Deret Fourier merupakan metode untuk mewakili fungsi periodik menggunakan kombinasi fungsi sinus dan kosinus. Dokumen ini menjelaskan konsep dasar deret Fourier, rumus koefisien deret Fourier, sifat keortogonalan fungsi trigonometri, dan contoh penerapan deret Fourier untuk berbagai fungsi periodik.

1. Deret Fourier
Heni Widayani
Persamaan Diferensial Parsial
Jurusan Matematika
UIN Maulana Malik Ibrahim Malang
heniwidayani@mat.uin-malang.ac.id
May 4, 2020
Heni Widayani (UIN Malang) Deret Fourier May 4, 2020 1 / 21

2. Overview
Heni Widayani (UIN Malang) Deret Fourier May 4, 2020 2 / 21

3. Deret Taylor dan Deret Mac Laurin
f (x) ≈ f (a) +
f (a)
1
(x − a) +
f ”(a)
2!
(x − a)2
+
f (3)
(a)
3!
(x − a)3
+ · · · =
∞
n=0
f (n)
(a)
n!
(x − a)n
Deret Taylor dan Deret Mac Laurin (a = 0) adalah hampiran deret pangkat bagi
fungsi kontinu dan diferensiabel
(1 − x)−1
= 1 + x + x2
+ x3
+ . . .
sin x = x − x3
3!
+ x5
5!
− x7
7!
± . . .
cos x = 1 − x2
2!
+ x4
4!
− x6
6!
± . . .
Bagaimana jika kita ingin hampiran fungsi berupa fungsi periodik?
Fungsi Periodik
Suatu fungsi f (t) dikatakan periodik jika terdapat suatu bilangan positif p sehingga
f (t + p) = f (t). Bilangan p disebut periode dari fungsi.
Perhatikan bahwa periode suatu fungsi tidak tunggal
Jika p merupakan periode suatu fungsi maka demikian pula dengan 2p, 3p, dan
seterusnya.
Contoh : cos t, tan t, sin nt dengan n bilangan bulat merupakan fungsi berperiode 2π.Heni Widayani (UIN Malang) Deret Fourier May 4, 2020 3 / 21

4. Keortogonalan fungsi sinus dan cosinus
Teorema 1
Untuk m,n bilangan bulat positif berlaku
π
−π
cos mt cos nt dt =
0, jika m = n
π, jika m = n
π
−π
sin mt sin nt dt =
0, jika m = n
π, jika m = n
π
−π
sin mt cos nt dt = 0 untuk setiap m dan n
Sifat di atas tetap berlaku meskipun selang integrasi [−π, π] diubah menjadi selang
integrasi lain asalkan panjangnya tetap 2π.
BUKTI:
Dengan menggunakan identitas trigonometri diperoleh
π
−π
sin mt sin nt dt =
π
−π
1
2
[cos(m − n)t − cos(m + n)t] dt
Jelas bahwa ketika m = n, maka
π
−π
1
2
[cos(m − n)t − cos(m + n)t] dt = 0.
Sifat yang lain dapat dibuktikan dengan cara serupa.
Heni Widayani (UIN Malang) Deret Fourier May 4, 2020 4 / 21

5. Deret Fourier
Deret Fourier bagi fungsi berperiode 2π
Misalkan f(t) adalah fungsi kontinu bagian demi bagian dan berperiode
2π. Deret Fourier dari f (t) adalah
f (t) =
a0
2
+
∞
n=1
(an cos nt + bn sin nt)
dengan
a0 =
1
π
π
−π
f (t)dt
an =
1
π
π
−π
f (t) cos ntdt, untuk n = 1, 2, . . .
bn =
1
π
π
−π
f (t) sin ntdt, untuk n = 1, 2, . . .
Heni Widayani (UIN Malang) Deret Fourier May 4, 2020 5 / 21

