Dokumen tersebut membahas tentang Deret dan Transformasi Fourier. Secara singkat, dibahas mengenai domain frekuensi untuk isyarat periodis dan non-periodis yang dapat direpresentasikan secara analitis menggunakan Deret dan Transformasi Fourier. Koefisien Deret Fourier dapat dihitung dengan mengintegralkan produk isyarat dengan fungsi eksponensial kompleks selama satu periode.

1. Deret dan Transformasi Fourier
Risanuri Hidayat,
Jurusan Teknik Elektro dan Teknologi Informasi, FT UGM,
Negeri Ngayogyakarta Hadiningrat 55281, INDONESIA
risanuri@te.ugm.ac.id (risanuri@gmail.com)
Dalam tulisan ini akan dijelaskan domain frekuensi untuk isyarat periodis dan non-periodis
yang mempunyai penyelesaian secara analitik, khususnya Transformasi Fourier.
1.1 Deret Fourier
1.1.1 Deret Fourier untuk isyarat Periodis kontinyu
Sebuahisyaratperiodispastiakanmempunyaipersamaan,
.............................................. (1)
Untuksemua t (waktu).T adalahperiodewaktuketikafungsimulaiterulang.
Setiapfungsi yang periodis ternyata dapat dinyatakan dengan superposisi fungsi sinus dan
kosinus. Telah diketahui bahwa sin ωt fungsi trigonometri dan co sωt yang periodic
dengan periode T = 1 / f = 2π / ω, dengan f adalah frekuensi dalam siklus per detik (Hz)
dan ω adalah frekuensi sudut dalam radian / det. Gambar 1 menunjukkan fungsi periodis,
dengan T0 = 2Π/ ω0 : periode fundamental. ω0 = frekuensi fundamental
Gambar 1.Contoh isyarat periodis
Suatu isyarat periodis dengan periode T0 dapat dinyatakan sebagai jumlahan isyarat-isyarat
cosines dan/atau sinus dengan periode-periode kelipatan dari T0

2. Σ+∞
=−∞
=
k
jk t
kx(t) a e ω0
............................................................................................... (2)
Dengan ak adalah koefisien atau komponen ke-k, dan k= 0,±1,±2, ... . Untuk k=0 maka
akdisebut komponen dc. Untukk=±1maka ak disebut komponen fundamental. Dan untuk
k=±2, ±3,..maka ak disebut komponen harmonik ke –k.
Ketika k=0 dikeluarkan dari sigma, dan k hanya dituliskan dari +1Æ∞, maka persamaan
menjadi
Σ+∞
=+
−
− = + +
( ) 0 0
1
0
k
jk t
k
jk t
k x t a a e ω a e ω
.............................................................. (3)
Jika a* adalah conjugate kompleks dari a, kemudian ganti k dengan –k, maka dari
persamaan di atas akan didapatkan bahwa a*
-k=ak atau a*
k=a-k. Sehingga persamaan
menjadi
Σ+∞
=
= + + −
( ) 0 0
1
*
0
k
jk t
k
jk t
k x t a a e ω a e ω
................................................................... (4)
Penjumlahan konjugate kompleks dari persamaan di atas menghasilkan
Σ { } +∞
=
= +
( ) 2 Re 0
1
0
k
jk t
kx t a a e ω
.............................................................................. (5)
Jika ak = Ak e jθk
Σ { } +∞
=
x ( t ) = a + 2 Re A e ω 0
+
θ k
1
(
0
k
j k t
k
.................................................................... (6)
Diketahui bahwa jika ada bilangan kompleks z=x+iy, maka Re{z} adalah bagian real dari
z, yaitu x. Persamaan menjadi
Σ+∞
=
x t = a + A Cos kω t +
θ
k k 0 0 ( ) 2 ( )
1
k
......................................................................(7)
Dan jikaakdinyatakandenganak= Bk + j Ck,makadapatdibuktikanbahwa

