Kakanos 4.4.2021 ekf

1. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
Γ΄ Γενικού Λυκείου
ΘΕΜΑ Α
Α1. α. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο 0
x , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
+
f g είναι παραγωγίσιμη στο 0
x και ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( )
  
+ = +
0 0 0
f g x f x g x (μονάδες 4)
β. Έστω η συνάρτηση ( ) =
f x x . Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο ( )
+ 
0,
και ισχύει: ( )
 =
1
f x
2 x
(μονάδες 3)
Μονάδες 7
Α2. α. Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής.
Μονάδες 2
β. Έστω Α ένα υποσύνολο του R και μια συνάρτηση f : A → R, με πεδίο ορισμού το Α.
Πότε η f λέγεται συνάρτηση 1 – 1 ;
Μονάδες 2
Α3. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:
«Αν η f είναι συνεχής στο 1, 1
−
 
  και ( ) ( )
f 1 4, f 1 3,
− = = τότε υπάρχει πραγματικός
αριθμός ( )
0
x 1, 1
 − έτσι ώστε ( )
0
f x π.
= »
α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν
είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
Μονάδες 1
β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο α. ερώτημα.
Μονάδες 3
Α4. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ), αν είναι σωστή, ή
με Λάθος (Λ), αν είναι λανθασμένη:
α. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, τότε είναι και 1 1
− στο
διάστημα αυτό.

2. β. Ισχύει ότι:
x 0
συνx 1
im 1.
x
→
−
=
γ. Αν ( )=
f x n x για κάθε 
x 0, τότε ( )
 =
1
f x
x
για κάθε x ≠ 0
δ. ( ) =
συνx ημx για κάθε 
x '
ε. Αν α 1
 , τότε x
x
im α
→+
= +
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση ( )
2
x x 2
f x
x 1
− −
=
−
B1. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Μονάδες 6
B2. Να μελετηθεί η f ως προς τη κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
Μονάδες 6
B3. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, αν υπάρχουν.
Μονάδες 6
Β4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( )
f x 2021
= έχει δύο ακριβώς πραγματικές ρίζες.
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μήκος 10 m. Θεωρούμε
εσωτερικό σημείο Γ του ΑΒ τέτοιο, ώστε το μήκος του
τμήματος ΑΓ να είναι x m.
Γ1. Κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΓΔΖ και ΓΒΘΗ, όπως
φαίνεται στο διπλανό σχήμα.
α. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο
τετραγώνων, ως συνάρτηση του x , είναι
( ) ( )
2
Ε x 2x 20x 100, x 0, 10
= − +  (μονάδες 3)

3. β. Να βρείτε για ποια τιμή του x το εμβαδόν ( )
Ε x γίνεται ελάχιστο. (μονάδες 5)
Μονάδες 8
Δίνεται συνάρτηση ( )
2 x
K x
x 4
=
−
Γ2. Να ορίσετε τη σύνθεση της συνάρτηση Ε με τη συνάρτηση Κ.
Μονάδες 4
Γ3. Αν ( ) ( )( )  ) ( )
x 5
f x K E x , x 5, 6 6, 10
x 6
−

= =  
−
, να υπολογίσετε το όριο
( )
( )
( ) ( )
( )
2
x 6
K x
im συνf x
E x 52 x 6
→
 
+
 
 
−  −
 
Μονάδες 7
Γ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
( )
E x nx
0
x 1 x
− =
−
έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ( )
0,1 .
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Δ
Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R, της οποίας η γραφική παράσταση f
C διέρχεται
από το σημείο ( )
A 1, 0 .
Δ1. α. Αν η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο Α διέρχεται από το
1
B 0,
2
 
 
 
τότε να αποδείξετε ότι ( )
1
f 1
2
 = −
Μονάδες 2
β. Να βρείτε το
( )
2
2
3
x 1
f 2x 1
im
2x 1 1
→
−
− −
Μονάδες 3
Δ2. Αν επιπλέον για την f ισχύει ( ) ( )
2 2
f x 4f x x 1,
− = − για κάθε 
x R, να βρείτε τον τύπο
της.
Μονάδες 7
Δ3. Αν ( ) 2
f x 2 x 3, x
= − + R , τότε:

4. α. να αποδείξετε ότι ( )
2f x nx 0,
+  για κάθε x 0.

Μονάδες 8
β. έστω σημείο Μ της γραφικής παράστασης της f με τετμημένη μεγαλύτερη του 1.
Αν η τετμημένη του Μ απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων Ο με ταχύτητα
3cm/sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΑΜ τη χρονική
στιγμή που η τετμημένη είναι ίση με 13cm.
Μονάδες 5