x
lim
e
→
−
Λύση
Θέτουμε ( )
f x u
= άρα ( ) ( )
( )
x 0 x 0
2
0
f x 1 x συν 2x 0 u
lim lim
→ →
= + − = = οπότε
καταλήγουμε στο όριο:
( )
( ) ( )
( )
( )
f x u
u
f x
x 0 u 0
e 1 ln f x e 1 ln u
lim lim 0
e
e
→ →
− −
= = ■
Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Σελίδα 3 από 18
Στην περίπτωσή μας η συνάρτηση ( )
f x 0
 για κάθε xR άρα έχει νόημα να
βρούμε το όριο του ( )
lnf x όταν το x τείνει στο μηδέν. Τι γίνεται αν δεν ξέρουμε το
πρόσημο της συνάρτηση f στην περιοχή του μηδέν; Τότε εφαρμόζουμε την τρίτη
παραλλαγή του ορίου. Δείτε το επόμενο παράδειγμα:
Β) Θεματοδότης: Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )
f x ημ πx
= …
Εμείς: Να υπολογίσετε το όριο:
( )
( ) ( )
( )
f x
f x
x 1
e 1 ln f x
lim
e
→
−
Λύση
Θέτουμε: ( )
f x u
= και ( ) ( )
x 1 x 1
f x ημ πx 0
lim lim
→ →
= = οπότε καταλήγουμε στο όριο:
( )
( ) ( )
( )
( )
f x u
u
f x
x 1 u 0
e 1 ln f x e 1 ln u
lim lim 0
e
e
→ →
− −
= = ■
Άσκηση 2η
Αν για μία συνάρτηση f που είναι ορισμένη σε όλο το R ισχύει:
( ) ( ) ( )
2
f x f y x y
−  − για όλα τα x,yR.
Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή.
2η παραλλαγή (Γενίκευση)
Αν για μία συνάρτηση f που είναι ορισμένη σε όλο το R ισχύει:
( ) ( ) ( )
2v
f x f y M x y
−  − για M 0
 και v 
n για όλα τα x,yR
να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή.
3η παραλλαγή
Αν για μία συνάρτηση f που είναι ορισμένη σε όλο το R ισχύει:
( ) ( ) ( )
2
f x f y x y
−  − για όλα τα x,yR.
Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή.
Σε ξέρω από κάπου; Έχουμε ξανασυναντηθεί;
Είναι η άσκηση Β1 στην παράγραφο 2.6.
Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Σελίδα 4 από 18
Λύση
1η παραλλαγή: Βοηθάει να θέσουμε στην θέση του y το 0
x . Αφού η σχέση ισχύει
για κάθε 0
x,x Rθα ισχύει και για 0
x x
 οπότε η δεδομένη σχέση γίνεται:
( ) ( )
0
0 0
0
f x f x
x x x x
x x
−
− −   −
−
.
Από Κριτήριο παρεμβολής βρίσκουμε: ( )
0
f x 0
 = για κάθε 0
x R ■
2η παραλλαγή: Με ανάλογο τρόπο ■
3η παραλλαγή: Βάζουμε όπου x το y και όπου y το x, άρα προκύπτει η σχέση:
( ) ( ) ( )
2
f y f x y x
−  −
δηλαδή
( ) ( ) ( )
2
x y f x f y
− −  −
άρα
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
x y f x f y x y
− −  −  −
Επομένως, ( ) ( ) ( )
2
f x f y x y
−  − για όλα τα x, yR άρα καταλήγουμε στην
πρώτη παραλλαγή της άσκησης ■
Και πώς μπορεί να τεθεί στις Πανελλαδικές εξετάσεις με το «ζόρι»;
Αρκεί να έχουμε μια συνάρτηση g που ικανοποιεί την παραπάνω συνάρτηση f, τότε η
συνάρτηση g είναι σταθερή και από εκεί βρίσκουμε τον τύπο της συνάρτησης.
Για παράδειγμα
Θεματοδότης: (θέλει να καταλήξουμε σε μια συνάρτηση πχ. ( ) x
f x e 2020
= + )
Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Σελίδα 5 από 18
Εμείς: Αν ισχύει ( ) ( ) ( )
2
x y
f x f y e e x y
− − +  − για όλα τα x,yR και
( )
f 0 2021
= , να βρείτε τον τύπο της f.
Λύση
Η δεδομένη σχέση γίνεται:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
y
x
2
x y
f e
x f y e e x f
f x x
e y
y
y
− − +  −  
− −
− −
Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( ) x
g x f x e
= − και η παραπάνω σχέση γίνεται:
( ) ( ) ( )
2
g x g y x y
−  − για όλα τα x, yR
άρα αν εκτελέσουμε την ίδια διαδικασία με την προηγούμενη άσκηση αποδεικνύουμε
ότι η συνάρτηση g είναι σταθερή, οπότε:
( ) ( ) x
g x c f x e c,x
=  − = R
όμως ( )
f 0 2021 c 2020
=  = άρα ( ) x
f x e 2020
= + ■
Άσκηση 3η
Στο παρακάτω σχήμα η καμπύλη C είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f
που είναι συνεχής στο  
α,β και το ( )
0 0 0
M x ,y είναι ένα σημείο του επιπέδου.
y
Μ(x,f(x))
Α(α,f(α))
B(β,f(β))
O β
α
x
Μ0(x0,y0)
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, σημείο της f
C που απέχει από το 0
M
λιγότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της και ένα, τουλάχιστον, σημείο της
f
C που απέχει από το 0
M περισσότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της.
Σε ξέρω από κάπου; Έχουμε ξανασυναντηθεί;
Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Σελίδα 6 από 18
Είναι η άσκηση Β9 στην παράγραφο 1.8 που προφανώς δίνει πολλά στοιχεία και πάλι
κατευθύνει τον αναγνώστη στην πιο ομαλή αντιμετώπιση της άσκησης.
Λύση
O τύπος της απόστασης ( )
0
M M δίνεται από τη συνάρτηση:
( ) ( ) ( )
( )
2
2
0 0
d x x x f x y
= − + − με  
x α,β
 .
Η συνάρτηση d είναι συνεχής στο [α, β] ως ρίζα αθροίσματος συνεχών συναρτήσεων.
Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, θα υπάρχει κάποιο
 
1
x α,β
 για το οποίο η d θα πάρει τη μέγιστη τιμή της και κάποιο  
2
x α,β
 για το
οποίο η d θα πάρει την ελάχιστη τιμή της ■
Και πώς μπορεί να τεθεί στις Πανελλαδικές εξετάσεις με το «ζόρι»;
Αρκεί να έχουμε:
• μια συνεχής συνάρτηση f,
• ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα  
α,β A

• και ένα σταθερό σημείο ( )
0 0 0
M x ,y του επιπέδου εκτός της f
C
Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Σελίδα 7 από 18
τότε αποδεικνύεται ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, σημείο της f
C που απέχει από το
0
M λιγότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της και ένα, τουλάχιστον, σημείο
της f
C που απέχει από το 0
M περισσότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της.
Για παράδειγμα
Θεματοδότης: Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2 2
f x 1 x x
= − − ….
Εμείς: Έστω ένα σημείο του επιπέδου ( )
0 0 f
M x , y C
 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει
ένα, τουλάχιστον, σημείο της f
C που απέχει από το 0
M λιγότερο από ότι απέχουν τα
υπόλοιπα σημεία της και ένα, τουλάχιστον, σημείο της f
C που απέχει από το 0
M
περισσότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της.
Λύση
Αρχικά το πεδίο ορισμού της συνάρτηση f είναι  
1,1
− . Η συνάρτηση της απόστασης
( )
0
M M είναι:
( ) ( ) ( )
( )
2
2
0 0
d x x x f x y
= − + − με  
x 1,1
 −
και εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής για τη συνεχή συνάρτηση
d.
Σημείωση: Αν ο θεματοδότης έχει δώσει συνάρτηση f που το πεδίο ορισμού της είναι
ανοικτό διάστημα
πχ. ( ) 2
f x x 1 x,
= + − R,
τότε εμείς θα μπορούμε να ζητήσουμε την ελάχιστη ή/και μέγιστη απόσταση ( )
0
MM σε
ένα κλειστό διάστημα  
α,β της f.
Άσκηση 4η
Στο παρακάτω σχήμα έχουμε τις γραφικές παραστάσεις δύο παραγωγίσιμων
συναρτήσεων f,g σ’ ένα διάστημα  
α,β . Το σημείο ( )
ξ α,β
 είναι το σημείο
Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Σελίδα 8 από 18
στο οποίο η κατακόρυφη απόσταση (ΑΒ) μεταξύ των f
C και g
C παίρνει τη
μεγαλύτερη τιμή.
y
O
Cf
Cg
g(ξ)
f(ξ)
Α
Β
β
α ξ x
Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των f
C και g
C στα σημεία ( )
( )
A ξ,f ξ και
( )
( )
B ξ,g ξ είναι παράλληλες.
Η άσκηση θα μπορούσε να τεθεί χωρίς το δεδομένο:
( ) ( )
f α g α
= και ( ) ( )
f β g β
=
που δίνει λανθασμένες εντυπώσεις για τον τρόπο επίλυσης (πχ. Θ. Rolle για τη
συνάρτηση ( ) ( ) ( )
h x f x g x
= − ).
2η Παραλλαγή:
Τέλος, δεν είναι υποχρεωτικό να δίνονται και οι δύο συναρτήσεις f , g. Θα μπορούσε
η μία συνάρτηση, για παράδειγμα η g, να είναι ο άξονας x x
 , επομένως η άσκηση
δίνεται με την εξής παραλλαγή.
Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Σελίδα 9 από 18
3η παραλλαγή (ειδική περίπτωση): Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο κλειστό
διάστημα  
α,β . Αν η κατακόρυφη απόσταση της γραφικής παράσταση της f από
τον άξονα x γίνεται μέγιστη (ή ελάχιστη) σε ένα σημείο ( )
ξ α,β
 , να αποδείξετε ότι
εφαπτόμενη της, στο σημείο αυτό, είναι οριζόντια.
Σε ξέρω από κάπου; Έχουμε ξανασυναντηθεί;
Η πρώτη και δεύτερη παραλλαγή είναι η άσκηση Β5 από την παράγραφο 2.7. Η
τρίτη παραλλαγή είναι η ερώτηση 8 από τις Κατανόησης του σχολικού βιβλίου
σελίδα 177 όπως βλέπετε παρακάτω:
Λύση
Η κατακόρυφη απόσταση (ΑΒ) μεταξύ των f
C και g
C δίνεται από τη συνάρτηση
( ) ( ) ( )
h x f x g x
= − για κάθε  
x α,β
 .
Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Σελίδα 10 από 18
Η h παρουσιάζει μέγιστο στο εσωτερικό σημείο 0
x ξ
= και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό,
άρα από το Θεώρημα Fermat έχουμε:
( ) ( ) ( )
h ξ 0 f ξ g ξ
  
