Dokumen tersebut membahas tentang integral garis, integral lipat dua dan tiga, serta metode penghitungan integral garis menggunakan metode Riemann. Metode Riemann melibatkan partisi interval dan penjumlahan Riemann untuk mendekati integral garis. Teorema integral garis memberikan hubungan antara kerja medan gaya konservatif dengan perbedaan fungsi potensial di titik awal dan akhir kurva.

1. 4. INTEGRAL GARIS
KPB 1

2. KPB 2
Pendahuluan
Daerah integrasi
[ , ]a b ( )
b
a
f x dx∫
Integral
2
{( , )}D x y R= ⊂ ( , )
D
f x y dA∫∫
3
{( , , )}S x y z R= ⊂
( , , )
S
f x y z dV∫∫∫
Kurva C di ruang
Kurva C di bidang
( , )
C
f x y dS∫
( , , )
C
f x y z dS∫
Integral fungsi satu peubah
Integral lipat dua
Integral lipat tiga
Integral garis di bidang
Integral garis di ruang

3. KPB
Integral Garis
( ) , ( ) ,x x t y y t a t b= = ≤ ≤
Misal fungsi ( , )z f x y= terdefinisi pada kurva mulus C di bidang
( , ) ?
C
f x y dS =∫
(Integral Garis dari f(x,y) sepanjang kurva C).
dengan persamaan parameter:
3

4. KPB
Langkah
1. Partisi [a,b] menjadi n bagian, dengan titik-titik pembagian
btttta no =<<<<= ...21
a b
● ●● ●
1t it1−it 1−nt
Partisi pada [a,b]
Paritisi pada kurva
●1Q
●
● ●
●oQ
1−iQ iQ
nQ
misal 1
max i
i n
t
≤ ≤
∆ = ∆
4

5. KPB 5
2. Ambil ( , )i ix y pada busur ii QQ 1−
3. Bentuk jumlah Riemann
1
( , ) ,
n
i i i
i
f x y Si S
=
∆ ∆∑ adalah panjang busur ii QQ 1−
4. Jika 0∆ → diperolah
0
1
lim ( , )
n
i i
i
f x y Si
∆ →
=
∆∑
Jika limit ini ada maka f(x,y) terintegralkan sepanjang C, dan disebut
Integral garis f sepanjang C.
0
1
( , ) lim ( , )
n
i i
iC
f x y dS f x y Si
∆ →
=
= ∆∑∫

6. KPB
1−iQ
iQis∆
iw∆
is∆ panjang busur ii QQ 1−
iw∆ panjang tali busur ii QQ 1−
ii ws ∆≈∆
Panjang busur dihampiri dengan panjang tali busur
ix∆
iy∆
22
)()( ii yx ∆+∆=
2 2
1 1[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]i i i ix t x t y t y t− −= − + −
Dengan menggunakan teorema nilai rata-rata untuk
turunan, terdapat sehingga),(,ˆ 1 iiii tttt −∈
1( ) ( ) '( )i i i ix t x t x t t−− = ∆
1
ˆ( ) ( ) '( )i i i iy t y t y t t−− = ∆
?is∆ =
6

7. KPB 7
dengan 1−−=∆ iii ttt
maka
2 2
ˆ[ '( ) ] [ '( ) ]i i i i iS x t t y t t∆ = ∆ + ∆
2 2ˆ[ '( )] [ '( )]i i ix t y t t= + ∆
2 2
0
1
ˆ( , ) lim ( , ) [ '( )] [ '( )]
n
i i i i i
iC
f x y dS f x y x t y t t
∆ →
=
= + ∆∑∫
Sehingga
2 2
( , ) ( ( ), ( )) ( '( )) ( '( ))
b
C a
f x y dS f x t y t x t y t dt= +∫ ∫

