Pengenalan Persamaan Differensial Parsi

1. Mohamad Tafrikan (moh.tafrikan@gmail.com) Page 1
PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL
1.1. Konsep Dasar dan Definisi
Sebuah persamaan differensial memuat penjumlahan variable-variabel bergantung dan
tak bergantung, satu atau lebih turunan parsial dari variable bergantung disebut
persamaan differensial parsial. Secara umum ditulis dalam bentuk
( ) (1.1)
yang melibatkan beberapa variable tak bergantung sebuah fungsi yang tidak
diketahui dari variable ini, dan turunan parsial dari fungsi.
Subscript pada variable bergantung menotasikan turunan
Persamaan (1.1) ini dalam domain yaitu domain dimensi- ruang dalam variable
tak bergantung . Kita mencari fungsi yang memenuhi persamaan
(1.1) secara independen di dalam Jika ada fungsi yang memenuhi persamaan (1.1)
maka fungsi tersebut dinamakan solusi dari (1.1). Dari kemungkinan banyak solusi kita
mencoba memilih satu solusi dengan kondisi penjumlahan yang cocok.
Sebagai contoh:
(1.2)
( )
adalah persamaan differensial parsial. Fungsi-fungsi
adalah solusi dari persamaan (1.2) bagian ke-4.
Bukti:

( )
( )
Jadi,

( )
( )
Jadi,
Orde dari persamaan differensial parsial adalah orde tertinggi dari turunan parsial
yang muncul di dalam persamaan. Sebagai contoh
adalah sebuah persamaan differesianl dengan orde ke-dua.
Sebuah persamaan differensial parsial dikatakan linear jika persamaan tersebut
dalam fungsi yang tidak diketahui dan semua turunannya dengan koefisian bergantung
hanya pada variable independen. Dikatakan quasi-linear jika persamaan tersebut linear
pada turunan orde tertinggi. Sebagai contoh
adalah sebuah persamaan differensial partial linear orde kedua, dan

2. Mohamad Tafrikan (moh.tafrikan@gmail.com) Page 2
adalah sebuah persamaan differensial parsial quasi-linear orde kedua. Persamaan yang
tidak linear disebut persamaan non-linear.
Kita akan fokus pada persamaan differensial parsial linear orde kedua, yang mana
muncul dalam masalah fisika. Persamaan differensial parsial linear orde kedua paling
umum dalam variable independen mempunyai bentuk
∑ ∑ (1.3)
yang mana kita asumsikan dan adalah fungsi-fungsi variable bebas .
Jika bernilai 0, maka disebut persamaan homogen, dan disebut non homogen jika
tidak 0.
Solusi umum dari sebuah persamaan differensial biasa linear orde- adalah sebuah
himpunan dari fungsi-fungsi bergantung pada konstanta independen . Dalam kasus ini
persamaan differensial parsial, solusi umum bergantung pada fungsi dari pada bergantung
pada konstanta. Untuk mengilustrasikan ini, diberikan persamaan:
jika kita mengintragalkan persamaan ini terhadap , kita dapatkan:
kemudian diintegralkan terhadap , diperoleh:
dengan dan adalah fungsi bebas.
Misalkan adalah sebuah fungsi yang mempunyai tiga variable dan . Lalu, untuk
persamaan:
ditemukan salah satu solusi umum :
dengan dan adalah fungsi bebas dari dua variable dan
Kita memanggil kembali persamaan differensial biasa, tugas pertama mencari solusi
umum, dan kemudian solusi khusunya ditentukan dengan memasukkan nilai constant dari
kondisi batas. Tetapi untuk persamaan differesial parsial, menyeleksi solusi khusus yang
memenuhi kondisi tambahan dari solusi umum persamaan differensial parsial yang
mungkin sulit, bahkan lebih sulit dari pada menemukan solusi umum itu sendiri. Ini
dikarenakan solusi umum dari persamaan differensial parsial melibatkan fungsi bebas
seperti sebuah solusi untuk bentuk khusus yang memenuhi syarat kondisi tambahan,
penentuan fungsi bebas dari pada hanya menentukan konstanta.
Untuk persamaan differensial biasa linear homogeny orde , kombinasi linear dari
solusi independen linear adalah sebuah solusi. Sayangnya, ini tidak benar secara umum
pada kasus persamaan differensial parsial. Ini karenan faktanya ruang solusi dari setiap
persamaan differensial parsial linear homogen adalah dimensi tak terbatas. Sebagai
contoh:
(1.4)

