SlideShare a Scribd company logo
Διδακτικά σενάρια Ανάλυσης Γ΄ Λυκείου
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Ο καθηγητής Ξεφτέρης Μαστερίδης από το 21ο ΓΕΛ Καστελόριζου έδωσε την
εξής άσκηση στους τρεις μαθητές του:
«Δίνονται οι συναρτήσεις
( )
x 1
f x
x 1
−
=
+
και ( )
g x x 1
= − .
Να αποδείξετε ότι: f g
= »
Οι δύο μαθητές απάντησαν ως εξής:
α΄ μαθητής: Οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες, αφού έχουν διαφορετικούς τύπους.
β΄ μαθητής: Για κάθε  )
x 0,
 + έχουμε:
( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
2
2
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
x 1
f x x 1 g x
x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
− − − − − −
−
= = = = = − =
−
+ + − −
άρα f g
= .
Ο καθηγητής έβαλε άριστα μόνο στο γ΄ μαθητή.
α) Συμφωνείτε με την άποψη του α΄ μαθητή; (Απαντήστε με ένα «ναι» ή «όχι»).
β) Ποιος είναι το λάθος του β΄ μαθητή; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
γ) Να παρουσιάσετε τη λύση του γ΄ μαθητή.
Εξτρά ερωτήματα
δ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την 1
f −
.
ε) Να αποδείξετε ότι ( ) ( )
1
f x f x
−
 για κάθε  )
x 0,
 + .
στ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και 1
f −
.
ζ) Να ορίσετε τη συνάρτηση f g .
η) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα όρια:
i.
( )
x 1
x
g x
lim
→
ii.
( )
( )
x 1
3
g x
f x
lim
→
iii.
( )
x
f x
x
lim
→+

More Related Content

What's hot

Οι λύσεις Πανελλαδικών Εξετάσεων ΕΠΑΛ 2017
Οι λύσεις Πανελλαδικών Εξετάσεων ΕΠΑΛ 2017Οι λύσεις Πανελλαδικών Εξετάσεων ΕΠΑΛ 2017
Οι λύσεις Πανελλαδικών Εξετάσεων ΕΠΑΛ 2017
Μάκης Χατζόπουλος
 
Εργασία στα συστήματα Β Λυκείου 2019 - 20
Εργασία στα συστήματα Β Λυκείου 2019 - 20Εργασία στα συστήματα Β Λυκείου 2019 - 20
Εργασία στα συστήματα Β Λυκείου 2019 - 20
Μάκης Χατζόπουλος
 
2017
20172017
Epan eks math_kat_2015_lisari_team
Epan eks math_kat_2015_lisari_teamEpan eks math_kat_2015_lisari_team
Epan eks math_kat_2015_lisari_team
Μάκης Χατζόπουλος
 
Diagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_team
Diagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_teamDiagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_team
Diagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_team
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγωνίσματα 1ου τετραμήνου για το 1ο ΓΕΛ Πετρούπολης (2016-17)
Διαγωνίσματα 1ου τετραμήνου για το 1ο ΓΕΛ Πετρούπολης (2016-17)Διαγωνίσματα 1ου τετραμήνου για το 1ο ΓΕΛ Πετρούπολης (2016-17)
Διαγωνίσματα 1ου τετραμήνου για το 1ο ΓΕΛ Πετρούπολης (2016-17)
Μάκης Χατζόπουλος
 
Them mat gen_c_hmer_170619
Them mat gen_c_hmer_170619Them mat gen_c_hmer_170619
Them mat gen_c_hmer_170619
Christos Loizos
 
Λύσεις Επαναληπτικές εξετάσεις 2016 στα μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Γενικής Παιδεία...
Λύσεις Επαναληπτικές εξετάσεις 2016 στα μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Γενικής Παιδεία...Λύσεις Επαναληπτικές εξετάσεις 2016 στα μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Γενικής Παιδεία...
Λύσεις Επαναληπτικές εξετάσεις 2016 στα μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Γενικής Παιδεία...
Μάκης Χατζόπουλος
 
Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017
Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017
Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017
Μάκης Χατζόπουλος
 
