Transformasi Laplace adalah transformasi yang sering digunakan untuk menyelesaikan masalah syarat awal. Metode penyelesaian persamaan diferensial biasa menggunakan transformasi laplace terbukti cukup ampuh digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah nilai awal.

1. TRANSFORMASI
LAPLACE
KULIAH : Persamaan Diferensial Biasa
Rabu, 31 Oktober 2018
©heniwidayani@mat.uin-malang.ac.id

2. Transformasi Laplace
Transformasi Laplace adalah suatu transformasi yang melibatkan operasi
pengintegralan, mengubah fungsi 𝑓(𝑡) menjadi suatu fungsi baru yang
dinotasikan sebagai
ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠)
DEFINISI 5.1
Misalkan 𝑓(𝑡) adalah fungsi yang terdefinisi untuk 𝑡 ≥ 0, maka transformasi
Laplace dari 𝑓 adalah fungsi baru dengan variabel bebas 𝑠, yaitu 𝐹(𝑠) yang
didefinisikan sebagai berikut
ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 =
0
∞
𝑒−𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
Untuk semua nilai 𝑠 yang mengakibatkan integral tak wajar di atas konvergen

3. CONTOH 1 :
Misalkan 𝑓 𝑡 = 1 untuk 𝑡 ≥ 0 maka
ℒ 1 = 0
∞
𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡
= lim
𝑏→∞
−
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
0
𝑏
= lim
𝑏→∞
−
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑏 +
1
𝑠
Limit di atas mempunyai nilai berhingga hanya jika 𝑠 > 0, dengan
demikian
ℒ 1 =
1
𝑠
, untuk 𝑠 > 0
*Note : Domain dari transformasi Laplace suatu fungsi biasanya berupa
𝑠 > 𝑎 untuk suatu 𝑎 ∈ ℝ

4. CONTOH 2
Misalkan 𝑛 bilangan asli dan 𝑓 𝑡 = 𝑡 𝑛
, maka transformasi Laplacenya adalah
ℒ 𝑡 𝑛 =
0
∞
𝑒−𝑠𝑡 𝑡 𝑛 𝑑𝑡
Substitusikan 𝑢 = 𝑠𝑡, yang berarti
𝑡 =
𝑢
𝑠
dan 𝑑𝑡 =
1
𝑠
𝑑𝑢
sehingga dihasilkan
ℒ 𝑡 𝑛
=
1
𝑠 𝑛+1
0
∞
𝑒−𝑢
𝑢 𝑛
𝑑𝑢
Penerapan beberapa kali teknik integral parsial menghasilkan
ℒ 𝑡 𝑛 =
𝑛!
𝑠 𝑛+1 untuk 𝑠 > 0

5. FungsiGamma
Fungsi gamma didefinisikan sebagai
Γ 𝑥 =
0
∞
𝑒−𝑡 𝑡 𝑥−1 𝑑𝑡
Fungsi gamma memiliki sifat-sifat sebagai berikut :
1. Γ 1 = 1 dan Γ
1
2
= 𝜋
2. Γ 𝑥 + 1 = 𝑥Γ(𝑥) ,untuk 𝑥 > 0
3. Γ 𝑛 + 1 = 𝑛! , untuk 𝑛 bilangan bulat positif
Fungsi gamma dapat dipandang sebagai perumuman dari fungsi faktorial 𝑛!

6. CONTOH 3 :
Misalkan 𝑎 bilangan real dan 𝑓 𝑡 = 𝑡 𝑎
, maka transformasi Laplace dari
𝑓(𝑡) adalah
ℒ 𝑡 𝑎
=
0
∞
𝑒−𝑠𝑡
𝑡 𝑎
𝑑𝑡
Ingat definisi fungsi gamma
Γ 𝑥 =
0
∞
𝑒−𝑡
𝑡 𝑥−1
𝑑𝑡
Dengan demikian, diperoleh
ℒ 𝑡 𝑎 =
Γ(𝑎+1)
𝑠 𝑎+1 , untuk 𝑠 > 0

7. Operator Linier
TEOREMA 1:
Transformasi Laplace merupakan operator linier, dengan kata lain
ℒ 𝑎𝑓 𝑡 + 𝑏𝑔(𝑡) = 𝑎ℒ 𝑓 𝑡 + 𝑏ℒ{𝑔(𝑡)} untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅
Bukti :
Misalkan 𝑓(𝑡) dan 𝑔(𝑡) adalah fungsi yang kontinu dan terdefinisi di 𝑅.
Misalkan transformasi Laplace dari fungsi 𝑓(𝑡) dan 𝑔(𝑡) adalah ℒ 𝑓 𝑡
dan ℒ{𝑔(𝑡)}. Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, sehingga
ℒ 𝑎𝑓 𝑡 + 𝑏𝑔(𝑡) =
0
∞
𝑒−𝑠𝑡
𝑎𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑒−𝑠𝑡
𝑏𝑔 𝑡 𝑑𝑡
= 𝑎
0
∞
𝑒−𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑏
0
∞
𝑒−𝑠𝑡 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑎ℒ{𝑓(𝑡)} + 𝑏ℒ{𝑔(𝑡)}

