Turunan dan aturan rantai Kalkulus

1. TURUNAN PARSIAL DAN ATURAN
RANTAI FUNGSI MULTI VARIABEL
Lia Yuliana, S.Si., MT.

2. Turunan Fungsi dua Variabel
Turunan Parsial.
Diketahui z = f(x,y) fungsi dengan dua variabel
independen x dan y. Karena x dan y independen
maka :
(i). x berubah-ubah sedangkan y tertentu.
(ii). y berubah-ubah sedangkan x tertentu.

3. Turunan Fungsi dua Variabel
Definisi
i) Turunan parsial terhadap variabel x
Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z
merupakan fungsi x, Turunan parsial z = f(x,y)
terhadap x sbb :
x
yxfyxxf
yxf
x
z
x
x






),(),(
lim),(
0

4. Turunan Fungsi dua Variabel
ii) Turunan parsial terhadap variabel y
Jika y berubah-ubah dan x tertentu maka z
merupakan fungsi y, Turunan parsial z = f(x,y)
terhadap y sbb :
y
yxfyyxf
yxf
y
z
y
y






),(),(
lim),(
0

5. Menentukan nilai turunan
menggunakan limit
Contoh:
a. Tentukan turunan parsial fungsi f terhadap x jika
f(x,y) = x2
+ 2y
Jawab : f(x,y) = x2
+ 2y maka
)xx2(lim
0x


x2
x
)y,x()y,xx(
lim)y,x(
0x
x




ff
f
x
)y2x()y2)xx((
lim
22
0x 




6. Menentukan nilai turunan
menggunakan limit
b. Tentukan turunan parsial fungsi f terhadap y jika
f(x,y) = x2
+ 2y
y
)y,x()yy,x(
lim)y,x(
0Δy
y




ff
f
y
)y2x())yy(2x(
lim
22
0Δy 



22lim
0Δy



7. Contoh: Jika z = ln (x2
+ y2
) tunjukkan bahwa
Jawab : untuk menjawab ini perlu ditentukan terlebih
dahulu
Selanjutnya tentukan nilai
y
z
dan
x
z




2
y
z
y
x
z
x 





y
z
y
x
z
x






8. z = ln (x2
+ y2
) , turunan parsial terhadap x dan y
dan
maka :






y
z
y
x
z
x
22
22
yx
x2
x
)yxln(
x
z







22
22
yx
y2
y
)yxln(
y
z







2
22
2222



 yx
y
y
yx
x
x

9. Turunan Parsial Tingkat Dua
Jika fungsi z = f(x,y) mempunyai turunan parsial di
setiap titik (x,y) pada suatu daerah maka
dan
merupakan fungsi x dan y yang mungkin juga
mempunyai turunan parsial yang disebut turunan
parsial tingkat dua.
),( yxf
x
z
x


)y,x(
y
z
yf



10. Turunan Parsial Tingkat Dua
Turunan parsial tingkat dua dinyatakan sbb:
2
2
2
2
2
2
)(
)(
)(
)(
y
f
y
f
y
fff
y
yx
f
y
f
x
fff
x
xy
f
x
f
y
fff
y
x
f
x
f
x
fff
x
yyyyy
yxxyy
xyyxx
xxxxx





























































11. Menentukan nilai turunan parsial tingkat dua
Contoh: Tentukan turunan parsial tingkat dua untuk
f(x,y) = x2y – 3xy + 2 x2y2
Jawab : Turunan parsial tingkat satu dari fungsi:
fx(x,y) = 2xy – 3y +4 x y2
fy (x,y) = x2 – 3x + 4 x2y
Jadi turunan parsial tingkat dua
fxx (x,y) = 2y + 4y2
fyy (x,y) = 4x2
fyx (x,y) = 2x – 3 + 8 xy = 2x + 8 xy – 3
fxy (x,y) = 2x – 3 + 8 xy = 2x + 8 xy – 3

12. Turunan Parsial Tingkat Tiga
Turunan parsial ketiga dan yang lebih tinggi
dinyatakan dalam bentuk yang sama.
yyxxyyyxy
xxyyxxxyx
xyxxy
xxxxx
fff
fff
xyx
f
xy
f
x
ff
x
x
f
x
f
x
ff
x
































32
3
3
2
2

13. Turunan Parsial Fungsi Tiga Variabel
Untuk fungsi tiga variabel f(x,y,z), terdapat tiga turunan
parsial fx(x,y,z), fy(x,y,z), dan fz(x,y,z)
• Turunan parsial fx diperoleh dengan menganggap
variabel y dan z konstan dan menurunkan pada
variabel x.
• Turunan parsial fy diperoleh dengan menganggap
variabel x dan z konstan dan menurunkan pada
variabel y.
• Turunan parsial fz diperoleh dengan menganggap
variabel x dan y konstan dan menurunkan pada
variabel z.