3. Σ[ ] +∞
=
x t = a + B Cos kω t −
C Sin kω t
k k 0 0 0 ( ) 2 ( ) ( )
1
k
....................................................(8)
1.1.2 Koefisien Fourier ak
Anggap bahwa sinyal periodis yang diberikan dapat diwakili dengan persamaan (2),
maka akan dijelaskan bagaimana menentukan koefisien ak. Kalikan kedua sisi (2) dengan
t jn e 0 ω
− , akan diperoleh
Σ+∞
=−∞
x(t).e − jnω0t = a e ω0 .e −
ω0
k
jk t jn t
k
..............................................................(9)
Integralkan kedua sisi dari 0 ke T0 = 2π/ω0 , sehingga
T
T
+∞
x t e jnω tdt a e ω e ω dt
∫ ∫ Σ
− = −
( ). .
=−∞
0
0 0
0
0
0 0
k
jk t jn t
k
...............................................(10)
T0 adalah periode fundamentaldari fungsi x(t)), dan integral kemudian dihitung selama
satu periode ini. Integrasi dan penjumlahan dari persamaan di atas menghasilkan,
T
+∞
⎡
x t e jn tdt a e dt
∫ Σ ∫
− −
=−∞
⎤
⎥ ⎥⎦
⎢ ⎢⎣
=
k
T
j k n t
k
0
0
0
0
0
( )
0
( ). ω ω
...............................................(11)
Lihat integral di dalam kurung []. Untuk k≠n, kedua integral di sisikananadalah nol.
Untuk k= n, nilai e0 di sisikirisamadengan l, sehingganilai integralnya adalah T0.
Secararingkaskemudiankitamendapatibahwa
T ,
T k n
⎡
∫ ⎢⎣
=
≠
− =
0
0
0
( ) 0
0,
j k n t
k n
e ω dt
.......................................................................(12)
Persamaan di atas hanya akan mempunyai nilai ketika k=n. Integralsepanjang interval T0
menghasilkan ekspresi

4. ⎡
∫ Σ ∫
− −
ω ω
x t e dt a e dt
0
0
0
( )
( ).
0
0
( ). 0
.
0
0
0
0
x t e dt a T
n
T
jn t
k
T
j k n t
k
T
jn t
=
⎤
⎥ ⎥⎦
⎢ ⎢⎣
=
∫
−
+∞
=−∞
ω
......................................................(13)
Koefisien Fourier ak dapat dengan mudah didefinisikan sebagai berikut,
1 T
0
( ). ∫ = −
a ω
0
0 0
jn t
n x t e dt
T
....................................................................................(14)
Ringkasnya, jika x (t) adalah sebuah fungsi dengan serangkaian representasi Fourier,
[yaitudapatdinyatakansebagaikombinasi linear darieksponensialkompleksharmonic],
maka koefisien diberikan oleh persamaan di atas ini. Pasangan persamaan dapat ditulis
ulang di bawah ini,
Σ
x ( t ) a .
e
T
1 ( ).
∫
−
+∞
=−∞
=
=
0
0
0
0 0
jk t
k
k
jk t
k
x t e dt
T
a
ω
ω
...............................................................................(15)
Koefisien ak disebut koefisien deret Fourier atau koefisien spektral
Komponen dc = a0terjadi ketika k = 0:
1 ( )
0
= ∫
0
0
T
x t dt
T
a
.......................................................................................(16)
Contoh 1:
Isyarat kotak yang periodis terlihat seperti pada Gambar 2 berikut. Tentukan koefisien
Fourier-nya.

5. Gambar 2.
Isyarat iniperiodisdenganperiode fundamental T0, sehingga frekuensidasarnya adalah ω0
= 2πf0 dan f0 = 1/T0. Persamaan (1) dipakai untukmenghitungkoefisienderet Fourier dari
fungsi x (t). Interval yang dipakai adalah (- T0/ 2< t <T0). Dengan batas-batasintegrasitersebut
danmenerapkan pada () maka untuk k = 0 didapatkan,
dt T
1
0
1
= ∫ =
0 1
0
1 2
T
T
a
T
T
+
−
Sepertidisebutkansebelumnya, a0adalah nilai rata-rata x(t). Untuk k≠0 didapatkan,
ω ω
0 0
⎤
⎥⎦
1 1
− ∫
= = −
⎡ − =
⎢⎣
−
+
−
−
+
−
e e
j
k T
a
e
jk T
e dt
T
a
jk T jk T
k
T
T
jk t
T
T
jk t
k
2
2
0 1 0 1
0 0
1
0 0 1
1
0 1
ω ω
ω
ω
a k ω
T k
2sin sin
= 0 1
=
k T
ω π
k ω
T
π
ω
≠ =
0 0
0 1
0 0
0,
k
k T

