Modul persamaan diferensial 1

109,068 views

Published on

Modul singkat Persamaan Diferensial 1 tingkat Universitas

Published in: Education
17 Comments
40 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
109,068
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
8
Actions
Shares
0
Downloads
9,359
Comments
17
Likes
40
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Modul persamaan diferensial 1

  1. 1. Dosen Pembimbing: Huri Suhendri, M.Pd MODULPERSAMAAN DIFERENSIAL 1 OLEH: Maya Umami (200913500674) PRODI: PENDIDIKAN MATEMATIKA SEMESTER: 6 (ENAM) – S6C
  2. 2. Assalamuallaikum Wr. Wb Alhamdulillah modul pada mata kuliah “Persamaan Diferensial 1” ini akhirnya dapatterselesaikan. Modul ini merupakan tugas akhir atau untuk memenuhi persyaratan (nilai) padamata kuliah tersebut. Setelah menjelajahi berbagai literature dan mencoba untuk menemukanintisari dari materi yang sesuai dengan silabus perkuliahan ini, saya selaku penulis telahberusaha semaksimal mungkin untuk menemukan intisari yang mudah untuk dipahamidengan diaadakanya berbagai contoh soal dan latihan-latihan sesuai dengan silabusperkuliahan. Syukur ke hadirat Allah SWT penulis panjatkan atas kemudahan yang diberikan-Nyaselama penulisan modul. Tak lupa juga, penulis mengucapkan terima kasih kepada DosenPembimbing kami Bapak Hri Suhendri, M.Pd yang telah memberikan tugas modul ini yanginsyaallah bermanfaat bagi banyak orang terutama bagi penulis.Modul ini terdiri dari 10 BAB diantaranya: 1. Pendahuluan Persamaan Diferensial; 2.Persamaan Diferensial Variabel Terpisah; 3. Reduksi ke Bentuk Persamaan DiferensialVariabel Terpisah; 4. Persamaan Diferensial Homogen; 5. Persamaan Diferensial TakHomogen; 6. Persamaan Diferensial Eksak; 7. Reduksi ke Bentuk Persamaan DiferensialEksak; 8. Persamaan Diferensial Linier Orde 1; 9. Persamaan Diferensial Bernoulli; 10.Masalah Nilai Awal (Solusi Khusus). Masing-masing bab dilengkapi oleh materi yang manatiap materi diberikan contoh soal dan pembahasan ditambah latihan soal pada bagian akhirmodul ini. Demikian yang dapat penulis sampaikan. Penulis berharap adanya kritik dan saranyang membangun guna terciptanya modul yang lebih mendekati kesempurnaan. Semogamodul ini dapat bermanfaat dan dapat dijadikan modul pegangan pada mata kuliah persamaandiferensial 1. Amiin….Wassalamuallaikum Wr. Wb Jakarta, Juni 2012 - A -
  3. 3. KATA PENGANTAR ……………………………………………………. A DAFTAR ISI ……………………………………………………………… BBAB 1 PENDAHULUAN PERSAMAAN DIFERENSIAL …………………… 1 1.1. Definisi Persamaan Diferensial ……………………………………. 1 1.2. Bentuk Umum Persamaan Diferensial …………………………….. 1 1.3. Orde (Tingkat) dan Degree (Derajat)………………………………. 1 1.4. Mencari Solusi Persamaan Diferensial …………………………….. 2 1.5. Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 2BAB 2 PERSAMAAN DIFERENSIAL VARIABEL TERPISAH …………… 4 2.1. Persamaan Diferensial Variable Terpisah ………………………….. 4 2.2. Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 4BAB 3 REDUKSI KE BENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL VARIABEL 6 TERPISAH ……………………………………………………………….. 3.1. Materi Reduksi ke Bentuk Persamaan Diferensial Variabel 6 Terpisah ……………………………………………………………. 3.2. Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 6BAB 4 PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN ………………………….. 8 4.1. Langkah-langkah Menentujan Penyelesaian Umum Persamaan 8 Diferensial Homogen ………………………………………………. 4.2. Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 8 - B -
