Mata Kuliah Kalkulus Peubah Banyak (FMIPA Unpad)

1. 7. DERET FOURIER
KPB-7-firda 1

2. 1. Fungsi-fungsi Periodik
2. Definisi Deret Fourier dan Koefisien Fourier
3. Deret Fourier Sinus dan Cosinus
4. Deret Fourier Sinus dan Cosinus Setengah Jangkauan
5. Identitas Parseval
6. Integral Fourier
7. Transformasi Fourier
8. Sifat Transformasi Fourier
Materi :
2KPB-7-firda

3. 1. Fungsi Periodik
• Fungsi f(x) disebut fungsi periodik bila
• p terkecil disebut periode dari f
( ) ( ), fp f x p f x x D+
∃ ∈ℜ ∋ + = ∀ ∈
Sifat fungsi periodik :
Jumlah fungsi periodik adalah periodik.
Misal 1 2( ), ( ),..., ( )nf x f x f x fungsi periodik dengan periode
1 2, ,..., ,np p p maka 1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nf x f x f x f x= + + +
periodik dengan periode p= KPK dari 1 2, ,..., .np p p
3KPB-7-firda

4. • Fungsi y = sin x  p = 2π
• Fungsi y = sin 2x  p = π
• Fungsi y = sin (nx)  p = 2π/n
• Fungsi y = cos (nx)  p = 2π/n
• Fungsi y = tan (x)  p = π
• Fungsi y = tan (nx)  p = π/n
4KPB-7-firda

5. Fungsi f(x) dipandang periodik dengan periode
p = 4. Kita dapat menggambarkan f(x) pada interval
[ -6,6] sebagai berikut:
; 2 0
( )
;0 2
x x
f x
x x
− − ≤ <
= 
≤ <
2-2 4 6-4-6
5KPB-7-firda

6. Soal Latihan
1. Apakah fungsi berikut periodik ? Bila ya, tentukan periodenya.
a) f(x) = cos 6 x
b) f(x) = 5 sin ( 2x + π ) - 2
c) f(x) = sin 2 x+ cos x
d) f(x) = sin 2 x + cos 4 x
2. Gambarkan grafik dari fungsi berikut yang dipandang periodik
dengan periode diketahui
1 ;0 3
) ( ) ; 6
1 ; 3 0
x
a f x p
x
≤ <
= =
− − ≤ <
2 1 ;0 2
) ( ) ; ( 4) ( )
1 ; 2 0
x x
b f x f x f x
x
+ ≤ <
= + =
− ≤ <
6KPB-7-firda

7. • Misalkan fungsi f(x) terdefinisi pada (-L,L) dan diluar interval ini,
dan f(x) periodik dengan periode 2L, kontinu bagian demi bagian,
maka Deret Fourier dari f(x) didefinisikan sebagai:
0
1
( ) cos sin
2
n n
n
a nx n x
f x a b
L L
π π∞
=
 
= + + ÷
 
∑
1
( ) cos ,
L
n
L
n x
a f x dx
L L
π
−
= ∫
1
( ) sin
L
n
L
n x
b f x dx
L L
π
−
= ∫
2. Definisi Deret Fourier dan Koefisien Fourier
dengan koefisien Fourier 0, ,n na a b adalah
0
1
( ) ,
L
L
a f x dx
L −
= ∫
7KPB-7-firda

8. • Jika fungsi f(x) terdefinisi pada (0,2L) dan diluar interval ini, dan
f(x) periodik dengan periode 2L, kontinu bagian demi bagian, maka
koefisien Fourier ditentukan dengan:
2
0
1
( ) cos ,
L
n
n x
a f x dx
L L
π
= ∫
2
0
1
( ) sin
L
n
n x
b f x dx
L L
π
= ∫
2
0
0
1
( ) ,
L
a f x dx
L
= ∫
8KPB-7-firda