8. KPB 8
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
( , , ) ( ), ( ), ( ) '( ) '( ) '( )
b
C a
f x y z dS f x t y t z t x t y t z t dt= + +∫ ∫
1. Integral Garis di bidang
Misal persamaan parameter kurva mulus C di bidang
( ) , ( ) ,x x t y y t a t b= = ≤ ≤
( ) ( ) ( )
2 2
( , ) ( ), ( ) '( ) '( )
b
C a
f x y dS f x t y t x t y t dt= +∫ ∫maka
2. Integral Garis di ruang
Misal persamaan parameter kurva mulus C di ruang
( ) , ( ) , ( ) ,x x t y y t z z t a t b= = = ≤ ≤
maka

9. KPB
9
Sifat-sifat integral garisSifat-sifat integral garis
1 2
( , ) ( , ) ( , ) ... ( , )
nC C C C
f x y dS f x y dS f x y dS f x y dS= + + +∫ ∫ ∫ ∫
( , ) ( , )
C C
f x y dS f x y dS
−
= −∫ ∫
C1
C2
A
BCn1. Jika 1 2 ... kC C C C= ∪ ∪ ∪ maka
2. Jika C− adalah kurva yang berlawanan arah dengan C,maka

10. KPB
10
ContohContoh
1. Hitung ,C adalah kurva x = 3t; y = t3
; 0 ≤ t ≤ 1( )∫ +
C
dSyx3
Jawab.
( )∫ +
C
dSyx3
( )( ) ( )∫ ++=
1
0
2233
333 dtttt
∫ +=
1
0
43
9928 dttt
∫ +=
1
0
43
184 dttt
( )
1
0
2/34
1
6
1
84 





+= t
( )( ) 1
0
2/34
114 t+= ( )12214 −=
2
'( ) 3, '( ) 3x t y t t= =

11. KPB 11
2. Hitung , C adalah terdiri dari busur parabola( )∫C
dSx2
y=x2
dari (0,0) ke (1,1) diikuti oleh ruas garis vertikal
dari (1,1) ke (1,2).
C1
C2
(1,1)
(1,2)
Jawab.
Untuk C1: (0,0)  (1,1) , berupa busur
Persamaan parameter C1:
misalkan x = t  y = t2
( )
1
2
C
x dS∫
Sehingga
( )
1
2
0
2 1 2t t dt= +∫
, 0≤ t ≤1
1
2
0
2 1 4t t dt= +∫
2
y x=
'( ) 1 , '( ) 2x t y t t= =

12. KPB
12
( )∫
1
2
C
dSx
1
2
0
2 1 4t t dt= +∫
( )
13/ 22
0
1 2
. 1 4
4 3
t= +
( )155
6
1
−=
Untuk C2: (1,1)  (1,2)
(berupa ruas garis)
Persamaan parameter C1:
misalkan
( )
2
2
C
x dS∫
Sehingga
2
2
1
2 0 1 dt= +∫
1≤ t ≤2
2
1
2 2(2 1) 2t= = − =
Jadi,
( ) ( ) ( )
1 2
2 2 2
C C C
x dS x dS x dS= +∫ ∫ ∫
( ) 2155
6
1
+−=
( )1155
6
1
+=
x = 1  y = t,
'( ) 0 , '( ) 1x t y t= =

13. KPB
13
LatihanLatihan
1. Hitung , C adalah setengah lingkaran satuan( )2
2
C
x y dS+∫
2. Hitung ( )∫ +
C
dSycosxsin
3. Hitung ( )2 9
C
x z dS+∫
2 2
1x y+ =
bagian atas.
, C adalah ruas garis dari (0,0) ke ( ,2 ).π π
, C adalah kurva
2 3
, , ,0 1x t y t z t t= = = ≤ ≤

14. 14
KerjaKerja
Misalkan ˆ ˆ( , ) ( , ) ( , )F x y M x y i N x y j= +
r
adalah gaya yang bekerja pada
pada suatu titik (x,y) di bidang.
Akan dicari: Berapa kerja (W) yang dilakukan oleh gaya F untuk
memindahkan sebuah partikel menyelusuri kurva C dari A ke B?
A B
r(t)
F
T
Misal ˆ ˆr xi yj= +
r
adalah vektor posisi Q(x,y)
Q
vektor singgung satuan di Q
dr
T
ds
=
rr
KPB