  4. 4. BAB 5 PERSAMAAN DIFERENSIAL TAK HOMOGEN …………………… 10 5.1. Persamaan Diferensial dengan M (x,y) dan N (x,y) ……………….. 10 5.2. Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 11BAB 6 PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK ………………………………. 14 6.1. Sifat-Sifat Dasar ……………………………………………………. 14 6.2. Metode Solusi ……………………………………………………… 14 6.3. Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 15BAB 7 REDUKSI KE BENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK 18 (FAKTOR INTEGRASI) ………………………………………………… 7.1. Macam-macam faktor integrasi ……………………………………. 18 7.2. Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 18BAB 8 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE SATU……………….. 21 8.1. Metode Solusi ……………………………………………………… 21 8.2. Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 21BAB 9 PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLI ………………………… 23 9.1. Metode Solusi ……………………………………………………… 23 9.2. Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 23BAB 10 MASALAH NILAI AWAL (SOLUSI KHUSUS) ………………………. 26 10.1. Pengertian ………………………………………………………….. 26 10.2. Contoh Soal dan Pembahasan ……………………………………… 26 LATIHAN SOAL …………………………………………………………. 27 LAMPIRAN ………………………………………………………………. C DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………. D - B -
  5. 5. BAB 11.1. Definisi Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa) fungsi yang tidak diketahui. Meskipun persamaan seperti itu sehausnya disebut “persamaan turunan”, namun istilah “persamaan diferensial” (aequatio differentialis) yang diperkenalkan Leibniz dalam tahun 1676 sudah umum digunakan (Finizio Ladas:2:1988) Sebagai contoh: y’ + xy = 3 ………………………………(1) y” – 5y’ + 6y = cos x ………………………………(2) 2 2 2 y” = (1+y’ ) (x +y ) ………………………………(3) 𝜕2 𝑢 - 𝜕2 𝑢 =0 ………………………………(4) 𝜕 𝑡2 𝜕𝑥 2 Pada persamaan (1) sampai (3) menyatakan turunan pertama dan kedua dari fungsi y(x) terhadap x yang disebut persamaan diferensial biasa. Dalam persamaan (4) memuat turunan-turunan parsial yang disebut persamaan diferensial parsial.1.2. Bentuk Umum Persamaan Diferensial Adapun bentuk umum persamaan diferensial yaitu: 𝑓 𝑥 . 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑦 . 𝑑𝑦 = 01.3. Orde (Tingkat) dan Degree (Derajat) Orde (tingkat) adalah turunan tertinggi dalam persamaan diferensial. Degree (derajat) adalah derajat dari orde tertinggi Contoh: Page | 1
  6. 6. 2 3 𝑑3 𝑦 𝑑2 𝑦 - + 2xy = 6 𝑑𝑥 3 𝑑𝑥 2 Pada persamaan diatas memiliki orde 3 dan derajat 2.1.4. Mencari Solusi Persamaan Diferensial Langkah-langkah:  Hitunglah banyaknya konstanta sembarang yang ada di dalam persamaan garus lengkung (kurva) yang akan dicari persamaan diferensialnya.  Hilangkan semua konstanta sembarang ada n maka untuk mengeliminasi semua konstanta sembarang itu. Jika banyaknya konstanta sembarang ada n, maka untuk mengeliminasi semua konstanta sembarang yang ada dubutuhkan n + 1 persamaan. Untuk mendapatkan n + 1 persamaan, persamaan garis lengkung (kurva) semula didiferensialkan sampai turunan ke n.  Banyaknya konstanta sembarang menunjukan orde tertinggi dari turunan dalam persamaan diferensial yang dicari.1.5. Contoh Soal dan Pembahasan 1) Carilah persamaan diferensial dari himpunan garis lengkung: a. y = A sin 2x + B cos 2x ; A dan B adalah konstanta sembarang b. y = x3 +A x2 + B x + C ; A, B, dan C adalah konstanta sembarang Pembahasan: a. Karena ada 2 (dua) konstanta sembarang, maka dibutuhkan 3 persamaan untuk mengeliminasi A dan B serta orde tertinggi dari turunannya adalah 2. Persamaan 1 : y = A sin 2x + B cos 2x , turunan terhadap x 𝑑𝑦 Persamaan 2 : = 2A cos 2x – 2B sin 2x, turunan terhadap x 𝑑𝑥 𝑑2 𝑦 Persamaan 3 : = - 4A sin 2x – 4B cos 2x 𝑑𝑥 2 Masukan persamaan (1) ke (3) didapatkan bahwa : 𝑑2 𝑦 = - 4A sin 2x – 4B cos 2x 𝑑𝑥 2 𝑑2 𝑦 = - 4(A sin 2x + B cos 2x)  y = A sin 2x + B cos 2x 𝑑𝑥 2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2 = - 4y 𝒅𝟐 𝒚 Jadi, persamaan diferensial yang dicari adalah + 4y = 0 𝒅𝒙 𝟐 Page | 2
  7. 7. b. Karena ada 3 (tiga) konstanta sembarang, maka dibutuhkan 4 persamaan untuk mengeliminasi A dan B serta orde tertinggi dari turunannya adalah 3. Persamaan 1 : y = x3 +A x2 + B x + C , turunan terhadap x 𝑑𝑦 Persamaan 2 : = 3x2 + 2Ax + B , turunan terhadap x 𝑑𝑥 𝑑2 𝑦 Persamaan 3 : = 6x + 2A , turunan terhadap x 𝑑𝑥 2 𝑑3 𝑦 Persamaan 4 : =6 𝑑𝑥 3 𝑑3 𝑦 Jadi, persamaan diferensial yang dicari adalah =6 𝑑𝑥 32) Carilah persamaan diferensial dari berkas kardiola r = a (1-cos 𝜃), a = konstanta sembarang. Pembahasan : Karena ada 1 (satu) konstanta sembarang, maka dibutuhkan 2 persamaan untuk mengeliminasi A dan B serta orde tertinggi dari turunannya adalah 1. Persamaan 1 : r = a (1-cos 𝜃) , turunan terhadap x 𝑑𝑟 Persamaan 2 : = a sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑟 Dari persamaan (1) didapat a = 1−cos 𝜃 Eliminir a dalam persamaan (2), di dapatkan 𝑑𝑟 𝑟 = 1−cos sin 𝜃 𝑑𝜃 𝜃 Jadi, persamaan diferensialnya adalah: 1 − cos 𝜃 dr – r sin 𝜃 𝑑𝜃 = 0 Page | 3
