Dokumen ini membahas tentang Persamaan Korteweg-de Vries (KdV) dan Persamaan Sine-Gordon. Pembahasan mencakup definisi persamaan-persamaan tersebut, solusi gelombang berjalan (soliton) dari Persamaan KdV berupa fungsi sech, dan solusi gelombang berjalan dari Persamaan Sine-Gordon berupa fungsi arctan. Diberikan juga contoh animasi solusi dan tugas terkait persamaan-persamaan tersebut.

1. Korteweg-de-Vries Equation
Heni Widayani
Department of Mathematics
UIN Maulana Malik Ibrahim Malang
heniwidayani@mat.uin-malang.ac.id
April 20, 2020
Heni Widayani (UIN Malang) KdV Equation April 20, 2020 1 / 16

2. Overview
1 Persamaan KdV
2 Persamaan Sine-Gordon
Heni Widayani (UIN Malang) KdV Equation April 20, 2020 2 / 16

3. Solitary waves atau Soliton
Heni Widayani (UIN Malang) KdV Equation April 20, 2020 3 / 16

4. ”I was observing the motion of a boat which was rapidly drawn along a
narrow channel by a pair of horses, when the boat suddenly stopped - not
so the mass of water in the channel which it had put in motion; it
accumulated round the prow of the vessel in a state of violent agitation,
then suddenly leaving it behind, rolled forward with great velocity,
assuming the form of a large solitary elevation, a rounded, smooth and
well-defined heap of water, which continued its course along the channel
apparently without change of form or diminution of speed. I followed it on
horseback, and overtook it still rolling on at a rate of some eight or nine
miles an hour, preserving its original figure some thirty feet long and a foot
to a foot and a half in height. Its height gradually diminished, and after a
chase of one or two miles I lost it in the windings of the channel. Such, in
the month of August 1834, was my first chance interview with that singular
and beautiful phenomenon which I have called the Wave of Translation.”
(J.S. Russell, 1844)
Heni Widayani (UIN Malang) KdV Equation April 20, 2020 4 / 16

5. Korteweg and deVries
Persamaan diferensial dari persamaan KdV berebntuk persamaan nonlinier
orde tiga berbentuk
Ut + (a1 + a2U)Ux + a3Uxxx = 0, a2, a3 = 0 (1)
Substitusi u = a1 + a2U dan melakukan penskalaan terhadap variabel x
dan t menghasilkan persamaan KdV tereduksi sebagai berikut
ut + uux + uxxx = 0 (2)
Heni Widayani (UIN Malang) KdV Equation April 20, 2020 5 / 16

6. Solitary Wave Solution
Solusi yang akan dicari adalah solusi yang berbentuk gelombang
berjalan (travelling waves) berbentuk pulse
u(x, t) = f (x − ct) dengan c > 0,
dan
lim
z→±∞
f (z) = lim
z→±∞
f (z) = lim
z→±∞
f (z) = 0
Solusi ini disebut sebagai solitons
Heni Widayani (UIN Malang) KdV Equation April 20, 2020 6 / 16

7. Persamaan KdV berbentuk
ut + uux + uxxx = 0
Substitusi u(x, t) = f (x − ct) ke dalam persamaan KdV tersebut
menghasilkan PDB orde 3 untuk f (z) sebagai berikut
−cf + ff + f = 0
Integralkan kedua ruas persamaan tersebut sekali dan dihasilkan
−cf +
1
2
f 2
+ f = a
dengan a adalah konstanta hasil integrasi. Dari asumsi bahwa
limz→±∞ f (z) = limz→±∞ f (z) = 0, maka nilai a = 0. Kalika kedua ruas
dengan f sehingga diperoleh
−cff +
1
2
f 2
f + f f ” = 0
dan mengintegralkan sekali lagi menghasilkan persamaan orde satu berikut
−
1
2
cf 2
+
1
6
f 3
+
1
2
f
2
= b
Karena f (z), f (z) → 0 ketika z → ∞ maka diperoleh bahwa b = 0.
Heni Widayani (UIN Malang) KdV Equation April 20, 2020 7 / 16

8. Kemudian persamaan tersebut diselesaikan dalam (f )2 sehingga diperoleh
3(f )2 = (3c − f )f 2
√
3√
3c−f f
f = 1
Agar persamaan tersebut terdefinisi maka dibutuhkan kondisi
0 < f (z) < 3c. Untuk mengintegralkan ruas kanan, akan digunakan
subtitusi g2 = 3c − f . Substitusi f = 3c − g2 dan f = −2gg
menghasilkan
2
√
3
3c − g2
g = −1
menggunakan integral parsial, integrasi kedua ruas persamaan tersebut
terhadap z menghasilkan
ln
√
3c+g√
3c−g
= −
√
cz + d
untuk suatu konstanta d. Penyelesaian persamaan tersebut dalam g
menghasilkan
g(z) =
√
3c
exp(−
√
cz + d) − 1
exp(−
√
cz + d) + 1
= −
√
3c tanh
1
2
√
cz + d
Heni Widayani (UIN Malang) KdV Equation April 20, 2020 8 / 16

9. Kemudian karena f = 3c − g2 menghasilkan
f (z) = 3c sech2 1
2
√
cz − d
Ingat bahwa sech(z) = 1
cosh(z) , dengan cosh(z) = 1
2 (ez + e−z) Karena d
adalah sebarang konstanta, untuk menunjukkan bagaimana bentuk
gelombang berjalannya dapat dipilih d = 0, sehingga solusi dari gelombang
berjalan dari persamaan KdV berbentuk
u(x, t) = 3c sech2
√
c
2
(x − ct)
Bentuk gelombang berjalanya bertipe ”pulse” yang kemudian disebut
sebagai gelombang solitary atau soliton.
Heni Widayani (UIN Malang) KdV Equation April 20, 2020 9 / 16