15. KPB
15
Maka . cosF T F T θ=
r r r r
adalah komponen singgung F di Q.
Kerja yang dilakukan oleh F untuk memindahkan partikel sejauh ∆s adalah
Kerja yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan partikel dari A ke B adalah
ˆ ˆ ˆ ˆdr dx dy
i j dr dxi dy j
dt dt dt
= + ⇒ = +
r
r
.W F T s∆ = ∆
r r
. . .
C C C
dr dt
W F T ds F ds F dr
dt ds
= = =∫ ∫ ∫
rr r r r r
diketahui
'( )
'( )
dr dr dt r t
T
ds dt ds r t
= = =
r r rr
r

16. KPB 16
( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) ( , ) .
( , ) ( , )
C
C
W M x y i N x y j dxi dy j
W M x y dx N x y dy
= + +
= +
∫
∫
Jadi, didapat
Dengan cara yang sama untuk
ˆˆ ˆ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z M x y z i N x y z j P x y z k= + +
r
( , , ) ( , , ) ( , , )
C
W M x y z dx N x y z dy P x y z dz= + +∫
gaya yang bekerja di ruang, maka

17. KPB 17
3 3 2 2 3ˆ ˆ( , ) ( ) ; : , , 1 0F x y x y i xy j C x t y t t= − + = = − ≤ ≤
r
Contoh:
1. Tentukan kerja yangg dilakukan oleh medan gaya F untuk memindahkan
partikel sepanjang kurva C :
2
; 2 , 3
C
W M dx N dy dx tdt dy t dt= + = =∫
( )3 3 2
C
x y dx xy dy= − +∫
( ) ( )( ) ( )
0
3 3 22 3 2 3 2
1
2 3t t t dt t t t dt
−
= − +∫
Jawab:

18. KPB 18
( )
0
7 10
1
2t t dt
−
= +∫
( )
0
7 10 10
1
2 2 3W t t t dt
−
= − +∫
0
8 11
1
1 1
4 11
t t
−
= +
1 1 7
.
4 11 44
− 
= − − = ÷
 

19. KPB 19
2. Hitung integral garis
2
,
C
ydx x dy+∫ C adalah kurva dengan
2
2 , 1 ; 0 2x t y t t= = − ≤ ≤
2
C
y dx x dy+∫ ( ) ( )
2
22
0
1 2 2 2t dt t t dt= − +∫
( )
2
2 3
0
2 2 8t t dt= − +∫
2
3 4
0
2
2 2
3
t t t= − +
324
3
16
+−=
16 100
28 .
3 3
= + =
Jawab: 2 , 2dx dt dy tdt= =

20. KPB 20
LatihanLatihan
1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya
ˆˆ ˆ( , , ) (2 ) 2 ( )F x y z x y i z j y z k= − + + −
r
dalam memindahkan partikel sepanjang C, dimana
C adalah ruas garis dari (0,0,0) ke (1,1,1).
2. Hitung integral garis
2
C
ydx x dy+∫ dengan kurva C adalah ruas garis
dari (1,1) ke (3,-1).
3. Hitung .
C
F dr∫
r r
dengan 2 2ˆ ˆF xy i xy j= +
r
sepanjang
a. C = C1 U C2
b. C = C3
C1
C2
C3
(0,2) (3,2)
(3,5)
x
y

21. Integral Garis Bebas LintasanIntegral Garis Bebas Lintasan
Hitung .
C
F dr∫
r r
dengan ˆ ˆF yi xj= +
r
sepanjang lintasan
a. C garis y = x dari (0,0) ke (1,1)
b. C kurva y = x2
dari (0,0) ke (1,1)
c. C kurva y = x3
dari (0,0) ke (1,1)
Pendahuluan
Bandingkan ketiga hasil yang diperoleh !.
KPB 21

22. Teorema A . Teorema Dasar Integral Garis
Misalkan ˆ ˆ( , ) ( , ) ( , )F x y M x y i N x y j= +
r
dengan C adalah kurva mulus sepotong-sepotong dengan
titik pangkal (x0,y0) dan titik ujung (x1,y1).
Jika ( , ) ( , )F x y f x y= ∇
r r
maka
1 1 0 0. ( , ) ( , )
C
F dr f x y f x y= −∫
r r
KPB 22

