Dokumen membahas tentang permutasi, kombinasi, dan pembentukan solusi persamaan dengan batasan tertentu.

1. PERMUTASI & KOMBINASI
Minggu ke-10
MATA KULIAH : MATEMATIKA DISKRIT
Pengajar :
Heni Widayani, M.Si

2. Factorial
Definisi
Notasi ! (factorial), definisikan sebagai 0!=1, 𝑛 ≥ 1, 𝑛 ∈ ℤ
𝑛! = 1 × 2 × 3 × ⋯ × 𝑛
𝑛! disebut n faktorial.
Hitung
1. 5!
2.
7!
4!
3.
𝑛+2 !
𝑛!
4.
𝑛−2 !
𝑛+1 !
Jawab
1. 5!=5x4x3x2x1=120
2.
7!
4!
=
7×6×5×4!
4!
= 7 × 6 × 5 = 210
3.
𝑛+2 !
𝑛!
=
𝑛+2 𝑛+1 𝑛!
𝑛!
= 𝑛 + 2 (𝑛 + 1)
4.
𝑛−2 !
𝑛+1 !
=
𝑛−2 !
𝑛+1 𝑛 𝑛−1 𝑛−2 !
=
1
𝑛+1 𝑛 𝑛−1
Untuk n besar digunakan pendekatan Stirling
𝑛! = 2𝜋𝑛 𝑛 𝑛 𝑒−𝑛

3. Tentukan hasil pembagian dari
2𝑛 !
2 𝑛 × 1 × 3 × 5 × ⋯ × (2𝑛 − 3) × (2𝑛 − 1)
=
=
2𝑛 2𝑛 − 1 2𝑛 − 2 2𝑛 − 3 2𝑛 − 4 … 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
2 𝑛 × 1 × 3 × 5 × ⋯ × (2𝑛 − 3) × (2𝑛 − 1)
=
2𝑛 2𝑛 − 2 2𝑛 − 4 … 6 × 4 × 2
2 𝑛
=
2 𝑛 2 𝑛 − 1 2 𝑛 − 2 … 2 × 3 × 2 × 2 × 2 × 1
2 𝑛
=
2 𝑛 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 … × 3 × 2 × 1
2 𝑛
= 𝑛!

4. 𝑛!
𝑛 − 𝑟 !
Jabarkan dan sederhanakan bentuk pembagian dalam faktorial berikut
=
𝑛 × 𝑛 − 1 × 𝑛 − 2 × ⋯ × (𝑛 − 𝑟 − 1 ) × 𝑛 − 𝑟 !
𝑛 − 𝑟 !
dengan r≤ 𝑛
𝑛!
𝑛 − 𝑟 !
= 𝑛 × 𝑛 − 1 × 𝑛 − 2 × ⋯ × (𝑛 − 𝑟 − 1 )

5. PERMUTASI
DEFINISI
Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛 adalah 𝑛 objek berbeda. Permutasi adalah
jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek.
TEOREMA
Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛 adalah 𝑛 objek berbeda, maka terdapat
sebanyak 𝑛! permutasi dari objek-objek tersebut.

6. 1 2 3 n
n buah objek
1 2 3 r-1
diambil r buah objek, r ≤ 𝑛
nkemungkinan n-1 n-2 n-(r-2)
Banyak kemungkinan
𝑛 × 𝑛 − 1 × 𝑛 − 2 × ⋯ × 𝑛 − 𝑟 − 2 × 𝑛 − (𝑟 − 1) =
𝑛!
𝑛 − 𝑟 !
r
n-(r-1)
Urutan ke-

7. TEOREMA
Jumlah susunan berbeda dari pemilihan 𝑟 objek yang diambil
dari 𝑛 objek disebut permutasi-r, dilambangkan dengan 𝑃(𝑛, 𝑟),
yaitu
𝑃 𝑛, 𝑟 = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 … 𝑛 − 𝑟 − 1 =
𝑛!
𝑛 − 𝑟 !
Dalam hal ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada objek
yang sama.
Notasi lain untuk permutasi
nPr = P(n,r) = Pn
r = Pn,r

8. Latihan Soal
1. Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa ?
2. Tiga buah ujian dilakukan dalam sutau periode enam hari (Senin sampai
Sabtu). Berapa banyak pengaturan jadwal yang dapat dilakukan sehingga tidak
ada dua ujian atau lebih yang dilakukan di hari yang sama?
3. Sebuah bioskop mempunyai jajaran kursi yang disusun per baris. Tiap baris
terdiri dari 6 kursi. Jika dua orang akan duduk, berapa banyak pengaturan
tempat duduk yang mungkin pada suatu baris?
Urutan ke- 1 2 3 4 … 23 24 25
Kemungkinan
P(25,25)=25!
Ujian ke Satu Dua Tiga
Kemungkinan hari
P(6,3)=120
P(6,2)=30
Orang A B
Kemungkinan Kursi
25 24 23 22 3 2 1…
6 5 4
6 5

9. Berapa banyak cara penyusunan 15-puzzle seperti contoh di bawah ini !
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15
Terdapat 16 sel dengan 15 angka dan 1 sel kosong, maka kemungkinan penyusunannya
P(16,16)=16!

10. Permutasi dengan Perulangan
TEOREMA
Misalkan terdapat 𝑘 jenis objek: 𝑛1 tipe 1, 𝑛2 tipe 2,… 𝑛 𝑘 tipe 𝑘.
Maka banyak cara menyusun 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛 𝑘 objek adalah
𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛 𝑘 !
𝑛1! 𝑛2! … 𝑛 𝑘!