3. Mohamad Tafrikan (moh.tafrikan@gmail.com) Page 3
Dapat ditransformasikan ke dalam persamaan
Dengan transformasi variable
Solusinya umumnya adalah
Dengan adalah fungsi bebas. Maka, kita lihat setiap fungsi
adalah solusi dari persamaan (1.4). Faktanya bahwa persamaan sederhana seperti (1.4)
mempunyai banyak solusi, ini mengindikasikan penambahan belajar tentang persamaan
differensial parsial. Maka kita secara umum lebih suka secara langsung menentukan
solusi khusus dari persamaan differensial parsial yang memenuhi kondisi tambahan.
1.2. Masalah Matematika
Sebuah masalah yang terdiri dari sebuah fungsi yang tidak diketahui dari sebuah
persamaan differensial parsial yang memenuhi sesuai kondisi tambahan. Kondisi
tambahan seperti kondisi awal (KA) dan kondisi batas (KB). Sebagai contoh, persamaan
differensial parsial (PDP)
dengan
KA
KB
KB
merupakan sebuah masalah yang terdiri dari PDP dan tiga kondisi tambahan. Persaman
tersebut menjelaskan konduksi panas di sepanjang tongkat . Dua kondisi terakhir disebut
kondisi batas yang menjelaskan fungsi dari dua titik batas yang disyaratkan. Kondisi
pertama adalah kondisi awal yang mensyaratkan fungsi yang tidak diketahui
sepanjang daerah yang diberikan pada beberapa waktu awal pada kasus ini .
Masalah ini diketahui masalah nilai-batas awal. Secara matematis, waktu dan koordinat
ruang adalah variable yang independent. Pada kasus ini, kondisi awal hanya sebuah titik
yang disyaratkan pada sumbu , dan kondisi batas pada kasus ini adalah dua titik pada
sumbu . Kondisi awal biasanya disyaratkan pada waktu tertentu atau tetapi
tidak biasa untuk mempertimbangkan titik terakhir yang lian dari interval waktu yang
diberikan.
Pada banyak kasus, pada penambahan untuk syarat fungsi yang tak diketahui, kondisi lain
seperti turunan yang khusus pada batas dan atau pada waktu
Dalam pertimbangan masalah domain tak terbatas, solusi dapat ditentukan secara unik
oleh hanya kondisi awal yang disyaratkan. Masalah yang bersesuain ini disebut masalah
nilai awal (MNA) atau maslah Cauchy. Secara definisi matematik dijelaskan pada Bab 5.
Solusi dari masalah yang mungkin diinterpretasikan secara fisik sebagai solusi tak
terpengaruh oleh kondisi batas yang tak terbatas. Sebagai contoh masalah yang