6. Gambar 3. Koefisien deret Fourier untuk isyarat kotak periodis dengan (a) T0=4T1, (b)
T0=8T1, (c) T0=16T1
.
1.1.3 Deret Fourier untuk isyarat Periodis diskret
Sebuahisyaratperiodisdiskret niscaya memenuhipersamaan,
...........................................................................................(16)
Periode fundamental adalah nilai N, dan ω0= 2Π/Nadalah fundamental
frekuensi.Sebagaimana deret Fourier untuk isyarat kontinyu, deret untuk isyarat diskret
ini mempunyai bentuk yang sama sebagai berikut,
Σ
x[n] a .e 0
=
=
Σ
=
=
k N
jk(2πk(2π
k
k N
jkω n
k
x[n] a .e
...............................................................................(17)
Persamaan ini dinyatakan sebagai deret Fourier untuk isyarat (waktu) diskret dan ak
adalah koefisien deret Fourier.
1.1.4 Koefisien Fourier ak untuk isyarat diskret
Sebagaimana pada isyarat kontinyu, untuk menentukan koefisien ak,kalikan kedua sisi
dengan ݁ି௝௥ఠబ௡, akan diperoleh

7. Σ=
x[n].e − jrω0n = a e ω0 .e −
ω0
k N
jk n jr n
k
.................................................(18)
Integralkan kedua sisi dari 0 ke N , dan ω0 = 2π/N, sehingga
Σ Σ Σ
π π π
(2 / ) (2 / ) (2 / )
x [ n ]. e =
a e .
e
Σ Σ Σ
π π
(2 / ) ( )(2 / )
x [ n ].
e =
a e
Σ Σ Σ
(2 / ) ( )(2 / )
= =
−
=
−
= =
−
=
−
= =
−
=
−
=
k N n N
j k r N n
k
n N
jr N n
n N k N
j k r N n
k
n N
jr N n
n N k N
jk N n jr N n
k
n N
jr N n
x [ n ].
e a e
π π
..................(19)
Lihat sigma untuk Σ=
−
n N
e j(k r)(2π / N )n . Untuk k≠r, nilainya adalah nol. Untuk k= n, nilai e0
sama dengan l, sehingga nilai sigma adalah N. Secara ringkas kemudian kita mendapati
bahwa
⎡
, ( )(2π / )
⎢⎣
N k =
r
≠
−
= =
Σk r
e
n N
j k r N n
0,
..........................................................................(20)
Sigma sepanjang interval N menghasilkan ekspresi
Σ (2 π
/ )
Σ
x [ n ].
e =
a N
x n e a N
r
n N
jr N n
k N
k r
n N
jr N n
=
Σ
=
−
=
=
=
−
(2 / )
[ ].
π
........................................................(21)
Sehingga ak dapat dinyatakan sebagai,

8. a 1 [ ]. (2π / )
Σ=
= −
n N
jkn N
k x n e
N
.....................................................................(22)
Pasangan persamaan dapat ditulis ulang di bawah ini,
Σ
x [ n ] a .
e
Σ
=
(2 / )
−
=
=
=
n N
jkn N
k
k N
jkn N
k
x n e
N
a
(2 / )
1 [ ].
π
π
.........................................................................(23)
Koefisien ak disebut koefisien deret Fourier atau koefisien spektral
Komponen dc = a0terjadi ketika k = 0:
a 1 [ ]
0
Σ=
=
n N
x n
N
...........................................................................................(24)
Contoh 2.
Isyarat kotak diskret periodis terlihat seperti pada Gambar 3 berikut. Tentukan koefisien
Fourier-nya.
Gambar 3. Isyarat kotak diskret periodis
Komponen dc = a0adalah:
x n N
= = +
Σ+
=−
1
1
1
0
1 N [ ] 2 1
n N N
N
a
Koefisien Fourier secara umum adalah,
1 (2 / ) N
Σ−
= −
a π
=
1
1
n N
jkn N
k e
N
Persamaan di atas dapat diuraikan menjadi