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛΠανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Μάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικές Εξετάσεις 2018 για τα ΕΠΑΛ
Επαναληπτικές Εξετάσεις 2018 για τα ΕΠΑΛΕπαναληπτικές Εξετάσεις 2018 για τα ΕΠΑΛ
Επαναληπτικές Εξετάσεις 2018 για τα ΕΠΑΛ
Μάκης Χατζόπουλος
 
Οι ιδιότητες του 2018
Οι ιδιότητες του 2018Οι ιδιότητες του 2018
Οι ιδιότητες του 2018
Μάκης Χατζόπουλος
 
Epan pan eks_2015_gen_paid_luseis
Epan pan eks_2015_gen_paid_luseisEpan pan eks_2015_gen_paid_luseis
Epan pan eks_2015_gen_paid_luseis
Μάκης Χατζόπουλος
 
θέματα πανελλαδικών εξετάσεων 2000 2015 - ημερ-εσπερ-επαναλ
θέματα πανελλαδικών εξετάσεων 2000 2015 - ημερ-εσπερ-επαναλθέματα πανελλαδικών εξετάσεων 2000 2015 - ημερ-εσπερ-επαναλ
θέματα πανελλαδικών εξετάσεων 2000 2015 - ημερ-εσπερ-επαναλ
Μάκης Χατζόπουλος
 
Λύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 Μαθηματικά ΓΕΛ
Λύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 Μαθηματικά ΓΕΛΛύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 Μαθηματικά ΓΕΛ
Λύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 Μαθηματικά ΓΕΛ
Μάκης Χατζόπουλος
 
Τεστ σε όλες τις τάξεις για το 1ο ΓΕΛ Πετρούπολης 2017 - 18
Τεστ σε όλες τις τάξεις για το 1ο ΓΕΛ Πετρούπολης 2017 - 18Τεστ σε όλες τις τάξεις για το 1ο ΓΕΛ Πετρούπολης 2017 - 18
Τεστ σε όλες τις τάξεις για το 1ο ΓΕΛ Πετρούπολης 2017 - 18
Μάκης Χατζόπουλος
 
Λύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 - ΕΠΑΛ
Λύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 - ΕΠΑΛΛύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 - ΕΠΑΛ
Λύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 - ΕΠΑΛ
Μάκης Χατζόπουλος
 
Panelladikes eksetaseis 2015 gp lisari team
Panelladikes eksetaseis 2015 gp lisari teamPanelladikes eksetaseis 2015 gp lisari team
Panelladikes eksetaseis 2015 gp lisari team
Μάκης Χατζόπουλος
 
14η ανάρτηση
14η ανάρτηση14η ανάρτηση
14η ανάρτηση
Παύλος Τρύφων
 

What's hot (20)

Οι λύσεις Πανελλαδικών Εξετάσεων ΕΠΑΛ 2017
Οι λύσεις Πανελλαδικών Εξετάσεων ΕΠΑΛ 2017Οι λύσεις Πανελλαδικών Εξετάσεων ΕΠΑΛ 2017
Οι λύσεις Πανελλαδικών Εξετάσεων ΕΠΑΛ 2017
 
Εργασία στα συστήματα Β Λυκείου 2019 - 20
Εργασία στα συστήματα Β Λυκείου 2019 - 20Εργασία στα συστήματα Β Λυκείου 2019 - 20
Εργασία στα συστήματα Β Λυκείου 2019 - 20
 
2017
20172017
2017
 
Epan eks math_kat_2015_lisari_team
Epan eks math_kat_2015_lisari_teamEpan eks math_kat_2015_lisari_team
Epan eks math_kat_2015_lisari_team
 
Diagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_team
Diagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_teamDiagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_team
Diagonisma prosomoiosis analutikes_luseis_math_kate_2015_lisari_team
 
Διαγωνίσματα 1ου τετραμήνου για το 1ο ΓΕΛ Πετρούπολης (2016-17)
Διαγωνίσματα 1ου τετραμήνου για το 1ο ΓΕΛ Πετρούπολης (2016-17)Διαγωνίσματα 1ου τετραμήνου για το 1ο ΓΕΛ Πετρούπολης (2016-17)
Διαγωνίσματα 1ου τετραμήνου για το 1ο ΓΕΛ Πετρούπολης (2016-17)
 
