Dokumen ini menjelaskan metode eliminasi Gauss-Seidel yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier melalui proses iterasi. Metode ini mencakup langkah-langkah untuk menghitung nilai-nilai variabel hingga mencapai toleransi tertentu, serta memberikan contoh soal dengan langkah penyelesaian. Proses iterasi berakhir ketika perubahan nilai antar iterasi menjadi sangat kecil.

1. Iterasi Gauss Seidel
A. Pengertian
Eliminasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi hingga
diperoleh nilai-nilai yang berubah.
Bila diketahui persamaan linier simultan:
a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1
a 21 x1  a 22 x 2    a 2 n x n  b2

a n1 x1  a n 2 x 2    a nn x n  bn
Berikan nilai awal dari setiap xi (i  1 n) kemudian sistem persamaan linier
tersebut akan menjadi :
x1 
1
b1  a12 x2  a13 x3    a1n xn 
a11
x2 
1
b2  a21 x2  a23 x3    a2 n xn 
a22

xn 
1
bn  an1 x1  an 2 x2    ann 1 xn 1 
a nn
B. Teknik Penyelesaian :
 Hitung nilai-nilai xi (i  1 n) dari persamaan-persamaan di atas.
 Lakukan sehingga nilai-nilai xi tersebut mendekati nilai xi pada iterasi
sebelumnya, dengan batas toleransi tertentu.
 Proses iterasi akan berhenti ketika selisih dari xi dengan xi 1 kurang dari
nilai toleransi error yang ditentukan.
C. Contoh Soal :
1. Tentukan solusi SPL
4x  y  z  7
4 x  8 y  z  21
 2 x  y  5 z  15

2. Jawab :
Berikan nilai awal x0  0, y 0  0, z 0  0
Susun persamaan menjadi :
7 yz
x
4
21  4 x  z
y
8
15  2 x  y
z
5
Lakukan Proses Iterasi
Iterasi 1 :
700
x1   1.75
4
21  4(1.75)  0
y1   3 .5
8
15  2(1.75)  3.5
z1  3
5
Iterasi 2 :
7  3 .5  3
x2   1.875
4
21  4(1.875)  3
y2   3.9375
8
15  2(1.875)  3.9375
z2   2.9625
5
Iterasi 3:
7  3.9375  2.9625
x3   1.99375
4
21  4(1.99375)  2.9625
y3   3.992188
8
15  2(1.99375)  3.992188
z3   2.999063
⋯
5

3. x8  2
y8  4
z8  3
Terlihat bahwa selisih nilai x, y, z pada iterasi ke-7 dan ke-8 semakin kecil
Sehingga x =2, y=4 dan z=3
k xk yk zk
0 0 0 0
1 1.75 3.5 3
2 1.875 3.9375 2.9625
3 1.99375 3.992188 2.999063 7 yz
4 1.998281 3.999023 2.999508 x 
5 1.999879 3.999878 2.999976
4
6 1.999975 3.999985 2.999993 21  4 x  z
7 1.999998 3.999998 3
y 
8
8 2 4 3
9 2 4 3 15  2 x  y
z 
10 2 4 3 5