8. EksistensidanKetunggalan
TEOREMA : (Eksistensi Transformasi Laplace)
Jika fungsi 𝑓(𝑡) kontinu bagian demi bagian untuk 𝑡 ≥ 0 dan |𝑓(𝑡)| ≤
𝑀𝑒 𝑐𝑡
untuk 𝑡 ≥ 𝑇, untuk suatu konstanta tak negatif 𝑀, 𝑐, dan 𝑇, maka
𝐹(𝑠) ada untuk 𝑠 > 𝑐.
TEOREMA : (Ketunggalan Transformasi Laplace)
Andaikan ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠) dan ℒ 𝑔 𝑡 = 𝐺(𝑠) . Jika 𝐹 𝑠 = 𝐺(𝑠)
untuk semua 𝑠 > 𝑐, maka 𝑓 𝑡 = 𝑔(𝑡), di mana 𝑓 dan 𝑔 kontinu.

9. InverseTransformasiLaplace
DEFINISI : Misalkan 𝐹 𝑠 = ℒ{𝑓(𝑡)}, maka 𝑓(𝑡) disebut inverse
transformasi Laplace dari 𝐹 𝑠 , dinotasikan sebagai
𝑓 𝑡 = ℒ−1(𝐹(𝑠))
PROPOSISI : Invers transformasi Laplace juga memenuhi sifat linier atau
ℒ−1
𝑎𝐹 𝑠 + 𝑏𝐺 𝑠 = 𝑎ℒ−1
𝐹 𝑠 + 𝑏 ℒ−1
𝐺 𝑠
CONTOH :
ℒ−1 1
𝑠3 =
1
2
𝑡2; ℒ−1 1
𝑠+2
= 𝑒−2𝑡; ℒ−1 1
𝑠2+9
=
2
3
sin 3𝑡

10. Latihan
1. Tentukan transformasi Laplace untuk 𝑓 𝑡 = 𝑒 𝑎𝑡
, untuk 𝑎 ∈ 𝑅
2. Hitung dan buktikan ℒ 𝑡
1
2 =
Γ(3/2)
𝑠3/2 untuk 𝑠 > 0
3. Tentukan transformasi Laplace dari fungsi-fungsi berikut
a. 𝑓 𝑡 = 𝑡 + 3𝑡 − 𝑒5𝑡
b. 𝑓 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠22𝑡 + cos 2𝑡
c. 𝑔 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛ℎ2
3𝑡
4. Tentukan invers transformasi Laplace dari fungsi-fungsi berikut
a. 𝐹 𝑠 =
3
𝑠4 +
2
𝑠5/2
b. 𝑋 𝑠 =
5−3𝑠
𝑠4
c. 𝐻 𝑠 =
3𝑠
𝑠2−𝑠−6
d. 𝑌 𝑠 =
𝑠2
𝑠4−1

11. Latihan (lanjutan)
5. Dengan menggunakan sifat linear dari transformasi Laplace buktikan bahwa
a. ℒ cosh 𝑘𝑡 =
𝑠
𝑠2−𝑘2, untuk 𝑠 > 𝑘 > 0
b.ℒ sinh 𝑘𝑡 =
𝑘
𝑠2−𝑘2, untuk 𝑠 > 𝑘 > 0
c. ℒ cos 𝑘𝑡 =
𝑠
𝑠2+𝑘2, untuk 𝑠 > 0
d.ℒ sin 𝑘𝑡 =
𝑘
𝑠2+𝑘2, untuk 𝑠 > 0

12. MasalahNilaiAwal
Persamaan diferensial linear orde 2 tak homogen berbentuk
𝑎𝑥′′ 𝑡 + 𝑏𝑥′ 𝑡 + 𝑐𝑥 𝑡 = 𝑓(𝑡) dengan 𝑥 0 = 𝑥0, 𝑥′ 0 = 𝑣0.
Jika pada persamaan diferensial di atas kita terapkan transformasi
Laplace maka diperoleh
𝑎ℒ 𝑥′′ 𝑡 + 𝑏ℒ 𝑥′ 𝑡 + 𝑐ℒ 𝑥 𝑡 = ℒ(𝑓(𝑡))

13. TransformasiTurunanFungsiOrdeTinggi
PROPOSISI :
Jika 𝑓(𝑡) memenuhi syarat sedemikian sehingga 𝐹(𝑠) ada untuk 𝑠 > 𝑐,
maka
ℒ 𝑓′ = 𝑠ℒ 𝑓 − 𝑓 0 = 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓(0), untuk 𝑠 > 𝑐
AKIBAT :
Misalkan fungsi-fungsi 𝑓, 𝑓′
, 𝑓′′
, … 𝑓(𝑛−1)
masing-masing mempunyai
transformasi Laplace untuk 𝑠 > 𝑐, maka ℒ{𝑓(𝑛)(𝑡)} ada dan
ℒ 𝑓 𝑛 𝑡 = 𝑠 𝑛 𝐹 𝑠 − 𝑠 𝑛−1 𝑓 0 − ⋯ − 𝑠𝑓 𝑛−2 0 − 𝑓 𝑛−1 (0), untuk 𝑠 > 𝑐

