1. Transformasi Z berfungsi untuk mengubah sinyal waktu diskrit menjadi bentuk kompleks dalam domain frekuensi dan berguna untuk menyelesaikan persamaan beda. 2. Transformasi Z didefinisikan sebagai deret tak hingga dari koefisien sinyal x(n) yang dikalikan dengan z^(-n) dan hanya berlaku di Region of Convergence tertentu. 3. Contoh kasus transformasi Z antara lain transformasi sinyal konstan, impulse, dan deret waktu

1. Transformasi Z
Oleh : Ibnu Hakim
Feri
Siti Albaniah

2.  Adalah suatu transformasi yang mengubah
sinyal waktu diskrit ke dalam bentuk kompleks
dalam domain frekuensi
 Berguna untuk menyelesaikan persamaan beda
(difference equation). Hal ini serupa dengan
kegunaan transformasi Laplace, tetapi berlaku
untuk sinyal dan sistem waktu diskrit.

3.  Transformasi-z dari suatu sinyal x(n)
didefinisikan sebagai:
∑
∞
−∞=
−
=
n
n
z)n(x)z(X
di mana z adalah suatu variabel bilangan
komplek, yaitu z = re j Ω
.Im(z)
Re(z)
r
Ω

4.  Transformasi-z adalah suatu deret tak hingga,
sehingga mungkin divergen untuk beberapa nilai z.
 Transformasi-z hanya didefinisikan untuk suatu
daerah yang hasil transformasinya adalah
terhingga, diberi nama Region of Convergence.
 Region Of Convergence (ROC) dari transformasi-z
berbentuk :
R1 < |z| < R2, dimana |z| = r.
dengan batas R1 dan R2 adalah tergantung pada
sinyal yang ditransformasikan.

5.  Cari Transformasi-Z dari sinyal-sinyal berikut:
a). x1(n) = {1, 2, 3, 5, 7, 0, 1}
b). x2(n) = {0, 0, 1, 2, 5, 0, 1}
 Jawab
a). X1(z) = 1 + 2z-1
+ 3z-2
+ 5z-3
+ 7z-4
+ z-6
; ROC: z
≠ 0
b). X2(z) = z-2
+ 2z-3
+ 5z-4
+ z-6
; ROC: z ≠ 0

6.  Cari Transformasi-Z dari sinyal:
x3(n) = u(n) = {1, 1, 1, 1, … }
 Jawab
X3(z) = 1 + z -1
+ z -2
+ z -3
+ …
jika z –1
= A, maka :
X3(z) = 1 + A + A2
+ A3
+ ...
kedua ruas dari persamaan di atas dikalikan dengan (1 –
A), dihasilkan:
X3(z) = A1
1
−

7. Sifat-sifatTransformasi ZSifat-sifatTransformasi Z
Linier
Penggeseran Waktu
Perkalian dengan Waktu
Pembalikan Waktu
Perkalian dengan an
Teorema Nilai Awal
Teorema Nilai Akhir

8.  Z[a1 x1(n) + a2 x2(n)] = a1 X1(z) + a2 X2(z)
 Contoh:
Cari transformasi z dari x(n) = u(n) + 0,9n
u(n)
 Jawab:
Transformasi z dari u(n) = z/(z – 1)
Transformasi z dari 0,9n
u(n) = z/(z – 0,9)
maka transformasi z dari u(n) + 0,9n
u(n) :
( )
)9,0z)(1z(
z9,1z2
)9,0z)(1z(
)1z(z9,0zz
9,0z
z
1z
z 2
−−
−
=
−−
−+−
=
−
+
−
=

9.  Z[x(n–1)] = z-1
X(z) + x(–1)
 Z[x(n–2)] = z-2
X(z) + x(–2) + z-1
x(–1)
 Z[x(n–k)] = z-k
X(z) + x(–k) + z-1
x(–k+1) + ...
+ z–k+1
x(–1)

 Z[x(n+1)] = zX(z) – z x(0)
 Z[x(n+2)] = z2
X(z) – z2
x(0) – z x(1)
 Z[x(n+k)] = zk
X(z) – zk
x(0) – zk-1
x(1) – ...
– z x(k–1)

10.  Contoh
Cari transformasi z dari x(n) = u(n + 2)
 Jawab:
Z[u(n+2)] = z2
X(z) – z2
x(0) – z x(1)
1z
1z
z
1z
1z
z
1z
z
zzz
1z
z
z 2222
−
−
−
−
−
−
−
=−−
−
=
1z
z
1z
zzzzz 2233
−
=
−
+−+−
=

11.  Z[n x(n)] =
 Contoh :
Tentukan transformasi z dari x(n) = n.u(n)
 Jawab :
Z[n.u(n)] = =
=
[ ])z(X
dz
d
z−
[ ])z(X
dz
d
z−
( )
( ) 