23. disebut gaya konservatif dan f disebut fungsi potensial dariF
r
Contoh:
Terlihat bahwa
Jika ( , ) ( , )F x y f x y= ∇
r r
maka
. (1,1) (0,0) 1.1 0.0 1.
C
F dr f f= − = − =∫
r r
ˆ ˆF yi xj= +
r
dengan C kurva dari (0,0) ke (1,1).
ˆ ˆ ( )F yi xj xy= + = ∇
r r
ˆ ˆf f
f i j
x y
∂ ∂
∇ = +
∂ ∂
r
fungsi potensial.
F
r
( , ) .f x y xy⇒ =
Maka
Kita katakan, F
r
konservatif, ( , )f x y xy=
KPB 23

24. 2. Jika konservatif, bagaimana memperoleh fungsi potensialF
r
F
r
Masalah :
1. Bagaimana mengetaui bahwa konservatif ?
( , )?f x y
KPB 24

25. Teorema B
Misalkan ˆˆ ˆ ,F M i N j P k= + +
r
maka
F
r
konservatif
atau jika dan hanya jika
0.Curl F rot F⇔ = =
r r
, ,
N M P N M P
x y y z z x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Khusus jika ˆ ˆ,F M i N j= +
r
maka
F
r
konservatif .
N M
x y
∂ ∂
⇔ =
∂ ∂
KPB 25

26. 1. Diketahui
a. Tunjukkan bahwa F konservatif, dan tentukan fungsi potensial f.
b. Hitung
( )3 2 2ˆ ˆ2 1 3F xy i x y j= + +
r
.
C
F dr∫
r r
dengan C sebarang kurva dari (1,4) ke (3,1).
Jawab.
a. (i) F
r
Konservatif ⇔
M N
y x
∂ ∂
=
∂ ∂
2
6
N
x y
x
∂
=
∂
2
6
M
xy
y
∂
=
∂
⇒
⇒
M N
y x
∂ ∂
=
∂ ∂
F
r
konservatifJadi
(ii) ( )3 2 2ˆ ˆ2 1 3F xy i x y j= + +
r
ˆ ˆf f
i j f
x y
∂ ∂
= + =∇
∂ ∂
r
3
2
f
x y
x
∂
=
∂
2 2
1 3
f
x y
y
∂
= +
∂
……. (1) ……. (2)
Contoh:
3
2M xy=
2 2
1 3N x y= +
KPB 26

27. 3
( , ) 2f x y x y dx=∫
2 3
( , ) ( )f x y x y C y= + ……. (3)
Integralkan (1) terhadap x, diperoleh
Turunkan (3) terhadap y, diperoleh
2 2
3 '( )
f
x y C y
y
∂
= +
∂
……. (4)
Dari (2) dan (4), diperoleh
2 2 2 2
3 '( ) 1 3
f
x y C y x y
y
∂
= + = +
∂
'( ) 1C y =
( )C y y C= +
Jadi fungsi potensialnya adalah
2 3
( , ) .f x y x y y C= + +
KPB 27

28. .
C
F dr =∫
r r
( )
(3,1)
3 2 2
(1,4)
2 1 3x y dx x y dy+ +∫
b. Karena
(3,1) (1, 4)f f= −
( ) ( )2 3 2 3
3 .1 1 1 .4 4= + − +
10 68 58.= − =−
F
r
konservatif, maka
KPB 28