  8. 8. BAB 22.1. Persamaan Diferensial Variable Terpisah Suatu persamaan diferensial variable terpisah ditandai oleh fakta bahwa dua peubah dari persamaan itu bersama-sama masing-masing didiferensianya, dapat ditempatkan di ruas yang berlawanan. Dengan manipulasi aljabar, memunkinkan kita menuliskan persamaan diferensial terpisah dalam bentuk implisit : 𝑃(𝑥) y’ = , atau 𝑄 (𝑥) dalam bentuk eksplisit : 𝑑𝑦 𝑃(𝑥) = 𝑑𝑥 𝑄 (𝑥) Untuk memperoleh penyelesaian umum suatu persamaan diferensial terpisah, pertama- tama kita pisahkan kedua peubah dan kemudian integralkan kedua ruas. Awal  Q (y) dy = P (x) dx Integral  P (x) dx = Q (y) dy + C dimana C = Konstanta sembarang Note: bisa dilakukan hanya pada variable yang sama. Contoh : Hanya mengandung 𝑦+1 Hanya mengandung  dy = -x dx  𝑦 2 +4 variable y variable x2.2. Contoh Soal dan Pembahasan Selesaikan setiap persamaan diferensial di bawah ini: 1) y2 dy = (x + 3x2) dx , bilamana x = 0 dan y = 6  bentuk eksplisit 2) xyy’ + x2 + 1 = 0  bentuk implisit Page | 4
  9. 9. Pembahasan:1) y2 dy = (x + 3x2) dx , syarat harus mengandung variable yang sama pada tiap ruas.  Integralkan kedua ruas y 2 dy = (x + 3x 2 ) dx 𝑦3 𝑥2 +C1 = + x 3 + C2 3 2 3𝑥 2 y3 = + 3x 3 + (3C2 – 3C1) 2 3𝑥 2 = + 3x 3 + C ; C = 3C2 – 3C1 2 3 3𝑥 2 y = + 3x 3 + C 2 3 3𝑥 2  Maka, solusi umumnya adalah: = + 3x 3 + C 2  Menghitung konstanta C, kita menggunakan persyaratannya bilamana x = 0 dan y = 6, maka akan menghasilkan: 3 6= 𝐶 C = 216 3 3𝑥 2  Solusi khususnya adalah: y = + 3x 3 + 216 22) xyy’ + x2 + 1 = 0  Ubah ke dalam eksplisit 𝑑𝑦 xy + x2 + 1 = 0 𝑑𝑥  Bagi tiap-tiap ruas x2 + 1 y dy = − dx 𝑥  Integralkan masing-masing ruas x2 + 1 y dy =− dx 𝑥 𝑦2 1 +C =− 𝑋+ dx 2 𝑥 𝑦2 x2 +C =− + 𝐿𝑛 |𝑥| + C 2 2 𝑦2 = − x 2 − 2 𝐿𝑛 𝑥 + 𝑐 y = − x 2 − 2 𝐿𝑛 𝑥 + 𝑐  Maka, solusi umumnya adalah: y = − x 2 − 2 𝐿𝑛 𝑥 + 𝑐 Page | 5
  10. 10. BAB 33.1. Materi Reduksi ke Bentuk Persamaan Diferensial Variabel Terpisah Tidak semua persamaan diferensial mudah untuk didapatkan solusinya. Pada saat persamaan diferensial memiliki bentuk: f1 (x) g1 (y) dx ± f2 (x) g2 (y) dy 1 Maka dibutuhkan reduksi dengan menggunakan faktor integrasi , yang g1 y F2 (x) kemudian akan menjadi: f1 (x) g1 (y) dx ± dy =0 f2 (x) g2 (y) f1 (x) g1 (y) dx = ± dy f2 (x) g2 (y) Pengitegralan masing-masing ruas: f1 (x) g1 (y) dx = ± dy f2 (x) g2 (y)3.2. Contoh Soal dan Pembahasan Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut: 1) (x3y + yx2) dx + (y3x2 + 2x2y) dy = 0 2) (x2-1) dx – (2x+xy) dy = 0 Pembahasan 1) (x3y + yx2) dx + (y3x2 + 2x2y) dy = 0 y (x3 + x2) dx + x2 (x2 + 2y) dy = 0 1 faktor integrasi : yx 2 Page | 6
  11. 11. 1 [y (x3 + x2) dx + x2 (x2 + 2y) dy] = 0 yx 2 (x3 + x2) dx + (x2 + 2y) dy = 0 Karena sudah memiliki variable yang sama, langkah selanjutnya adalah integralkan. (x3 + x2) dx + (x2 + 2y) dy = 0 𝑥4 𝑥3 𝑦4 + + + 𝑦2 + C = 0 4 3 4 x 12 3x4 + 4x3 + 3y4 + 12 y2 = C Maka, Solusi umumnya adalah 3x4 + 4x3 + 3y4 + 12 y2 = C2) (x2-1) dx – (2x+xy) dy = 0 (x2-1) dx – x (2+y) dy = 0 1 faktor integrasi : 𝑥 1 [(x2-1) dx – x (2+y) dy] = 0 𝑥 x 2 −1 dx – (2+y) dy = 0 𝑥 x 2 −1 dx – (2+y) dy = 0 𝑥 𝑥2 𝑦2 -Ln |x| - 2y - =0 2 2 x2 𝑥 2 - 2 Ln |x| - 4y - 𝑦 2 = 0 𝑥 2 - 𝑦 2 - 2 Ln |x| - 4y = 0 Maka, solusi umumnya adalah 𝑥 2 - 𝑦 2 - 2 Ln |x| - 4y = 0 Page | 7
