Mata kuliah ini membahas tentang aturan dasar dalam perhitungan kemungkinan (aturan perkalian dan penjumlahan), prinsip inklusi-eksklusi, dan prinsip sarang merpati beserta contoh penerapannya dalam menyelesaikan masalah perhitungan kemungkinan.

1. COUNTING1
Pengajar:
Heni Widayani, M.Si
Mata Kuliah :Matematika Diskrit
Senin, 19 Februari 2018

2. Tujuan
• Mengenal aturan-aturan dasar dalam counting (aturan perkalian dan aturan
penjumlahan), prinsip inklusi-eksklusi, dan prinsip sarang merpati
• Dapat menerapkan prinsip-prinsip tersebut dalam masalah-masalah
counting

3. Kombinatorial
• Cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek (jumlah cara
pengaturan objek-objek tertentu di dalam himpunannya).
“Nomor plat mobil di negara X terdiri atas 5 angka diikuti dengan 2 huruf.
Angka pertama tidak boleh 0. Berapa banyak nomor plat mobil yang dapat
dibuat?”
Cara menyelesaikan :
1. Enumerasi (dicacah atau dihitung) satu per satu setiap kemungkinan
2. Kaidah dasar menghitung
3. Teknik kombinatorial (permutasi atau kombinasi

4. Percobaan
1. Melempar dadu
Outcome : sisi dadu teratas menunjukkan 1,2,3,4,5, atau 6
2. Melempar koin uang Rp1000
Outcome : Sisi koin bagian atas menunjukkan angka atau gambar.
3. Memilih lima orang wakil dari 100 orang mahasiswa
Outcome : himpunan pasangan 5 wakil mahasiswa dengan jumlah
anggota himpunan yang banyak
4. Menyusun jumlah kata yang panjangnya 5 huruf yang dapat dibentuk
dari huruf-huruf a,b,c,d,e, tidak boleh ada huruf yang berulang di dalam
kata.
Outcome : himpunan kata yang bersesuain, {abcde,abced,acdeb,....}

5. Kaidah Dasar Menghitung
Percobaan 1 mempunyai 𝑝 kemungkinan kejadian
Percobaan 2 mempunyai 𝑞 kemungkinan kejadian
Kaidah perkalian (rule of product)
• Kedua percobaan dilakukan secara simultan/serentak.
Banyak kemungkinan kejadian saat percobaan 1 dan percobaan 2 dilakukan
sebanyak 𝑝 × 𝑞 kemungkinan kejadian
Kaidah penjumlahan (rule of sum)
• Kedua percobaan dilakukan tidak simultan/serentak.
Banyak kemungkinan kejadian saat percobaan 1 atau percobaan 2 dilakukan
sebanyak 𝑝 + 𝑞 kemungkinan kejadian

6. Contoh Soal
1. Sebuah restoran menyediakan lima jenis makanan, yaitu nasi goreng, soto ayam, sate,
bakso dan sop ayam, serta tiga jenis minuman yaitu teh, kopi, dan air kelapa. Jika
setiap pelanggan memesan satu makanan dan satu minuman, berapa banyak pasangan
makanan dan minuman yang dapat dipesan?
[15]
2. Jabatan ketua himpunan dapat diduduki oleh mahasiswa angkatan tahun 2015 atau
2016. Jika terdapat 45 orang mahasiswa angkatan 2015 dan 52 orang mahasiswa
angkatan 2016, berapa banyak cara memilih ketua himpunan?
[97]
3. Sekelompok mahasiswa terdiri atas 4 pria dan 3 wanita.
a. Berapa banyak cara memilih sepasang wakil dari kelompok tersebut ? [12]
b. Berapa banyak cara memilih seorang wakil dari kelompok tersebut? [7]
4. Kursi-kursi di dalam ruang aula akan diberi nomor dengan sebuah huruf diikuti
dengan bilangan bulat positif yang tidak lebih dari 50. Berapa jumlah maksimum kursi
yang dapat dinomori ? [1300]
5. Terdapat 4 rute yang dapat dilalui kendaraan dari Jakarta ke Bandung, dan tiga rute
dari Bandung ke Yogya.
a. Berapa banyak kemungkinan rute dari Jakarta ke Yogya melalui Bandung ? [12]
b. Berapa banyak kemungkinan rute pulang-pergi dari jakarta ke Yogya melalui
Bandung? [144]