4. Mohamad Tafrikan (moh.tafrikan@gmail.com) Page 4
terpengaruh oleh batas tak berhingga, kondisi batas pada perilaku dari solusi tak
berhingga yang telah disyaratkan.
Masalah matematika dikatakan “well-posed” jika memenuhi syarat berikut ini:
1. Eksistensi : Ada minimal satu solusi.
2. Unik : Ada paling banyak satu solusi.
3. Kontinu : Solusi bergantung secara kontinu pada data.
Syarat pertama secara logika jelas, tetapi kita harus menjaga pemikiran, bahwa kita tidak
dapat secara sederhana menyatakan bahwa masalah matematika hanya sekedar
mempunyai solusi, sebab secara fisik mempunyai solusi. Kita mungkin bisa keliru dalam
membangun model matematika yang memuat persamaan differensial parsial yang mana
solusinya tidak ada untuk semuanya. Sama halnya ketika melihat syarat keunikan. Di sisi
lain masalah fisik mempunyai solusi unik, masalah matematika harus mempunyai solusi
unik juga.
Untuk masalah fisik, tidak cukup hanya untuk mengetahui masalah mempunyai solusi
unik. Sebab syarat terakhir tidak hanya berguna, tapi juga penting. Jika solusi mempunyai
pengaruh signifikan secara fisik, perubahan kecil data awal harus memproduksi sedikit
perubahan pada solusi. Data pada masalah fisik secara normal ditentukan dari eksperimen,
dan pendekatan untuk masalah ini yaitu secara numeric atau metode approksimasi. Itu
penting untuk mengetahui bahwa proses pembuatan sebuah pendekatan untuk
menghasilkan data hanya sedikit perubahan dalam solusi.
1.3. Operator Linear
Sebuah operator yang memenuhi aturan matematika ketika diaplikasikan pada sebuah
fungsi, menghasilkan fungsi-fungsi lain. Sebagai contoh, perhatikan ekspresi ini
[ ]
[ ]
( ) dan ( ) ( ) disebut operator differensial.
Sebuah operator dikatakan linear jika memenuhi berikut ini :
1. Sebuah konstanta dapat diletakkan diluar operator.
[ ] [ ] (1.5)
2. Mengoperasikan operator pada penjumlahan dua fungsi sama ketika dijumlahkan
sendiri-sendiri.
[ ] [ ] [ ] (1.6)
kita juga dapat menggabungkan persamaan (1.5) dan (1.6) sebagai berikut:
[ ] [ ] [ ] (1.7)
Jika adalah fungsi dan adalah konstanta, maka
dengan menggunakan (1.7) didapat:
[∑ ] ∑ [ ] (1.8)
Kita sekarang mendefinisikan penjumlahan dua operator differensial linear secara formal.
Jika dan dua operator linear, maka penjumlahan dari dan didefinisikan dengan
[ ] [ ] [ ] (1.9)
Dimana adalah fungsi terdefferensial. Itu dapat ditunjukkan bahwa juga sebuah
operator linear.

5. Mohamad Tafrikan (moh.tafrikan@gmail.com) Page 5
Perkalian dua operator linear dan adalah operator yang menghasilkan hasil yang
sama ketika ditentukan dengan mengoperasikan secara berturut-turut operator dan
pada , yaitu :
[ ] [ ] (1.10)
yang mana kita asumsikan [ ] dan [ ] terdefinisi. Dapat ditunjukkan bahwa juga
operator linear.
Secara umum, operator differensial linear memenuhi berikut ini:
1. (1.11)
2. (1.12)
3. (1.13)
4. (1.14)
Untuk operator differensial linear dengan koefisien konstan,
5. (1.15)
Contoh : Diberikan dan
[ ] ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
Sekarang kita perhatikan sebuah persamaan differensial parsial orde kedua linear. Pada
kasus ini dua variable independen, seperti bentuk ini:
(1.16)
Dengan dan adalah koefisiean, dan adalah bentuk non-homogen.
Jika kita menotasikan :
maka persamaan (1.16) dapat ditulis dalam bentuk
[ ] (1.17)
Misalkan adalah fungsi yang memenuhi
[ ]
dan misalkan adalah fungsi yang memenuhi
[ ]
Jika dimisalkan