=  =
άρα οι εφαπτόμενες των f
C και g
C στα σημεία ( )
( )
A ξ,f ξ και ( )
( )
B ξ,g ξ είναι
παράλληλες■
2η παραλλαγή: Όμοια.
3η παραλλαγή: Η κατακόρυφη απόσταση του τυχαίου σημείου ( )
( )
M x,f x της f
C
από τον άξονα των x δίνεται από τη συνάρτηση:
( ) ( ) ( )
g x f x f x
= = για κάθε xR
διότι η f
C είναι πάνω από τον άξονα των x άρα ( )
f x 0
 για κάθε xR .
Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και στο σημείο Α είναι μέγιστο (όμοια
ελάχιστο) της f, άρα ικανοποιείται το θεώρημα Fermat, οπότε:
( )
0
f x 0
 =
δηλαδή η συνάρτηση f έχει οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο ( )
( )
0 0
A x ,f x ■
Και πώς μπορεί να τεθεί στις Πανελλαδικές εξετάσεις με το «ζόρι»;
Αρκεί να δοθούν
• δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g στο  
α,β
• να γνωρίζουμε τη σχετική τους θέση πχ. ( ) ( )
f x g x
 για κάθε  
x α,β

• και ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού τους όπου η κατακόρυφη
απόσταση (ΑΒ) των f
C και g
C να είναι μέγιστη ή ελάχιστη,
τότε θα έχουμε το ζητούμενο, δηλαδή οι εφαπτόμενες των f
C και g
C στα σημεία
( )
( )
A ξ,f ξ και ( )
( )
B ξ,g ξ είναι παράλληλες.
Για παράδειγμα
Θεματοδότης: Δίνονται οι συναρτήσεις
Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Σελίδα 11 από 18
( ) 2
f x x 1 x
= + − και ( )
x ln x ,x 0
g x
0 ,x 0


= 
=

………..
Εμείς:
α) Να αποδείξετε ότι η f
C βρίσκεται πάνω από τη g
C στο διάστημα  
0,1 .
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( )
f x g x
= έχει ακριβώς μια ρίζα ( )
0
x 1,e
 .
γ) Αν 0
x η ρίζα του ερωτήματος β, να αποδείξετε ότι:
i) υπάρχει σημείο ( )
0
ξ 0,x
 στο οποίο η κατακόρυφη απόσταση (ΑΒ) μεταξύ των
f
C και g
C παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή.
ii) στο σημείο ( )
0
ξ 0,x
 , του προηγούμενου ερωτήματος, οι εφαπτόμενες των f
C
και g
C στα σημεία ( )
( )
A 0,f 0 και ( )
( )
0 0
B x ,g x είναι παράλληλες.
Λύση
Για εκπαιδευτικούς λόγους δίνεται το σχήμα για να έχουμε μια καλύτερη εικόνα της
άσκησης.
α) Έχουμε,
( ) ( )
0 x 1 g x 0 f x
    
Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Σελίδα 12 από 18
διότι ln x 0
 για κάθε ( )
x 0,1
 και 2
x 1 x 0
+ −  για κάθε xR (η απόδειξη
επαφίεται για τον αναγνώστη), άρα στο διάστημα  
0,1 η f
C βρίσκεται υψηλότερα
από τη g
C .
β) Λόγω του προηγούμενου ερωτήματος θα αναζητούμε τις λύσεις της εξίσωσης
( ) ( )
f x g x
=
στο διάστημα ( )
1,+ .
Θέτουμε τη συνάρτηση: ( ) ( ) ( )
h x f x g x , x 1
= −  . Έχουμε,
( )
2
2
x x 1
h x ln x 1
x 1
− +
 = − −
+
Για κάθε ( )
x 1,
 + ισχύει ( )
h x 0
  , οπότε η h είναι γνησίως φθίνουσα στο
διάστημα  )
1,+ .
Επίσης, η h συνεχής στο  
1,e και
( ) ( )
h 1 h e 0

άρα η εξίσωση ( ) ( ) ( )
h x 0 f x g x
=  = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ( )
1,e .
Όμως η h είναι γνησίως φθίνουσα, άρα η ρίζα είναι μοναδική.
γ) i. Η συνάρτηση ( ) ( )
f x g x
− είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα  
0
0,x , άρα από
Θ.Μ.Ε.Τ παρουσιάζει μια μέγιστη (προφανώς και μια ελάχιστη) τιμή. Αποδεικνύεται
ότι η μέγιστη τιμή δεν είναι στα άκρα του διαστήματος, οπότε υπάρχει ( )
0
ξ 0,x
 στο
οποίο η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των f
C και g
C παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή.
ii) Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Fermat για τη συνάρτηση ( ) ( )
f x g x
− με μέγιστο στο
εσωτερικό σημείο ( )
0
ξ 0,x
 ■
Άσκηση 5η
Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Σελίδα 13 από 18
Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της
καμπύλης 2
1
y x ,x 0
4
=  . Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της
τετμημένης x του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του y, αν
υποτεθεί ότι ( )
x t 0
  για κάθε t 0
 ;
2η παραλλαγή: Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά
μήκος της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) 2
1
f x x ,x 0
4
=  . Σε ποιο σημείο
της f
C ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης x του Μ είναι ίσος με το ρυθμό
μεταβολής της τεταγμένης του y, αν υποτεθεί ότι ( )
x t 0
  για κάθε t 0
 ;
Σε ξέρω από κάπου; Έχουμε ξανασυναντηθεί;
Είναι ακριβώς η άσκηση A5 στην παράγραφο 2.4. Παρόμοια άσκηση είναι και η Β6
και Β8 στην ίδια παράγραφο.
Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Σελίδα 14 από 18
Λύση
Έστω ( ) ( )
2
1
M x t , x t
4
 
 
 
σημείο της καμπύλης 2
1
y x
4
= τη χρονική στιγμή t με t 0
 ,
τότε:
( ) ( ) ( )
( )
( )
x t 0
1
x t x t x t x t 2
2
 
 
=  =
οπότε
( ) 2
1
y t 2 1
4
=  = .
Έτσι το σημείο είναι το ( )
M 2,1 ■
Και πώς μπορεί να τεθεί στις Πανελλαδικές εξετάσεις με το «ζόρι»;
Αρκεί να έχουμε
- μια εξίσωση καμπύλης
- και για μια χρονική στιγμή έχουμε μια σχέση μεταξύ πχ. των ( )
x t
 και ( )
x t
τότε μπορούμε να βρούμε σε ποιο σημείο της καμπύλης πραγματοποιείται.
Για παράδειγμα
Θεματοδότης: Η συνάρτηση ( ) 2
f x x 1, x 0
= +  …
Εμείς: Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της
γραφικής παράστασης της συνάρτησης f . Σε ποιο σημείο της ο ρυθμός μεταβολής
της τετμημένης x του Μ είναι ίσος με το διπλάσιο της μεταβολής της τεταγμένης του
y, αν ( )
x t 0
  για κάθε t 0
 ;
Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Σελίδα 15 από 18
Σημείωση: Στις ασκήσεις του ρυθμού μεταβολής βολεύει να αντιμετωπίζουμε τις
συναρτήσεις στη μορφή:
2
y x 1, x 0
= + 
για ευκολία στην παραγώγιση.
Λύση
Έστω ( ) ( )
( )
2
M x t , x t 1
+ σημείο της καμπύλης 2
y x 1
= + τη χρονική στιγμή t με
t 0
 τότε:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
x t 2y t x t 0
2 2 2
2
2 2
x t x t x t x t x t x t
1
y t
2 2
x t 1 x t 1 x t 1
x t 1 2x t
x t 1 4x t
3
x t
3
  
