Dokumen tersebut membahas tentang sistem koordinat kartesian, silinder dan bola beserta konsep-konsep dasar seperti vektor satuan, volume diferensial, elemen-elemen permukaan dan garis. Juga dibahas mengenai turunan berarah (gradien), divergensi, curl, hukum Coulomb, medan listrik, fluks listrik, hukum Gauss, energi dan potensial medan listrik serta medan magnet.
2. DAFTAR ISI
BAB I SISTEM KOORDINAT
1.1 Sistem Koordinat Kartesian ................................................................... 1
a. Vektor Satuan (Unit Vektor) dalam Koordinat Kartesian ................. 2
b. Volume Diferensial Elemen-elemen Permukaan dan Garis pada
Sistem Koordinat Kartesian .............................................................. 3
1.2 Sistem Koordinat Silinder (Cylindrical Coordinates) ........................... 5
a. Vektor Satuan Dalam Koordinat Silinder dan Hubungannya Dengan
Koordinat Kartesian .......................................................................... 6
b. Volume Diferensial, Elemen-Elemen Permukaan dan Elemen Garis
Dalam Koordinat Silinder ................................................................. 10
1.3 Sistem Koordinat Bola (Spherical coordinates) ................................... 10
a. Vektor Satuan Pada Sistem Koordinat Bola dan Hubungangya Dengan
Vektor Satuan pada Sistem Koordinat Kartesian ................................ 11
b. Volume Diferensial, Elemen-Elemen Permukaan pada Koordinat
Bola .................................................................................................... 13
Contoh Soal ........................................................................................... 14
Soal-Soal Latihan dan Penyelesaiannya ................................................ 16
BAB II TURUNAN BERARAH (GRADIEN) DAN DIVERGENSI
2.1 Turunan Berarah (gradien) .................................................................... 18
a. Untuk Koordinat Kartesian ............................................................. 19
b. Untuk Koordinat Silinder ................................................................. 20
Contoh soal ....................................................................................... 21
c. Untuk Koordinat Bola ....................................................................... 22
3. Contoh soal ........................................................................................ 23
2.2 Divergensi dan Makna Fisisnya ............................................................. 24
a. Operator Divergensi Pada Sistem Koordinat Kartesian ................... 25
Contoh soal ....................................................................................... 26
b. Operator Divergensi Pada Sistem Koordinat Silinder .................. 27
c. Operator Divergensi Pada Sistem Koordinat Bola ........................... 28
Contoh soal .......................................................................................... 30
2.3 Teorema Divergensi Gauss ................................................................... 32
Contoh soal ........................................................................................... 32
Makna fisis divergensi Gauss ................................................................ 33
Soal-soal dan Penyelesaiannya .............................................................. 34
BAB III CURL (ROTASI) DAN MAKNA FISISNYA
Contoh Soal ........................................................................................... 37
Soal-soal dan Penyelesaiannya ............................................................. 41
BAB IV GAYA COULOMB DAN INTENSITAS MEDAN LISTRIK
4.1 Hukum Coulomb ................................................................................... 43
Contoh Soal ........................................................................................... 45
4.2 Intensitas Medan Listrik ........................................................................ 47
Contoh Soal .......................................................................................... 48
4.3 Medan Listrik Oleh Muatan-Muatan Titik ............................................ 49
Contoh Soal ........................................................................................... 49
4.4 Medan Listrik Oleh Disribusi Muatan Kontinu ................................... 50
Contoh Soal ........................................................................................... 51
4. 4.5 Medan Listrik Akibat Muatan Berbentuk Lempeng ............................. 53
Contoh Soal ........................................................................................ 54
BAB V FLUKS LISTRIK DAN HUKUM GAUSS
5.1 Medan Skalar dan Medan Vektor ......................................................... 55
5.2 Fluks Listrik .......................................................................................... 57
5.3 Hukum Gaus .......................................................................................... 57
5.4 Hubungan Antara Kerapatan Fluks dan Kuat Medan Listri ................. 58
5.5 Distribusi Muatan .................................................................................. 59