  12. 12. BAB 4f (x,y) dikatakan homogen berderjat n jika:f (𝛼x,𝛼y) = 𝛼 n f (x,y)M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0Syarat persamaan diferensial diatas dikatakan homogeny jika M (x,y) dan N (x,y) adalahhomogeny dan berderajat sama.4.1. Langkah-langkah Menentujan Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial Homogen  Gunakan tranformasi: y = u x  dy = x du + u dx, atau x = u y  dy = y dy + u du  Persamaan diferensial homogeny tereduksi ke Persamaan Diferensial terpisah  Gunakan aturan persamaan diferensial terpisah untuk mendapatkan solusi umum persamaan diferensial. 𝑦 𝑥  Gantilah u = jika menggunakan transformasi y = u x, dan u = jika menggunakan 𝑥 𝑦 transformasi x = u y untuk mendapatkan kembali variable semula.4.2. Contoh Soal dan Pembahasan Buktikan bahwa persamaan tersebut adalah persamaan homogen! 𝑥3+ 𝑦3 1) y’ = 𝑥𝑦 2 2) (2x2y + y3) dx + (xy2 – 2x3) dy = 0 Pembahasan: 𝑥3+ 𝑦3 𝑑𝑦 𝑥3+ 𝑦 3 1) y’ =  = 𝑥𝑦 2 𝑑𝑥 𝑥𝑦 2 xy2 dy – (x3+y3) dx = 0 Page | 8
  13. 13.  fungsi M (x,y) dx M (x,y) dx = -x3-y3  = - 𝛼 3 𝑥 3 - 𝛼 3 𝑦 3 = 𝛼 3 (−𝑥 3 −𝑦 3 ) M (𝛼x,𝛼y) = 𝛼 3 [M (x,y)]  fungsi N (x,y) dy N (x,y) dy = xy2  = 𝛼𝑥𝛼 3 𝑦 3 = 𝛼 3 (x𝑦 2 ) N (𝛼x,𝛼y) = 𝛼 3 [N (x,y)]  didapatkan 𝛼 3 , maka TERBUKTI persamaan diferensial diatas merupakan persamaan diferensial homogeny berderajat 3.2) (2x2y + y3) dx + (xy2 – 2x3) dy = 0  fungsi M (x,y) dx M (x,y) dx = 2x2y + y3  = 2𝛼 2 x2 𝛼 y + 𝛼 3 y3 = 𝛼 3 (2x2y + y3) M (𝛼x,𝛼y) = 𝛼 3 [M (x,y)]  fungsi N (x,y) dy N (x,y) dy = xy2 – 2x3  = 𝛼 x𝛼 2 y2 – 2𝛼 3 x3 = 𝛼 3 (xy2 – 2x3) N (𝛼x,𝛼y) = 𝛼 3 [N (x,y)]  didapatkan 𝛼 3 , maka TERBUKTI persamaan diferensial diatas merupakan persamaan diferensial homogeny berderajat 3. Page | 9
  14. 14. BAB 55.1. Persamaan Diferensial dengan M (x,y) dan N (x,y) Persamaan ini merupakan persamaan linier tetapi tidak homogen. Pandang bentuk persamaan diferensial dibawah ini: ( ax + by + c ) dx + ( px + qy + r ) dy = 0 Dimana a,b,c,p,q,r merupakan suatu konstanta. Ada 3 (tiga) kemungkinan yang dapat terjadi: 𝑎 𝑏 𝑐 1) = 𝑞= 𝑟= 𝛼 𝑝 Langkah-langkah penyelesaian: 𝑎 𝑏 𝑐 Karena = = = 𝛼 , maka menggunakan transformasi px + qy + r = u, yang berarti 𝑝 𝑞 𝑟 bahwa ax + by + c = 𝛼u Bentuk persamaan tereduksi menjadi persamaan dengan variable terpisah dan kemudian selesaikanlah. 𝑎 𝑏 𝑐 2) = 𝑞≠ 𝑝 𝑟 Langkah-langkah penyelesaian: 𝑑𝑢 −𝑞 𝑑𝑦 Gunakan transformasi px + qy = u, dan dari sini berarti dy = , atau 𝑞 𝑑𝑢 −𝑞 𝑑𝑦 dx= 𝑝 𝑎 𝑏 Misalkan 𝑝 = 𝑞 = 𝛽, maka ax + by = 𝛽 u Persamaan tereduksi menjadi persamaan variable terpisah. 𝑑𝑢 −𝑝 𝑑𝑥 𝑑𝑢 −𝑝 𝑑𝑥 (𝛽 x + C) dx + (u + r) = 0, atau (𝛽 x + C) + (u + r) 𝑑𝑦 = 0 𝑞 𝑞 Selesaikan persamaan variable terpisah ini dan kemudian gantilah x = px + qy untuk mendapatkan solusi umumnya. Page | 10
  15. 15. 𝑎 𝑏 3) ≠ 𝑝 𝑞 Langkah-langkah penyelesaian:  Gunakan Transformasi ax + by + c = u  a dx + b dy = du px + qy + r = v  p dx + q dy = dv dari dua persamaan diatas diperoleh bahwa: 𝑞 𝑑𝑢 −𝑏 𝑑𝑣 𝑎 𝑑𝑢 −𝑝 𝑑𝑣 dx = , dan dy = 𝑎𝑞 −𝑏𝑝 𝑎𝑞 −𝑏𝑝 selesaikan persamaan diferensial diatas dan kemudian gantilah kembali u dan v dengan tranformasi semula untuk mendapatkan solusi umum persamaan diferensial semula.5.2. Contoh Soal dan Pembahasan Tentukan solusi umum persamaan diferensial dibawah ini! 1) (2x – 5y +2) dx + (10y – 4x – 4) dy = 0 𝑑𝑦 1−2𝑦−4𝑥 2) = 𝑑𝑥 1+𝑦+2𝑥 𝑑𝑦 6𝑥−2𝑦−7 3) = 2𝑥+3𝑦−6 𝑑𝑥 Pembahasan: 1) (2x – 5y +2) dx + (10y – 4x – 4) dy = 0 a b c q p r 𝑎 2 1 𝑏 −5 1 𝑐 2 1 = −4 = - 2 ; = 10 = - 2 ; = −4 = - 2 𝑝 𝑞 𝑟 𝑎 𝑏 𝑐 1 Maka, = = = 𝛼 = - 𝑝 𝑞 𝑟 2 Penyelesaian:  px + qy + r = u ax + by + c = 𝛼 u 1 =-2u  (2x – 5y +2) dx + (10y – 4x – 4) dy = 0 1 -2u dx + u dy = 0 xu 1 -2 dx + dy = 0 Page | 11
  16. 16. 1 -2 dx + dy =0 1 -2x +y=C 1 Maka Solusi umumnya adalah - 2 x + y = C 𝑑𝑦 1−2𝑦−4𝑥2) = 𝑑𝑥 1+𝑦+2𝑥 (1 − 2𝑦 − 4𝑥) dx = (1 + 𝑦 + 2𝑥) dy = 0 c b a r q p 𝑎 −4 𝑏 −2 𝑐 −7 = −2 = 2 ; = −1 = 2 ; = 𝑝 𝑞 𝑟 6 Maka, 𝑎 𝑏 𝑐 ≠ = 𝛽=2 𝑝 𝑞 𝑟 Penyelesaian:  px + qy = u  ax + by = 𝛽 u -2x+(-y) = u -4x – 2y = 2u -2x – y = u  Pengganti dx atau dy -2x –y = u  -2x –y = u 𝑢 +𝑦 x = y = - (u + 2x) −2 𝑑𝑢 +𝑑𝑦 dy = - du – 2dx dx = −2  Solusi umum (1 − 2𝑦 − 4𝑥) dx = (1 + 𝑦 + 2𝑥) dy = 0 𝑑𝑢 +𝑑𝑦 (1 – 2u) - (1 – u) dy = 0 −2 x2 (1 – 2u) (𝑑𝑢 + 𝑑𝑦) - 2 (1 – u) dy = 0 du + dy + 2udu + 2udy – 2dy + 2udy = 0 du – dy + 2 udu + 4udy = 0 (1 + 2u) du + (4u – 1) dy = 0 : (4u – 1) 1+2𝑢 du + dy = 0 4𝑢−1 Page | 12