Them mat gen_c_hmer_170619
Them mat gen_c_hmer_170619Them mat gen_c_hmer_170619
Them mat gen_c_hmer_170619
 
Λύσεις Επαναληπτικές εξετάσεις 2016 στα μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Γενικής Παιδεία...
Λύσεις Επαναληπτικές εξετάσεις 2016 στα μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Γενικής Παιδεία...Λύσεις Επαναληπτικές εξετάσεις 2016 στα μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Γενικής Παιδεία...
Λύσεις Επαναληπτικές εξετάσεις 2016 στα μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Γενικής Παιδεία...
 
Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017
Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017
Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017
 
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛΠανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
 
Επαναληπτικές Εξετάσεις 2018 για τα ΕΠΑΛ
Επαναληπτικές Εξετάσεις 2018 για τα ΕΠΑΛΕπαναληπτικές Εξετάσεις 2018 για τα ΕΠΑΛ
Επαναληπτικές Εξετάσεις 2018 για τα ΕΠΑΛ
 
Οι ιδιότητες του 2018
Οι ιδιότητες του 2018Οι ιδιότητες του 2018
Οι ιδιότητες του 2018
 
διαγωνισμα μιγαδκοι αναλυση
διαγωνισμα μιγαδκοι αναλυσηδιαγωνισμα μιγαδκοι αναλυση
διαγωνισμα μιγαδκοι αναλυση
 
Epan pan eks_2015_gen_paid_luseis
Epan pan eks_2015_gen_paid_luseisEpan pan eks_2015_gen_paid_luseis
Epan pan eks_2015_gen_paid_luseis
 
θέματα πανελλαδικών εξετάσεων 2000 2015 - ημερ-εσπερ-επαναλ
θέματα πανελλαδικών εξετάσεων 2000 2015 - ημερ-εσπερ-επαναλθέματα πανελλαδικών εξετάσεων 2000 2015 - ημερ-εσπερ-επαναλ
θέματα πανελλαδικών εξετάσεων 2000 2015 - ημερ-εσπερ-επαναλ
 
Λύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 Μαθηματικά ΓΕΛ
Λύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 Μαθηματικά ΓΕΛΛύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 Μαθηματικά ΓΕΛ
Λύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 Μαθηματικά ΓΕΛ
 
Τεστ σε όλες τις τάξεις για το 1ο ΓΕΛ Πετρούπολης 2017 - 18
Τεστ σε όλες τις τάξεις για το 1ο ΓΕΛ Πετρούπολης 2017 - 18Τεστ σε όλες τις τάξεις για το 1ο ΓΕΛ Πετρούπολης 2017 - 18
Τεστ σε όλες τις τάξεις για το 1ο ΓΕΛ Πετρούπολης 2017 - 18
 
Λύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 - ΕΠΑΛ
Λύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 - ΕΠΑΛΛύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 - ΕΠΑΛ
Λύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 - ΕΠΑΛ
 
Panelladikes eksetaseis 2015 gp lisari team
Panelladikes eksetaseis 2015 gp lisari teamPanelladikes eksetaseis 2015 gp lisari team
Panelladikes eksetaseis 2015 gp lisari team
 
14η ανάρτηση
14η ανάρτηση14η ανάρτηση
14η ανάρτηση
 

Similar to Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου

Oι Eξισώσεις στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση
Oι Eξισώσεις στη Δευτεροβάθμια ΕκπαίδευσηOι Eξισώσεις στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση
Oι Eξισώσεις στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση
Athanasios Kopadis
 
Συναρτήσεις, επανάληψη
Συναρτήσεις, επανάληψη Συναρτήσεις, επανάληψη
Συναρτήσεις, επανάληψη
Θανάσης Δρούγας
 