29. 2. Diketahui
a. Tunjukkan bahwa F konservatif, dan tentukan fungsi potensiaal f
b. Hitung
( ) ( ) ˆˆ ˆ( , , ) cos sinx x
F x y z e y yz i xz e y j xy k= + + − +
r
.
C
F dr∫
r r
dengan C sebarang kurva dari (0,0,0) ke (1,0,1).
Jawab.
a. (i) F
r
konservatif ⇔
M N
y x
∂ ∂
=
∂ ∂
sin ,xN
e y z
x
∂
=− +
∂
sin ,xM
e y z
y
∂
=− +
∂⇒
⇒
M N
y x
∂ ∂
=
∂ ∂
F
r
konservatif .Jadi
N
x
z
∂
=
∂
M
y
z
∂
=
∂
Sehingga diperoleh, bahwa
⇒
P
x
y
∂
=
∂
,
P
y
x
∂
=
∂
,
P M
x z
∂ ∂
=
∂ ∂
,
P N
y z
∂ ∂
=
∂ ∂
,
P M
x z
∂ ∂
=
∂ ∂
,
P N
y z
∂ ∂
=
∂ ∂
P xy=
sinx
N xz e y= −
cosx
M e y yz= +
KPB 29

30. (ii) Menentukan fungsi potensial f
( ) ( ) ˆˆ ˆcos sinx x
F e y yz i xz e y j xy k= + + − +
r
ˆˆ ˆf f f
i j k f
x y y
∂ ∂ ∂
= + + =∇
∂ ∂ ∂
r
cosxf
e y yz
x
∂
= +
∂
sinxf
xz e y
y
∂
= −
∂
……. (1) ……. (2)
f
x y
z
∂
=
∂
……. (3)
( )( , , ) cosx
f x y z e y yz dx= +∫
1( , , ) cos ( , )x
f x y z e y xyz C y z= + + ……. (4)
Integralkan (1) terhadap x, diperoleh
Turunkan (4) terhadap y, diperoleh
1( , )
sinx C y zf
e y xz
y y
∂∂
= − + +
∂ ∂
……. (5)
KPB 30

31. Dari (2) dan (5), diperoleh
1( , )
sin sinx xC y zf
e y xz xz e y
y y
∂∂
= − + + = −
∂ ∂
1 ( , )
0
C y z
y
∂
=
∂
1 2( , ) ( )C y z C z⇒ = ……. (6)
2( , , ) cos ( )x
f x y z e y xyz C z= + + ……. (7)
Masukan (6) ke (4), diperoleh
Turunkan (7) terhadap z, diperoleh
2 '( )
f
xy C z
z
∂
= +
∂
……. (8)
Dari (3) dan (8), diperoleh 2 '( )
f
xy C z xy
y
∂
= + =
∂
2 '( ) 0C z =
2 ( )C z C= ……. (9)
31

32. .
C
F dr =∫
r r
( ) ( )
(1,0,1)
(0,0,0)
cos sinx x
e y yz dx xz e y dy xy dz+ + − +∫b.
(1, 0,1) (0, 0,0)f f= −
( ) ( )1 0
cos 0 1.0.1 cos 0 0e e= + − +
1e= −
( , , ) cosx
f x y z e y xyz C= + +
Masukan (9) ke (7), diperoleh fungsi potensial
KPB 32

33. Penyataan berikut ekivalenPenyataan berikut ekivalen
1. F f=∇
r r
untuk suatu f (F konservatif)
2. .
C
F dr∫
r r
bebas lintasan (bebas tapak)
3. . 0
C
F dr =∫
r r
Ñ
Sudah Paham??
KPB 33

34. LatihanLatihan
A. Periksa apakah F konservatif? Jika ya, tentukan f ( )F f= ∇
r r
( ) ( )ˆ ˆ1. 10 7 7 2F x y i x y j= − − −
r
( ) ( )2 2 2ˆ ˆ2. 12 3 5 6 3 5F x y y i xy y x j= + + + − +
r
( ) ( )2 2 2ˆ ˆ3. 4 cos( ) 8 cos( )F y xy i x xy j= +
r
( ) ( )ˆ ˆ4. 2 2y x y x
F e ye i xe e j= − + −
r
( ) ( )2 2 ˆˆ ˆ5. 2 2 cosF xy z i x j xz z kπ π= + + + +
r
KPB 34