  17. 17. 1+2𝑢 du + dy = 0 4𝑢−1 1 2𝑢 du + du + dy = 0 4𝑢−1 4𝑢−1 Ln |4𝑢 − 1| + 2u Ln |4𝑢 − 1| + y = C  Maka, solusi umumnya adalah: Ln |4𝑢 − 1| + 2u Ln |4𝑢 − 1| + y = C 𝑑𝑦 6𝑥−2𝑦−73) = 2𝑥+3𝑦−6 𝑑𝑥 (6𝑥 − 2𝑦 − 7) dx – (2𝑥 + 3𝑦 − 6) dy = 0 a b c p q r maka didapatkan 𝑎 6 𝑏 −2 2 𝑐 1 = −2 = - 3 ; = −3 = 3 ; = −1 = -1 𝑝 𝑞 𝑟 𝑎 𝑏 ≠ 𝑝 𝑞 Penyelesaian: (qu – pv) du + (qv – bu) dv = 0 (-3u + 2v) du + (bv + 2u) dv = 0  Persamaan Diferensial Homogen Subtitusi: 𝑢 z = 𝑣 , atau u = zv  du = v dz + z dv Solusi Umum: (-3u + 2v) du + (bv + 2u) dv = 0 (-3 zv + 2v) (v dz + z dv) + (bv + 2 zv) dv = 0 v2 (-3z + 2) dz + v (-3z2 + 4z + 6) dv = 0 : v2 (-3z + 2) −3𝑧+2 dz + v dv = 0 −3z2 + 4z + 6 −3𝑧+2 dz + v dv = 0 −3z2 + 4z + 6 −3𝑧 2 1 dz + dz + 2 v2 dv = 0 −3z2 + 4z + 6 −3z2 + 4z + 6 1 −3𝑧 𝐿𝑛 | − 3z2 + 4z + 6| + 2 𝐿𝑛 | − 3z2 + 4z + 6| + 2 v2 dv = C x2 2 −6𝑧 𝐿𝑛 | − 3z2 + 4z + 6| + 4 𝐿𝑛 | − 3z2 + 4z + 6| + v dv = C Maka, Solusi Umumnya adalah: −6𝑧 𝐿𝑛 | − 3z2 + 4z + 6| + 4 𝐿𝑛 | − 3z2 + 4z + 6| + v2 dv = C Page | 13
  18. 18. BAB 66.1. Sifat-Sifat Dasar Suatu persamaan diferensial dengan bentuk: M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 Dikatakan persamaan diferensial eksak, jika ada suatu fungsi f(x,y) yang diferensial totalnya sama dengan M (x,y) dx + N (x,y) dy, yaitu (dengan meniadakan lambang x dan y): df = M dx + N dy uji kepastian : Jika M dan N merupakan fungsi kontinu dan memiliki turunan parsial pertama yang kontinu pada sebuah segiempat bidang xy, 𝜕𝑀 𝜕𝑁 maka M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 adalah eksak hanya jika: = 𝜕𝑦 𝜕𝑥6.2. Metode Solusi Untuk menentukan solusi dari M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0, maka secara implicit diberikan oleh penyelesaian umum f (x,y) = c. Langkah-langkah menemukan suatu fungsi f (x,y) adalah:  Langkah 1 Perhatikan bahwa: 𝜕𝑓 𝜕𝑓 = M (x,y), dan = N (x,y) 𝜕𝑥 𝜕𝑦  Langkah 2 Integrasikan (mencari integral) dari M (x,y) terhadap x dengan y tetap. 𝜕𝑓 dx = M (x,y) dx 𝜕𝑥 𝑥 f (x,y) = [ M (x, y) dx ] + ∅(𝑦) dimana ∅𝑦 adalah fungsi sembarang dari y saja.  Langkah 3 Fungsi f (x,y) pada langkah ke-2, didiferensialkan parsial terhadap y yang selanjutnya akan diperoleh: Page | 14
  19. 19. 𝜕𝑓 𝜕 𝑥 𝜕∅ = [ M (x, y) dx ] + 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦  Langkah 4 𝜕𝑓 Karena = N (x,y) maka, 𝜕𝑦 𝜕∅ 𝜕 𝑥 = N (x,y) - [ M (x, y) dx ] 𝜕𝑦 𝜕𝑦 Dari sini ∅(𝑦) akan diperoleh.  Langkah 5 ∅(𝑦) yang baru saja diperoleh, disubtitusikan ke f (x,y) dalam langkaj ke-2. Dengan demikian f (x,y) = C dapat diperoleh.6.3. Contoh Soal dan Pembahasan Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial di bawah ini dan buktikan keeksakanya! 1) (2xy + x2) dx + (x2 + y2) dy = 0 2) 3x2y2 dx + (2x3y + 4y3) dy = 0 Pembahasan: 1) (2xy + x2) dx + (x2 + y2) dy = 0  Pembuktian Persamaan Diferensial Eksak 𝜕𝑀 M (x, y) = 2xy + x2  = 2𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑁 N (x, y) = x2 + y2  = 2𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑀 𝜕𝑁 Karena = , maka persamaan diferensial diatas merupakan persamaan 𝜕𝑦 𝜕𝑥 diferensial eksak.  Mencari Solusi Umum Langkah 2 (mencari f (x,y)) 𝑥 f (x,y) =[ M (x, y) dx ] + ∅(𝑦) 𝑥 = (2xy + x2) dx + ∅(𝑦) 1 = x2y + 3 x3 + ∅(𝑦) Page | 15
  20. 20. Langkah 3 𝜕𝑓 𝜕 𝑥 𝜕∅ = [ M (x, y) dx ] + 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕 𝑥 𝜕∅ = [ (2xy + x2) dx ] + 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕 = x2 + ∅(𝑦) 𝜕𝑦 Langkah 4 (mencari ∅(𝑦)) 𝜕𝑓 = N (x,y) 𝜕𝑦 𝜕 x2 + ∅(𝑦) = x2 + y2 𝜕𝑦 𝜕 ∅(𝑦) = x2 + y2 - x2 𝜕𝑦 ∅(𝑦) = y 2 dy 1 = y3 + k 3 Langkah 5 (Solusi Umum) 1 f (x,y) = x2y + 3 x3 + ∅(𝑦) 1 1 = x2y + 3 x3 + 3 y 3 = k x3 = 3x y + x + y 3 = 3k 2 3 Maka solusi umumnya adalah 3x2y + x3 + y 3 = C dengan nilai C=3k2) 3x2y2 dx + (2x3y + 4y3) dy = 0  Pembuktian Persamaan Diferensial Eksak 𝜕𝑀 M (x, y) = 3x2y2  = 6𝑥 2 𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑁 N (x, y) = 2x3y + 4y3  = 6𝑥 2 𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑀 𝜕𝑁 Karena = , maka persamaan diferensial diatas merupakan persamaan 𝜕𝑦 𝜕𝑥 diferensial eksak.  Mencari Solusi Umum Langkah 2 (mencari f (x,y)) 𝑥 f (x,y) =[ M (x, y) dx ] + ∅(𝑦) 𝑥 = 3x 2 y 2 dx + ∅(𝑦) = x3y2+ ∅(𝑦) Page | 16