η άλγεβρα της α λυκείου στα θέματα των πανελληνίων εξετάσεων
η άλγεβρα της α λυκείου στα θέματα των πανελληνίων εξετάσεωνη άλγεβρα της α λυκείου στα θέματα των πανελληνίων εξετάσεων
η άλγεβρα της α λυκείου στα θέματα των πανελληνίων εξετάσεων
Christos Loizos
 
Oefe algebra lyceum_a_2006-2015
Oefe algebra lyceum_a_2006-2015Oefe algebra lyceum_a_2006-2015
Oefe algebra lyceum_a_2006-2015
Christos Loizos
 
Εργασία στα όρια - διδακτικές προσεγγίσεις
Εργασία στα όρια - διδακτικές προσεγγίσειςΕργασία στα όρια - διδακτικές προσεγγίσεις
Εργασία στα όρια - διδακτικές προσεγγίσεις
Μάκης Χατζόπουλος
 
διαγωνισματα (νο 1 κ νο 2 ) στα μαθηματικα ( κεφαλαιο 1) γ ταξησ κατευθυνσησ
διαγωνισματα (νο 1 κ νο 2 ) στα μαθηματικα (  κεφαλαιο 1) γ ταξησ  κατευθυνσησδιαγωνισματα (νο 1 κ νο 2 ) στα μαθηματικα (  κεφαλαιο 1) γ ταξησ  κατευθυνσησ
διαγωνισματα (νο 1 κ νο 2 ) στα μαθηματικα ( κεφαλαιο 1) γ ταξησ κατευθυνσησΘεόδωρος Αθηναίος
 
ΑΛΓΕΒΡΑ Α & Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2020
ΑΛΓΕΒΡΑ Α & Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2020ΑΛΓΕΒΡΑ Α & Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2020
ΑΛΓΕΒΡΑ Α & Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2020
General Lyceum "Menelaos Lountemis"
 
12η ανάρτηση
12η ανάρτηση12η ανάρτηση
12η ανάρτηση
Παύλος Τρύφων
 
Εργασία σε ομάδες στις τριγωνομετρικές εξισώσεις
Εργασία σε ομάδες στις τριγωνομετρικές εξισώσειςΕργασία σε ομάδες στις τριγωνομετρικές εξισώσεις
Εργασία σε ομάδες στις τριγωνομετρικές εξισώσεις
Μάκης Χατζόπουλος
 
Odhgos epanalipsis 2015-2016
Odhgos epanalipsis 2015-2016Odhgos epanalipsis 2015-2016
Odhgos epanalipsis 2015-2016
Christos Loizos
 
Tεστ στα όρια 0/0 του Μάκη Χατζόπουλου
Tεστ στα όρια 0/0 του Μάκη ΧατζόπουλουTεστ στα όρια 0/0 του Μάκη Χατζόπουλου
Tεστ στα όρια 0/0 του Μάκη Χατζόπουλου
Μάκης Χατζόπουλος
 
κεφ. 3 εξισωσεις
κεφ. 3 εξισωσειςκεφ. 3 εξισωσεις
κεφ. 3 εξισωσεις
sarantis regas
 
Θέματα Ανάλυσης για διδασκαλία στην τάξη (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός
Θέματα Ανάλυσης για διδασκαλία στην τάξη (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός ΛογισμόςΘέματα Ανάλυσης για διδασκαλία στην τάξη (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός
Θέματα Ανάλυσης για διδασκαλία στην τάξη (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός
Μάκης Χατζόπουλος
 
Πανελλαδικές εξετάσεις μαθηματικά 2017
Πανελλαδικές εξετάσεις μαθηματικά 2017Πανελλαδικές εξετάσεις μαθηματικά 2017
Πανελλαδικές εξετάσεις μαθηματικά 2017
Μάκης Χατζόπουλος
 
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 28ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 28οΆλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 28ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 28ο
Vassilis Markos
 