−
−−
−=





−
− 2
1z
)1(z11z
z
1z
z
dz
d
z
( ) ( )22
1z
z
1z
1
z
−
=





−
−
−

12.  Z[x(–n)] = X(1/z)
 Contoh :
Cari transformasi z dari x(n) = u(–n)
 Jawab:
Z[u(–n)] =
z1
1
1z
z
1
1
−
=
−−
−

13.  Z[an
x(n)] = X(z/a)
 Contoh :
Tentukan transformasi z dari x(n) = 0,8n
u(n)
 Jawab :
Z[0,8n
u(n)] = X(z/0,8) = 8,0z
z
18,0/z
8,0/z
−
=
−

14.  Jika Z[x(n)] = X(z), maka x(0) =
 Contoh :
Tentukan nilai awal x(0) jika
 Jawab :
x(0) =
=
= 1
( )zXlim
z ∞→
9,0z
z
)z(X
−
=
( )zXlim
z ∞→
9,0z
z
lim
z −∞→

15.  Jika Z[x(n)] = X(z), maka
 Contoh :
Tentukan nilai akhir x(∞) jika
 Jawab :
= = 0
( ) )z(X1zlim)n(xlim
1zn
−=
→∞→
9,0z
z
)z(X
−
=
( ) )z(X1zlim)n(xlim
1zn
−=
→∞→
( )
9,0z
z
1zlim
1z −
−
→

16. Tabel Pasangan Transformasi Z

17. No Sinyal diskrit
x(n)
Transformasi-z
X(z)
ROC
1 δ(n) 1 Seluruh z
2 u(n) |z| > 1
3 a n
u(n) |z| > |a|
4 n a n
u(n) |z| > |a|
5 – a n
u(– n –1) |z| < |a|
6 – n a n
u(– n –1) |z| < |a|
1z
z
z1
1
1
−
=
− −
az
z
az1
1
1
−
=
− −
az
z
az1
1
1
−
=
− −
( ) ( )221
1
az
az
az1
az
−
=
− −
−
( ) ( )221
1
az
az
az1
az
−
=
− −
−

18. No Sinyal diskrit Transformasi-z ROC
7 (cos Ω0 n) u(n) |z| > 1
8 (sin Ω0 n) u(n) |z| > 1
9 (an
cos Ω0n) u(n) |z| > |a|
10 (an
sin Ω0 n) u(n) |z| > |a|
1cosz2z
coszz
zcosz21
cosz1
0
2
0
2
2
0
1
0
1
+Ω−
Ω−
=
+Ω−
Ω−
−−
−
1cosz2z
sinz
zcosz21
sinz
0
2
0
2
0
1
0
1
+Ω−
Ω
=
+Ω−
Ω
−−
−
2
0
2
0
2
22
0
1
0
1
acosaz2z
cosazz
zacosaz21
cosaz1
+Ω−
Ω−
=
+Ω−
Ω−
−−
−
2
0
2
0
22
0
1
0
1
acosaz2z
sinaz
zacosaz21
sinaz
+Ω−
Ω
=
+Ω−
Ω
−−
−

19.  Tidak berisi informasi tentang sinyal x(n) untuk
waktu negatif atau n < 0
 Bersifat unik hanya untuk sinyal kausal, karena
sinyal-sinyal ini yang bernilai nol untuk n < 0
 Bila kita membahas transformasi z satu sisi, kita
tidak perlu membahas ROC-nya.
∑
∞
=
−+
=
0n
n
z)n(x)z(X

20.  Menghitung langsung integral kontur
 Ekspansi dalam deret pangkat, dengan variabel z
dan z–1
 Ekspansi pecahan parsial dan melihat tabel
pasangan transformasi
( )∫
−
π
=
C
1n
dzzzX
j2
1
)n(x

21. 1. X(z) terdiri dari pole-pole riil dan tak berulang
2. X(z) terdiri dari pole-pole riil dan berulang
3. X(z) terdiri pole-pole pasangan komplek

22. Pole Riil dan Tak berulang
nmdengan;
azazaz
bzbzbzb
)z(X
n1n
1n
1
n
m1m
1m
1
m
0
≤
++++
++++
=
−
−
−
−


( )( ) ( )pzpzpz
bzbzbzb
)z(X
n21
m1m
1m
1
m
0
−−−
++++
= −
−


n
n
2
2
1
1
pz
a
pz
a
pz
a
z
)z(X
−
++
−
+
−
= 
( )
ipz
ii
z
)z(X
pza
=




−=

23. Contoh 2
• Tentukan invers transformasi z dari:
• Jawab:
1z:ROCjika;
z5,0z5,11
1
)z(X 21
>
+−
= −−
5,0z5,1z
z
)z(X 2
2
+−
=
5,0z
a
1z
a
5,0z5,1z
z
z
)z(X 21
2
−
+
−
=
+−
=
( )
( )( ) ( ) 1z1z
1
5,0z
z
5,0z1z
z
1za
==






−
=





−−
−=

24. Contoh 2 (lanjutan)
( )
( )( ) ( )
=





−
=





−−
−=
== 5,0z5,0z
2
1z
z
5,0z1z
z
5,0za
5,0z
1
1z
2
z
)z(X
−
−
−
=
5,0z
z
1z
z
2)z(X
−
−
−
=
x(n) = 2 u(n) – (0,5)n
u(n)