14. CONTOH : Tentukan masalah nilai awal
𝑥′′ − 𝑥′ − 6𝑥 = 0, 𝑥 0 = 2, 𝑥′ 0 = −1
JAWAB :
Penerapan Transformasi Laplace pada persamaan di atas menghasilkan
ℒ 𝑥′′
𝑡 − ℒ 𝑥′
𝑡 − 6ℒ 𝑥 𝑡 = 0
𝑠2 𝑋 𝑠 − 2𝑠 + 1 − 𝑠𝑋 𝑠 − 2 − 6𝑋 𝑠 = 0
𝑋 𝑠 =
2𝑠 − 3
𝑠2 − 𝑠 − 6
=
3/5
𝑠 − 3
+
7/5
𝑠 + 2
Invers Laplacenya menghasilkan
ℒ−1 𝑥 𝑡 =
3
5
𝑒3𝑡 +
7
5
𝑒−2𝑡
*Note : Transformasi Laplace mengubah persamaan diferensial linier
menjadi persamaan aljabar yang dapat diselesaikan

15. TransformasiMasalahNilaiAwal
Penerapan transformasi Laplace pada PD linier orde 2 tak homogen
maka diperoleh
𝑎𝑥′′
𝑡 + 𝑏𝑥′
𝑡 + 𝑐𝑥 𝑡 = 𝑓(𝑡)
𝑎ℒ 𝑥′′ 𝑡 + 𝑏ℒ 𝑥′ 𝑡 + 𝑐ℒ 𝑥 𝑡 = ℒ(𝑓(𝑡))
𝑎 𝑠2 𝑋 𝑠 − 𝑠𝑥 0 − 𝑥′ 0 + 𝑏 𝑠𝑋 𝑠 − 𝑥′ 0 + 𝑐𝑋 𝑠 = 𝐹(𝑠)
𝑎𝑠2
+ 𝑏𝑠 + 𝑐 𝑋 𝑠 − 𝑠𝑥 0 + 𝑥′
0 + 𝑏𝑥′
0 = 𝐹(𝑠)
𝑎𝑠2
+ 𝑏𝑠 + 𝑐 𝑋 𝑠 = 𝐹 𝑠 + 𝑠𝑥 0 + 𝑥′
0 + 𝑏𝑥′
0
𝑋 𝑠 =
𝐹 𝑠 + 𝑠𝑥 0 + 𝑥′
0 + 𝑏𝑥′
0
𝑎𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑐

16. TransformasiLaplacedariintegral
TEOREMA :
ℒ 0
𝑡
𝑓 𝜏 𝑑𝜏 =
𝐹(𝑠)
𝑠
, untuk 𝑠 > 𝑐
atau
0
𝑡
𝑓 𝜏 𝑑𝜏 = ℒ−1
𝐹(𝑠)
𝑠
CONTOH :
ℒ−1
1
𝑠(𝑠 − 𝑎)
= ℒ−1
1/(𝑠 − 𝑎)
𝑠
=
0
𝑡
ℒ−1
1
𝑠 − 𝑎
𝑑𝜏 =
0
𝑡
𝑒 𝑎𝜏 𝑑𝜏 =
1
𝑎
𝑒 𝑎𝑡 − 1

17. Latihan
1. Tentukan solusi persamaan diferensial berikut dengan
menggunakan transformasi Laplace
a. 𝑥′′
+ 4𝑥 = 0, 𝑥 0 = 5, 𝑥′
0 = 0
b. 𝑥′′
− 𝑥′
− 2𝑥 = 0, 𝑥 0 = 0, 𝑥′
0 = 2
c. 𝑥′′ + 𝑥 = cos 3𝑡 , 𝑥 0 = 1, 𝑥′ 0 = 0
d. 𝑥′′
+ 3𝑥′
+ 2𝑥 = 0, 𝑥 0 = 0, 𝑥′
0 = 2
e. 𝑥′
= 2𝑥 + 𝑦, 𝑦′
= 6𝑥 + 3𝑦, 𝑥 0 = 1, 𝑦 0 = −2
f. 𝑥′
+ 2𝑦′
+ 𝑥 = 0, 𝑥′
− 𝑦′
+ 𝑦 = 0, 𝑥 0 = 0, 𝑦 0 = 1

18. Lanjutan
2. Tentukan invers transformasi Laplace dari fungsi
a. 𝐹 𝑠 =
1
𝑠(𝑠2+1)
b. 𝐹 𝑠 =
1
𝑠2(𝑠2−9)