6. Mohamad Tafrikan (moh.tafrikan@gmail.com) Page 6
maka fungsi
∑
memenuhi persamaan
[ ] ∑
Ini disebut prinsip supervise linear.
Pada solusi khusus, jika adalah solusi dari persamaan (1.17) yaitu [ ] , dan adalah solusi dari
persamaan homogen [ ] maka adalah solusi dari [ ]
Prinsip dari supervisi linear adalah kepentingan yang mendasar dalam kajian persamaan differensial
parsial. Prinsip ini digunakan secara extensive untuk menyelesaikan persamaan differensial parsial linear
dengan metode pemisahan variable.
Misalkan ada tak berhingga solusi dari persamaan differensial parsial
linear homogen Kita dapat mengatakan bahwa setiap tak berhingga kombinasi linear
dengan dan adalah konstanta, apakah sebuah solusi
lagi dari persamaan? Tentu iya, dengan tak berhingga kombinasi linear, kita bermaksud sebuah
deret tak berhingga dan kita harus mengharuskan bahwa deret tak berhingga
∑ ∑ (1.18)
Konvergen ke . Secara umum, kita nyatakan bahwa deret tak hingga adalah solusi dari
persamaan homogeny.
Ada jenis lain kombinasi linear tak hingga yang mana juga digunakan untuk menemukan solusi
dari persamaan linear yang diberikan. Ini focus dengan himpunan solusi persamaan
linear, yang mana suatu bilangan real, tidak bilangan asli. Jika adalah suatu fungsi
parameter real sedemikian sehingga
∫ atau ∫ (1.19)
Konvergen, maka dibawah kondisi yang sesuai, integral (1.19) adalah sbuah solusi lagi. Ini
disebut prinsip supervise integral linear. Untuk mengilustrasikan ide ini, kita perhatikan
persamaan
(1.20)
Itu mudah untuk memverifikasi, untuk setiap bilangan real , fungsi
(1.21)
adalah solusi dari (1.20).
bukti:
 maka atau , dengan metode pemisahan variable:
Misal dengan bergantung pada saja dan bergantug pada saja, maka
dan
sehingga PDP dapat ditulis

7. Mohamad Tafrikan (moh.tafrikan@gmail.com) Page 7
atau
Karena bergantung pada saja dan bergantug pada saja, maka kedua ruas pasti sebuah
konstanta . Sehingga diperoleh
Jadi , dengan .
kalikan (1.21) dengan dan integralkan terhadap dengan batas , diperoleh:
∫ (1.22)
Itu mudah untuk memverifikasi bahwa yang diberikan oleh (1.22) adalah solusi juga dari
(1.20).
Bukti:

{ }

{ }

{ }
{
{ }
}
Itu juga mudah untuk memverifikasi bahwa adalah suatu
himpunan satu parameter dari solusi persamaan Laplace
(1.23)
bukti:
 ( )
 ( )

Itu juga mudah untuk mengecek bahwa
(1.24)
juga suatu keluarga satu parameter dari solusi (1.23). Lebih lanjut lagi, ada di separuh-
daerah atas , integral
∫ ∫ (1.25)
konvergen, dan adalah solusi dari (1.23) untuk dan . Ini mengikuti dari
perhitungan langsung dan . Solusi (1.25) adalah contoh lain prinsip supervise integral
linear.

8. Mohamad Tafrikan (moh.tafrikan@gmail.com) Page 8
1.4. Prinsip Supervisi
Kita dapat mengekspresikan kondisi tambahan menggunakan notasi operator. Sebagai
contoh, masalah nilai awal-batas sebagai berikut:
(1.26)
Kita dapat menulis dalam bentuk
[ ]
[ ]
[ ] (1.27)
[ ]
[ ]
Dimana adalah fungsi yang disyaratkan dan subskrip pada operator sebagai fungsi
bebas.
Sekarang perhatikan masalah
[ ]
[ ]
[ ] (1.28)
[ ]
[ ]
Kita dapat membagi masalah (1.28) ke dalam sebuah barisan masalah sebagai berikut:
[ ]
[ ]
[ ] (1.29)
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] (1.30)
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] (1.31)
[ ]
[ ]
Solusi dari masalah (1.28) diberikan oleh
∑ (1.32)
Sekarang perhatikan sub masalah (1.30), misalkan kita menemukan sebuah barisan fungsi
yang mana mungkin saja berhingga atau tak berhingga, yang memenuhi system
homogen