  21. 21. Langkah 3 𝜕𝑓 𝜕 𝑥 𝜕∅ = [ M (x, y) dx ] + 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕 𝑥 𝜕∅ = [ 3x 2 y 2 dx ] + 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕 = 2x3y + ∅(𝑦) 𝜕𝑦Langkah 4 (mencari ∅(𝑦))𝜕𝑓 = N (x,y)𝜕𝑦 𝜕2x3y + ∅(𝑦) = 2x3y + 4y3 𝜕𝑦 𝜕 ∅(𝑦) = 2x3y + 4y3 - 2x3y 𝜕𝑦 ∅(𝑦) = 4y 3 dy = y4 + kLangkah 5 (Solusi Umum)f (x,y) = x3y2+ ∅(𝑦) = x3y2+ y 4 = kMaka solusi umumnya adalah x3y2+ y 4 = C dengan nilai C = k Page | 17
  22. 22. BAB 7Secara umum persamaan M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 tidak eksak. Terkadang adalah mungkinmengubah menjadi persamaan diferensial eksak melalui perkalian yang eksak.Oleh karena itu, fungsi untuk mengubah Persamaan Diferensial tiadk eksak ke bentukpersamaan diferensial eksak adalah factor integrasi (Faktor pengkali/ Gabung).7.1. Macam-macam faktor integrasi Ada beberapa macam faktor integrasinya, yaitu: 𝜕𝑀 𝜕𝑁 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥  Jika, = f(x) dimana f(x) merupakan fungsi dari x saja 𝑁 f x dx Faktor Integrasinya: 𝑒 𝜕𝑀 𝜕𝑁 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥  Jika, = g(y) dimana g(y) merupakan fungsi dari y saja −𝑀 g y dy Faktor Integrasinya: 𝑒  Jika, M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 merupakan Persamaan Diferensial Homogen dan xM + yN ≠ 0 1 Faktor Integrasinya: xM + yN  Jika, M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 dapat diubah ke bentuk y f(x,y) dx + x g(x,y) dy = 0 dan f(x,y) ≠ g(x,y) 1 Faktor Integrasinya: xM − yN  Dan sebagainya7.2. Contoh Soal dan Pembahasan Tentukan Faktor Integrasi kemudian tentukan solusi umumnya! 1) 3x2y2 dx + (4x3y – 12) dy = 0 2) (2y – x3) dx + x dy = 0 Page | 18
  23. 23. Pembahasan:1) 3x2y2 dx + (4x3y – 12) dy = 0 𝜕𝑀 M = 3x2y2  = 6x2y 𝜕𝑦 𝜕𝑀 N = 4x3y – 12  = 12x2y 𝜕𝑦 𝜕𝑀 𝜕𝑁 Karena ≠ maka, bukan merupakan persamaan diferensial eksak 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑀 𝜕𝑁 − 16𝑥 2 𝑦 −12𝑥 2 𝑦 −2 4 2 𝜕𝑦 𝜕𝑥  = = + = −𝑀 −3𝑥 2 𝑦 2 𝑦 𝑦 𝑦 2 g y dy dy Faktor Integrasi: 𝑒 = 𝑒 𝑦 = 𝑒 2 ln 𝑦 = y2  Faktor Integrasi f(x) y2 [3x2y2 dx + (4x3y – 12) dy] = 0 3x2y4 dx + (4x3y3 – 12 y2) dy = 0 𝜕𝑀 M = 3x2y4  = 12x2y3 𝜕𝑦 𝜕𝑀 N = 4x3y3 – 12 y2  = 12x2y3 𝜕𝑦 𝜕𝑀 𝜕𝑁 Karena = maka, merupakan persamaan diferensial eksak 𝜕𝑦 𝜕𝑥  Solusi Umum Mencari f(x,y) dengan mengintegralkan M 𝑥 f (x,y) =[ M (x, y) dx ] + ∅(𝑦) 𝑥 = 3x 2 y 4 dx + ∅(𝑦) = x3y4+ ∅(𝑦) Mencari ∅(𝑦) dengan mendiferensialkan f(x,y) = N 𝜕𝑓 = N (x,y) 𝜕𝑦 𝜕 4x3y3 + ∅(𝑦) = 4x3y3 – 12 y2 𝜕𝑦 𝜕 ∅(𝑦) = 4x3y3 – 12 y2 - 4x3y3 𝜕𝑦 ∅(𝑦) = − 12 y 2 dy = - 4 y3 + k Masukan ke persamaan f(x,y) f (x,y) = x3y4+ ∅(𝑦) = x3y4 − 4 y 3 = k Maka solusi umumnya adalah x3y4 − 4 y 3 = C dengan nilai C = k Page | 19
  24. 24. 2) (2y – x3) dx + x dy = 0 𝜕𝑀 M = 2y – x3  =2 𝜕𝑦 𝜕𝑀 N=x  =1 𝜕𝑦 𝜕𝑀 𝜕𝑁 Karena ≠ maka, bukan merupakan persamaan diferensial eksak 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑀 𝜕𝑁 − 2−1 1 𝜕𝑦 𝜕𝑥  = = 𝑁 𝑥 𝑥 1 f x dy dx Faktor Integrasi: 𝑒 = 𝑒 𝑥 = 𝑒 ln 𝑥 = x  Faktor Integrasi f(x) x [(2y – x3) dx + x dy] = 0 (2xy – x4) dx + x2 dy = 0 𝜕𝑀 M = 2xy – x4  = 2x 𝜕𝑦 𝜕𝑀 N = x2  = 2x 𝜕𝑦 𝜕𝑀 𝜕𝑁 Karena = maka, merupakan persamaan diferensial eksak 𝜕𝑦 𝜕𝑥  Solusi Umum Mencari f(x,y) dengan mengintegralkan M 𝑥 f (x,y) =[ M (x, y) dx ] + ∅(𝑦) 𝑥 = (2xy – x 4 ) dx + ∅(𝑦) 1 = x2y − 5 x 5 + ∅(𝑦) Mencari ∅(𝑦) dengan mendiferensialkan f(x,y) = N 𝜕𝑓 = N (x,y) 𝜕𝑦 𝜕 x2 + ∅(𝑦) = x2 𝜕𝑦 𝜕 ∅(𝑦) = x2 – x2 𝜕𝑦 ∅(𝑦) = 0 dy = k Masukan ke persamaan f(x,y) 1 f (x,y) = x2y − 5 x 5 + ∅(𝑦) 1 = x2 y − x 5 = k 5 1 Maka solusi umumnya adalah x2y − 5 x 5 = C dengan nilai C = k Page | 20
  25. 25. BAB 88.1. Metode Solusi Persamaan linier orde satu memiliki bentuk umum 𝑑𝑦 + P(x) y = Q(x) dengan syarat ruas kanan ≠ 0 𝑑𝑥 P x dx Factor integrasi: 𝑒 Solusi umum P x dx P x dx 𝑒 y= Q(x) 𝑒 + 𝐶8.2. Contoh Soal dan Pembahasan Tentukan solusi umum dari: 𝑑𝑦 1) + 4y = x -2x2 𝑑𝑥 2) 𝑦 ′ + 𝑦 = (1 + 𝑥)2 Pembahasan: 𝑑𝑦 1) + 4y = x -2x2 𝑑𝑥 P(x) = 4 ; Q(x) = x – 2x2 P x dx 4 dx Faktor Integrasi: 𝑒 = 𝑒 = 𝑒 4𝑥 Solusi Umum: P x dx P x dx 𝑒 y= Q(x) 𝑒 + 𝐶 𝑒 4𝑥 y = x – 2x 2 𝑒 4𝑥 + 𝐶 𝑥−2𝑥 2 1−4𝑥 1 𝑐 y= − − + 4 16 16 𝑒 4𝑥 4𝑥−8𝑥 2 −1+4𝑥−1 𝑐 y= + 16 𝑒 4𝑥 4𝑥−4𝑥 2 −1 𝑐 y= + 8 𝑒 4𝑥 Page | 21