6. Koefisien Deret Fourier
Misalkan
f (t) =
a0
2
+
∞
n=1
(an cos nt + bn sin nt) (1)
dengan koefisien Deret Fourier a0, am, bm, m = 1, 2, . . . akan dicari.
Jika setiap suku pada persamaan (1) diintegralkan dengan batas t = −π dan t = π
maka akan dihasilkan
π
−π
f (t)dt =
π
−π
a0
2
dt +
∞
n=1
π
−π
an cos ntdt +
π
−π
bn sin ntdt
π
−π
f (t)dt =
a0
2
π
−π
1 dt +
∞
n=1
an
π
−π
cos ntdt + bn
π
−π
sin ntdt
sehingga diperoleh
a0 =
1
π
π
−π
f (t)dt
Untuk mendapatkan koefisien am, kita kalikan pers (1) dengan cos mt sehingga diperoleh
π
−π
f (t) cos nt dt =
a0
2
π
−π
cos nt dt+
∞
n=1
an
π
−π
cos nt cos mtdt + bn
π
−π
sin nt cos mtd
Heni Widayani (UIN Malang) Deret Fourier May 4, 2020 6 / 21

7. Dengan menerapkan sifat keortogonalan fungsi sinus dan cosinus akan
diperoleh rumus koefisien
an =
1
π
π
−π
f (t) cos nt dt, untuk n = 1, 2, . . .
Dengan cara serupa koefisien bn dapat diperoleh dari
bn =
1
π
π
−π
f (t) sin ntdt untuk n = 1, 2, . . .
Heni Widayani (UIN Malang) Deret Fourier May 4, 2020 7 / 21

8. Contoh Soal
Tentukan deret Fourier fungsi berperiode 2π berikut:
f (t) =
−1, jika − π < t < 0
1, jika 0 < t < π
JAWAB :
a0 =
1
π
π
−π
f (t)dt =
1
π
0
−π
(−1)dt +
1
π
π
0
(1)dt = 0
an =
1
π
0
−π
(−1) cos(nt)dt +
1
π
π
0
cos(nt)dt = 0
bn =
1
π
(−1) sin(nt)dt +
1
π
π
0
sin(nt)dt =
2
nπ
(1 − cos(nπ))
=
2
nπ
(1 − (−1)n
) =
4/(nπ), jika n ganjil
0, jika n genap
Jadi, diperoleh deret Fourier bagi f (t) adalah
4
π
sin t +
1
3
sin 3t +
1
5
sin 5t +
1
7
sin 7t + . . . =
4
π
∞
n=0
sin(2n − 1)t
2n − 1
Heni Widayani (UIN Malang) Deret Fourier May 4, 2020 8 / 21

9. Plot Deret Fourier
n=4 n=10 n=40
Semakin banyak suku yang digunakan, hampiran untuk fungsi f (t) akan semakin baik.
Heni Widayani (UIN Malang) Deret Fourier May 4, 2020 9 / 21

10. Contoh soal 2
Tentukan deret Fourier fungsi berperiode 2π berikut:
f (t) =
t, jika 0 < t < π
0, jika π < t < 2π
JAWAB :
a0 =
1
π
2π
0
f (t)dt =
1
π
π
0
tdt =
π
2
an =
1
π
π
0
t cos ntdt =
1
n2π
((−1)n
− 1)
=
2/(n2
π), jika n ganjil
0, jika n genap
bn =
1
π
π
0
t sin ntdt = −
1
n
cos nπ =
(−1)n+1
n
Jadi, deret fourier bagi f (t) adalah
f (t) ≈
π
4
−
2
π
∞
n ganjil
cos nt
n2
+
∞
n=1
(−1)n+1
sin nt
n
Heni Widayani (UIN Malang) Deret Fourier May 4, 2020 10 / 21

11. Deret Fourier bagi fungsi berperiode 2L
Misalkan f (t) fungsi kontinu bagian demi bagian, berperiode 2L, terdefinisi untuk setiap
t, maka Deret Fourier bagi f (t) adalah
f (t) ≈
a0
2
+
∞
n=1
an cos
nπt
L
+ bn sin
nπt
L
dengan
a0 =
1
L
L
−L
f (t)dt
an =
1
L
L
−L
f (t) cos
nπt
L
dt
bn =
1
L
L
−L
f (t) sin
nπt
L
dt
untuk n = 1, 2, 3, . . .
Heni Widayani (UIN Malang) Deret Fourier May 4, 2020 11 / 21

