Dokumen tersebut membahas tentang permutasi dan kombinasi, termasuk definisi, teorema, dan contoh soal latihan. Secara singkat, permutasi adalah jumlah urutan objek, sedangkan kombinasi adalah jumlah pemilihan objek tanpa memperhatikan urutannya. Rumus untuk menghitung jumlah permutasi dan kombinasi diberikan beserta buktinya.

1. Permutasi dan Kombinasi
Senin, 5 Maret 2018
MATA KULIAH : MATEMATIKA DISKRIT
Pengajar :
Heni Widayani, M.Si

2. Factorial
Definisi
Notasi ! (factorial), definisikan sebagai 0!=1, 𝑛 ≥ 1, 𝑛 ∈ ℤ
𝑛! = 1 × 2 × 3 × ⋯ × 𝑛
𝑛! disebut n faktorial.
Hitung
1. 5!
2.
7!
4!
3.
𝑛+2 !
𝑛!
4.
𝑛−2 !
𝑛+1 !

3. PERMUTASI
DEFINISI
Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛 adalah 𝑛 objek berbeda. Permutasi adalah
jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek.
TEOREMA
Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛 adalah 𝑛 objek berbeda, maka terdapat
sebanyak 𝑛! permutasi dari objek-objek tersebut.

4. Buktikan dengan induksi matematik bahwa jumlah permutasi 𝑟
elemen yang diambil dari himpunan 𝑛 elemen, 𝑃(𝑛, 𝑟) dapat
dihitung dengan rumus
𝑛!
𝑛−𝑟 !
!
TEOREMA
Jumlah susunan berbeda dari pemilihan 𝑟 objek yang diambil
dari 𝑛 objek disebut permutasi-r, dilambangkan dengan 𝑃(𝑛, 𝑟),
yaitu
𝑃 𝑛, 𝑟 = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 … 𝑛 − 𝑟 − 1 =
𝑛!
𝑛 − 𝑟 !
Dalam hal ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada objek
yang sama.

5. Latihan Soal
1. Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa ?
2. Tiga buah ujian dilakukan dalam sutau periode enam hari (Senin
sampai Sabtu). Berapa banyak pengaturan jadwal yang dapat
dilakukan sehingga tidak ada dua ujian atau lebih yang dilakukan
di hari yang sama?
3. Sebuah bioskop mempunyai jajaran kursi yang disusun per baris.
Tiap baris terdiri dari 6 kursi. Jika dua orang akan duduk, berapa
banyak pengaturan tempat duduk yang mungkin pada suatu baris?
4. Berapa banyak cara penyusunan 15-puzzle seperti contoh di bawah
ini !
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15

6. Permutasi dengan Perulangan
TEOREMA
Misalkan terdapat 𝑘 jenis objek: 𝑛1 tipe 1, 𝑛2 tipe 2,… 𝑛 𝑘 tipe 𝑘.
Maka banyak cara menyusun 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛 𝑘 objek adalah
𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛 𝑘 !
𝑛1! 𝑛2! … 𝑛 𝑘!
1. Berapa banyak kata yang dapat dibentuk dari huruf MASSACHUSETTS?
2. Berapa banyak kata sedemikian sehingga MASS selalu bersamaan?
3. 12 lembar karton akan diwarnai sehingga 3 di antaranya berwarna hijau, 2
berwarna merah, 2 berwarna kuning dan sisanya berwarna biru. Berapa
jumlah cara pengecatan?
4. Dalam berapa banyak cara angka 9 dalam dituliskan sebagai jumlah tiga
buah bilangan positif? (1+7+1 berbeda dengan 7+1+1)
5. Berapa banyak kata yang dapat dibentuk dari huruf AFFECTION,
sedemikian sehinggahuruf vocal tetap tidak berpindah posisi dan tidak
memperbolehkan kedua huruf F ditulis berurutan?

7. PERMUTASI SIKLIS
DEFINISI
Permutasi melingkar dari 𝑛 objek adalah penyusunan objek-objek
yang mengelilingi sebuah lingkaran (atau kurva tertutup
sederhana). Jumlah susunan objek yang mengelilingi lingkaran
adalah 𝑛 − 1 !