35. B. Hitung integral garis berikut:
( ) ( )
(3,1)
2 2
( 1,2)
6. 2 2y xy dx x xy dy
−
+ + +∫ ( ) ( )
(1, )
2
(0,0)
7. sin cosx x
e y dx e y dy
π
+∫
( ) ( ) ( )
(1,1,1)
3 2 2 2
(0,0,0)
8. 6 2 9 4 1xy z dx x y dy xz dz+ + + +∫
( ) ( ) ( )
( , ,0)
(0,0,0)
10. cos 2 sin 2 2x yz dx y xz dy z xy dz
π π
+ + + + +∫
( ) ( ) ( )
(1,1,4)
(0,0,0)
9. x y
yz e dx xz e dy xy dz−
− + + +∫
( ) ( ) ( )2 2
11. 3 6 2 3 1 4 ,
C
x yz dx y xz dy xyz dz− + + + −∫
C adalah ruas garis dari (0,0,0) ke (1,1,1).
KPB 35

36. Teorema Green di BidangTeorema Green di Bidang
• Misalkan C kurva mulus sepotong-potong, tertutup sederhanatertutup sederhana
,orientasi positif, dan S adalah daerah di bidang XY yang dibatiasi oleh
C. Jika M(x,y) dan N(x,y) kontinu dan mempunyai turunan kontinu pada
S dan batasnya C maka
Bukti :
Perhatikan
C S
N M
M dx N dy dA
x y
 ∂ ∂
+ = − ÷
∂ ∂ 
∫ ∫∫Ñ
C = C1 U C2 U C3 U C4
S = {(x,y)|a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f(x)}
x
y
S
C1
C4
C3
C2
y=g(x)
y=f(x)
a b
1 2 3 4C C C C C
M dx M dx M dx M dx M dx= + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫Ñ
( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))
b a b b
C a b a a
M dx M x g x dx M x f x dx M x f x dx M x g x dx
 
= + = − − 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫Ñ
( ) ( )
( ) ( )
( , )
f x f xb b
C a g x a g x S
M x y M M
M dx dydx dA dA
y y y
 ∂ ∂ ∂
= − = − = − 
∂ ∂ ∂  
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫Ñ
KPB 36

37. Sama halnya dengan memperlakukan S sebagai himpunan
x sederhana, kita peroleh
Sehingga diperoleh
C S
N
N dy dA
x
∂
=
∂∫ ∫∫Ñ
C S
N M
M dx N dy dA
x y
 ∂ ∂
+ = − ÷
∂ ∂ 
∫ ∫∫Ñ
KPB 37

38. ContohContoh
Hitung
2
4
C
y dx xydy+∫Ñ dengan C adalah kurva tertutup yang terdiri
dari busur parabola y = x2
dari titik asal ke (2,4) dan segmen garis dari
(2,4) ke titik (0,0).
Jawab.
Akan kita coba mengerjakan dengan dua cara, yaitu dengan
Integral garis biasa dan teorema Green.
1. Integral garis
C1
C2
(2,4)
(0,0)
Untuk C1: (0,0)  (2,4) , berupa busur y = x2
.
1
2
4
C
y dx xy dy+∫
Sehingga
( )
2
22 2
0
4. . .2x dx x x x dx= +∫
( )
2
4 4
0
8x x dx= +∫
KPB 38

39. 2
4
0
9 x dx= ∫
2
5
0
9
5
x=
288
.
5
=
Untuk C2: (2,4)  (0,0) (berupa ruas garis)
Persamaan parameter C2 :
0≤ t ≤1x = 2 – 2t, y = 4 – 4t
Sehingga
2
2
4
C
y dx xy dy+∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
2
0
4 4 2 4 2 2 4 4 4t dt t t dt= − − + − − −∫
( )
1
2
0
160 320 160t t dt= − − +∫
KPB 39
2 ; 4dx dt dy dt= − = −

40. Jadi,
288 160
5 3
= −
64
15
=
2
2
4
C
y dx xy dy+∫ ( )
1
2
0
160 320 160t t dt= − − +∫
1
2 3
0
320 160
160
2 3
t t t
 
= − − + ÷
 
160
3
= −
1 2
2 2 2
4 4 4
C C C
y dx xy dy y dx xy dy y dx xy dy+ = + + +∫ ∫ ∫
KPB 40