9. −
1
⎡ = + +
Σ Σ
π π
=−
Σ[ ]
=
+ −
−
=
−
= + +
⎤
⎥⎦
⎢⎣
1
1
(2 / ) (2 / )
0
1
1
(2 / )
1
1
(2 / )
0
1
N
n
jkn N jkn N
k
N
n
jkn N
N
n
jkn N
k
e e
N
a a
e e
N
a a
π π
⎤
⎥⎦
⎡ + =
⎢⎣
+ −
2
cos( )
α α
α
e j e j
⎡ + = +
Σ
=
Σ
=
π π
+ −
= +
⎤
⎥⎦
⎢⎣
1
1
0
1
1
(2 / ) (2 / )
0
2
2
2 N
cos( 2 / )
n
k
N
n
jkn N jkn N
k
kn N
N
a a
e e
N
a a
π
( ) Σ=
Na = N + +
kn π N
k 1
1 2 1 2. cos( 2 / )
1
N
n

10. Gambar 5. Koefisien Deret Fourier untuk isyarat kotak diskret dengan (2N1+1)=5, dan (a) N=10, (b) N=20,
dan (c) N=40.
1.2 Transformasi Fourier
1.2.1 Transformasi Fourier untuk isyarat kontinyu
Sebagaimana pada uraian tentang Deret Fourier, fungsi periodis yang memenuhi
persamaan (1) dapat dinyatakan dengan superposisi fungsi sinus dan kosinus. Deret
Fourier sebuah fungsi periodis dinyatakan sebagai,
Σ+∞
=−∞
=
k
jk t
k x(t) a .e ω0
...........................................................................................(25)
DenganT0 = 2Π/ ω0 : periode fundamental. ω0 : frekuensi sudut fundamental, f0 = 1/T0.
Sedangkan koefisien deret Fourier dinyatakan dengan persamaan,
1 T
0
( ). 0 ∫
+
= −
a ω
T
−
2
0 2
0
jk t
k x t e dt
T
..................................................................................(26)
atau
∫
+
= −
−
2
2
0
0
0
( ). 0
T
T
jk t
k T a x t e ω dt
....................................................................................(27)
Ketika T0 bertambah besar, yang berarti ω0 mengecil, maka jarak antar koefisien Fourier
menjadi semakin kecil juga (merapat). Gambar 5 memperlihatkan bahwa jarak antar
koefisien Fourier semakin rapat. Ketika T0 bernilai sangat besar, maka koefisien Fourier
sangat rapat dan menjadi fungsi kontinyu ketika T0 Æ∞. Ketika T0 bernilai sangat besar,
T0 Æ∞, maka koefisien Fourier dinyatakan dengan,

11. +∞
∫
T a = x t e− jk tdt
( ). 0 0
−∞
k
ω
...................................................................................(28)
Dengan X(ω)=T0ak dan ω=k ω0 maka persamaan menjadi,
+∞
∫
X (ω) = x(t).e− jωtdt
−∞
..................................................................................(29)
Gambar 6. Fungsi Aperiodis dan Fungsi Periodis. (a) fungsi aperiodis, (b) fungsi periodis dengan
periode T0
Sebagaimana terlihat pada Gambar 6, Fungsi Aperiodis dapat dilihat sebagai fungsi
periodis dengan T0 Æ∞. Diketahui bahwa
0 0 0 T = 2π /ω , dan ω = kω
1 ( ) 1 ( )
0
ak = =
0
0
ω X ω
T
X k
T
Maka persamaan (25) menjadi,
0
( ) 1 ( )
X e
T
0
( )
=
x t
( ) 1
2
ω
ω ω
π
ω
ω
Σ
Σ
+∞
=−∞
+∞
=−∞
=
k
j t
k
j t
x t X e
...........................................................................(30)
Ketika T0 Æ∞, sehingga ω0 Ædω. Dengan demikian persamaan (30) menjadi berbentuk
integral,