7. Perluasan Kaidah Menghitung
Jika 𝑛 buah percobaan masing-masing mempunyai 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝 𝑛 hasil percobaan
yang mungkin terjadi di mana setiap 𝑝𝑖 tidak bergantung pada pilihan
sebelumnya, maka jumlah hasil percobaan yang mungkin terjadi adalah
a. 𝑝1 × 𝑝2 × ⋯ × 𝑝 𝑛 untuk kaidah perkalian
b. 𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ + 𝑝 𝑛 untuk kaidah penjumlahan

8. Contoh Soal
1. Jika ada sepuluh pertanyaan yang masing-masing bisa dijawab benar atau
salah (B atau S). Berapakah kemungkinan kombinasi jawaban yang dapat
dibuat? [210]
2. Perpustakaan Kota memiliki 6 buah buku berbahasa Inggris, 8 buah buku
berbahasa Perancis, dan 10 buah buku berbahasa Jerman. Masing-masing
buku berbeda judul. Berapa banyak cara memilih
a.3 buah buku dengan bahasa berbeda [480]
b.1 buah buku [24]
3. Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan
9999 itu sendiri) yang
a.Semua angkanya berbeda [2240]
b.Boleh ada angka yang berulang [4500]

9. Kombinatorial pd Kriptografi
Pesan plaintext “Informatika” dengan menggunakan algoritma kriptografi
DES (Data Encryption Standard) disandikan menjadi chipertext “%r$ht&90dt”.
Melalui proses yang berkebalikan, chipertext tersebut dapat dikembalikan
menjadi plaintext. Algoritma DES menggunakan kunci (key) untuk
menyandikan pesan yang akan dikirim ataupun diterima. Panjang kunci DES
sebanyak delapan karakter atau 64 bit. Orang yang ingin memecahkan
chipertext menjadi plaintext harus mencoba seluruh kemungkinan kunci yang
panjangnya 64 bit itu. Berapa banyak kemungkinan kunci yang harus dicoba
untuk memecahkan chipertext?
Jawab :
Karena ada 64 posisi pengisian bit yang masing-masing memiliki dua
kemungkinan nilai 0 atau 1, maka banyak kombinasi kunci yang harus dicoba
264 = 18.446.744.073.709.551.616
Andaikan tersedia komputer dengan sejuta prosesor paralel yang dapat
mencoba satu juta kunci setiap detik, maka dibutuhkan waktu sekitar 584.942
tahun untuk mencoba seluruh kemungkinan kunci.

10. Contoh Soal dgn 2 kaidah sekaligus
1. Password pada sistem komputer panjangnya enam sampai delapan
karakter. Tiap karaketer boleh berupa huruf atau angka. Huruf besar dan
huruf kecil tidak dibedakan. Berapa banyak password yang dapat dibuat?
[2.901.650.833.888]
2. Misalkan nomor plat mobil di negara X terdiri atas 5 angka diikuti 2 huruf.
Angka pertama tidak boleh 0. Berapa banyak nomor plat mobil yang
dapat dibuat?

11. Prinsip Inklusi -Eksklusi
Misalkan 𝐴𝑖 adalah himpunan (i=1,2,..,n) dan 𝐴𝑖 adalah jumlah anggota
himpunan A, maka
𝑨 𝟏 ∪ 𝑨 𝟐 ∪ ⋯ ∪ 𝑨 𝒏 =
𝒊=𝟏
𝒋
𝑨𝒊 −
𝒊,𝒋
𝑨𝒊 ∩ 𝑨𝒋 +
𝒊,𝒋,𝒌
𝑨𝒊 ∩ 𝑨𝒋 ∩ 𝑨 𝒌 + ⋯ + (−𝟏) 𝒏−𝟏
𝑨𝒊 ∩ 𝑨 𝟐 ∩ ⋯ ∩ 𝑨 𝒏
Untuk 𝑛 = 2
A ∪ B = 𝐴 + 𝐵 − 𝐴 ∩ 𝐵
Untuk 𝑛 = 3
A ∪ B ∪ 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 − 𝐴 ∩ 𝐵 − 𝐵 ∩ 𝐶 − 𝐴 ∩ 𝐶 + 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶

12. Contoh Soal
1. Dalam sebuah universitas didapatkan informasi sebagai berikut : 260
mahasiswa mengambil mata kuliah statistik, 208 mahasiswa mengambil
mata kuliah kalkulus, dan 160 mengambil mata kuliah komputer. 76
mahasiswa mengambil statistik dan kalkulus, 48 mengambil statistik dan
komputer, dan 62 mengambil kalkulus dan komputer. Ada 30 mahasiswa
yang mengambil ketiga mata kuliah tersebut dan 150 mahasiswa tidak
mengambil mata kuliah tersebut
a. Berapa jumlah seluruh mahasiswa di universitas tersebut ?
b. Berapa mahasiswa yang mengambil statistik dan kalkulus, tetapi tidak
mengambil mata kuliah komputer ?
c. Berapa mahasiswa yang mengambil mata kuliah statistik, tetapi tidak
mengambil kalkulus maupun komputer?
2. Berapa banyak bilangan bulat 𝑥 dengan 1 ≤ 𝑥 ≤ 1000 yang merupakan
kelipatan 3 atau kelipatan 5?

13. Pigeon Hole Principle
• Dikemukakan oleh G.Lejeune Dirichlet, seoarang matematikawan Jerman
(Prinsip Kotak Dirichlet)
• Ketentuannya bahwa setiap sarang ditempati oleh seekor burung merpati.
• Misalkan merpati ada 16 ekor namun hanya terdapat 14 sarang. Prinsip
sarang merpati menyatakan bahwa paling sedikit terdapat satu sarang yang
ditempati oleh dua ekor merpati.
Teorema (Pigeon Hole Principle)
Jika 𝑛 + 1 atau lebih objek ditempatkan di dalam 𝑛 buah kotak, maka paling sedikit
terdapat satu kotak yang berisi dua atau lebih objek.
• Prinsip ini tidak memberitahukan sarang mana yang berisi dua atau lebih
ekor merpati.

14. Contoh Soal Pigeon Hole Principle
1. Dari 27 orang mahasiswa, paling sedikit terdapat dua orang yang
namanya diawali dengan huruf yang sama.
2. Misalkan terdapat banyak bole merah, bola putih, dan bola biru di dalam
sebuah kotak. Berapa paling sedikit jumlah bola yang diambil dari kotak
(tanpa melihat ke dalam kotak) untuk menjamin bahwa sepasang bola
yang berwarna sama terambil?
3. Sebuah turnamen basket diikuti oleh 𝑛 buah tim di mana setiap tim
bertanding dengan setiap tim lain dan setiap tim menang paling sedikit
satu kali. Tunjukkan bahwa paling sedikit ada 2 tim yang mempunyai
jumlah kemenangan yang sama!

15. Generalized Pigeon Hole Principle
Jika 𝑀 objek ditempatkan di dalam 𝑛 buah kotak, maka paling sedikit terdapat satu
kotak yang berisi minimal
𝑀
𝑛
objek.
Contoh :
1. Misalkan terdapat 20 sarang merpati dan 41 ekor merpati, maka terdapat
satu buah sarang yang berisi lebih dari 2 ekor merpati.
2. Di antara 50 orang mahasiswa, terdapat paling sedikit
50
12
= 5 orang yang
lahir pada bulan yang sama.
3. Misalkan terdapat banyak bole merah, bola putih, dan bola biru di dalam
sebuah kotak. Berapa paling sedikit bola yang harus diambil dari dalam
kotak sehingga 3 pasang bola yang setiap pasang berwarna sama?