9. 0 ; 5 0
( )
3 ; 0 5
x
f x
x
− < <
= 
< <
Tentukan Deret Fourier untuk f(x) !
Contoh :
dengan periode = 10.
Jawab :
Periode 10  L = 5
9KPB-7-firda

10. 5
0
1
3 3.
5
dx= =∫
53 5
sin
05 5
n x
n
π
π
 
=  ÷
 
0=
5
0
5
1
( )
5
a f x dx
−
= ∫
0 5
5 0
1 1
0 3cos
5 5 5
n x
dx dx
π
−
= +∫ ∫
5
5
1
( )cos
5 5
n
n x
a f x dx
π
−
= ∫
5
5
1
( )sin
5 5
n
n x
b f x dx
π
−
= ∫
53 5
cos
05 5
n x
n
π
π
 
= − ÷
 
5
0
3
cos
5 5
n x
dx
π
= ∫
0 5
5 0
1 1
0 3sin
5 5 5
n x
dx dx
π
−
= +∫ ∫
5
0
3
sin
5 5
n x
dx
π
= ∫
3(1 )cosn
n
π
π
−
=
10KPB-7-firda

11. Maka Deret Fourier dari f(x) dituliskan berikut :
0
1
( ) cos sin
2
n n
n
a n x n x
f x a b
L L
π π∞
=
 
= + + ÷
 
∑
1
3 3(1 cos )
sin
2 5n
n n x
n
π π
π
∞
=
−
= +∑
3 6 1 3 1 5
sin sin sin ...
2 5 3 5 5 5
x x xπ π π
π
 
= + + + + ÷
 
1
3 6 1 (2 1)
sin
2 (2 1) 5n
n x
n
π
π
∞
=
−
= +
−
∑
11KPB-7-firda

12. Latihan
2. Ekspansikan fungsi berikut ke dalam deret Fourier dengan periode 8.
2 ;0 4
( )
6 ;4 8
x x
f x
x x
− < <
= 
− < <
1. Ekspansikan fungsi berikut ke dalam deret Fourier dengan periode 4.
8 ;0 2
( )
8 ;2 4
x
f x
x
< <
= 
− < <
0 ; 2 0
( )
1 ;0 2
x
f x
x x
− < <
= 
+ < <
3. Ekspansikan fungsi berikut ke dalam deret Fourier dengan periode 4.
12KPB-7-firda

13. 1 1
;
2 2( )
1 3
1 ;
2 2
x x
f x
x x

− < <
= 
 − < <

4. Ekspansikan fungsi berikut ke dalam deret Fourier dengan periode 2.
5. Ekspansikan fungsi berikut ke dalam deret Fourier dengan periode p=2L,
sketsa grafik f(x), dan tentukan jumlah parsial deret untuk n = 3.
. ( ) 2 ,0 2 ,a f x x x Lπ π= < < =
1
. ( ) cos ,0 1 ,
2
b f x x x Lπ= < < =
13KPB-7-firda

14. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
• Fungsi disebut fungsi genap bila berlaku
• Fungsi disebut fungsi ganjil bila berlaku
( )f x ( ) ( ) , ff x f x x D− = ∀ ∈
( )f x ( ) ( ) , ff x f x x D− = − ∀ ∈
14
f(x) fungsi genap 
0
( ) 2 ( )
a a
a
f x dx f x dx
−
=∫ ∫
Contoh fungsi genap :
2 6 2
; 2 4 5 ; cosy x y x x y x= = − + =
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )f x x f x x x f x= → − = − = =
maka 2
( )f x x= fungsi genap
KPB-7-firda

15. f(x) fungsi ganjil  ( ) 0
a
a
f x dx
−
=∫
Contoh fungsi ganjil:
3 5 3
; 3 2 ; siny x y x x x y x= = − + =
15
3 3 3
( ) ( ) ( ) ( )f x x f x x x f x= → − = − = − = −
maka 3
( )f x x= fungsi ganjil
KPB-7-firda