11. 1. Berapa banyak kata yang dapat dibentuk dari huruf MASSACHUSETTS?
Banyak huruf = n = 13
8 jenis M = 1 A = 2 S=4 C=1 H=1 U=1 E=1 T=2 Total = 13 huruf
Banyak kemungkinan
13!
1! 2! 4! 1! 1! 1! 1! 2!
=
13!
2! 4! 2!
2. Berapa banyak kata sedemikian sehingga MASS selalu bersamaan dari huruf
MASSACHUSETTS ?
8 jenis MASS = 1 A=1 C =1 H=1 U=1 S=2 E=1 T=2 Total = 10 huruf
Banyak kemungkinan
10!
1! 1! 1! 1! 1! 2! 1! 2!
=
10!
2! 2!

12. 3. Dalam berapa banyak cara angka 9 dalam
dituliskan sebagai jumlah tiga buah bilangan
positif? (1+7+1 berbeda dengan 7+1+1)
Jumlah 3
bil.positif
Banyak
kemungkinan
1+1+7 3!
2! 1!
= 3
1+2+6 3! = 6
1+3+5 3! = 6
1+4+4 3!
2! 1!
= 3
2+2+5 3!
2! 1!
= 3
2+3+4 3! = 6
3+3+3 3!
3!
= 1
Total
Kemungkinan
28
4. Berapa banyak kata yang dapat dibentuk dari huruf
AFFECTION, sedemikian sehingga huruf vocal tetap
tidak berpindah posisi dan tidak memperbolehkan
kedua huruf F ditulis berurutan?
A F F E C T I O N
Huruf vokal tetap
Permutasi huruf FFCTN =
5!
2!
= 60
Kemungkinan kedua huruf F ditulis berurutan yakni
FF_ _ _
_ _FF_
Banyak kemungkinan = 3!=6
Banyak kemungkinan = 3!=6
Banyak kata ketika huruf vokal tetap dan kedua F
tidak berurutan sebanyak = 60-(6+6)=48

13. PERMUTASI SIKLIS
DEFINISI
Permutasi melingkar dari 𝑛 objek adalah penyusunan objek-objek yang mengelilingi
sebuah lingkaran (atau kurva tertutup sederhana). Jumlah susunan objek yang
mengelilingi lingkaran adalah 𝑛 − 1 !
1
2
3
n 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴 𝑛
n-1 orang
…..
𝐴1
n-1 kursi tersisa untuk 𝐴2 𝐴3 𝐴 𝑛…..
n orang

14. Tentukan jumlah kombinasi 4 objek , A, B, C, D yang diambil 3 pada setiap
pengambilan !
Permutasi dari 3 objek adalah sebagai berikut
Apabila urutan diabaikan (ABC=ACB=BAC=BCA=CAB=CBA) maka diperoleh
kombinasi
ABC, ABD, ACD, BCD = 4 kemungkinan
Dengan demikian, diperoleh
𝐶 4,3 =
𝑃(4,3)
3!
ABC ACB BAC BCA CAB CBA
ABD ADB BAD BDA DAB DBA
ACD ADC CAD CDA DAC DCA
BCD BDC CBD CDB DBC DCB

15. KOMBINASI
DEFINISI
Kombinasi 𝑟 elemen dari 𝑛 elemen adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut
𝑟 elemen yang diambil dari 𝑛 buah elemen dilambangkan dengan
C 𝑛, 𝑟 =nCr = Cn,r =
𝑛
𝑟
=
𝑃(𝑛,𝑟)
𝑟!
=
𝑛!
𝑟! 𝑛−𝑟 !
LATIHAN SOAL
1.Ada berapa cara kita dapat memilih 3 dari 4 elemen himpunan 𝐴 = *𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑+
2.Berapa banyak cara menyusun menu nasi goreng tiga kali seminggu untuk
sarapan pagi ?
3.Sebuah koin yang mempunyai sisi A dan sisi B dilemparkan ke atas sebanyak
empat kali. Berapakah jumlah kemungkinan munculnya sisi A sebanyak tiga kali?
C(4,3)
C(7,3)
C(4,3)

16. 1.Sebuah klub beranggotakan 8 pria dan 10 wanita. Berapa banyak cara memilih
panitia yang terdiri dari 6 orang dengan jumlah wanita lebih banyak daripada
pria?
1 pria 5 wanita => 𝐶 8,1 × 𝐶 10,5 = 8 × 252 = 2016
2 pria 4 wanita => 𝐶 8,2 × 𝐶 10,4 = 28 × 210 = 5880
Banyak cara => 𝐶 8,1 × 𝐶 10,5 + 𝐶 8,2 × 𝐶 10,4 = 7896
2. Di antara 11 anggota DPR berapa banyak cara membentuk sebuah komisi yang
beranggotakan 5 orang sehingga setidaknya salah satu anggota DPR yakni A atau
B ada di dalamnya ?
Banyak kemungkinan komisi yang menyertakan A dan B => C(9,3)=84
Banyak kemungkinan komisi yang menyertakan A tapi tidak B => C(9,4)=126
Banyak kemungkinan komisi yang menyertakan B tapi tidak A => C(9,4)=126
Total kemungkinan komisi yang menyertakan A atau B adalah
84+126+126=336

17. Pada persamaan 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 12, 𝑥𝑖 adalah bilangan
bulat non negative. Berapa jumlah kemungkinan solusinya?