= 
  
 =  =  =
+ + +
 + =
 + =
 =
οπότε
( )
1 2 2 3
y t 1
3 3
3
= + = = .
Έτσι το σημείο είναι το
3 2 3
M ,
3 3
 
 
 
 
■
Άσκηση 6η
Αν ( )
2
x 1
f x αx β
x 1
+
= − +
+
, να βρείτε τις τιμές των α,βR για τις οποίες η γραφική
παράσταση της συνάρτησης f έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο + .
Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Σελίδα 16 από 18
2η παραλλαγή: Αν ( )
2
x 1
f x αx β
x 1
+
= − +
+
, να βρείτε τις τιμές των α,βR αν
( )
x
f x 0
lim
→+
= .
3η παραλλαγή: Αν ( )
2
x 1
f x αx β
x 1
+
= − +
+
, να βρείτε τις τιμές των α,βR αν
( )
x
f x 2021
lim
→+
= .
Σε ξέρω από κάπου; Έχουμε ξανασυναντηθεί;
Είναι η άσκηση Β3 στην παράγραφο 1.7 (με διαφορετική διατύπωση).
Λύση
Γνωρίζουμε ότι,
( ) ( )
x x
2
x 1
f x 0 αx β 0
x 1
lim lim
→+ →+
 
+
=  − − =
 
+
 
Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση ( )
2
x 1
g x , x 1
x 1
+
=  −
+
, τότε από την προηγούμενη σχέση
έχουμε ότι η ευθεία y αx β
= − είναι ασύμπτωτη της g
C στο + . Επομένως, αρκεί να
βρούμε την πλάγια ασύμπτωτή της στο + . Είναι
( )
x x
2
2
g x x 1
1 α 1
x x x
lim lim
→+ →+
+
= =  =
+
και
( )
( )
x x x
2
x 1 1 x
g x x x 1 β 1 β 1
x 1 x 1
lim lim lim
→+ →+ →+
 
+ −
− = − = = −  − = −  =
 
+ +
 
■
2η παραλλαγή: Είναι ισοδύναμη με την προηγούμενη άσκηση.
3η παραλλαγή: Το δεδομένο όριο γίνεται:
Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Σελίδα 17 από 18
( )
( )
x x
x
x
2
2
2
x 1
f x 2021 αx β 2021
x 1
x 1
αx β 2021 0
x 1
x 1
αx β 2021 0
x 1
lim lim
lim
lim
→+ →+
→+
→+
 
+
=  − + =
 
+
 
 
+
 − + − =
 
+
 
 
+
 − − + =
 
+
 
άρα η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( )
2
x 1
g x
x 1
+
=
+
έχει ασύμπτωτη στο +
την ευθεία y αx β 2021
= − + και ακολουθούμε την ίδια διαδικασία επίλυσης…
Και πώς μπορεί να τεθεί στις Πανελλαδικές εξετάσεις με το «ζόρι»;
Αρκεί να έχουμε:
• μια συνάρτηση f
• τέτοια ώστε ( )
( )
x
f x αx β 0
lim
→+
− + = ή ( )
( )
x
f x αx β
lim
→+
− + = , όπου ένας
πραγματικός αριθμός
τότε θα μπορούμε να υπολογίσουμε τα α και β.
Για παράδειγμα
Θεματοδότης: Δίνεται συνάρτηση ( ) 2
f x x 1
= + …..
Εμείς: Αν ( )
( )
x
f x αx β 4
lim
→+
− + = , τότε να υπολογίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β.
Λύση
Από τη δεδομένη σχέση έχουμε:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x x x
f x αx β 4 f x αx β 4 0 f x αx β 4 0
lim lim lim
→+ →+ →+
− + =  − + − =  − − + =
 
 
άρα η ευθεία y αx β 4
= − + είναι ασύμπτωτη της f
C στο + , επομένως
( )
x x x
2
2
f x x 1 1
α 1 1 α 1
x x x
lim lim lim
→+ →+ →+
+
= = = + =  =
και
( )
( ) ( )
x x x
2
2
1
β 4 f x x x 1 x 0 β 4
x 1 x
lim lim lim
→+ →+ →+
− + = − = + − = =  =
+ +
■
Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Σελίδα 18 από 18
Προφανώς για να λειτουργήσει η παραπάνω περίπτωση πρέπει η συνάρτηση f που θα
δίνεται να έχει πλάγια ασύμπτωτη στο + , αν δεν έχει τότε πρέπει μέσα στο όριο να
δημιουργήσουμε τους κατάλληλους μετασχηματισμούς έτσι ώστε να διαθέτει πλάγια
ασύμπτωτη. Ας δούμε μια περίπτωση πώς μπορεί να πραγματοποιηθεί.
Για παράδειγμα
Θεματοδότης: Δίνεται η συνάρτηση ( )
f x xln x
= …..
Εμείς: Αν
( )
x 2
f x
αx β 4
x
lim
→+
 
− + =
 
 
, τότε να υπολογίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β.
Λύση
Από τη δεδομένη σχέση έχουμε:
( )
( )
x x x
2 2
f x xln x ln x
αx β 4 αx β 4 0 αx β 4 0
x x x
lim lim lim
→+ →+ →+
     
− + =  − + − =  − − + =
     
   
 
άρα η ευθεία y αx β 4
= − + είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης ( )
ln x
g x
x
= στο + , επομένως:
( )
x x 2
g x ln x
α ... 0
x x
lim lim
→+ →+
= = = =
και
( )
x x
ln x
β 4 g x ... 0 β 4
x
lim lim
→+ →+
− + = = = =  =

More Related Content

What's hot

ιανουάριος 2015 τελικο
ιανουάριος 2015 τελικο ιανουάριος 2015 τελικο
ιανουάριος 2015 τελικο
Μάκης Χατζόπουλος
 
Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)
Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)
Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)
Δημήτρης Μοσχόπουλος
 
Θέματα Ανάλυσης για διδασκαλία στην τάξη (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός
Θέματα Ανάλυσης για διδασκαλία στην τάξη (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός ΛογισμόςΘέματα Ανάλυσης για διδασκαλία στην τάξη (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός
Θέματα Ανάλυσης για διδασκαλία στην τάξη (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα εξισώσεις - Ανισώσεις
Διαγώνισμα εξισώσεις - ΑνισώσειςΔιαγώνισμα εξισώσεις - Ανισώσεις
Διαγώνισμα εξισώσεις - Ανισώσεις
Μάκης Χατζόπουλος
 
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο ΑνάλυσηςΤεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Μάκης Χατζόπουλος
 
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα στα ΕΠΑΛ - Συναρτήσεις
Διαγώνισμα στα ΕΠΑΛ - ΣυναρτήσειςΔιαγώνισμα στα ΕΠΑΛ - Συναρτήσεις
Διαγώνισμα στα ΕΠΑΛ - Συναρτήσεις
Μάκης Χατζόπουλος
 
A alg themata_plus_lyseis
A alg themata_plus_lyseisA alg themata_plus_lyseis
A alg themata_plus_lyseis
Christos Loizos
 
μαθηματικα προσανατολισμου β λυκειου
μαθηματικα προσανατολισμου β λυκειουμαθηματικα προσανατολισμου β λυκειου
μαθηματικα προσανατολισμου β λυκειου
Athanasios Kopadis
 
Mαθηματικά Γ Λυκείου προσανατολισμού
Mαθηματικά Γ Λυκείου προσανατολισμούMαθηματικά Γ Λυκείου προσανατολισμού
Mαθηματικά Γ Λυκείου προσανατολισμού
Μάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου 2020 (νέα ύλη)
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου 2020 (νέα ύλη)Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου 2020 (νέα ύλη)
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου 2020 (νέα ύλη)
Μάκης Χατζόπουλος
 
2ο διαγώνισμα προσομοίωσης_2016_2017
2ο διαγώνισμα προσομοίωσης_2016_20172ο διαγώνισμα προσομοίωσης_2016_2017
2ο διαγώνισμα προσομοίωσης_2016_2017
Christos Loizos
 
Οδηγός Επανάληψης για τη Γ Λυκείου [2020]
Οδηγός Επανάληψης για τη Γ Λυκείου [2020]Οδηγός Επανάληψης για τη Γ Λυκείου [2020]
Οδηγός Επανάληψης για τη Γ Λυκείου [2020]
Μάκης Χατζόπουλος
 
Eπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείου
Eπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείουEπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείου
Eπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείου
Athanasios Kopadis
 
Διαγώνισμα για τη Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Διαγώνισμα για τη Κατεύθυνσης της Γ ΛυκείουΔιαγώνισμα για τη Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Διαγώνισμα για τη Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
προσομοιωση 2017
προσομοιωση 2017προσομοιωση 2017
προσομοιωση 2017
Christos Loizos
 
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....
Θανάσης Δρούγας
 
Όρια - γραφικές παραστάσεις - τριγωνομετρία - Υλικό Γ Λυκείου
Όρια - γραφικές παραστάσεις - τριγωνομετρία - Υλικό Γ ΛυκείουΌρια - γραφικές παραστάσεις - τριγωνομετρία - Υλικό Γ Λυκείου
Όρια - γραφικές παραστάσεις - τριγωνομετρία - Υλικό Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 

What's hot (20)

ιανουάριος 2015 τελικο
ιανουάριος 2015 τελικο ιανουάριος 2015 τελικο
ιανουάριος 2015 τελικο
 
Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)
Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)
Προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα-2 (Μιχαηλίδης)
 
Math epal 2014
Math epal 2014Math epal 2014
Math epal 2014
 
Θέματα Ανάλυσης για διδασκαλία στην τάξη (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός
Θέματα Ανάλυσης για διδασκαλία στην τάξη (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός ΛογισμόςΘέματα Ανάλυσης για διδασκαλία στην τάξη (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός
Θέματα Ανάλυσης για διδασκαλία στην τάξη (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός
 
Διαγώνισμα εξισώσεις - Ανισώσεις
Διαγώνισμα εξισώσεις - ΑνισώσειςΔιαγώνισμα εξισώσεις - Ανισώσεις
Διαγώνισμα εξισώσεις - Ανισώσεις
 
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο ΑνάλυσηςΤεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
Τεστ στα ΕΠΑΛ στο 1ο κεφάλαιο Ανάλυσης
 
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
 
Διαγώνισμα στα ΕΠΑΛ - Συναρτήσεις
Διαγώνισμα στα ΕΠΑΛ - ΣυναρτήσειςΔιαγώνισμα στα ΕΠΑΛ - Συναρτήσεις
Διαγώνισμα στα ΕΠΑΛ - Συναρτήσεις
 
A alg themata_plus_lyseis
A alg themata_plus_lyseisA alg themata_plus_lyseis
A alg themata_plus_lyseis
 
Θεματα πανελλαδικων 2000-2016
Θεματα πανελλαδικων 2000-2016Θεματα πανελλαδικων 2000-2016
Θεματα πανελλαδικων 2000-2016
 
μαθηματικα προσανατολισμου β λυκειου
μαθηματικα προσανατολισμου β λυκειουμαθηματικα προσανατολισμου β λυκειου
μαθηματικα προσανατολισμου β λυκειου
 
Mαθηματικά Γ Λυκείου προσανατολισμού
Mαθηματικά Γ Λυκείου προσανατολισμούMαθηματικά Γ Λυκείου προσανατολισμού
Mαθηματικά Γ Λυκείου προσανατολισμού
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου 2020 (νέα ύλη)
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου 2020 (νέα ύλη)Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου 2020 (νέα ύλη)
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου 2020 (νέα ύλη)
 
2ο διαγώνισμα προσομοίωσης_2016_2017
2ο διαγώνισμα προσομοίωσης_2016_20172ο διαγώνισμα προσομοίωσης_2016_2017
2ο διαγώνισμα προσομοίωσης_2016_2017
 
Οδηγός Επανάληψης για τη Γ Λυκείου [2020]
Οδηγός Επανάληψης για τη Γ Λυκείου [2020]Οδηγός Επανάληψης για τη Γ Λυκείου [2020]
Οδηγός Επανάληψης για τη Γ Λυκείου [2020]
 
Eπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείου
Eπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείουEπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείου
Eπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείου
 
Διαγώνισμα για τη Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Διαγώνισμα για τη Κατεύθυνσης της Γ ΛυκείουΔιαγώνισμα για τη Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Διαγώνισμα για τη Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
 
προσομοιωση 2017
προσομοιωση 2017προσομοιωση 2017
προσομοιωση 2017
 
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....
 
Όρια - γραφικές παραστάσεις - τριγωνομετρία - Υλικό Γ Λυκείου
Όρια - γραφικές παραστάσεις - τριγωνομετρία - Υλικό Γ ΛυκείουΌρια - γραφικές παραστάσεις - τριγωνομετρία - Υλικό Γ Λυκείου
Όρια - γραφικές παραστάσεις - τριγωνομετρία - Υλικό Γ Λυκείου
 

Similar to H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν Τάξη"

13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
Μάκης Χατζόπουλος
 
(νέο) 9 Μαθήματα Ανάλυσης 2018 (15 έκδοση)
(νέο) 9 Μαθήματα Ανάλυσης 2018 (15 έκδοση)(νέο) 9 Μαθήματα Ανάλυσης 2018 (15 έκδοση)
(νέο) 9 Μαθήματα Ανάλυσης 2018 (15 έκδοση)
Μάκης Χατζόπουλος
 
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020
General Lyceum "Menelaos Lountemis"
 
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ ΛυκείουΦυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Οι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου Γ Λυκείου
Οι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου Γ ΛυκείουΟι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου Γ Λυκείου
Οι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Alg kef 2_sunartiseis_thema_b_d_ekdosi_a_makis (τελικο)
Alg kef 2_sunartiseis_thema_b_d_ekdosi_a_makis (τελικο)Alg kef 2_sunartiseis_thema_b_d_ekdosi_a_makis (τελικο)
Alg kef 2_sunartiseis_thema_b_d_ekdosi_a_makis (τελικο)Stavros Charalambus
 
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
General Lyceum "Menelaos Lountemis"
 
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
Μάκης Χατζόπουλος
 
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
Μάκης Χατζόπουλος
 
14ο λύκειο περιστερίου μαθηματικά γ΄ κατεύθυνσης 2015-6
14ο λύκειο περιστερίου   μαθηματικά γ΄ κατεύθυνσης 2015-614ο λύκειο περιστερίου   μαθηματικά γ΄ κατεύθυνσης 2015-6
14ο λύκειο περιστερίου μαθηματικά γ΄ κατεύθυνσης 2015-6
Christos Loizos
 
Eπαναληψη 2018
Eπαναληψη 2018Eπαναληψη 2018
Eπαναληψη 2018
Athanasios Kopadis
 
Διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου 2ο Καζούλλειο Ρόδου
Διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου 2ο Καζούλλειο ΡόδουΔιαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου 2ο Καζούλλειο Ρόδου
Διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου 2ο Καζούλλειο Ρόδου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Math pros themata_lyseis_2018_l
Math pros themata_lyseis_2018_lMath pros themata_lyseis_2018_l
Math pros themata_lyseis_2018_l
Christos Loizos
 
Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5
Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5
Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5
Christos Loizos
 
Ekfoniseis 1 200
Ekfoniseis 1 200Ekfoniseis 1 200
Ekfoniseis 1 200
Kyriakos Issaris
 
Ekfoniseis 1 200
Ekfoniseis 1 200Ekfoniseis 1 200
Μαθηματικά Γ λυκείου προσανατολισμού θετικών σπουδών οικονομίας και πληροφορι...
Μαθηματικά Γ λυκείου προσανατολισμού θετικών σπουδών οικονομίας και πληροφορι...Μαθηματικά Γ λυκείου προσανατολισμού θετικών σπουδών οικονομίας και πληροφορι...
Μαθηματικά Γ λυκείου προσανατολισμού θετικών σπουδών οικονομίας και πληροφορι...
Θανάσης Δρούγας
 
Themata kai lyseis_math_thetikou_pros_2016_final
Themata kai lyseis_math_thetikou_pros_2016_finalThemata kai lyseis_math_thetikou_pros_2016_final
Themata kai lyseis_math_thetikou_pros_2016_final
Christos Loizos
 
στεργιου μεθοδευση ευρεσησ
στεργιου  μεθοδευση ευρεσησστεργιου  μεθοδευση ευρεσησ
στεργιου μεθοδευση ευρεσησ
Christos Loizos
 
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41Σωκράτης Ρωμανίδης
 

Similar to H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν Τάξη" (20)

13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
 
(νέο) 9 Μαθήματα Ανάλυσης 2018 (15 έκδοση)
(νέο) 9 Μαθήματα Ανάλυσης 2018 (15 έκδοση)(νέο) 9 Μαθήματα Ανάλυσης 2018 (15 έκδοση)
(νέο) 9 Μαθήματα Ανάλυσης 2018 (15 έκδοση)
 
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020
 
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ ΛυκείουΦυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
 
Οι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου Γ Λυκείου
Οι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου Γ ΛυκείουΟι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου Γ Λυκείου
Οι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου Γ Λυκείου
 