12. ( ) 1
x t = X ( )e j td
ω ω
π
+∞
ω ∫
−∞
2
.............................................................................(31)
Persamaan pasangan Transformasi Fourier adalah,
j t
ω
( ) 1
x t X e d
∫
∫
+∞
−∞
( )
−
+∞
−∞
2
=
=
j t
ω
X ω
x t e dt
ω ω
π
( ) ( ).
............................................................................(32)
Contoh 3:
Terdapat isyarat kotak dengan persamaan sebagai berikut,
Tentukan Trnasformasi Fourier dari isyarat tersebut.
Jawab:
Transformasi Fourier dapat ditentukan dengan persamaan (32), sehingga ditemukan
Hasilnya dapat dilihat seperti pada Gambar 7.

13. Gambar 7. Isyarat Kotak dan Transformasi Fourier-nya.
Contoh 4:
Ketika sebuah isyarat x(t) mempunyai Transformasi Fourier sebagai berikut,
Carilah persamaan isyarat tersebut,
Jawab:
dengan persamaan (32) isyarat x(t) dapat ditemukan
Isyarat x(t) dan Kawasan Frekuensinya terlihat seperti pada Gambar 8.

14. Gambar 8. Pasangan Transformasi Fourier dalam contoh 4.
1.2.2 Transformasi Fourier untuk isyarat diskret
Sebagaimana pada isyarat kontinyu aperiodis, isyarat diskret apriodis juga dapat
dipertimbangkan sebagai isyarat diskret periodis dengan periode tak terhingga. Ketika
periode isyarat semakin besar dan semakin besar, maka deret Fourier akan semakin
mendekati menjadi Transformasi Fourier.
Ketika sebuah runtun isyarat aperiodis x[n] yang mempunyai durasi tertentu.
Katakanlah N1, sehingga x[n]=0 jika |n|>N1. Gambar 9(a) adalah sebuah ilustrasi isyarat
ini. Dari isyarat aperiodis ini dapat direkayasa sebuah runtun periodis yang
diperhitungkan untuk hanya periode pertama, sebagaimana digambarkan pada Gambar
9(b). Ketika periode N membesar, maka x[n] menjadi mendekati tak periodis. Ketika
NÆ∞, maka x[n] menjadi tak periodis.
Persamaan dalam bentuk Deret Fourier untuk isyarat periodis, Gambar 9(b), diketahui
dari persamaan (23) sebagai berikut,
Σ
x [ n ] a .
e
Σ
=
(2 / )
−
=
=
=
n N
jkn N
k
k N
jkn N
k
x n e
N
a
(2 / )
1 [ ].
π
π
............................................................................(33)

15. Gambar 9. Fungsi Aperiodis dan Fungsi Periodis.
(a) fungsi aperiodis,
(b) fungsi periodis dengan periode T0
Untuk NÆ∞, maka
1 [ ].
Σ
+∞
Σ
=−∞
x n e
−
+∞
=−∞
−
N
=
=
N
π
(2 / )
jkn N
k
N
jkn N
k
a
a N x n e
(2 / )
[ ].
π
Jika envelope didefinisikan X(ω)=akN, maka persamaan menjadi,
Σ+∞
=−∞
X (ω) = x[n].e −
jkn(2π / N )
N
........................................................................(34)
Terlihat pada Gambar 9, fungsi aperiodis diskret dapat dilihat sebagai fungsi periodis
dengan N Æ∞. Diketahui bahwa
0 0 N = 2π /ω , dan ω = kω
1 ( ) 1 ( )
ak = =
0 ω X ω
N
X k
N
Maka persamaan (33) dan (34) menjadi,