8. KOMBINASI
DEFINISI
Kombinasi 𝑟 elemen dari 𝑛 elemen adalah jumlah pemilihan yang
tidak terurut 𝑟 elemen yang diambil dari 𝑛 buah elemen
dilambangkan dengan

9. 1. Ada berapa cara kita dapat memilih 3 dari 4 elemen himpunan
𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}
2. Berapa banyak cara menyusun menus nasi goring tiga kali
seminggu untuk sarapan pagi ?
3. Sebuah koin yang mempunyai sisi A dan sisi B dilemparkan ke
atas sebanyak empat kali. Berapakah jumlah kemungkinan
munculnya sisi A sebanyak tiga kali?
4. Sebuah klub beranggotakan 8 pria dan 10 wanita. Berapa
banyak cara memilih panitia yang terdiri dari 6 orang dengan
jumlah wanita lebih banyak daripada pria?
5. Pandang sebuah bidang Cartesian dengan koordinat positif.
Tiap koordinatnya adalah (𝑥, 𝑦). Seekor semut bergerak dari
(0,0) ke titik A(m,n), m dan n>0. Lintasan yang dilalui semut
memiliki ketentuan sebagai berikut:
a. Dimulai dari titik asal (0,0)
b. Melangkah selalu sejajar sumbu X atau sumbu Y positif
c. Boleh membelok hanya pada titik-titik grid.
d. Berhenti di A

10. Kombinasi dengan perulangan
TEOREMA (De Moivre)
Misalkan 𝑛 adalah bilangan bulat positif. Banyak solusi bulat
positif dari
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥 𝑟 = 𝑛
adalah
𝐶(𝑛 − 1, 𝑟 − 1)
1. Pada persamaan 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 12, 𝑥𝑖 adalah bilangan bulat non
negative. Berapa jumlah kemungkinan solusinya?
2. Berapa banyak kemungkinan solusi persamaan pada soal 1, bila
disyaratkan 𝑥1 > 0,𝑥2 > 1,𝑥3 > 2, dan 𝑥4 ≥ 0?
3. 20 buah apel dan 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak
boleh mendapat lebih dari 1 buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali,
Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilakukan?
4. Dalam berapa banyak cara angka 9 dalam dituliskan sebagai jumlah tiga
buah bilangan positif? (1+7+1 berbeda dengan 7+1+1)?
5. Berapa banyak cara angka 100 dapat dituliskan sebagai jumlah dari
empat buah bilangan bulat positif?

11. COROLLARY
Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Banyak solusi bulat non negatif
untuk
𝑦1 + 𝑦2 + ⋯ + 𝑦𝑟 = 𝑛
adalah
𝑛 + 𝑟 − 1
𝑟 − 1
1. Tentukan banyak quadruples (a,b,c,d) dari bilangan bulat yang
memenuhi
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 100, 𝑎 ≥ 30, 𝑏 > 21, 𝑐 ≥ 1, 𝑑 ≥ 1
2. Tentukan banyak quadruples (a,b,c,d) dari bilangan bulat tak negative
yang memenuhi persamaan
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 ≤ 2001
3. Terdapat 5 orang dalam sebuah lift yang memiliki 8 lantai. Berapa
banyak cara mereka dapat memilih lantai untuk keluar dari lift?

12. Koefisien Binomial
TEOREMA (Teorema Binomial)
Misalkan 𝑥 dan 𝑦 adalah peubah, dan n adalah bilangan bulat tak negatif,
maka
𝑥 + 𝑦 2
=
𝑘=0
𝑛
𝐶(𝑛, 𝑘)𝑥 𝑛−𝑘
𝑦 𝑘
1. Tentukan suku keempat dari penjabaran perpangkatan (𝑥 + 𝑦)5
!
2. Jabarkan (3𝑥 − 2)3
3. Buktikan bahwa 𝑘=0
𝑛
𝐶 𝑛, 𝑘 = 2 𝑛
!
4. Buktikan Identitas Pascal
𝐶 𝑛, 𝑘 = 𝐶 𝑛 − 1, 𝑘 − 1 + 𝐶(𝑛 − 1, 𝑘) untuk bil.bulat 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛

13. Teorema Multinomial
Jika 𝑛, 𝑛1, 𝑛2, . . , 𝑛 𝑘 adalah bilangan bulat tak negative dan 𝑛 = 𝑛1 +
𝑛2 + ⋯ + 𝑛 𝑘, maka
𝑛
𝑛1, 𝑛2, . . , 𝑛 𝑘
=
𝑛!
𝑛1! 𝑛2! … 𝑛 𝑘!
Multinomial teorema berbentuk
(𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥 𝑘) 𝑛=
𝑛=𝑛1+𝑛2+⋯+𝑛 𝑘
𝑛1,𝑛2,..,𝑛 𝑘≥0
𝑛
𝑛1, 𝑛2, . . , 𝑛 𝑘
𝑥1
𝑛1
𝑥2
𝑛2
… 𝑥 𝑘
𝑛 𝑘
1. Berapakah koefisien dari suku 𝑥2 𝑦3 𝑧3 pada (𝑥 + 2𝑦 + 𝑧)8?
2. Berapakah koefisien suku 𝑥23 pada (1 + 𝑥5 + 𝑥9)23?