5.6 Pemakaian Hukum Gauss ..................................................................... 60
5.7 Teorema Divergensi Gauss ................................................................... 62
Soal-soal dengan Penyelesaian ............................................................. 64
BAB VI ENERGI DAN POTENSIAL
6.1 Energi yang Diperlukan untuk Menggerakan Muatan Titik Dalam
Medan Listrik ....................................................................................... 69
6.2 Integral Garis ........................................................................................ 70
6.3 Definisi Beda Potensial dan Potensial ................................................... 72
Contoh Soal ........................................................................................... 73
6.4 Medan Potensial Sebuah Muatan Titik ................................................. 75
6.5 Medan Potensial Akibat Distribusi Muatan .......................................... 76
a) Medan Potensial Akibat Muatan Titik .............................................. 76
b) Medan Potensial Akibat Distribusi Muatan Kontinu ........................ 76
6.6 Gradien Potensial .................................................................................. 78
6.7 Kerapatan Energi dalam Medan Elektrostatik (Listrik Statis) .............. 80
Contoh Soal ........................................................................................... 81
5. BAB VII MEDAN MAGNET TUNAK (STEADY)
7.1 Medan Magnet Oleh Arus Listrik ......................................................... 87
Contoh Soal ........................................................................................... 89
7.2 Besaran Induksi Magnetik ..................................................................... 91
7.3 Hukum Integral Ampere ....................................................................... 93
7.4 Medan Magnet Dalam Kumparan ......................................................... 95
7.5 Hukum Maxwel Tentang Induksi Magnet ............................................ 97
Teorema Maxwel (umum) .................................................................. 98
a) Hukum Gauss ............................................................................... 98
b) Bentuk Lain dari Hukum Faraday ................................................ 99
c) Hukum Maxwel Tentang Induksi Magnet ................................... 99
d) Hukum Integral Ampere .............................................................. 100
BAB VIII PERSAMAAN POISSON DAN LAPLACE
8.1 Bentuk-Bentuk Explisit Persamaan Laplace dan Poisson ..................... 101
8.2 Teorema Keunikan ................................................................................ 103
Contoh Soal ........................................................................................... 103
6. BAB I
SISTEM KOORDINAT
Untuk mengetahui posisi benda dalam dimensi ruang dikenalkan
beberapa model sistem koordinat diantaranya adalah : sistem koordinat
kartesian, sistem koordinat silinder dan sistem koordinat bola.
1.1 Sistem Koordinat Kartesian
Dalam sistem ini dikenal dengan kaidah tangan kanan seperti nampak
pada gambar :
Z y
(0, 0, 0 )
y atau (0, 0, 0 )
x
x z
Dari gambar terlihat jika arah sumbu x diputar kearah sumbu y dengan
sudut paling kecil akan menghasilkan arah sumbu z yang serupa dengan kaidah
tangan kanan dengan dengan ibu jari menggambarkan sumbu z dan arah lipatan
keempat jari lainnya merupakan arah putaran dari sumbu x ke sumbu y.
Menggambar letak suatu titik P(x, y, z) langkah-langkahnya sebagai
berikut : tentukan titik-titik x, y dan z pada masing-masing sumbu x, sumbu y, dan
sumbu z; kemudian buatlah garis melalui x dan y yang masing-masing sejajar
dengan sumbu y dan sumbu x, maka diperoleh titik P1 (x, y) pada bidang x 0 y,
juga dapat disajikan sebagai titik P1 (x, y, 0) yang berarti harga z = 0. Selanjutnya
hubungkan titik asal 0 dengan titik P1, kemudian buatlah garis melalui z yang
sejajar dengan garis P1 dan melalui titik P1 juga dibuat garis sejajar dengan sumbu
z, maka didapat titik P (x, y, z).
Gambar 1. Sistem koordinat kartesian dengan sistem putaran
tangan kanan
7. Contoh :
Gambarkan posisi titik : A(1, 2, 3)
Penyelesaian :
Z
3
A(1, 2, 3)
2 Y
1
X
a). Vektor Satuan (Unit Vektor) dalam Koordinat Kartesian
Sebagaimana kita ketahui vektor adalah suatu besaran yang mempunyai
harga dan arah. Dalam sistem koordinat kartesian ditulis dalam simbol:
zzyyxx
AaAaAaA ˆˆˆ
Ax = harga vektor pada sumbu x
Ay = harga vektor pada sumbu y
Az = harga vektor pada sumbu z
Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai harga absolut (panjang)
satu, hal itu bisa diperoleh dengan cara membagi vektor itu dengan nilai
absolutnya :
A
Az
Ay
Ax
Z
Y
X
Gambar.2 Vektor satuan dalam sistem koordinat
8. A
A
a A
ˆ
A
aˆ = vektor satuan dalam arah A
A
= vektor A
A = nilai (harga absolut)vektor tersebut
222
zyx
AAAA
dari zzyyxx
AaAaAaA ˆˆˆ
dan pengertian vektor satuan, dapat kita lihat bahwa
zyx
aaa ˆ,ˆ,ˆ masing-masing adalah vektor satuan dalam arah sumbu x, sumbu y,
sumbu z.