  26. 26. 2) 𝑦 ′ + 𝑦 = (1 + 𝑥)2 𝑑𝑦 + 𝑦 = (1 + 𝑥)2 𝑑𝑥 P(x) = 1 ; Q(x) = (1 + 𝑥)2 P x dx 1 dx Faktor Integrasi: 𝑒 = 𝑒 = 𝑒𝑥 Solusi Umum: P x dx P x dx 𝑒 y= Q(x) 𝑒 + 𝐶 𝑒 𝑥 y = (1 + 𝑥)2 𝑒 𝑥 + 𝐶 𝑒 𝑥 y = 𝑒 𝑥 (1 + 𝑥)2 − 2𝑒 𝑥 (1 + 𝑥) + 2𝑒 𝑥 + C 2 𝑐 y=[ 1+ 𝑥 −2 1+ 𝑥 +2+ 𝑒𝑥 Page | 22
  27. 27. BAB 99.1. Metode Solusi  Bentuk umum dari persamaan diferensial Bernoulli adalah: 𝑑𝑦 + P(x) y = Q(x) yn 𝑑𝑥  Persamaan Bernoulli akan tereduksi ke persamaan linier orde satu dengan Transformasi: z = y-n+1 𝑑𝑧 𝑑𝑦 = (-n + 1) y-n. 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = (1 – n) yn. 𝑑𝑥 𝑑𝑥  Persamaan linier orde satu 𝑑𝑧 = (1 – n) P(x) y-n = (1 – n) Q(x) 𝑑𝑥 𝑑𝑧 = (1 – n) P(x) z = (1 – n) Q(x) 𝑑𝑥 1 – n P x dx Dengan faktor integrasi: 𝑒  Solusi umum 1 – n P x dx 1 – n P x dx 𝑒 z = (1 – n) Q(x) 𝑒 𝑑𝑥 + C9.2. Contoh Soal dan Pembahasan Cari solusi dari: 𝑑𝑦 𝑦 𝑦2 1) + 𝑥= 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑦 2) + y = xy3 𝑑𝑥 Pembahasan: 𝑑𝑦 𝑦 𝑦2 1) + 𝑥= 𝑑𝑥 𝑥 1 1 P(x) = 𝑥 ; Q(x) = 𝑥 ;n=2 Page | 23
  28. 28. z = y-n+1 z = y-2+1 z = y-1 𝑑𝑧 𝑑𝑦 = - y-2. 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = - y2. 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑦 𝑦2 + 𝑥= 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑧 𝑦 𝑦2 - y2. + = 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 : - y2 𝑑𝑧 1 1 - 𝑦 −1 = − 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑑𝑧 1 1 - 𝑥− 𝑧=−  Persamaan Linier Orde Satu 𝑑𝑥 𝑥 1 1 P(x) = − ; Q(x) = − 𝑥 𝑥 solusi umum: 1 – n P x dx 1 – n P x dx 𝑒 z = (1 – n) Q(x) 𝑒 𝑑𝑥 + C 1 1 1 z= − 𝑑𝑥 + C 𝑥 𝑥 𝑥 1 z = 𝑥 −1 + C 𝑥 𝑥 −1 + 𝐶 𝑧= 1 𝑥 1 Maka, Solusi Umumnya adalah 𝑦 = 1 + Cx 𝑑𝑦3) + y = xy3 𝑑𝑥 P(x) = 1 ; Q(x) = xy3 ;n=3 z = y-n+1 z = y-3+1 z = y-2 𝑑𝑦 1 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 𝑛−1 𝑑𝑥 𝑑𝑦 1 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 −2 𝑑𝑥 Persamaan Diferensial Orde Satu 𝑑𝑧 + (1 – n) z p(x) = (1 – n) Q(x) 𝑑𝑥 Page | 24
  29. 29. 𝑑𝑧 + -2y-2 = -2x𝑑𝑥Solusi Umum: 1 – n P x dx 1 – n P x dx𝑒 z = (1 – n) Q(x) 𝑒 𝑑𝑥 + C −2 dx −2 dx𝑒 y-2 = −2x 𝑒 𝑑𝑥−2𝑥 𝑦 −2 = 4x 2 dx 4−2𝑥 𝑦 −2 = 𝑥3 + k 3 x3−6𝑥 𝑦 −2 = 4𝑥 3 + 3k6𝑥 𝑦 −2 + 4𝑥 3 = CMaka, Solusi umumnya adalah 6𝑥 𝑦 −2 + 4𝑥 3 = C ; C =3k Page | 25
  30. 30. BAB 1010.1. Pengertian Soal Nilai Awal merupakan suatu persamaan diferensial bersama dengan kondisi- kondisi tambahan terhadap fungsi yang dicari dan turunannya yang semuanya diberikan pada nilai variable independen yang sama. Masalah Nilai awal adalah mencari solusi khusus dari kondisi awal. Solusi khusus adalah ketika persamaan diferensial hanya memiliki satu solusi saja. Misalnya (y’)4 + y2 = 0. Persamaan ini hanya memiliki satu solusi yaitu y = 0. Dan tidak mengandung nilai C10.2. Contoh Soal dan Pembahasan Tentukan solusi umum dan solusi khusus persamaan diferensial dibawah ini! 1) 3x2 + (2y - 1) dy = 0, dimana y=2 2) xy3 dx + (2y + 1) x2 dy = 0, dimana y=10 Pembahasan: 1) 3x2 + (2y - 1) dy = 0, dimana y=2 3x2 + (2y − 1) dy = 0 x3 + y2 + y = C  Solusi Umum x3 + (2)2 + 2 = C x3 = -6  Solusi Khusus 2) xy3 dx + (2y + 1) x2 dy = 0, dimana y=10 xy3 dx + (2y + 1) x2 dy = 0 : y3 x2 𝑥 (2y + 1) dx + dy = 0 𝑥2 𝑦3 𝑥 (2y + 1) dx + dy = 0 𝑥2 𝑦3 𝐿𝑛 𝑥 + 2y + 1 𝐿𝑛 𝑦 3 = 𝐶  Solusi Umum 𝐿𝑛 𝑥 + 21 𝐿𝑛 1000 = 𝐶 𝐿𝑛 𝑥 = −145  Solusi Khusus Page | 26
  31. 31. Tentukan orde dan carilah persamaan diferensial dari: 𝑑2 𝑥1) y = y2 + 1 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥 22) y = x2 + 1 𝑑𝑦 𝑑2 𝑡 𝑑𝑠3) s +st =s 𝑑𝑠 2 𝑑𝑡4) 𝑦" + 3𝑦 − 𝑥𝑦 = 05) 𝑥𝑦 ′ + 3𝑦 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 = 0Manakah diantara persamaan diferensial berikut yang merupakan persamaan diferensialvariable terpisah?6) (x2 – y2) 𝑦 ′ + xy = 07) (x2 y2 – y2) 𝑦 ′ + x = 08) (x sin y – x2) 𝑦 ′ + cos x = 09) (x sin y – xy) 𝑦 ′ + (x2 + 1) y = 010) xy 𝑦 ′ + x2 + 1= 0Tentukan solusi persamaan diferensial variable terpish dengan mereduksinya!11) (x2 – 1) 𝑦 ′ + y2 + 1 = 012) (1 + 2y) 𝑑𝑥 + (x – 4) dy = 013) xy dx + (1 + x2) dy = 014) (xy + x) dx + (xy – y) dy = 0 𝑑𝑦 4𝑦15) = 𝑑𝑥 𝑥𝑦 −3𝑥 Page | 27