16. Sifat fungsi genap / ganjil:
• Grafik fungsi genap, simetris terhadap sumbu Y
• Grafik fungsi ganjil, simetris terhadap titik pusat.
• Hasilkali dua fungsi genap  fungsi genap
• Hasilkali dua fungsi ganjil  fungsi genap
• Hasilkali fungsi genap dan fungsi ganjil  fungsi ganjil.
( )y f x=
( )y f x=
16KPB-7-firda

17. 17
Y
a-a
Y
a
-a
Contoh grafik fungsi genap Contoh grafik fungsi ganjil
* Hasilkali fungsi ganjil dan fungsi genap adalah fungsi ganjil.
Bukti:
Misal ( ) ( ) ( ), ( )ganjil, ( )genapf x h x g x h x g x=
maka ( ) ( ) ( )f x h x g x− = − − ( ) ( ) ( )f x h x g x→ − = −
( ) ( )f x f x→ − = −  f fungsi ganjil
KPB-7-firda

18. Soal Latihan
Selidiki apakah fungsi berikut genap, ganjil atau tidak
keduanya
cos ;0
4. ( ) ; ( 2 ) ( )
0 ; 2
x x
f x f x f x
x
π
π
π π
< <
= + =
< <
1. ( ) (1 ), 0 1 , 1f x x x x p= − < < =
3;0 2
2. ( ) , 4
3 ;2 4
x
f x p
x
− < <
= =
< <
3. ( ) (4 ) ; 4f x x x p= − =
18KPB-7-firda

19. • Jika f(x) fungsi ganjil terdefinisi pada ( -L,L )
• kontinu bagian demi bagian dan
• periodik dengan periode p = 2L
0
1
( ) 0,
L
L
a f x dx
L −
= =∫
1
( ) cos 0
L
n
L
n x
a f x dx
L L
π
−
= =∫
1
( ) sinn
n
n x
f x b
L
π∞
=
= ∑
Maka koefisien Fourier,
Sehingga Deret Fourier menjadi
Deret Fourier
Sinus
3. Deret Fourier Sinus dan Cosinus
19
0
2
( ) sin
L
n
n x
b f x dx
L L
π
= ∫
KPB-7-firda

20. • Jika f(x) fungsi genap terdefinisi pada ( -L,L )
• kontinu bagian demi bagian dan
• periodik dengan periode p = 2L
0
1
( ) cos
2
n
n
a n x
f x a
L
π∞
=
= +∑ Deret Fourier
Cosinus
Sehingga Deret Fourier menjadi
Maka koefisien Fourier,
1
( ) sin 0,
L
n
L
n x
b f x dx
L L
π
−
= =∫
20
0
2
( ) cos
L
n
n x
a f x dx
L L
π
= ∫
0
0
2
( )
L
a f x dx
L
= ∫
KPB-7-firda

21. Contoh: Tentukan Deret Fourier
untuk
2 ;0 3
(1). ( )
2 ; 3 0
x
f x
x
≤ <
= 
− − ≤ <
-3
3
2
-2
f(x) fungsi ganjil
3
3
1
( ) sin
3 3
n
n x
b f x dx
π
−
= ∫
, ( 6) ( )f x f x+ =
Koefisien Fourier :
Jawab:
21
KPB-7-firda

22. 3
3
1
( ) sin
3 3
n
n x
b f x dx
π
−
= ∫
0 3
3 0
1 1
2sin 2sin
3 3 3 3
n x n x
dx dx
π π
−
= − +∫ ∫
0 32 2
cos cos
3 03 3
n x n x
n n
π π
π π
−
= +
−
( ) ( )
2 2
1 cos cos 1n n
n n
π π
π π
−
= − + − ( )
4
1 cos n
n
π
π
= −
( )
1
4
( ) 1 cos sin
3n
n x
f x n
n
π
π
π
∞
=
= −∑
Sehingga Deret Fouriernya :
22KPB-7-firda