Contoh :
Carilah vektor satuan dari :
zyx
aaaA ˆ5ˆ4ˆ3
yang pangkalnya di titik (0,0,0)
Penyelesaian :
222
543A
25A
A
aˆ = zyx
zyx
aaa
aaa
ˆ25,0ˆ24,0ˆ23,0
25
ˆ5ˆ4ˆ3
125,024,023,0ˆ
222
A
a
b). Volume Diferensial Elemen-elemen Permukaan dan Garis pada Sistem
Koordinat Kartesian
Elemen garis (dl)
Elemen garis dl adalah diagonal yang melalui P, yaitu:
zyx
adzadyadxdl ˆˆˆ atau 2222
dzdydxdl .
Elemen permukaan (ds)
Elemen permukaan adalah suatu bagian yang terbentuk dari elemen-elemen
garis (dl), yaitu 21
dldldS .
9. dalam hal ini:
-Permukaan depan : dy ây dz âz = dy dz âx
-Permukaan samping : dz âz dx âx = dz dx ây
-Permukaan alas : dx âx dy ây = dx dy âz
Elemen Volume (dV)
Elemen volume adalah suatu bagian yang terbentuk dari elemen-elemen
permukaan (dS), yaitu :
321
dldldldV
Ambil dS permukaan depan yaitu dS = dy dz âx maka dV =dx dy dz
Demikian pula permukaan-permukaan lain, didapat dV = dx dy dz
Contoh :
Hitunglah
B
dVyzx
2
, dengan B adalah kotak dengan batas-batas
21,10,21:,, zyxzyxB
Penyelesaian :
2
1
2
1
0
2
2
1
3
2
2
1
1
0
2
0
2
2
1
2
1
3
1
zyx
dzdydxyzxdVyzx
B
dx
dz
dy
Y
X
Z dS =dx dy âz
dS = dx dz ây
dS = dy dz âx P´(x+dx, y+dy, z+dz)P (x, y, z)
Gambar 3. Elemen-elemen permukaan dS dan volume dV
10. 4
7
2
3
2
1
3
7
12
2
1
01
2
1
12
3
1 22233
1.2 Sistem Koordinat Silinder (Cylindrical Coordinates)
Suatu permasalahan dalam sistem koordinat akan lebih mudah
diselesaikan bila kita mengetahui cara penyelesaiannya dalam sistem koordinat
yang sesuai. Berikut ini akan dipaparkan mengenai salah satu koordinat lain
setelah koordinat kartesian, yaitu sistem koordinat silinder. Mari kita lihat
hubungan antara sistem koordinat silinder dan kartesian.
Jika dalam sistem koordinat kartesian dikenal dengan adanya sumbu x,
sumbu y, sumbu z, maka dalam sistem koordinat silinder diperkenalkan variabel-
variabel : r, , dan z. untuk menggambarkan suatu posisi titik. Sebagai contoh,
posisi titik A lazimnya ditulis dengan A(r, ,z).
Perhatikan gambar :
Dengan menggunakan ilmu ukur sudut sederhana dapat dicari hubungan antara (x,
y, z) dan (r, , z).
X = r cos ; Y = r sin ; z = z
Y
X
Z
P (r, ,
z)âr
â
âz
Gambar 4. Posisi titik P dalam koordinat
silinder
11. a). Vektor Satuan Dalam Koordinat Silinder dan Hubungannya Dengan
Koordinat Kartesian
Seperti pada sistem koordinat kartesian yang dimaksud vektor satuan
yakni vektor yang mempunyai harga absolut sama dengan satu. Dalam sistem
koordinat silinder ada tiga komponen vektor satuan yakni :
zr
a
r
r
a ˆ;aˆ;ˆ
âr = vektor satuan pada komponen r (arahnya sesuai dengan arah penambahan
harga).
â = vektor satuan pada komponen (arahnya sesuai dengan arah penambahan
harga).
âz = vektor satuan pada komponen z (arahnya sesuai dengan arah penambahan
harga).
Perhatikan gambar (1), hubungan antara kartesian dan silinder sebagai berikut:
sinˆcosˆ rarar yx
sinˆcosˆˆ yxr
aa
r
r
a
Untuk menjelaskan vektor satuan kearah ˆa atau ditulis ˆa mempunyai
beda fasa sebesar
2
dengan arah r
aˆ dengan sudut ˆa > sudut r
aˆ , sehingga:
ˆa ˆ ˆcos sin
2 2
x y
a a
cosˆsinˆ yx
aa
Dan arah ˆa sama persis dengan ˆa pada sistem koordinat kartesian.