Alg kef 2_sunartiseis_thema_b_d_ekdosi_a_makis (τελικο)
Alg kef 2_sunartiseis_thema_b_d_ekdosi_a_makis (τελικο)Alg kef 2_sunartiseis_thema_b_d_ekdosi_a_makis (τελικο)
Alg kef 2_sunartiseis_thema_b_d_ekdosi_a_makis (τελικο)
 
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
 
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
 
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
 
14ο λύκειο περιστερίου μαθηματικά γ΄ κατεύθυνσης 2015-6
14ο λύκειο περιστερίου   μαθηματικά γ΄ κατεύθυνσης 2015-614ο λύκειο περιστερίου   μαθηματικά γ΄ κατεύθυνσης 2015-6
14ο λύκειο περιστερίου μαθηματικά γ΄ κατεύθυνσης 2015-6
 
Eπαναληψη 2018
Eπαναληψη 2018Eπαναληψη 2018
Eπαναληψη 2018
 
Διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου 2ο Καζούλλειο Ρόδου
Διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου 2ο Καζούλλειο ΡόδουΔιαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου 2ο Καζούλλειο Ρόδου
Διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου 2ο Καζούλλειο Ρόδου
 
Math pros themata_lyseis_2018_l
Math pros themata_lyseis_2018_lMath pros themata_lyseis_2018_l
Math pros themata_lyseis_2018_l
 
Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5
Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5
Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5
 
Ekfoniseis 1 200
Ekfoniseis 1 200Ekfoniseis 1 200
Ekfoniseis 1 200
 
Ekfoniseis 1 200
Ekfoniseis 1 200Ekfoniseis 1 200
Ekfoniseis 1 200
 
Μαθηματικά Γ λυκείου προσανατολισμού θετικών σπουδών οικονομίας και πληροφορι...
Μαθηματικά Γ λυκείου προσανατολισμού θετικών σπουδών οικονομίας και πληροφορι...Μαθηματικά Γ λυκείου προσανατολισμού θετικών σπουδών οικονομίας και πληροφορι...
Μαθηματικά Γ λυκείου προσανατολισμού θετικών σπουδών οικονομίας και πληροφορι...
 
Themata kai lyseis_math_thetikou_pros_2016_final
Themata kai lyseis_math_thetikou_pros_2016_finalThemata kai lyseis_math_thetikou_pros_2016_final
Themata kai lyseis_math_thetikou_pros_2016_final
 
στεργιου μεθοδευση ευρεσησ
στεργιου  μεθοδευση ευρεσησστεργιου  μεθοδευση ευρεσησ
στεργιου μεθοδευση ευρεσησ
 
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41
 

More from Μάκης Χατζόπουλος

Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Μάκης Χατζόπουλος
 
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛΠανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Μάκης Χατζόπουλος
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Μάκης Χατζόπουλος
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
Μάκης Χατζόπουλος
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μάκης Χατζόπουλος
 
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3οΞεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Μάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Μάκης Χατζόπουλος
 
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου 45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
Μάκης Χατζόπουλος
 
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Μάκης Χατζόπουλος
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Μάκης Χατζόπουλος
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ ΓυμνασίουΚεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΕργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Μάκης Χατζόπουλος
 
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από ΣούρμπηΔιαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Μάκης Χατζόπουλος
 
Ιδιότητες του αριθμού 2021
Ιδιότητες του αριθμού 2021Ιδιότητες του αριθμού 2021
Ιδιότητες του αριθμού 2021
Μάκης Χατζόπουλος
 

More from Μάκης Χατζόπουλος (20)

Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
 
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛΠανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
 
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3οΞεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
 
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου 45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
 
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ ΓυμνασίουΚεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΕργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
 
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από ΣούρμπηΔιαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
 
Ιδιότητες του αριθμού 2021
Ιδιότητες του αριθμού 2021Ιδιότητες του αριθμού 2021
Ιδιότητες του αριθμού 2021
 

Recently uploaded

Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.ppt
nikzoit
 
Green Minimalist Case Studies Presentation.pdf
Green Minimalist Case Studies Presentation.pdfGreen Minimalist Case Studies Presentation.pdf
Green Minimalist Case Studies Presentation.pdf
oureilidouan
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΩΡΓΟΣ ΕΥΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΩΡΓΟΣ ΕΥΗ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΩΡΓΟΣ ΕΥΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΩΡΓΟΣ ΕΥΗ.ppt
nikzoit
 
them_fysiki_gel_240612.Panellinies 2024 fysikipdf
them_fysiki_gel_240612.Panellinies 2024 fysikipdfthem_fysiki_gel_240612.Panellinies 2024 fysikipdf
them_fysiki_gel_240612.Panellinies 2024 fysikipdf
konstantinantountoum1
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΕΒΕΛΙΝΑ ΕΜΙΛΥ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΕΒΕΛΙΝΑ ΕΜΙΛΥ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΕΒΕΛΙΝΑ ΕΜΙΛΥ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΕΒΕΛΙΝΑ ΕΜΙΛΥ).ppt
nikzoit
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΕΙΡΕΤΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Π.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΕΙΡΕΤΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Π.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΕΙΡΕΤΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Π.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΕΙΡΕΤΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Π.ppt
nikzoit
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΥΡΤΩ) .ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΥΡΤΩ)               .pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΥΡΤΩ)               .ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΥΡΤΩ) .ppt
nikzoit
 
2024Istoriapanellinies2024apantiseisistoria.pdf
2024Istoriapanellinies2024apantiseisistoria.pdf2024Istoriapanellinies2024apantiseisistoria.pdf
2024Istoriapanellinies2024apantiseisistoria.pdf
konstantinantountoum1
 
Θεμιστοκλής Ρίγγας Ευεργέτης Παραμυθιάς.pptx
Θεμιστοκλής Ρίγγας Ευεργέτης Παραμυθιάς.pptxΘεμιστοκλής Ρίγγας Ευεργέτης Παραμυθιάς.pptx
Θεμιστοκλής Ρίγγας Ευεργέτης Παραμυθιάς.pptx
ssuser978255
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΟΛΙΒΙΑ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΟΛΙΒΙΑ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΣ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΟΛΙΒΙΑ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΟΛΙΒΙΑ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΣ).ppt
nikzoit
 
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Χαρά Μαριάμι).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Χαρά Μαριάμι).pptΕργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Χαρά Μαριάμι).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Χαρά Μαριάμι).ppt
nikzoit
 
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Δημήτρης Ζ Κωνσταντίνος).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Δημήτρης Ζ  Κωνσταντίνος).pptΕργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Δημήτρης Ζ  Κωνσταντίνος).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Δημήτρης Ζ Κωνσταντίνος).ppt
nikzoit
 
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson RefresherΑνακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
oureilidouan
 
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Δημήτρης Τ Άγγελος).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Δημήτρης Τ  Άγγελος).pptΕργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Δημήτρης Τ  Άγγελος).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Δημήτρης Τ Άγγελος).ppt
nikzoit
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΕΛΙΝΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΕΛΙΝΑ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΕΛΙΝΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΕΛΙΝΑ.ppt
nikzoit
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ Φ. ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Χ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ Φ. ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Χ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ Φ. ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Χ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ Φ. ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Χ.ppt
nikzoit
 
Τα θέματα στην Ιστορία Προσανατολισμού για τις Πανελλήνιες 2024
Τα θέματα στην Ιστορία Προσανατολισμού για τις Πανελλήνιες 2024Τα θέματα στην Ιστορία Προσανατολισμού για τις Πανελλήνιες 2024
Τα θέματα στην Ιστορία Προσανατολισμού για τις Πανελλήνιες 2024
Newsroom8
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.ppt
nikzoit
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
nikzoit
 

Recently uploaded (20)

Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.ppt
 
Green Minimalist Case Studies Presentation.pdf
Green Minimalist Case Studies Presentation.pdfGreen Minimalist Case Studies Presentation.pdf
Green Minimalist Case Studies Presentation.pdf
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΩΡΓΟΣ ΕΥΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΩΡΓΟΣ ΕΥΗ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΩΡΓΟΣ ΕΥΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΩΡΓΟΣ ΕΥΗ.ppt
 
them_fysiki_gel_240612.Panellinies 2024 fysikipdf
them_fysiki_gel_240612.Panellinies 2024 fysikipdfthem_fysiki_gel_240612.Panellinies 2024 fysikipdf
them_fysiki_gel_240612.Panellinies 2024 fysikipdf
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΕΒΕΛΙΝΑ ΕΜΙΛΥ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΕΒΕΛΙΝΑ ΕΜΙΛΥ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΕΒΕΛΙΝΑ ΕΜΙΛΥ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΕΒΕΛΙΝΑ ΕΜΙΛΥ).ppt
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΕΙΡΕΤΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Π.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΕΙΡΕΤΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Π.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΕΙΡΕΤΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Π.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΕΙΡΕΤΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Π.ppt
 