Τα διαγωνίσματα προσομοίωσης του "Είμαστε μέσα..."
Τα διαγωνίσματα προσομοίωσης του "Είμαστε μέσα..."Τα διαγωνίσματα προσομοίωσης του "Είμαστε μέσα..."
Τα διαγωνίσματα προσομοίωσης του "Είμαστε μέσα..."
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου 2020 - 21
Διαγώνισμα Γ Λυκείου 2020 - 21 Διαγώνισμα Γ Λυκείου 2020 - 21
Διαγώνισμα Γ Λυκείου 2020 - 21
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματα
Διαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματαΔιαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματα
Διαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματα
peinirtzis
 
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020
General Lyceum "Menelaos Lountemis"
 

Similar to Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου (20)

Oι Eξισώσεις στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση
Oι Eξισώσεις στη Δευτεροβάθμια ΕκπαίδευσηOι Eξισώσεις στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση
Oι Eξισώσεις στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση
 
Συναρτήσεις, επανάληψη
Συναρτήσεις, επανάληψη Συναρτήσεις, επανάληψη
Συναρτήσεις, επανάληψη
 
η άλγεβρα της α λυκείου στα θέματα των πανελληνίων εξετάσεων
η άλγεβρα της α λυκείου στα θέματα των πανελληνίων εξετάσεωνη άλγεβρα της α λυκείου στα θέματα των πανελληνίων εξετάσεων
η άλγεβρα της α λυκείου στα θέματα των πανελληνίων εξετάσεων
 
Oefe algebra lyceum_a_2006-2015
Oefe algebra lyceum_a_2006-2015Oefe algebra lyceum_a_2006-2015
Oefe algebra lyceum_a_2006-2015
 
Εργασία στα όρια - διδακτικές προσεγγίσεις
Εργασία στα όρια - διδακτικές προσεγγίσειςΕργασία στα όρια - διδακτικές προσεγγίσεις
Εργασία στα όρια - διδακτικές προσεγγίσεις
 
διαγωνισματα (νο 1 κ νο 2 ) στα μαθηματικα ( κεφαλαιο 1) γ ταξησ κατευθυνσησ
διαγωνισματα (νο 1 κ νο 2 ) στα μαθηματικα (  κεφαλαιο 1) γ ταξησ  κατευθυνσησδιαγωνισματα (νο 1 κ νο 2 ) στα μαθηματικα (  κεφαλαιο 1) γ ταξησ  κατευθυνσησ
διαγωνισματα (νο 1 κ νο 2 ) στα μαθηματικα ( κεφαλαιο 1) γ ταξησ κατευθυνσησ
 
ΑΛΓΕΒΡΑ Α & Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2020
ΑΛΓΕΒΡΑ Α & Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2020ΑΛΓΕΒΡΑ Α & Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2020
ΑΛΓΕΒΡΑ Α & Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2020
 
12η ανάρτηση
12η ανάρτηση12η ανάρτηση
12η ανάρτηση
 
Εργασία σε ομάδες στις τριγωνομετρικές εξισώσεις
Εργασία σε ομάδες στις τριγωνομετρικές εξισώσειςΕργασία σε ομάδες στις τριγωνομετρικές εξισώσεις
Εργασία σε ομάδες στις τριγωνομετρικές εξισώσεις
 
Odhgos epanalipsis 2015-2016
Odhgos epanalipsis 2015-2016Odhgos epanalipsis 2015-2016
Odhgos epanalipsis 2015-2016
 
Tεστ στα όρια 0/0 του Μάκη Χατζόπουλου
Tεστ στα όρια 0/0 του Μάκη ΧατζόπουλουTεστ στα όρια 0/0 του Μάκη Χατζόπουλου
Tεστ στα όρια 0/0 του Μάκη Χατζόπουλου
 
κεφ. 3 εξισωσεις
κεφ. 3 εξισωσειςκεφ. 3 εξισωσεις
κεφ. 3 εξισωσεις
 
Θέματα Ανάλυσης για διδασκαλία στην τάξη (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός
Θέματα Ανάλυσης για διδασκαλία στην τάξη (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός ΛογισμόςΘέματα Ανάλυσης για διδασκαλία στην τάξη (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός
Θέματα Ανάλυσης για διδασκαλία στην τάξη (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός
 