23. ( )
1
4
( ) 1 cos sin
3n
n x
f x n
n
π
π
π
∞
=
= −∑
( )
( )
1
2 18
sin
2 1 3n
n x
n
π
π
∞
=
−
=
−
∑
4 4 2 4 3
(1 cos )sin (1 cos 2 )sin (1 cos3 )sin
3 2 3 3 3
x x xπ π π
π π π
π π π
= − + − + − +
4 4 4 5
(1 cos4 )sin (1 cos5 )sin ...
4 3 5 3
x xπ π
π π
π π
− + − +
8 8 3 4 5
sin 0 sin 0 sin ...
3 3 3 5 3
x x xπ π π
π π π
= + + + + +
23KPB-7-firda

24. 4. Deret Fourier Sinus & Cosinus Setengah Jangkauan
Deret Sinus atau Cosinus setengah jangkauan adalah suatu deret yang hanya
mempunyai suku-suku yang memuat sinus atau cosinus saja.
(i) Jika f(x) terdefinisi pada interval (0,L), (yaitu setengah dari interval (-L,L)
dan f(x) fungsi ganjil, maka diperoleh Deret Sinus setengah Jangkauan:
0
2
( ) sin
L
n
n x
b f x dx
L L
π
= ∫
1
( ) sinn
n
n
f x b x
L
π∞
=
⇒ = ∑
0 0 ; 0 ;na a= =
24KPB-7-firda

25. 0
0
2
( ) ,
L
a f x dx
L
= ∫
0
2
( )cos , 0
L
n n
n x
a f x dx b
L L
π
= =∫
0
1
( ) cos
2
n
n
a n
f x a x
L
π∞
=
⇒ = + ∑
(ii) Jika f(x) terdefinisi pada interval (0,L), (yaitu setengah dari interval (-L,L)
dan f(x) fungsi genap, maka diperoleh Deret Cosinus setengah Jangkauan:
25KPB-7-firda

26. 26
Bukti :
Jika f(x) fungsi genap:
1
( )cos
L
n
L
n x
a f x dx
L L
π
−
= ∫
0
0
1 1
( )cos ( )cos
L
L
n x n x
f x dx f x dx
L L L L
π π
−
= +∫ ∫
misal ;x u dx du= − → = −
0 0
1 1 ( )
( )cos ( )cos ( )
L L
n x n u
f x dx f u du
L L L L
π π
−
−
= − −∫ ∫
0
1 ( )
( )cos ( )
L
n u
f u du
L L
π
= ∫Sifat fungsi
genap
0
0
1 2
( ) ( )
L L
L
a f x dx f x dx
L L−
= =∫ ∫
KPB-7-firda

27. 27
Sehingga
0 0
1 1
( )cos ( )cos
L L
n
n u n x
a f u du f x dx
L L L L
π π
= +∫ ∫
0
2
( )cos
L
n
n x
a f x dx
L L
π
= ∫
1
( )sin
L
n
L
n x
b f x dx
L L
π
−
= ∫
0
0
1 1
( )sin ( )sin
L
L
n x n x
f x dx f x dx
L L L L
π π
−
= +∫ ∫
misal ;x u dx du= − → = −
0 0
1 1 ( )
( )sin ( )sin ( )
L L
n x n u
f x dx f u du
L L L L
π π
−
−
= − −∫ ∫
KPB-7-firda

28. 28
0 0
1 1 ( )
( )sin ( )sin ( )
L L
n x n u
f x dx f u du
L L L L
π π
−
−
= − −∫ ∫
0
1 ( )
( )sin ( )
L
n u
f u du
L L
π
= − ∫
0
1
( )sin
L
n x
f x dx
L L
π
= − ∫
Sehingga
0 0
1 1
( )sin ( )sin
L L
n
n x n x
b f x dx f x dx
L L L L
π π
= − +∫ ∫
0nb =
KPB-7-firda

