1. Iterasi Gauss Seidel
A. Pengertian
Eliminasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi hingga
diperoleh nilai-nilai yang berubah.
Bila diketahui persamaan linier simultan:
a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1
a 21 x1  a 22 x 2    a 2 n x n  b2

a n1 x1  a n 2 x 2    a nn x n  bn
Berikan nilai awal dari setiap xi (i  1 n) kemudian sistem persamaan linier
tersebut akan menjadi :
x1 
1
b1  a12 x2  a13 x3    a1n xn 
a11
x2 
1
b2  a21 x2  a23 x3    a2 n xn 
a22

xn 
1
bn  an1 x1  an 2 x2    ann 1 xn 1 
a nn
B. Teknik Penyelesaian :
 Hitung nilai-nilai xi (i  1 n) dari persamaan-persamaan di atas.
 Lakukan sehingga nilai-nilai xi tersebut mendekati nilai xi pada iterasi
sebelumnya, dengan batas toleransi tertentu.
 Proses iterasi akan berhenti ketika selisih dari xi dengan xi 1 kurang dari
nilai toleransi error yang ditentukan.
C. Contoh Soal :
1. Tentukan solusi SPL
4x  y  z  7
4 x  8 y  z  21
 2 x  y  5 z  15

2. Jawab :
Berikan nilai awal x0  0, y 0  0, z 0  0
Susun persamaan menjadi :
7 yz
x
4
21  4 x  z
y
8
15  2 x  y
z
5
Lakukan Proses Iterasi
Iterasi 1 :
700
x1   1.75
4
21  4(1.75)  0
y1   3 .5
8
15  2(1.75)  3.5
z1  3
5
Iterasi 2 :
7  3 .5  3
x2   1.875
4
21  4(1.875)  3
y2   3.9375
8
15  2(1.875)  3.9375
z2   2.9625
5
Iterasi 3:
7  3.9375  2.9625
x3   1.99375
4
21  4(1.99375)  2.9625
y3   3.992188
8
15  2(1.99375)  3.992188
z3   2.999063
⋯
5

3. x8  2
y8  4
z8  3
Terlihat bahwa selisih nilai x, y, z pada iterasi ke-7 dan ke-8 semakin kecil
Sehingga x =2, y=4 dan z=3
k xk yk zk
0 0 0 0
1 1.75 3.5 3
2 1.875 3.9375 2.9625
3 1.99375 3.992188 2.999063 7 yz
4 1.998281 3.999023 2.999508 x 
5 1.999879 3.999878 2.999976
4
6 1.999975 3.999985 2.999993 21  4 x  z
7 1.999998 3.999998 3
y 
8
8 2 4 3
9 2 4 3 15  2 x  y
z 
10 2 4 3 5