POTITISTIKO CHIOS, HISTORY,CULTURE,TRADITIONAL VILAGEES
POTITISTIKO CHIOS, HISTORY,CULTURE,TRADITIONAL VILAGEESPOTITISTIKO CHIOS, HISTORY,CULTURE,TRADITIONAL VILAGEES
POTITISTIKO CHIOS, HISTORY,CULTURE,TRADITIONAL VILAGEES
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΥΡΤΩ) .ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΥΡΤΩ)               .pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΥΡΤΩ)               .ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΥΡΤΩ) .ppt
 
2024Istoriapanellinies2024apantiseisistoria.pdf
2024Istoriapanellinies2024apantiseisistoria.pdf2024Istoriapanellinies2024apantiseisistoria.pdf
2024Istoriapanellinies2024apantiseisistoria.pdf
 
Θεμιστοκλής Ρίγγας Ευεργέτης Παραμυθιάς.pptx
Θεμιστοκλής Ρίγγας Ευεργέτης Παραμυθιάς.pptxΘεμιστοκλής Ρίγγας Ευεργέτης Παραμυθιάς.pptx
Θεμιστοκλής Ρίγγας Ευεργέτης Παραμυθιάς.pptx
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΟΛΙΒΙΑ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΟΛΙΒΙΑ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΣ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΟΛΙΒΙΑ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΟΛΙΒΙΑ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΣ).ppt
 
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Χαρά Μαριάμι).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Χαρά Μαριάμι).pptΕργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Χαρά Μαριάμι).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Χαρά Μαριάμι).ppt
 
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Δημήτρης Ζ Κωνσταντίνος).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Δημήτρης Ζ  Κωνσταντίνος).pptΕργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Δημήτρης Ζ  Κωνσταντίνος).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Δημήτρης Ζ Κωνσταντίνος).ppt
 
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson RefresherΑνακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
 
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Δημήτρης Τ Άγγελος).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Δημήτρης Τ  Άγγελος).pptΕργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Δημήτρης Τ  Άγγελος).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Δημήτρης Τ Άγγελος).ppt
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΕΛΙΝΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΕΛΙΝΑ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΕΛΙΝΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΕΛΙΝΑ.ppt
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ Φ. ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Χ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ Φ. ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Χ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ Φ. ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Χ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ Φ. ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Χ.ppt
 
Τα θέματα στην Ιστορία Προσανατολισμού για τις Πανελλήνιες 2024
Τα θέματα στην Ιστορία Προσανατολισμού για τις Πανελλήνιες 2024Τα θέματα στην Ιστορία Προσανατολισμού για τις Πανελλήνιες 2024
Τα θέματα στην Ιστορία Προσανατολισμού για τις Πανελλήνιες 2024
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.ppt
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
 

H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν Τάξη"