41. 2. Teorema Green.
4 4
N
N xy y
x
∂
= → =
∂
2
2
M
M y y
y
∂
= → =
∂
2
4
C S
N M
y dx xy dy dA
x y
 ∂ ∂
+ = − ÷
∂ ∂ 
∫ ∫∫Ñ
Dengan:
( )
2
2 2
0
4 2
x
x
y y dy dx= −∫ ∫
2
2
22
0
x
x
y dx= ∫
2
2 4
0
4x x dx= −∫
2
3 5
0
4 1
3 5
x x= −
15
64
5
32
3
32
=−=
y=x2
y=2x
(2,4)
(0,0)
x
y
SS
2
4
KPB 41
{ }2
( , ) | 0 2, 2S x y x x y x= ≤ ≤ ≤ ≤

42. LatihanLatihan
1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya
2ˆ ˆ( , ) (sin ) ( )y
F x y x y i e x j= − + −
r
dalam menggerakkan suatu obyek
mengitari satu kali x2
+ y2
= 4 dalam arah positif.
2. Hitung
2
2
C
xy dx y dy+∫Ñ dengan C kurva tertutup yang terbentuk oleh
y = x/2 dan x = y2
antara (0,0) dan (4,2)
3. Hitung ( )
C
xy dx x y dy+ +∫Ñ ,C segitiga yg titik-titik sudutnya (0,0),(2,0),(0,1).
4. Hitung dengan C segitiga dengan titik sudut
(0,0), (1,2), (0,2).
KPB 42
2
4 2
C
x y dx y dy+∫Ñ

43. 5. Hitung 3 2
( 2 ) ( sin )x
C
e y dx x y dy+ + +∫Ñ dengan C persegipanjang yg titik
titik sudutnya (2,1), (6,1), (6,4) dan (2,4).
6. Hitung
2 2
( 4 ) (2 3 )
C
x x y dx x y dy+ + +∫Ñ dengan C ellips
9x2
+ 16 y2
= 144
KPB 43
7. Hitung
2 2
( ) 3 ;x
C
e x y dx x ydy− +∫Ñ
dengan C kurva tertutup yang dibatasi oleh
2 2
, .y x x y= =

44. KPB 44
Bentuk vektor Teorema Green
n
r
T
r
P
C
R
0P
Misalkan persamaan vektor kurva C: ( )r s xi yj= +
r rr
dengan s panjang
busur dari 0 keP P
( ) '( )
dx dy
T s r s i j
ds ds
= = +
r r rr
Vektor singgung satuan di P.

45. KPB 45
( )
dy dx
n s i j
ds ds
= −
r rr Vektor normal satuan di P ( . 0)T n =
r r
Jika ( , ) ( , ) ( , )F x y M x y i N x y j= +
r r r
,maka
1. . ( ).
C C
dy dx
F nds Mi Nj i j ds
ds ds
 
= + − ÷
 
∫ ∫
r r r r rr
Ñ Ñ
C
Mdy Ndx= −∫Ñ
C
Ndx Mdy= − +∫Ñ
R
M N
dA
x y
 ∂ ∂
= + ÷
∂ ∂ 
∫∫ ( dengan teorema Green)

46. KPB 46
Ingat bahwa, .
M N
divF F
x y
∂ ∂
= ∇ = +
∂ ∂
r r r
Maka kita peroleh,
. .
C R R R
M N
F nds divF dA F dA dA
x y
 ∂ ∂
= = ∇ = + ÷
∂ ∂ 
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
r r r rr
Ñ
Ini disebut Divergensi Gauss pada bidang
Arti fisis dari .
C
F nds∫
r r
Ñ adalah jumlah fluks F yang melintasi C.

