Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. Διδακτικά σενάρια Ανάλυσης Γ΄ Λυκείου
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Ο καθηγητής Ξεφτέρης Μαστερίδης από το 21ο ΓΕΛ Καστελόριζου έδωσε την
εξής άσκηση στους τρεις μαθητές του:
«Δίνονται οι συναρτήσεις
( )
x 1
f x
x 1
−
=
+
και ( )
g x x 1
= − .
Να αποδείξετε ότι: f g
= »
Οι δύο μαθητές απάντησαν ως εξής:
α΄ μαθητής: Οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες, αφού έχουν διαφορετικούς τύπους.
β΄ μαθητής: Για κάθε  )
x 0,
 + έχουμε:
( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
2
2
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
x 1
f x x 1 g x
x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
− − − − − −
−
= = = = = − =
−
+ + − −
άρα f g
= .
Ο καθηγητής έβαλε άριστα μόνο στο γ΄ μαθητή.
α) Συμφωνείτε με την άποψη του α΄ μαθητή; (Απαντήστε με ένα «ναι» ή «όχι»).
β) Ποιος είναι το λάθος του β΄ μαθητή; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
γ) Να παρουσιάσετε τη λύση του γ΄ μαθητή.
Εξτρά ερωτήματα
δ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την 1
f −
.
ε) Να αποδείξετε ότι ( ) ( )
1
f x f x
−
 για κάθε  )
x 0,
 + .
στ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και 1
f −
.
ζ) Να ορίσετε τη συνάρτηση f g .
η) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα όρια:
i.
( )
x 1
x
g x
lim
→
ii.
( )
( )
x 1
3
g x
f x
lim
→
iii.
( )
x
f x
x
lim
→+