25.  Jika X(z)/z memiliki pole-pole berulang pada p1
dengan pangkat r, maka penyebut dapat ditulis
sebagai:
(z + p1)r
(z + pr +1)(z + pr +2)…(z + pn)
 Ekspansi pecahan parsial dari X(z)/z ditulis
sebagai:
( ) ( ) ( )
n
n
2r
2r
1r
1r
1
1
1r
1
1r
r
1
r
pz
a
pz
a
pz
a
pz
b
pz
b
pz
b
z
)z(X
+
++
+
+
+
+
+
++
+
+
+
=
+
+
+
+
−
−



26.  Nilai-nilai konstanta br, br-1, …, b1 dicari dengan
rumus:
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
1
1
pz
r
11r
1r
1
pz
r
1j
j
jr
pz
r
11r
pz
r
1r
pz
z
)z(X
dz
d
!1r
1
b
pz
z
)z(X
dz
d
!j
1
b
pz
z
)z(X
dz
d
b
pz
z
)z(X
b
−=
−
−
−=
−
−=
−
−=












+
−
=










+=












+=






+=

27. Contoh 3
• Tentukan invers transformasi-z dari:
• Jawab:
Pemfaktoran dari X(z)/z menghasilkan:
1zzz
zz2z6
)z(X 23
23
+−−
−+
=
( ) ( )1z1z
1z2z6
1zzz
1z2z6
z
)z(X
2
2
23
2
+−
−+
=
+−−
−+
=
( ) 1z
a
1z
b
1z
b
z
)z(X 1
2
2
+
+
−
+
−
=

28.  Jika p1 dan p2 adalah pole-pole pasangan bilangan
komplek, dan pole lainnya adalah pole riil dan tak
berulang, maka ekspansi berikut dapat dipakai:
( )( ) n
n
21
21
pz
a
pzpz
z
z
)z(X
+
++
++
α+α
= 
nilai-nilai dari α1 dan α2 ditemukan dengan rumus:
( )( ) ( ) ( )( ) ( )zBpzpzapzpzz 21nn321 =++++++α+α 
B(z) adalah bagian pembilang dari X(z)/z.

29. Contoh 4
• Tentukan invers transformasi z dari:
• Jawab:
Ekspansi pecahan parsial dari X(z)/z adalah:
nilai a dicari dengan:
( )( )1zz1z
zz
1z2z2z
zz
)z(X 2
2
23
2
+−−
+
=
−+−
+
=
( )( ) ( )1zz
z
1z
a
1zz1z
1z
z
)z(X
2
21
2
+−
α+α
+
−
=
+−−
+
=
( ) ( )
( ) 2
1zz
1z
1z
z
zX
a
1z
2
1z
=
+−
+
=−=
==

30. Contoh 4 (lanjutan)
kemudian dicari nilai α1 dan α2 dengan
menyamakan penyebut dari kedua ruas :
2(z2
– z + 1) + (z – 1)( α1z + α2) = z + 1
2z2
– 2z + 2 + (α1z2
– α1z + α2z – α2) = z + 1
(2 + α1)z2
+ (-2 – α1 + α2)z + (2 – α2)z0
= z + 1
( )( ) ( )1zz
z
1z
2
1zz1z
1z
2
21
2
+−
α+α
+
−
=
+−−
+

31. Contoh 4 (lanjutan)
sehingga :
z2
: 2 + α1 = 0
z1
: -2 – α1 + α2 = 1
z0
: 2 – α2 = 1
akhirnya didapatkan α1 = –2 dan α2 = 1,
sehingga:
( );
1zz
1z2
1z
2
z
)z(X
2
+−
+−
+
−
=
( )1zz
z5,0z
2
1z
z
2)z(X 2
2
+−
−
−
−
=

32. Contoh 4 (lanjutan)
( )1zz
z5,0z
2 2
2
+−
−
2
0
2
0
2
acosaz2z
cosazz
+Ω−
Ω−
Z[(an
cos Ω0n) u(n)]
maka a = 1, cos Ω0 = 0,5, dan diperoleh Ω0 = π/3,
sehingga didapat:
x(n) = 2.u(n) – 2 u(n) cos (π/3)n

34.  Tentukan respon sistem berikut untuk input x(n)
adalah unit step:
0,25 y(n) = – y(n + 2) + y(n +1) + x(n + 2)
dengan y(0) = 1, y(1) = 2

35.  Jawab:
 Dengan mengambil tranformasi-z satu sisi:
0,25 Y(z) = – [z2
Y(z) – z2
y(0) – zy(1)]
+ [zY(z) – zy(0)] + z2
X(z) – z2
x(0) – zx(1)
 = – z2
Y(z) + z2
+ 2z + zY(z) – z + z2
X(z) – z2
– z
 Y(z) [0,25 – z + z2
] = z2
X(z) = z3
/(z – 1)
( )( ) ( ) ( ) ( )5,0z
b
5,0z
b
1z
a
5,0z1z
z
25,0zz
1
1z
z
z
)z(Y
1
2
2
2
2
2
2
−
+
−
+
−
=
−−
=






+−−
=