10. Bentuk solusi KdV
u(x, t) = 3csech2
√
c
2 (x − ct)
c = 1 c = 2
Amplitudo gelombangnya 3c, 3 kali lebih besar dari kecepatan
gelombangnya c, artinya soliton tinggi bergerak dengan kecepatan tinggi.
[Animasi dapat dilihat pada KdV1.gif dan KdV2.gif]
Heni Widayani (UIN Malang) KdV Equation April 20, 2020 10 / 16

11. TUGAS
1 Karena KdV adalah persamaan nonlinier, jumlahan dari kedua
solusinya belum tentu merupakan solusi. Misalkan v dan w adalah
dua solusi dari ut + uux + uxxx = 0. Buktikan bahwa u = v + w
adalah solusi hanya jika vw bukan merupakan fungsi dari x.
2 (Interacting Solitary Waves) Misalka k1 dan k2 adalah bilangan
positif dan
u1(x, t) = ek3
1 t−k1x
u2(x, t) = ek3
2 t−k2x
A = (k1 − k2)2/(k1 + k2)2
Definisikan
u(x, t) = 12
k2
1 u1 + k2
2 u2 + 2(k1 − k2)2u1u2 + Au1u2(k2
1 u2 + k2
2 u1)
(1 + u1 + u2 + Au1u2)2
u(x, t) adalah solusi untuk persamaan KdV, ut + uux + uxxx = 0
menggunakan metode yang dideskripsikan oleh Whi [1976]. Ambil
nilai k1 = 1 dan k2 = 2 lalu animasikan u(x, t) untuk −10 ≤ x ≤ 10
selama selang waktu −10 ≤ t ≤ 10 untuk mengamati perilaku dari
Heni Widayani (UIN Malang) KdV Equation April 20, 2020 11 / 16

12. Mechanical Transmission line
(a)steady (b)small disturbance (c)large disturbance
Heni Widayani (UIN Malang) KdV Equation April 20, 2020 12 / 16

13. Persamaan Sine-Gordon
Bentuk umum persamaan Sine-Gordon adalah
Autt − Kuxx + Tsin(u) = 0
Persamaan umum tersebut dapat direduksi dengan menskalakan
ξ = ax dan τ = bt
kemudian memisalkan U(ξ, τ) = u(x, t) sehingga persamaan tersebut
dapat ditulis menjadi
Uττ − Uξξ + sin U = 0
mendeskripsikan transmisi mekanik pada sebuah kawat.
U(x, t) menotasikan sudut rotasi dari pendulum pada posisi ξ di
waktu τ.
Persamaan Sine-Gordon juga digunakan pada transmisi
superconductor, kristal, gelombang laser, dan geometri permukaan.
Heni Widayani (UIN Malang) KdV Equation April 20, 2020 13 / 16

14. Solusi Gelombang Berjalan
Akan dicari solusi gelombang berjalan dari Pers. Sine-Gordon berikut
utt − uxx + sin(u) = 0
Misalkan U(x, t) = f (x − ct). Substitusi ke pers di atas menghasilkan
c2f ” − f ” + sin(f ) = 0
(c2 − 1)f ”f + (sin(f ))f = 0 (kalikan dengan f’)
1
2 c2 − 1 (f )2 − cos(f ) = a (integralkan kedua ruas)
Diberikan syarat lim
z→∞
f (z) = 0 = lim
z→∞
f (z) = 0 karena pendulum yang
ada di ujung dianggap tidak terganggu (atau diam) pada awalnya sehingga
diperoleh a = −1 maka
(f )2
=
2
1 − c2
(1 − cos(f )) =
4
1 − c2
sin2 f
2
dengan c2
< 1
sehingga diperoleh solusi
f (z) = 4 arctan exp −
z
√
1 − c2
= 4 arctan exp −
x − ct
√
1 − c2
Heni Widayani (UIN Malang) KdV Equation April 20, 2020 14 / 16

15. Bentuk Solusi Sine-Gordon
c = 0.8[animasi dapat dilihat di
SineGordon1.gif]
Karena lim
x→∞
u(x, t) = 0 dan lim
x→−∞
u(x, t) = 2π, maka bertipe front
Ujung kanan (kepala) dari front adalah pendulum yang belum
terganggu (sudut u dekat 0) sedangkan ujung kiri (ekor) dari front
adalah pendulum yang dekat dengan sudut 2π yang menunjukkan
bahwa pendulum telah berotasi penuh terhadap kawat tepat sekali.Heni Widayani (UIN Malang) KdV Equation April 20, 2020 15 / 16

16. TUGAS
1 Misalkan bahwa digunakan syarat limz→∞ f (z) = π dan
limz→∞ f (z) = 0 untuk Pers. Sine Gordon. Tentukan solusi yang
dihasilkan! Apakah interpretasi fisik dari solusi tersebut?
2 Buktikan bahwa
u(x, t) = 4 arctan
sinh(ct/ 1/c2)
c cosh(x/
√
1 − c2)
adalah solusi dari utt − uxx + sin(u) = 0! Kemudian animasikan solusi
tersebut dengan c = 1
2, −20 ≤ x ≤ 20 dan −5 ≤ t ≤ 50. Solusi ini
disebet sebagai particle-antiparticle collision
3 Jika gerakan pendulum cukup kecil (u sangat dekat dengan 0), maka
sin(u) ≈ u sehingga diperoleh pers linier
Autt − Kuxx + Tu = 0
Persamaan tersebut disebut sebagai Persamaan Klein Gordon.
Tentukan solusi gelombang berjalan dari pers. tersebut!
Heni Widayani (UIN Malang) KdV Equation April 20, 2020 16 / 16