  • 1. Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σελίδα 1 από 18 Άσκηση 1η Να υπολογίσετε το όριο: ( ) x x 0 lim 1 e ln x − → − . 2η παραλλαγή της άσκησης Να υπολογίσετε το όριο: ( ) x x x 0 e 1 ln x lim e → − 3η παραλλαγή της άσκησης Να υπολογίσετε το όριο: ( ) x x x 0 e 1 ln x lim e → − Σε ξέρω από κάπου; Έχουμε ξανασυναντηθεί; Είναι η άσκηση Β6 στην παράγραφο 2.9. Το βιβλίο μας κατευθύνει με ποιον τρόπο να το αντιμετωπίζουμε. Όταν όμως θα τεθεί στις εξετάσεις δεν θα δίνεται καμία βοήθεια!
  • 2. Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σελίδα 2 από 18 Λύση Η πρώτη και η δεύτερη παραλλαγή, είναι τα ίδια όρια όπως θα δούμε παρακάτω. Υπενθυμίζουμε πώς λύνονται: ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x 0 x 0 x 0 x 0 e 1 ln x e 1 1 e lim lim ln x lim 1 e ln x lim ln x 1 0 0 e e x x − − → → → →     − − −     =  = − =  =  =         ■ Με ανάλογο τρόπο προκύπτει και η τρίτη παραλλαγή. Και πώς μπορεί να τεθεί στις Πανελλαδικές εξετάσεις με το «ζόρι»; Αρκεί να έχουμε μια συνάρτηση f που το όριο της να τείνει στο μηδέν! Τότε αντί για x στο παραπάνω όριο μπορούμε να το αντικαταστήσουμε με τη συνάρτηση f. Για παράδειγμα Α) Θεματοδότης: Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) 2 f x 1 x συν 2x = + − …. Εμείς: Να υπολογίσετε το όριο: ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x x 0 e 1 ln f x lim e → − Λύση Θέτουμε ( ) f x u = άρα ( ) ( ) ( ) x 0 x 0 2 0 f x 1 x συν 2x 0 u lim lim → → = + − = = οπότε καταλήγουμε στο όριο: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x u u f x x 0 u 0 e 1 ln f x e 1 ln u lim lim 0 e e → → − − = = ■
  • 3. Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σελίδα 3 από 18 Στην περίπτωσή μας η συνάρτηση ( ) f x 0  για κάθε xR άρα έχει νόημα να βρούμε το όριο του ( ) lnf x όταν το x τείνει στο μηδέν. Τι γίνεται αν δεν ξέρουμε το πρόσημο της συνάρτηση f στην περιοχή του μηδέν; Τότε εφαρμόζουμε την τρίτη παραλλαγή του ορίου. Δείτε το επόμενο παράδειγμα: Β) Θεματοδότης: Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) f x ημ πx = … Εμείς: Να υπολογίσετε το όριο: ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x x 1 e 1 ln f x lim e → − Λύση Θέτουμε: ( ) f x u = και ( ) ( ) x 1 x 1 f x ημ πx 0 lim lim → → = = οπότε καταλήγουμε στο όριο: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x u u f x x 1 u 0 e 1 ln f x e 1 ln u lim lim 0 e e → → − − = = ■ Άσκηση 2η Αν για μία συνάρτηση f που είναι ορισμένη σε όλο το R ισχύει: ( ) ( ) ( ) 2 f x f y x y −  − για όλα τα x,yR. Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή. 2η παραλλαγή (Γενίκευση) Αν για μία συνάρτηση f που είναι ορισμένη σε όλο το R ισχύει: ( ) ( ) ( ) 2v f x f y M x y −  − για M 0  και v  n για όλα τα x,yR να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή. 3η παραλλαγή Αν για μία συνάρτηση f που είναι ορισμένη σε όλο το R ισχύει: ( ) ( ) ( ) 2 f x f y x y −  − για όλα τα x,yR. Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή. Σε ξέρω από κάπου; Έχουμε ξανασυναντηθεί; Είναι η άσκηση Β1 στην παράγραφο 2.6.
  • 4. Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σελίδα 4 από 18 Λύση 1η παραλλαγή: Βοηθάει να θέσουμε στην θέση του y το 0 x . Αφού η σχέση ισχύει για κάθε 0 x,x Rθα ισχύει και για 0 x x  οπότε η δεδομένη σχέση γίνεται: ( ) ( ) 0 0 0 0 f x f x x x x x x x − − −   − − . Από Κριτήριο παρεμβολής βρίσκουμε: ( ) 0 f x 0  = για κάθε 0 x R ■ 2η παραλλαγή: Με ανάλογο τρόπο ■ 3η παραλλαγή: Βάζουμε όπου x το y και όπου y το x, άρα προκύπτει η σχέση: ( ) ( ) ( ) 2 f y f x y x −  − δηλαδή ( ) ( ) ( ) 2 x y f x f y − −  − άρα ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x y f x f y x y − −  −  − Επομένως, ( ) ( ) ( ) 2 f x f y x y −  − για όλα τα x, yR άρα καταλήγουμε στην πρώτη παραλλαγή της άσκησης ■ Και πώς μπορεί να τεθεί στις Πανελλαδικές εξετάσεις με το «ζόρι»; Αρκεί να έχουμε μια συνάρτηση g που ικανοποιεί την παραπάνω συνάρτηση f, τότε η συνάρτηση g είναι σταθερή και από εκεί βρίσκουμε τον τύπο της συνάρτησης. Για παράδειγμα Θεματοδότης: (θέλει να καταλήξουμε σε μια συνάρτηση πχ. ( ) x f x e 2020 = + )
  • 5. Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σελίδα 5 από 18 Εμείς: Αν ισχύει ( ) ( ) ( ) 2 x y f x f y e e x y − − +  − για όλα τα x,yR και ( ) f 0 2021 = , να βρείτε τον τύπο της f. Λύση Η δεδομένη σχέση γίνεται: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 y x 2 x y f e x f y e e x f f x x e y y y − − +  −   − − − − Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( ) x g x f x e = − και η παραπάνω σχέση γίνεται: ( ) ( ) ( ) 2 g x g y x y −  − για όλα τα x, yR άρα αν εκτελέσουμε την ίδια διαδικασία με την προηγούμενη άσκηση αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση g είναι σταθερή, οπότε: ( ) ( ) x g x c f x e c,x =  − = R όμως ( ) f 0 2021 c 2020 =  = άρα ( ) x f x e 2020 = + ■ Άσκηση 3η Στο παρακάτω σχήμα η καμπύλη C είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f που είναι συνεχής στο   α,β και το ( ) 0 0 0 M x ,y είναι ένα σημείο του επιπέδου. y Μ(x,f(x)) Α(α,f(α)) B(β,f(β)) O β α x Μ0(x0,y0) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, σημείο της f C που απέχει από το 0 M λιγότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της και ένα, τουλάχιστον, σημείο της f C που απέχει από το 0 M περισσότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της. Σε ξέρω από κάπου; Έχουμε ξανασυναντηθεί;
  • 6. Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σελίδα 6 από 18 Είναι η άσκηση Β9 στην παράγραφο 1.8 που προφανώς δίνει πολλά στοιχεία και πάλι κατευθύνει τον αναγνώστη στην πιο ομαλή αντιμετώπιση της άσκησης. Λύση O τύπος της απόστασης ( ) 0 M M δίνεται από τη συνάρτηση: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 d x x x f x y = − + − με   x α,β  . Η συνάρτηση d είναι συνεχής στο [α, β] ως ρίζα αθροίσματος συνεχών συναρτήσεων. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, θα υπάρχει κάποιο   1 x α,β  για το οποίο η d θα πάρει τη μέγιστη τιμή της και κάποιο   2 x α,β  για το οποίο η d θα πάρει την ελάχιστη τιμή της ■ Και πώς μπορεί να τεθεί στις Πανελλαδικές εξετάσεις με το «ζόρι»; Αρκεί να έχουμε: • μια συνεχής συνάρτηση f, • ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα   α,β A  • και ένα σταθερό σημείο ( ) 0 0 0 M x ,y του επιπέδου εκτός της f C
  • 7. Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σελίδα 7 από 18 τότε αποδεικνύεται ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, σημείο της f C που απέχει από το 0 M λιγότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της και ένα, τουλάχιστον, σημείο της f C που απέχει από το 0 M περισσότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της. Για παράδειγμα Θεματοδότης: Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2 2 f x 1 x x = − − …. Εμείς: Έστω ένα σημείο του επιπέδου ( ) 0 0 f M x , y C  . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, σημείο της f C που απέχει από το 0 M λιγότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της και ένα, τουλάχιστον, σημείο της f C που απέχει από το 0 M περισσότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της. Λύση Αρχικά το πεδίο ορισμού της συνάρτηση f είναι   1,1 − . Η συνάρτηση της απόστασης ( ) 0 M M είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 d x x x f x y = − + − με   x 1,1  − και εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής για τη συνεχή συνάρτηση d. Σημείωση: Αν ο θεματοδότης έχει δώσει συνάρτηση f που το πεδίο ορισμού της είναι ανοικτό διάστημα πχ. ( ) 2 f x x 1 x, = + − R, τότε εμείς θα μπορούμε να ζητήσουμε την ελάχιστη ή/και μέγιστη απόσταση ( ) 0 MM σε ένα κλειστό διάστημα   α,β της f. Άσκηση 4η Στο παρακάτω σχήμα έχουμε τις γραφικές παραστάσεις δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων f,g σ’ ένα διάστημα   α,β . Το σημείο ( ) ξ α,β  είναι το σημείο
  • 8. Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σελίδα 8 από 18 στο οποίο η κατακόρυφη απόσταση (ΑΒ) μεταξύ των f C και g C παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή. y O Cf Cg g(ξ) f(ξ) Α Β β α ξ x Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των f C και g C στα σημεία ( ) ( ) A ξ,f ξ και ( ) ( ) B ξ,g ξ είναι παράλληλες. Η άσκηση θα μπορούσε να τεθεί χωρίς το δεδομένο: ( ) ( ) f α g α = και ( ) ( ) f β g β = που δίνει λανθασμένες εντυπώσεις για τον τρόπο επίλυσης (πχ. Θ. Rolle για τη συνάρτηση ( ) ( ) ( ) h x f x g x = − ). 2η Παραλλαγή: Τέλος, δεν είναι υποχρεωτικό να δίνονται και οι δύο συναρτήσεις f , g. Θα μπορούσε η μία συνάρτηση, για παράδειγμα η g, να είναι ο άξονας x x  , επομένως η άσκηση δίνεται με την εξής παραλλαγή.
  • 9. Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σελίδα 9 από 18 3η παραλλαγή (ειδική περίπτωση): Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο κλειστό διάστημα   α,β . Αν η κατακόρυφη απόσταση της γραφικής παράσταση της f από τον άξονα x γίνεται μέγιστη (ή ελάχιστη) σε ένα σημείο ( ) ξ α,β  , να αποδείξετε ότι εφαπτόμενη της, στο σημείο αυτό, είναι οριζόντια. Σε ξέρω από κάπου; Έχουμε ξανασυναντηθεί; Η πρώτη και δεύτερη παραλλαγή είναι η άσκηση Β5 από την παράγραφο 2.7. Η τρίτη παραλλαγή είναι η ερώτηση 8 από τις Κατανόησης του σχολικού βιβλίου σελίδα 177 όπως βλέπετε παρακάτω: Λύση Η κατακόρυφη απόσταση (ΑΒ) μεταξύ των f C και g C δίνεται από τη συνάρτηση ( ) ( ) ( ) h x f x g x = − για κάθε   x α,β  .