Πανελλαδικές εξετάσεις μαθηματικά 2017
Πανελλαδικές εξετάσεις μαθηματικά 2017Πανελλαδικές εξετάσεις μαθηματικά 2017
Πανελλαδικές εξετάσεις μαθηματικά 2017
 
ασκησεισ πανελληνιων
ασκησεισ πανελληνιωνασκησεισ πανελληνιων
ασκησεισ πανελληνιων
 
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 28ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 28οΆλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 28ο
Άλγεβρα - Α' Λυκείου - Μάθημα 28ο
 
Τα διαγωνίσματα προσομοίωσης του "Είμαστε μέσα..."
Τα διαγωνίσματα προσομοίωσης του "Είμαστε μέσα..."Τα διαγωνίσματα προσομοίωσης του "Είμαστε μέσα..."
Τα διαγωνίσματα προσομοίωσης του "Είμαστε μέσα..."
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου 2020 - 21
Διαγώνισμα Γ Λυκείου 2020 - 21 Διαγώνισμα Γ Λυκείου 2020 - 21
Διαγώνισμα Γ Λυκείου 2020 - 21
 
Διαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματα
Διαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματαΔιαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματα
Διαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματα
 
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020
 

More from Μάκης Χατζόπουλος

Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Μάκης Χατζόπουλος
 
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Μάκης Χατζόπουλος
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Μάκης Χατζόπουλος
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
Μάκης Χατζόπουλος
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Μάκης Χατζόπουλος
 
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου 45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
Μάκης Χατζόπουλος
 
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Μάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Μάκης Χατζόπουλος
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
Μάκης Χατζόπουλος
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Μάκης Χατζόπουλος
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ ΓυμνασίουΚεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΕργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Μάκης Χατζόπουλος
 
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από ΣούρμπηΔιαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Μάκης Χατζόπουλος
 
Ιδιότητες του αριθμού 2021
Ιδιότητες του αριθμού 2021Ιδιότητες του αριθμού 2021
Ιδιότητες του αριθμού 2021
Μάκης Χατζόπουλος
 

More from Μάκης Χατζόπουλος (20)

Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
 
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
 
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου 45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
 
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ ΓυμνασίουΚεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΕργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
 
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από ΣούρμπηΔιαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
 
Ιδιότητες του αριθμού 2021
Ιδιότητες του αριθμού 2021Ιδιότητες του αριθμού 2021
Ιδιότητες του αριθμού 2021
 

Recently uploaded

Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Τάσος Βανέσα).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Τάσος Βανέσα).pptΕργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Τάσος Βανέσα).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Τάσος Βανέσα).ppt
nikzoit
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΑΡΙΑ ΖΗΣΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΑΡΙΑ ΖΗΣΗΣ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΑΡΙΑ ΖΗΣΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΑΡΙΑ ΖΗΣΗΣ).ppt
nikzoit
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΚΑΛΥΨΩ ΜΥΡΤΩ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΚΑΛΥΨΩ ΜΥΡΤΩ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΚΑΛΥΨΩ ΜΥΡΤΩ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΚΑΛΥΨΩ ΜΥΡΤΩ).ppt
nikzoit
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΕΒΕΛΙΝΑ ΕΜΙΛΥ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΕΒΕΛΙΝΑ ΕΜΙΛΥ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΕΒΕΛΙΝΑ ΕΜΙΛΥ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΕΒΕΛΙΝΑ ΕΜΙΛΥ).ppt
nikzoit
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΣΤΡΑΤΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΣΤΡΑΤΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΣΤΡΑΤΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΣΤΡΑΤΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ).ppt
nikzoit
 
Απαντήσεις Χημείας - ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2024.pdf
Απαντήσεις Χημείας - ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2024.pdfΑπαντήσεις Χημείας - ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2024.pdf
Απαντήσεις Χημείας - ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2024.pdf
athinadimi
 