16. [ ] 1 ( ). 0
Σ
+∞
Σ
=−∞
X k e
−
=
N
=
=
N
jkn
k N
jk n
x n
X x n e
0
0
( ) [ ].
ω
ω
ω
ω
.........................................................................(35)
Diketahui bahwa ω0 =2π/N, sehingga 1/N=ω0/2π, persamaan (35) dapat dituliskan
kembali menjadi,
[ ] 1 0 0
Σ
x n X k e
+∞
Σ
=−∞
( ). .
−
=
2
=
=
N
jkn
k N
jk n
X x n e
0
0
( ) [ ].
ω
ω
ω
ω ω
π
........................................................................(36)
Ketika N Æ∞, maka ω0 Æ dω, dan 0 ω
ω = k . Persamaan (36) membentuk persamaan
pasangan Transformasi Fourier sebagai berikut,
∫
[ ] 1
x n X e d
2
+∞
Σ
( ).
2
− =
=−∞
=
N
j n
jn
X x n e
ω
π
ω
ω
ω ω
π
( ) [ ].
................................................................................(37)
Di sini tampak bahwa X(ω)ej ωn adalah periodis dengan periode 2π.
Contoh 5:
Sebuah isyarat diskret kotak mempunyai persamaan sebagai berikut,
Dengan N1 = 2. Tentukan Transformasi Fourier isyarat tersebut.
Jawab:
Dengan N1 = 2, X (ω) dapat dicari yaitu,
2
− = Σ = + + +
jn X e e e e e− −
( ) j j j j
ω ω ω ω ω ω 2 2
2
N
+
=−

17. 1.3 Transformasi Fourier Diskret (DFT)
Analisis Fourier merupakan metode yang sangat efisien untuk untuk analisis dan sintesis
sinyal. metode ini sangat erat cocok untuk digunakan pada komputer digital atau untuk
implementasi di hardware digital. Transformasi Fourier Diskret (DFT, Discrete Fourier
Transform) digunakan untuk sinyal durasi berhingga.
Misal x[n] adalah sebuah sinyal dengan durasi terbatas; dan integer N sehingga
x[n] = 0 untuk x[n] diluar interval 0 ≤ n ≤ N................................................(38)
Asumsikan bahwa x[n] periodis dengan periode N, dari (23) koefisien Fourier diperoleh
dengan
a 1 [ ]. (2π / )
Σ=
= −
n N
jkn N
k x n e
N
Menjadi
1 [ ]. (2 / ) N
Σ−
= −
a π ..........................................................................(39)
=
1
0
n
jkn N
k x n e
N
Koefisien-koefisien dari persamaan di atas adalah DFT dari x[n]. Dengan demikian,
isyarat diskret x[n] tak periodis dengan panjang N dapat diasumsikan sebagai isyarat
periodis dengan periode N. Dari (39) Transformasi Fourier Diskret adalah,

18. ( ) 1 [ ]. (2 / )
Σ−
= −
X k π ..........................................................................(39)
=
1
0
N
n
x n e jkn N
N
Persamaan (39) disebut dengan Transformasi Fourier Diskret (DFT, Discrete Fourier
Transform). Ketika x[n] dianggap periodis dengan periode N, dari (23) isyarat tersebut
dibentuk dari koefisien-koefisien Fourier sebagai berikut,
Σ
x [ n ] a .
e
=
=
−
N
Σ
=
=
1
0
(2 / )
(2 / )
[ ] ( ).
n
jkn N
k N
jkn N
k
x n X k e
π
π
.............................................................................(40)
Persamaan (40) disebut dengan Transformasi Fourier Diskret Balik (IDFT, Inverse
Discrete Fourier Transform).
Persamaan (39) dan (40) membentuk pasangan Transformasi Fourier Diskret (DFT),
yaitu,
( ) =
1 [ ].
N
N
Σ
Σ
−
=
−
=
−
=
1
0
x n e
(2 / )
1
0
(2 / )
X k
[ ] ( ).
n
jkn N
N
n
jkn N
x n X k e
π
π
.......................................................................(41)