12. Kekonvergenan Deret Fourier
Fourier (1822) mengklaim semua fungsi dapat diekspansikan sebagai deret Fourier.
Kekonvergenan (Fenomena Gibbs)
Misalkan f (t) adalah fungsi smooth bagian demi bagian, berperiode 2L, maka deret
Fourier f (t) akan konvergen
1 ke nilai f (t) untuk setiap titik di mana fungsi f kontinu
2 ke nilai
(f (t0+ + f (t0− ))
2
bagi tiap titik t0 di mana fungsi f diskontinu.
Notasi
(f (t0+ + f (t0− ))
2
tak lain adalah nilai rata-rata dari limit kiri dan limit kanan
fungsi f di titik t0.
Artinya, deret Fourier dari fungsi f (t) konvergen untuk setiap t ke nilai rata-rata
(f (t0+ + f (t0− ))
2
.
Nilai fungsi f (t) di titik-titik diskontinu t0 didefinisikan sebagai nilai rata-rata
(f (t0+ + f (t0− ))
2
Heni Widayani (UIN Malang) Deret Fourier May 4, 2020 12 / 21

13. Contoh Soal 3
Misalkan f (t) adalah fungsi periodik dengan periode 2, dengan f (t) = t2
untuk
0 < t < 2. Definisikan f (t) = 2 untuk t bilangan genap (agar merupakan rata-rata dari
limit kiri dan limit kanan). Tentukan deret Fourier bagi f (t)!
Jawab :
Koefisien deret Fourier bagi f (t) adalah
a0 =
2
0
t2
dt =
8
3
an =
2
0
t2
cos nπtdt =
4
n2π2
bn =
2
0
t2
sin nπtdt = −
4
nπ
Deret Fourier bagi f (t) adalah
f (t) ≈
4
3
+
4
n
∞
n=1
cos nπt
n2π
−
sin nπt
n
Heni Widayani (UIN Malang) Deret Fourier May 4, 2020 13 / 21

14. Latihan Soal 1
Tentukan deret Fourier dari fungsi-fungsi berikut yang masing-masing beperiode
2π
1 f (t) =
3, jika − π < t < 0
−2, jika 0 < t < π
2 f (t) =
0, jika − π < t < 0
t2
, jika 0 < t < π
(TUGAS)
3 f (t) = t, 0 < t < 2π
4 g(s) = | sin s|, −π < s < π
Bagi fungsi-fungsi periodik berikut, aturan fungsinya diberikan untuk satu periode
di setiap titik diskontinu fungsi f (t) didefinisikan oleh
(f (t0+ + f (t0− ))
2
. Tentukan
deret Fouriernya
1 f (t) =
−2, −3 < t < 0
2, 0 < t < 3
2 f (t) =
2, −2π < t < 0
1, 0 < t < 2π
(TUGAS)
3 f (t) = t, −2 < t < 2
Heni Widayani (UIN Malang) Deret Fourier May 4, 2020 14 / 21

15. Deret Fourier Fungsi Ganjil dan Genap
Fungsi f (t) dikatakan genap jika f (−t) = f (t) untuk setiap t.
Fungsi f (t) dikatakan ganjil jika f (−t) = −f (t) untuk setiap t.
Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu-y sedangkan grafik fungsi ganjil
simetris terhadap titik pusat O(0, 0).
Jika f (t) fungsi genap, maka
a
−a
f (t)dt = 2
a
0
f (t)dt
Jika f (t) fungsi ganjil, maka
a
−a
f (t)dt = 0
f (t) genap f (t) ganjil
Deret Fourier Cosinus Deret Fourier Sinus
a0 =
2
L
L
0
f (t)dt a0 = 0
an =
2
L
L
0
f (t) cos
nπt
L
dt an = 0
bn = 0 bn =
2
L
L
0
f (t) sin
nπt
L
dt
f (t) =
a0
2
+
∞
n=0
an cos
nπt
L
f (t) =
∞
n=0
bn sin
nπt
L
Heni Widayani (UIN Malang) Deret Fourier May 4, 2020 15 / 21