9. Mohamad Tafrikan (moh.tafrikan@gmail.com) Page 9
[ ]
[ ]
[ ] (1.33)
[ ]
[ ]
dan andaikan kita dapat mengekpresikan ke dalam bentuk deret:
[ ] [ ] [ ] (1.34)
maka kombinasi linear
(1.35)
adalah solusi dari masalah (1.30). Dalam kasus ini sebuah bilangan tak berhingga terbentuk di
dalam kombinasi linear (1.35), kita mengharuskan deret tak terbatas menjadi konvergen
seragam dan terdefferensial dan semua deret dimana untuk
konvergen seragam.
1.5. Latihan
1. Untuk setiap pernyataan berikut, manakah PDP linear, quasi-linear, atau non-linear. Jika
linear, manakah yang homogen dan non homogeny, dan berapa ordenya.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
2. Verifikasi fungsi-fungsi
adalah solusi dari persamaan
3. Tunjukkan bahwa dimana adalah suatu fungsi terdefferensial bebas
memenuhi
dan tunjukkan bahwa fungsi dan merupakan solusi.
4. Tunjukkan bahwa dimana dan keduanya fungsi terdefferensial
memenuhi
5. Tentukan solusi umum dari persamaan differensial
6. Temukan solusi umum dari
dengan memisalkan
7. Temukan solusi umum dari
dengan mengsumsikan bahwa solusi dalam bentuk , dimana adalah
parameter yang tidak diketahui.
8. Temukan solusi umum dari

10. Mohamad Tafrikan (moh.tafrikan@gmail.com) Page 10
9. Tunjukkan bahwa solusi umum dari
mempunyai solusi dimana dan keduanya fungsi
terdefferensial.
10. Verifikasi bahwa fungsi
( )
adalah solusi umum dari persamaan
11. Jika dan , tunjukkann bahwa keduanya memenuhi persamaan
Laplace
12. Jika adalah sebuah fungsi homogen berderajat , tunjukkan memenuhi
persamaan orde pertama
13. Verifikasi bahwa
dimana adalah sebuah solusi dari persamaan
.
14. Tunjukkan bahwa
adalah solusi dari persamaan
untuk suatu parameter Verfikasi bahwa
∫
adalah solusi juga dari persamaan diatas.
15. Tunjukkan dengan differensiasi bahwa
√
( )
adalah solusi dari persamaan diffuse
dengan adalah sebuah konstanta.
16. (a) verifikasi bahwa
(√ )
memenuhi persamaan
untuk semua
(b) Tunjukkan bahwa
adalah solusi dari persamaan Laplace
kecuali pada titik asal.
(c) Tunjukkan bahwa
memenuhi persamaan
17. Tunjukkan bahwa

11. Mohamad Tafrikan (moh.tafrikan@gmail.com) Page 11
dan
adalah solusi dari persamaan Laplace
18. Verifikasi dengan turunan bahwa memenuhi persamaan Laplace
19. Tunjukkan bahwa adalah solusi umum dari
persamaan
20. Jika memenuhi persamaan Laplace , tunjukkan bahwa
keduanya memenuhi persamaan biharmonic
( )
tetapi keduanya tidak memenuhi persamaan Laplace.
21. Tunjukkan bahwa
adalah solusi umum dari persamaan gelombang
( )
dimana f dan g fungsi terdefferensial bebas, dan adalah konstanta
22. Verifikasi bahwa
adalah solusi umum dari persamaan Poisson
23. Tunjukkan bahwa
( )
memenuhi persamaan
24. Tunjukkan bahwa
mempunyai solusi dalam bentuk
dengan adalah konstanta
25. Tunjukkan bahwa
( )
mempunyai solusi dalam bentuk
kemudian temukan sebuah persamaan differensial untuk