  • 10. Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σελίδα 10 από 18 Η h παρουσιάζει μέγιστο στο εσωτερικό σημείο 0 x ξ = και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, άρα από το Θεώρημα Fermat έχουμε: ( ) ( ) ( ) h ξ 0 f ξ g ξ    =  = άρα οι εφαπτόμενες των f C και g C στα σημεία ( ) ( ) A ξ,f ξ και ( ) ( ) B ξ,g ξ είναι παράλληλες■ 2η παραλλαγή: Όμοια. 3η παραλλαγή: Η κατακόρυφη απόσταση του τυχαίου σημείου ( ) ( ) M x,f x της f C από τον άξονα των x δίνεται από τη συνάρτηση: ( ) ( ) ( ) g x f x f x = = για κάθε xR διότι η f C είναι πάνω από τον άξονα των x άρα ( ) f x 0  για κάθε xR . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και στο σημείο Α είναι μέγιστο (όμοια ελάχιστο) της f, άρα ικανοποιείται το θεώρημα Fermat, οπότε: ( ) 0 f x 0  = δηλαδή η συνάρτηση f έχει οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο ( ) ( ) 0 0 A x ,f x ■ Και πώς μπορεί να τεθεί στις Πανελλαδικές εξετάσεις με το «ζόρι»; Αρκεί να δοθούν • δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g στο   α,β • να γνωρίζουμε τη σχετική τους θέση πχ. ( ) ( ) f x g x  για κάθε   x α,β  • και ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού τους όπου η κατακόρυφη απόσταση (ΑΒ) των f C και g C να είναι μέγιστη ή ελάχιστη, τότε θα έχουμε το ζητούμενο, δηλαδή οι εφαπτόμενες των f C και g C στα σημεία ( ) ( ) A ξ,f ξ και ( ) ( ) B ξ,g ξ είναι παράλληλες. Για παράδειγμα Θεματοδότης: Δίνονται οι συναρτήσεις
  • 11. Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σελίδα 11 από 18 ( ) 2 f x x 1 x = + − και ( ) x ln x ,x 0 g x 0 ,x 0   =  =  ……….. Εμείς: α) Να αποδείξετε ότι η f C βρίσκεται πάνω από τη g C στο διάστημα   0,1 . β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( ) f x g x = έχει ακριβώς μια ρίζα ( ) 0 x 1,e  . γ) Αν 0 x η ρίζα του ερωτήματος β, να αποδείξετε ότι: i) υπάρχει σημείο ( ) 0 ξ 0,x  στο οποίο η κατακόρυφη απόσταση (ΑΒ) μεταξύ των f C και g C παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή. ii) στο σημείο ( ) 0 ξ 0,x  , του προηγούμενου ερωτήματος, οι εφαπτόμενες των f C και g C στα σημεία ( ) ( ) A 0,f 0 και ( ) ( ) 0 0 B x ,g x είναι παράλληλες. Λύση Για εκπαιδευτικούς λόγους δίνεται το σχήμα για να έχουμε μια καλύτερη εικόνα της άσκησης. α) Έχουμε, ( ) ( ) 0 x 1 g x 0 f x     
  • 12. Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σελίδα 12 από 18 διότι ln x 0  για κάθε ( ) x 0,1  και 2 x 1 x 0 + −  για κάθε xR (η απόδειξη επαφίεται για τον αναγνώστη), άρα στο διάστημα   0,1 η f C βρίσκεται υψηλότερα από τη g C . β) Λόγω του προηγούμενου ερωτήματος θα αναζητούμε τις λύσεις της εξίσωσης ( ) ( ) f x g x = στο διάστημα ( ) 1,+ . Θέτουμε τη συνάρτηση: ( ) ( ) ( ) h x f x g x , x 1 = −  . Έχουμε, ( ) 2 2 x x 1 h x ln x 1 x 1 − +  = − − + Για κάθε ( ) x 1,  + ισχύει ( ) h x 0   , οπότε η h είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα  ) 1,+ . Επίσης, η h συνεχής στο   1,e και ( ) ( ) h 1 h e 0  άρα η εξίσωση ( ) ( ) ( ) h x 0 f x g x =  = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ( ) 1,e . Όμως η h είναι γνησίως φθίνουσα, άρα η ρίζα είναι μοναδική. γ) i. Η συνάρτηση ( ) ( ) f x g x − είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα   0 0,x , άρα από Θ.Μ.Ε.Τ παρουσιάζει μια μέγιστη (προφανώς και μια ελάχιστη) τιμή. Αποδεικνύεται ότι η μέγιστη τιμή δεν είναι στα άκρα του διαστήματος, οπότε υπάρχει ( ) 0 ξ 0,x  στο οποίο η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των f C και g C παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή. ii) Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Fermat για τη συνάρτηση ( ) ( ) f x g x − με μέγιστο στο εσωτερικό σημείο ( ) 0 ξ 0,x  ■ Άσκηση 5η
  • 13. Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σελίδα 13 από 18 Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της καμπύλης 2 1 y x ,x 0 4 =  . Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης x του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του y, αν υποτεθεί ότι ( ) x t 0   για κάθε t 0  ; 2η παραλλαγή: Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) 2 1 f x x ,x 0 4 =  . Σε ποιο σημείο της f C ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης x του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του y, αν υποτεθεί ότι ( ) x t 0   για κάθε t 0  ; Σε ξέρω από κάπου; Έχουμε ξανασυναντηθεί; Είναι ακριβώς η άσκηση A5 στην παράγραφο 2.4. Παρόμοια άσκηση είναι και η Β6 και Β8 στην ίδια παράγραφο.
  • 14. Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σελίδα 14 από 18 Λύση Έστω ( ) ( ) 2 1 M x t , x t 4       σημείο της καμπύλης 2 1 y x 4 = τη χρονική στιγμή t με t 0  , τότε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t 0 1 x t x t x t x t 2 2     =  = οπότε ( ) 2 1 y t 2 1 4 =  = . Έτσι το σημείο είναι το ( ) M 2,1 ■ Και πώς μπορεί να τεθεί στις Πανελλαδικές εξετάσεις με το «ζόρι»; Αρκεί να έχουμε - μια εξίσωση καμπύλης - και για μια χρονική στιγμή έχουμε μια σχέση μεταξύ πχ. των ( ) x t  και ( ) x t τότε μπορούμε να βρούμε σε ποιο σημείο της καμπύλης πραγματοποιείται. Για παράδειγμα Θεματοδότης: Η συνάρτηση ( ) 2 f x x 1, x 0 = +  … Εμείς: Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f . Σε ποιο σημείο της ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης x του Μ είναι ίσος με το διπλάσιο της μεταβολής της τεταγμένης του y, αν ( ) x t 0   για κάθε t 0  ;
  • 15. Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σελίδα 15 από 18 Σημείωση: Στις ασκήσεις του ρυθμού μεταβολής βολεύει να αντιμετωπίζουμε τις συναρτήσεις στη μορφή: 2 y x 1, x 0 = +  για ευκολία στην παραγώγιση. Λύση Έστω ( ) ( ) ( ) 2 M x t , x t 1 + σημείο της καμπύλης 2 y x 1 = + τη χρονική στιγμή t με t 0  τότε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t 2y t x t 0 2 2 2 2 2 2 x t x t x t x t x t x t 1 y t 2 2 x t 1 x t 1 x t 1 x t 1 2x t x t 1 4x t 3 x t 3    =      =  =  = + + +  + =  + =  = οπότε ( ) 1 2 2 3 y t 1 3 3 3 = + = = . Έτσι το σημείο είναι το 3 2 3 M , 3 3         ■ Άσκηση 6η Αν ( ) 2 x 1 f x αx β x 1 + = − + + , να βρείτε τις τιμές των α,βR για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο + .
  • 16. Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σελίδα 16 από 18 2η παραλλαγή: Αν ( ) 2 x 1 f x αx β x 1 + = − + + , να βρείτε τις τιμές των α,βR αν ( ) x f x 0 lim →+ = . 3η παραλλαγή: Αν ( ) 2 x 1 f x αx β x 1 + = − + + , να βρείτε τις τιμές των α,βR αν ( ) x f x 2021 lim →+ = . Σε ξέρω από κάπου; Έχουμε ξανασυναντηθεί; Είναι η άσκηση Β3 στην παράγραφο 1.7 (με διαφορετική διατύπωση). Λύση Γνωρίζουμε ότι, ( ) ( ) x x 2 x 1 f x 0 αx β 0 x 1 lim lim →+ →+   + =  − − =   +   Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση ( ) 2 x 1 g x , x 1 x 1 + =  − + , τότε από την προηγούμενη σχέση έχουμε ότι η ευθεία y αx β = − είναι ασύμπτωτη της g C στο + . Επομένως, αρκεί να βρούμε την πλάγια ασύμπτωτή της στο + . Είναι ( ) x x 2 2 g x x 1 1 α 1 x x x lim lim →+ →+ + = =  = + και ( ) ( ) x x x 2 x 1 1 x g x x x 1 β 1 β 1 x 1 x 1 lim lim lim →+ →+ →+   + − − = − = = −  − = −  =   + +   ■ 2η παραλλαγή: Είναι ισοδύναμη με την προηγούμενη άσκηση. 3η παραλλαγή: Το δεδομένο όριο γίνεται:
  • 17. Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σελίδα 17 από 18 ( ) ( ) x x x x 2 2 2 x 1 f x 2021 αx β 2021 x 1 x 1 αx β 2021 0 x 1 x 1 αx β 2021 0 x 1 lim lim lim lim →+ →+ →+ →+   + =  − + =   +     +  − + − =   +     +  − − + =   +   άρα η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) 2 x 1 g x x 1 + = + έχει ασύμπτωτη στο + την ευθεία y αx β 2021 = − + και ακολουθούμε την ίδια διαδικασία επίλυσης… Και πώς μπορεί να τεθεί στις Πανελλαδικές εξετάσεις με το «ζόρι»; Αρκεί να έχουμε: • μια συνάρτηση f • τέτοια ώστε ( ) ( ) x f x αx β 0 lim →+ − + = ή ( ) ( ) x f x αx β lim →+ − + = , όπου ένας πραγματικός αριθμός τότε θα μπορούμε να υπολογίσουμε τα α και β. Για παράδειγμα Θεματοδότης: Δίνεται συνάρτηση ( ) 2 f x x 1 = + ….. Εμείς: Αν ( ) ( ) x f x αx β 4 lim →+ − + = , τότε να υπολογίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β. Λύση Από τη δεδομένη σχέση έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x f x αx β 4 f x αx β 4 0 f x αx β 4 0 lim lim lim →+ →+ →+ − + =  − + − =  − − + =     άρα η ευθεία y αx β 4 = − + είναι ασύμπτωτη της f C στο + , επομένως ( ) x x x 2 2 f x x 1 1 α 1 1 α 1 x x x lim lim lim →+ →+ →+ + = = = + =  = και ( ) ( ) ( ) x x x 2 2 1 β 4 f x x x 1 x 0 β 4 x 1 x lim lim lim →+ →+ →+ − + = − = + − = =  = + + ■
  • 18. Εκπαιδευτικό Σεμινάριο από τα Φροντιστήρια «Εν τάξη» – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Σελίδα 18 από 18 Προφανώς για να λειτουργήσει η παραπάνω περίπτωση πρέπει η συνάρτηση f που θα δίνεται να έχει πλάγια ασύμπτωτη στο + , αν δεν έχει τότε πρέπει μέσα στο όριο να δημιουργήσουμε τους κατάλληλους μετασχηματισμούς έτσι ώστε να διαθέτει πλάγια ασύμπτωτη. Ας δούμε μια περίπτωση πώς μπορεί να πραγματοποιηθεί. Για παράδειγμα Θεματοδότης: Δίνεται η συνάρτηση ( ) f x xln x = ….. Εμείς: Αν ( ) x 2 f x αx β 4 x lim →+   − + =     , τότε να υπολογίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β. Λύση Από τη δεδομένη σχέση έχουμε: ( ) ( ) x x x 2 2 f x xln x ln x αx β 4 αx β 4 0 αx β 4 0 x x x lim lim lim →+ →+ →+       − + =  − + − =  − − + =             άρα η ευθεία y αx β 4 = − + είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) ln x g x x = στο + , επομένως: ( ) x x 2 g x ln x α ... 0 x x lim lim →+ →+ = = = = και ( ) x x ln x β 4 g x ... 0 β 4 x lim lim →+ →+ − + = = = =  =