Hardware Personal Computer a small Introduction
Hardware Personal Computer a small  IntroductionHardware Personal Computer a small  Introduction
Hardware Personal Computer a small Introduction
ssuserd4abe0
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΤΑΥΡΙΛΙΑ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΤΑΥΡΙΛΙΑ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΤΑΥΡΙΛΙΑ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΤΑΥΡΙΛΙΑ).ppt
nikzoit
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΝΝΑ ΜΕΛΙΝΑ Μ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΝΝΑ ΜΕΛΙΝΑ Μ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΝΝΑ ΜΕΛΙΝΑ Μ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΝΝΑ ΜΕΛΙΝΑ Μ.ppt
nikzoit
 
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).pptΕργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).ppt
nikzoit
 
them_latin_gel_240606. latinika panellinies 2024pdf
them_latin_gel_240606. latinika panellinies 2024pdfthem_latin_gel_240606. latinika panellinies 2024pdf
them_latin_gel_240606. latinika panellinies 2024pdf
konstantinantountoum1
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.ppt
nikzoit
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΑΝΩΛΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΑΝΩΛΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΑΝΩΛΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΑΝΩΛΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ).ppt
nikzoit
 
them_istoria_gel_240612.PANELLINIES 2024 ISTORIApdf
them_istoria_gel_240612.PANELLINIES 2024 ISTORIApdfthem_istoria_gel_240612.PANELLINIES 2024 ISTORIApdf
them_istoria_gel_240612.PANELLINIES 2024 ISTORIApdf
konstantinantountoum1
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΟΛΙΒΙΑ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΟΛΙΒΙΑ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΣ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΟΛΙΒΙΑ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΟΛΙΒΙΑ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΣ).ppt
nikzoit
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
nikzoit
 
Εργασίες Οδύσσειας Α2, Κοργιαλένειο 1ο Γυμνάσιο Αργοστολίου, 2023-24.pptx
Εργασίες Οδύσσειας Α2, Κοργιαλένειο 1ο Γυμνάσιο Αργοστολίου, 2023-24.pptxΕργασίες Οδύσσειας Α2, Κοργιαλένειο 1ο Γυμνάσιο Αργοστολίου, 2023-24.pptx
Εργασίες Οδύσσειας Α2, Κοργιαλένειο 1ο Γυμνάσιο Αργοστολίου, 2023-24.pptx
Eugenia Kosmatou
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΡΓΥΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΡΓΥΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΡΓΥΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΡΓΥΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ).ppt
nikzoit
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΦΩΤΗΣ ΜΑΙΡΗ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΦΩΤΗΣ ΜΑΙΡΗ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΦΩΤΗΣ ΜΑΙΡΗ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΦΩΤΗΣ ΜΑΙΡΗ).ppt
nikzoit
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.ppt
nikzoit
 

Recently uploaded (20)

Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Τάσος Βανέσα).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Τάσος Βανέσα).pptΕργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Τάσος Βανέσα).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Τάσος Βανέσα).ppt
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΑΡΙΑ ΖΗΣΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΑΡΙΑ ΖΗΣΗΣ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΑΡΙΑ ΖΗΣΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΑΡΙΑ ΖΗΣΗΣ).ppt
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΚΑΛΥΨΩ ΜΥΡΤΩ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΚΑΛΥΨΩ ΜΥΡΤΩ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΚΑΛΥΨΩ ΜΥΡΤΩ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΚΑΛΥΨΩ ΜΥΡΤΩ).ppt
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΕΒΕΛΙΝΑ ΕΜΙΛΥ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΕΒΕΛΙΝΑ ΕΜΙΛΥ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΕΒΕΛΙΝΑ ΕΜΙΛΥ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΕΒΕΛΙΝΑ ΕΜΙΛΥ).ppt
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΣΤΡΑΤΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΣΤΡΑΤΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΣΤΡΑΤΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΣΤΡΑΤΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ).ppt
 
Απαντήσεις Χημείας - ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2024.pdf
Απαντήσεις Χημείας - ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2024.pdfΑπαντήσεις Χημείας - ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2024.pdf
Απαντήσεις Χημείας - ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2024.pdf
 