16. Contoh 4
Misalkan f (t) = t, 0 < t < L. Tentukan deret Fourier sinus dan cosinusnya.
Jawab :
a0 =
2
L
L
0
tdt =
2
L
1
2
t2
L
0
= L
an =
2
L
L
0
t cos
nπt
L
dt =
2L
n2π2
nπ
0
u cos udu
= 2L
n2π2 (u sin u + cos u)
nπ
0
=
− 4L
n2π2 , untuk n ganjil
0, untuk n genap
, Jadi, deret Fourier cosinus dari f (t) adalah
f (t) ≈
L
2
−
4L
π2
cos
πt
L
+
1
32
cos
3πt
L
+
1
52
cos
5πt
L
+ . . . untuk 0 < t < L
Sedangkan deret Fourier sinus dari f (t) adalah
f (t) ≈
2L
π
sin
πt
L
−
1
2
sin
2πt
L
+
1
3
sin
2πt
L
± . . .
Heni Widayani (UIN Malang) Deret Fourier May 4, 2020 16 / 21

17. Heni Widayani (UIN Malang) Deret Fourier May 4, 2020 17 / 21

18. Latihan Soal 2
1 Diketahui fungsi f (t) = t untuk 0 < t < 2. Tentukan deret Fourier
sinus dan deret Fourier cosinusnya. Gambarkan pula kedua deret
tersebut dan bandingkan dengan plot f (t) !
2 Sketsakan fungsi-fungsi berperiode 2π berikut, kemudian tentukan
deret Fouriernya
f (t) = sin t
f (t) = | sin t| untuk 0 < t < 2π
Heni Widayani (UIN Malang) Deret Fourier May 4, 2020 18 / 21

19. Sistem Pegas Massa
Perhatikan suatu sistem pegas-massa dengan massa 2 dan konstantan pegas 32 yang
memenuhi persamaan diferensial biasa berikut
2x” + 32x = f (t)
di mana f (t) adalah gaya luar yang berupa fungsi periodik berperiode 2
f (t) =
10, 0 < t < 1
−10, 1 < t < 2
Tentukan gerakan sistem pegas-massa tersebut !
JAWAB :
Solusi persamaan diferensial homogennya adalah xh(t) = A cos 4t + B sin 4t.
Fungsi f (t) merupakan fungsi ganjil berperiode 2L = 2, sehingga deret Fourier untuk
f (t) adalah
f (t) ≈
40
π
∞
n=0
sin nπt
n
Kita misalkan solusi partikularnya berbentuk
xp(t) =
∞
n=ganjil
bn sin nπt
Heni Widayani (UIN Malang) Deret Fourier May 4, 2020 19 / 21

20. Substitusi ke persamaan diferensialnya, dengan f (t) dinyatakan dalam deret Fouriernya
dihasilkan
∞
n=ganjil
bn(−2n2
π2
+ 32) sin nπt =
40
π
∞
n=0
sin nπt
n
Dengan demikian, dihasilkan
bn =
20
nπ(16 − n2π2)
untuk n ganjil
sehingga diperoleh solusi partikular
xp(t) =
20
π
∞
n=ganjil
sin nπt
n(16 − n2π2)
Heni Widayani (UIN Malang) Deret Fourier May 4, 2020 20 / 21

21. Latihan Soal (TUGAS)
Selesaikan seperti contoh soal 4 dengan
1 f (t) = 10t, −π < t < π dan berperiode 2π
2 f (t) =
10, 0 < t < π
−10, π < t < 2π
Dari kedua gaya luar di atas, manakah yang menghasilkan gejala resonansi?
Heni Widayani (UIN Malang) Deret Fourier May 4, 2020 21 / 21