  32. 32. Buktikan bahwa persamaan di bawah ini adalah persamaan diferensial homogeny kemudian,carilah solusi umumnya!16) 2xy dy = (x2 – y2) dx 𝑦 𝑦17) x sin 𝑥 (y dx + x dy) + y cos 𝑥 (x dy – y dx) = 018) (x2 – 2y2) dy – 2xy dx = 0 𝑑𝑦 𝑥+𝑦19) = 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑦 4𝑦 −3𝑥20) = 𝑑𝑥 2𝑥−𝑦Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial tak homogeny dibawah ini! 𝑑𝑦 6𝑥−2𝑦−721) = 2𝑥+3𝑦−6 𝑑𝑥 𝑑𝑦 1−2𝑦−4𝑥22) = 𝑑𝑥 1+𝑦+2𝑥23) (2x – 3y +5) dx + (24y – 8x – 40) dy = 024) (x – 5y +2) dx + (2x – 10x – 4) dy = 025) (2x – 5y +2) dx + (10y – 4x – 4) dy = 0Tunjukkan bahwa PD berikut eksak dan tentukan selesaian umumnya!26) (x+2y)dx + (y2+2x)dy = 027) 2y(x-y)dx + x(x-4y)dy = 028) (xsiny-y2)dy – cosy dx = 029) (3+y+2y2sin2x)dx – (ysin2x-2xy-x)dy = 030) xcos(xy)dy + (2x+ycos(xy))dx = 0Tunjukkan bahwa fungsi yang diberikan adalah suatu faktor integrasi dan selesaikanPD nya:31) 2ydx+xdy = 0, x32) sinydx+cosydy=0, 1/x233) y2dx+(1+xy)dy=0, exy34) 2dx-ey-xdy = 035) (y+1)dx-(x+1)dy = 0 Page | 28
  33. 33. Selesaikan PD linier orde satu!36) y’+(2x-1)y = xy2+(x-1)37) y’+(2x4-1/x))y = x3 y2+x538) y’-2y/x = -y2/x+x239) y’+(2-1/x)y = y2-2/x40) y’+2y+y2=0.Tentukan Solusi Umum dari PD Bernoulli!41) y’ + y = xy342) y’ = y (1 + xy) 𝑥43) y - 2 y’ = 𝑦44) 2xyy’ + y2 = x45) Y’ – y = xy6Tentukan Solusi khusus dari persamaan diferensial dibawah ini!46) y(t) = 3y + 5 , y(0) =147) y(t) = ty +1 , y(0) = 048) y= z, z= -y , y(0) =1, z(0) = 0 149) y(t) = − 1+ , y(0) =1 𝑦250) y” + 5y’ + 6y = 0, y(0) = 1 Page | 29
  34. 34. Lampiran
  35. 35. Basic Forms(1)(2)(3)(4) Integrals of Rational Functions(5)(6)(7)(8)
  36. 36. (9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16) Integrals with Roots(17)
  37. 37. (18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)
  38. 38. (27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)
  39. 39. (36)(37)(38)(39)(40)(41) Integrals with Logarithms(42)(43)
  40. 40. (44)(45)(46)(47)(48)(49)(50)(51)(52)
  41. 41. (53)(54)(55)(56)(57) Integrals with Exponentials(58)(59) erf where erf(60)(61)
  42. 42. (62)(63)(64)(65) d(66) where d(67) erf(68) erf(69)(70) erf
  43. 43. Integrals with Trigonometric Functions(71)(72)(73)(74)(75)(76)(77)(78)
  44. 44. (79)(80)(81)(82)(83)(84)(85)(86)(87)
  45. 45. (88)(89)(90)(91)(92)(93)(94)(95)(96)
  46. 46. (97)(98)(99)(100)(101) Products of Trigonometric Functions and Monomials(102)(103)(104)(105)
  47. 47. (106)(107)(108)(109)(110)(111)(112)(113)(114)
  48. 48. (115)(116) Products of Trigonometric Functions and Exponentials(117)(118)(119)(120)(121)(122) Integrals of Hyperbolic Functions
  49. 49. (123)(124)(125)(126)(127)(128)(129)(130)
  50. 50. (131)(132)(133)(134)
  51. 51. SM. Nababan.2005.Persamaan Diferensial Biasa (Edisi Satu). Jakarta:Universitas TerbukaFinizio and Ladas. 1988.Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern (EdisiKedua).Jakarta:ErlanggaSchaum’s.2007.Persamaan Diferensial (Edisi Ketiga).Jakarta: ErlanggaVarberg, Purcell, Rigdom.2003.Kalkulus Jilid 1. Jakarta: ErlanggaSitanggang, Curmentyna.2003.Kamus Matematuka (Cetakan ketiga).Jakarta:Balai PustakaSoal Ujian Tenga Semester (UTS).2012.Persamaan Diferensial 1.Jakarta.UniversitasIndraprasta PGRIhttp://uuniquee.files.wordpress.com/2010/09/persamaan_differensial_-_dr-_st-_budi_waluya.pdfhttp://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/195804011985031-ASEP_SYARIF_HIDAYAT/PERSAMAAN_DIFERENSIAL_I.pdfhttp://math.ipb.ac.id/~files/tpb/9PersamaanDiferensialPrint_Mhs.pdfhttp://alifis.files.wordpress.com/2009/09/bab-v-masalah-nilai-awal-persamaan-diferensial.pdfhttp://dora.student.fkip.uns.ac.id/uncategorized/tutorial-maple-persamaan-differensial-differential-equations/http://staff.ui.ac.id/internal/131611668/material/mod-02.pdf - D -

×