14. Turunan Parsial Fungsi n Variabel
• Secara umum, jika f(v1,v2,…,vn) adalah fungsi n
variabel, maka terdapat n turunan parsial dari f,
dimana ada n-1 variabel tetap dan menurunkan
pada variabel yang bersangkutan.
• Jika w=f(v1,v2,…,vn), maka turunan parsialnya
dinyatakan dengan
dimana diperoleh dengan menganggap semua
variabel kecuali vi tetap dan menurunkan pada
variabel vi .
nv
w
v
w
v
w






,,,
21

iv
w



15. Contoh:
- Jika f(x,y,z) = x3y2z4 + 2xy + z, tentukan
fx , fy , fz , dan fz (-1, 1, 2)
- Jika
tentukan
 sincos),,( 2
f
 fff dan,,

16. Aturan Rantai Fungsi dua Variabel
Jika x=x(t) dan y=y(t) fungsi yang diferensiable
di t, dan jika z=f(x,y) diferensiabel di titik
(x(t), y(t)), maka z=f(x(t),y(t)) diferensiable di t,
dan
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz







17. Contoh:
Misal , dimana x=cos , y=sin .
Gunakan aturan rantai untuk menentukan
saat
Contoh:
Andaikan dimana .
Gunakan aturan rantai untuk menentukan
saat
yxyz 
d
dz
2

 
tgrrw  2
ssr   ,
ds
dw
4
1
s

18. Aturan Rantai Fungsi dua Variabel
Andaikan z=F(x,y), dan y adalah fungsi
diferensiable terhadap x, rumus aturan
rantainya memenuhi
dx
dy
y
F
x
F
dx
dy
y
F
dx
dx
x
F
dx
dz













19. Aturan Rantai Fungsi dua Variabel
Tinjau fungsi dua variabel z=f(x,y), dimana x
dan y adalah fungsi dari u dan v, yakni
. Dengan mensubstitusikan
fungsi x dan y diperoleh hubungan
z=f(x(u,v),y(u,v)), sehingga z menjadi fungsi
dua variabel u dan v. Dengan demikian kita
dapat mencari turunan parsial pertama
dan .
),();,( vuyyvuxx 
u
z


v
z



20. Aturan Rantai Fungsi dua Variabel
Teorema
Jika mempunyai turunan
parsial pertama di titik (u,v) dan jika z=f(x,y)
diferensiable di titik (x(u,v),y(u,v)), maka
z=f(x(u,v),y(u,v)) mempunyai turunan parsial
pertama di (u,v), yang memenuhi
),();,( vuyyvuxx 
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
u
y
y
z
u
x
x
z
u
z
























,

21. Contoh:
dimana , dengan menggunakan
aturan rantai tentukan dan .
Contoh
Tentukan kecepatan perubahan luas persegi panjang
yang panjangnya 15 inch berubah dengan kecepatan 3
inch/dt dan lebarnya 6 inch berubah dengan
kecepatan 2 inch/dt.
xy
ez  v
u
yvux  ,2
u
z


v
z



22. Aturan Rantai Fungsi Tiga Variabel
Theorema
Jika x=x(t), y=y(t), dan z=z(t) fungsi yang
differensiable di t, dan w=f(x,y,z) differensiable
di titik (x(t), y(t), z(t)), maka w=f(x(t),y(t),z(t))
differensiable di t, dan
dt
dz
z
w
dt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw










23. Contoh:
Misal w=ln (3x2-2y+4z3) dimana , ,
dan
Tentukan
2
1
tx  3
2
ty 
2
 tz
dt
dw

24. Aturan Rantai Fungsi n Variabel
Definisi di atas dapat diperluas untuk fungsi n
variabel. Jika v1, v2, … , vn adalah fungsi-fungsi
satu variabel t, maka w= f(v1, v2, … , vn) adalah
suatu fungsi t, dan rumus aturan rantai untuk
adalah:
dt
dw
dt
dv
v
w
dt
dv
v
w
dt
dv
v
w
dt
dw n
n







 ...2
2
1
1

25. Contoh:
Misal . Tentukan turunan
parsial pertama terhadap variabel-variabelnya.
Contoh:
Misal w=xy+yz, y=sin x, z=ex. Tentukan
2
4
2
3
2
2
2
1
4321 ),,,(
vv
vv
vvvvf



dx
dw