Hardware Personal Computer a small Introduction
Hardware Personal Computer a small  IntroductionHardware Personal Computer a small  Introduction
Hardware Personal Computer a small Introduction
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΤΑΥΡΙΛΙΑ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΤΑΥΡΙΛΙΑ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΤΑΥΡΙΛΙΑ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΤΑΥΡΙΛΙΑ).ppt
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΝΝΑ ΜΕΛΙΝΑ Μ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΝΝΑ ΜΕΛΙΝΑ Μ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΝΝΑ ΜΕΛΙΝΑ Μ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΝΝΑ ΜΕΛΙΝΑ Μ.ppt
 
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).pptΕργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).ppt
 
them_latin_gel_240606. latinika panellinies 2024pdf
them_latin_gel_240606. latinika panellinies 2024pdfthem_latin_gel_240606. latinika panellinies 2024pdf
them_latin_gel_240606. latinika panellinies 2024pdf
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.ppt
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΑΝΩΛΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΑΝΩΛΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΑΝΩΛΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΜΑΝΩΛΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ).ppt
 
them_istoria_gel_240612.PANELLINIES 2024 ISTORIApdf
them_istoria_gel_240612.PANELLINIES 2024 ISTORIApdfthem_istoria_gel_240612.PANELLINIES 2024 ISTORIApdf
them_istoria_gel_240612.PANELLINIES 2024 ISTORIApdf
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΟΛΙΒΙΑ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΟΛΙΒΙΑ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΣ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΟΛΙΒΙΑ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΟΛΙΒΙΑ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΣ).ppt
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
 
Εργασίες Οδύσσειας Α2, Κοργιαλένειο 1ο Γυμνάσιο Αργοστολίου, 2023-24.pptx
Εργασίες Οδύσσειας Α2, Κοργιαλένειο 1ο Γυμνάσιο Αργοστολίου, 2023-24.pptxΕργασίες Οδύσσειας Α2, Κοργιαλένειο 1ο Γυμνάσιο Αργοστολίου, 2023-24.pptx
Εργασίες Οδύσσειας Α2, Κοργιαλένειο 1ο Γυμνάσιο Αργοστολίου, 2023-24.pptx
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΡΓΥΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΡΓΥΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΡΓΥΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΑΡΓΥΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ).ppt
 
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΦΩΤΗΣ ΜΑΙΡΗ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΦΩΤΗΣ ΜΑΙΡΗ).pptΕργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΦΩΤΗΣ ΜΑΙΡΗ).ppt
Εργασία ΤΠΕ Οι 4 εποχές (ΦΩΤΗΣ ΜΑΙΡΗ).ppt
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.ppt
 

Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου

  • 1. Διδακτικά σενάρια Ανάλυσης Γ΄ Λυκείου Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Ο καθηγητής Ξεφτέρης Μαστερίδης από το 21ο ΓΕΛ Καστελόριζου έδωσε την εξής άσκηση στους τρεις μαθητές του: «Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) x 1 f x x 1 − = + και ( ) g x x 1 = − . Να αποδείξετε ότι: f g = » Οι δύο μαθητές απάντησαν ως εξής: α΄ μαθητής: Οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες, αφού έχουν διαφορετικούς τύπους. β΄ μαθητής: Για κάθε  ) x 0,  + έχουμε: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x x 1 g x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 − − − − − − − = = = = = − = − + + − − άρα f g = . Ο καθηγητής έβαλε άριστα μόνο στο γ΄ μαθητή. α) Συμφωνείτε με την άποψη του α΄ μαθητή; (Απαντήστε με ένα «ναι» ή «όχι»). β) Ποιος είναι το λάθος του β΄ μαθητή; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. γ) Να παρουσιάσετε τη λύση του γ΄ μαθητή. Εξτρά ερωτήματα δ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την 1 f − . ε) Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) 1 f x f x −  για κάθε  ) x 0,  + . στ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και 1 f − . ζ) Να ορίσετε τη συνάρτηση f g . η) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα όρια: i. ( ) x 1 x g x lim → ii. ( ) ( ) x 1 3 g x f x lim → iii. ( ) x f x x lim →+