47. KPB 47
( )2. . .
C C
dx dy
F T ds Mi Nj i j
ds ds
 
= + + ÷
 
∫ ∫
r r r r r r
Ñ Ñ
R
N M
dA
x y
 ∂ ∂
= − ÷
∂ ∂ 
∫∫
C
Mdx Ndy= +∫Ñ
(dengan teorema Green)
Ingat bahwa,
0
i j k
N M
curl F F k
x y z x y
M N
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= ∇× = = − ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
rr r
rr r r

48. KPB 48
Maka kita peroleh,
. ( ).
C R R
N M
F T ds curl F k dA dA
x y
 ∂ ∂
= = − ÷
∂ ∂ 
∫ ∫∫ ∫∫
rr r r
Ñ
Ini disebut Teorema Stokes pada bidang
Arti fisis dari .
C
F T ds∫
r r
Ñ adalah sirkulasi F sekeliling C.

49. KPB 49
Contoh:
1. Gunakan teorema Green untuk menghitung .
C
F n ds∫
r r
Ñ .
C
F T ds∫
r r
Ñdan
jika 3 3
F y i x j= +
r r r
dengan C lingkaran satuan orientasi positif.
Jawab;
3 2
0 , 3
M M
M y y
x y
∂ ∂
= → = =
∂ ∂
3 2
0, 3
N N
N x x
y x
∂ ∂
= → = =
∂ ∂
) . 0 0
C R R
M N
a F n ds dA dA
x y
∂ ∂
= + = =
∂ ∂∫ ∫∫ ∫∫
r r
Ñ

50. KPB 50
{ }) . ; ( , ) | 0 1,0 2
C R
N M
b F T ds dA R x y r
x y
θ π
∂ ∂
= − = ≤ ≤ ≤ ≤
∂ ∂∫ ∫∫
r r
Ñ
2 2
3( )
R
x y dA= −∫∫
2 1
2 2 2 2
0 0
3 ( cos sin )r r rdr d
π
θ θ θ= −∫ ∫
2 1
3
0 0
3 ( cos2 )r dr d
π
θ θ= ∫ ∫
2
4
0
1 21 3 1
3 cos 2 sin 2
0 04 4 2
r
π
π
θ θ= =∫
0.=

51. KPB 51
2 2
( ) 2F x y i xyj= + +
r r r
2. Gunakan teorema Green untuk menghitung .
C
F n ds∫
r r
Ñ .
C
F T ds∫
r r
Ñdan
Jika ; C bujur sangkar dengan titik sudut
(0,0),(1,0), (1,1), (0,1).
Jawab: 2 2
2 , 2
M M
M x y x y
x y
∂ ∂
= + → = =
∂ ∂
2 2 , 2
N N
N xy y x
x y
∂ ∂
= → = =
∂ ∂
1 1
0 0
) . 4
C R
M N
a F n ds dA x dxdy
x y
∂ ∂
= + =
∂ ∂∫ ∫∫ ∫∫
r r
Ñ
1 1
2
0 0
1
2 2 2.
0
x dy dy= = =∫ ∫

52. KPB 52
) .
C R
N M
b F T ds dA
x y
∂ ∂
= −
∂ ∂∫ ∫∫
r r
Ñ
2 2 0.
R
y y dA= − =∫∫
Latihan
A. Gunakan teorema Green untuk menghitung integral garis berikut:
2
1. 2
C
xy dx y dy+∫Ñ , C adalah kurva tertutup yang dibentuk oleh
,
2
x
y y x= = antara (0,0) dan (4,2).

53. KPB 53
2.
C
y dx x dy+∫Ñ , C kurva tertutup yang dibentuk oleh y = 0, x = 2,
2
2
x
y =
3. ( )
C
xy dx x y dy+ +∫Ñ , C segitiga dengan titik sudut (0,0), (2,0), (0,1).
, C persegipanjang dengan titik sudut3 2
4. ( 2 ) ( sin )x
C
e y dx x y dy+ + +∫Ñ
(2,1), (6,1), (6,4), (2,4).
B. Gunakan bentuk vektor Teorema Green untuk menghitung
. . , . .
C
a F n ds b F TdS∫ ∫
r r rr
Ñ Ñ
2 2
1. F y i x j= +
r r r
, C adalah batas dari bujur sangkar dengan titik sudut
(0,0), (1,0), (1,1), (0,1).
2. F xi yj= +
r r r
, C adalah lingkaran satuan orientasi positif.