29. Soal Latihan
1. Ekspansikan fungsi yang dipandang periodik
dengan periode p = 4 ke dalam
a. deret sinus setengah jangkauan
b. deret cosinus setengah jangkauan
( ) ;0 2f x x x= < <
2. Ekspansikan f ungsi ( ) ;0 1f x x x= < <
kedalam deret sinus setengah jangkauan, dan gambarkan grafik
yang dipandang periodik, p=2
perluasannya.
29KPB-7-firda

30. 3. Fungsi periodik dengan periode 2π.
Tentukan deret Fourier sinus untuk f(x). Gambar grafik
perluasannya pada selang – 3 π < x < 3 π
( ) ;0f x x xπ π= − < <
1
2,0
2
( )
1
0, 1
2
x
f x
x

< <
= 
 < <

4. Fungsi f(x) periodik dengan periode 2,
Tentukan deret Fourier Cosinus untuk f(x).
dan gambarkan grafik perluasannya pada 3 3.x− < <
30KPB-7-firda

31. 31
5. Identitas Parseval
jika dann na b koefisien Fourier dari ( )f x
uniform ke pada (-L,L).
( ) ( )
2
2 2 20
1
1
( )
2
L
n n
nL
a
f x dx a b
L
∞
=−
= + +∑∫
Identitas Parseval menyatakan bahwa,
yang konvergen
( )f x
KPB-7-firda

32. 32
Konvergen Uniform
Andaikan terdapat sebuah deret tak hingga
1
( )n
n
u x
∞
=
∑ dan
1
( ) ( )
R
R n
n
S x u x
=
= ∑ jumlah parsial ke R dari deret tersebut.
Deret dikatakan konvergen ke ( )f x pada suatu interval I, jika
0, Nε∀ > ∃
Jika N hanya tergantung pada ε tidak tergantung pada x, maka
( ) - ( ) untukRS x f x R Nε< >
positif pada setiap x I∈ sehingga
( ).f xderet dikatakan konvergen uniform ke
KPB-7-firda

33. 33
Sifat deret yang konvergen uniform :
Jika masing-masing suku dari deret tak hingga kontinu pada (a,b),
dan deret konvergen uniform ke ( ),f x maka
1. ( )f x kontinu pada interval tersebut.
2. Deret tersebut dapat diintegralkan suku demi suku, yaitu
1 1
( ) ( )
b b
n n
n na a
u x dx u x dx
∞ ∞
= =
 
= 
 
∑ ∑∫ ∫
KPB-7-firda

34. 34
Bukti identitas Parseval:
0
1
( )
L
L
a f x dx
L −
= ∫
1
( )cos
L
n
L
n x
a f x dx
L L
π
−
= ∫
1
( )sin
L
n
L
n x
b f x dx
L L
π
−
= ∫
0
1
( ) cos sin
2
n n
n
a n x n x
f x a b
L L
π π∞
=
 
= + + ÷
 
∑
( )
2 0
1
( ) ( ) ( )cos ( )sin
2
n n
n
a n x n x
f x f x a f x b f x
L L
π π∞
=
 
= + + ÷
 
∑
0 ( )
L
L
a L f x dx
−
→ = ∫
( )cos
L
n
L
n x
a L f x dx
L
π
−
→ = ∫
( )sin
L
n
L
n x
b L f x dx
L
π
−
→ = ∫
KPB-7-firda

35. 35
( )
2 0
1
( ) ( ) ( )cos ( )sin
2
L L L L
n n
nL L L L
a n x n x
f x dx f x dx a f x dx b f x dx
L L
π π∞
=− − − −
= + +∑∫ ∫ ∫ ∫
( )
2 0
0
1
( ) ( ) ( )
2
L
n n n n
nL
a
f x dx a L a a L b b L
∞
=−
= + +∑∫
( ) ( )
2
2 2 20
1
1
( )
2
L
n n
nL
a
f x dx a b
L
∞
=−
= + +∑∫
na L
nb L0a L
KPB-7-firda

36. 36
Contoh:
( ) ;0 2f x x x= < < periodik dengan p=4,
(ii) tentukan 4 4 4 4
1 1 1 1
... ...
1 2 3 n
+ + + + +
Jawab:
(i) ekspansikan f(x) ke dalam deret cosinus setengah jangkauan
2
0
0
2 , 0na x dx b= = =∫
2
0
2
cos
2 2
n
n x
a x dx
π
= ∫ 2 2
22 4
sin cos
02 2
n x n x
x
n n
π π
π π
 −    
= −  ÷  ÷
    
2 2
4
(cos 1), 0n n
n
π
π
= − ≠
(i)
KPB-7-firda

37. 37
0 2 2
4
2, 2, (cos 1), 0, 0.n nL a a n n b
n
π
π
= = = − ≠ =
0
1
( ) cos sin
2 2 2
n n
n
a n x n x
f x a b
π π∞
=
= + +∑
2 2
1
4
( ) 1 (cos 1)cos
2n
n x
f x n
n
π
π
π
∞
=
= + −∑
2 2 2
8 1 3 1 5
1 cos cos cos ...
2 2 23 5
x x xπ π π
π
 
= − + + + ÷
 
2 2
1
8 1 (2 1)
1 cos
2(2 1)n
n x
n
π
π
∞
=
−
= −
−
∑
(ii)
Identitas Parseval:
( ) ( )
2
2 2 20
1
1
( )
2
L
n n
nL
a
f x dx a b
L
∞
=−
= + +∑∫
KPB-7-firda

38. 38
2 2
2 2
4 4
12
1 2 16
(cos 1)
2 2 n
x dx n
n
π
π
∞
=−
= + −∑∫
4 4 4 4
8 64 1 1 1
2 ...
3 1 3 5π
 
= + + + + ÷
 
4 4 4 4
64 1 1 1 2
...
31 3 5π
 
+ + + = ÷
 
4
4 4 4
1 1 1
...
961 3 5
π
+ + + =
4 4 4
1 1 1
...
1 2 3
S = + + +Misal
KPB-7-firda

39. 39
4 4 4
1 1 1
...
1 2 3
S = + + +
4 4 4 4 4 4
1 1 1 1 1 1
... ...
1 3 5 2 4 6
   
= + + + + + + + ÷  ÷
   
4 4 4 4 4 4 4
1 1 1 1 1 1 1
... ...
1 3 5 2 1 2 3
   
= + + + + + + + ÷  ÷
   
4 4 4
1 1 1
...
161 3 5
S
S
 
= + + + + ÷
 
4 4 4
1 1 1 15
...
161 3 5
S
+ + + =
4 4
15
96 16 90
S
S
π π
= → =
KPB-7-firda

40. 40
2
2 2 2
cos 2 cos 4 cos6
(i) ( ) ...
6 1 2 3
x x x
x x
π
π
 
− = − + + + ÷
 
Soal Latihan
1. Buktikan bahwa untuk 0 ,x π≤ ≤
3 3 3
8 sin sin 3 sin5
(ii) ( ) ...
1 3 5
x x x
x xπ
π
 
− = + + + ÷
 
2. Gunakan soal 1 untuk menunjukkan bahwa
2
2
1
1
(i)
6n n
π∞
=
=∑
1 2
2
1
( 1)
(ii)
12
n
n n
π−∞
=
−
=∑
1 3
3
1
( 1)
(iii)
32(2 1)
n
n n
π−∞
=
−
=
−
∑
4
4
1
1
(iv)
90n n
π∞
=
=∑
6
6
1
1
(v)
945n n
π∞
=
=∑
KPB-7-firda

41. 41
3. Tunjukkan bahwa
3
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 3 2
... .
1281 3 5 7 9 11
π
+ − − + + − =
4. Tunjukkan bahwa
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 8
... .
161 .3 3 .5 5 .7
π −
+ + + =
KPB-7-firda