Secara keseluruhan hubungan vektor satuan pada sistem silinder dan sistem
kartesian adalah sebagai berikut :
zz
yx
yxr
aa
aaa
aaa
ˆˆ
cosˆsinˆˆ
sinˆcosˆˆ
12. Dapat dituliskan dalam bentuk matrik :
z
y
x
z
r
a
a
a
a
a
a
ˆ
ˆ
ˆ
100
0cossin
0sincos
ˆ
ˆ
ˆ
Untuk mendapatkan hubungan balikannya maka kita mesti
menggunakan “inverse matrik” dari hubungan diatas.
Perhatikan bahwa harga determinan dari matrik tersebut adalah satu (1)
maka inverse matrik diatas sama dengan transposenya.
z
r
z
y
x
a
a
a
a
a
a
ˆ
ˆ
ˆ
100
0cossin
0sincos
ˆ
ˆ
ˆ
Matrik-matrik ini sangat diperlukan sekali untuk memahami operator
gradien ( ), operator divergensi( ) operator curl ( ) dan ada satu lagi bekal
yang harus disiapkan adalah pemanfaatan teorema turunan parsial. Disini akan
dibahas secara sekilas misalnya r (x, y, z), artinya r merupakan fungsi x, y, z
maka diferensial terhadap r didefinisikan sebagai berikut :
zr
z
yr
y
xr
x
r
Begitu pula (x, y, z)
z
z
y
y
x
x
Dan z (x, y, z)
zz
z
yz
y
xz
x
z
Terapkan turunan parsial ini pada
X= r cos ; Y = r sin ; Z= z
14. Contoh :
Tentukan posisi titik koordinat kartesius dari titik A (10; 53,13°; 5) dan posisi titik
koordinat tabung dari titik B (-5, -5, 2).
Penyelesaian :
a) Menentukan posisi titik A (kartesius) dari titik A (10; 53,13°; 5).
8
13,53sin10
sin
6
13,53cos10
cos
rY
rX
Jadi, titik koordinat cartesius dari (10; 53,13°; 5) adalah (6; 8; 5)
Menentukan posisi titik B (tabung) dari titik B (-5, -5, 2)
25
50
55
22
22
yxr
45
1tan
tan
1
5
5
tan
inv
inv
x
y
Jadi, titik koordinat B adalah .2,
4
,25
.2,
4
,25
X
Y
Z
(6; 8;
5)
X
Y
Z
15. b). Volume Diferensial, Elemen-Elemen Permukaan dan Elemen Garis
Dalam Koordinat Silinder
Elemen garis (dl)
dl = dr r
aˆ + r d ˆa + dz ˆa
dl2
= dr2
+ r2
d 2
+ dz2
Elemen-elemen permukaan (dS)
Selimut : rr
adzdradzdr ˆˆ
Atas : zr
addrradadr ˆˆrˆ
Bawah : zr
addrradradr ˆˆˆ
Elemen volume diferensial (dV)
dV = (dr)( r d )(dz)
dzddrrdV
1.3 Sistem Koordinat Bola (Spherical coordinates)
Sistem koordinat bola mempunyai variabel-variabel r, , . untuk
menentukan posisi titik P dalam koordinat bola adalah seperti dalam gambar :
P’(r+dr, +d ,
z+dz)
dz
r dr
d
r dr
d
P (r, ,z)
dr
dr
d
r
Gambar 5. Elemen Volume (dV) dalam
koordinat silinder
X
Y
Z
16. a). Vektor Satuan Pada Sistem Koordinat Bola dan Hubungangya Dengan
Vektor Satuan pada Sistem Koordinat Kartesian.
Dari gambar x = r sin θ cos φ ; y = r sin θ sin φ ; z = r cos θ
zayaxar zyx
ˆˆˆ
cosˆsinsinˆcossinˆ rararar zyx
cosˆsinsinˆcossinˆˆ zyxr
aaa
r
r
a
rcos
r sin cos
r sin
r sin
r
P
X
Y
Z
r
aˆ
aˆ
aˆ
P (r, , )z
y
x
r
Z
Y
X
x = r sin cos
y = r sin sin
z = r cos
Gambar 6. Posisi titik P (r, , ) dalam sistem
koordinat bola
17. Perhatikan gambar vector satuan r
aˆ dan aˆ . aˆ mempunyai sudut
mendahului
2
dari r
aˆ sehingga aˆ menjadi :
sinˆsincosˆcoscosˆ
2
cosˆsin
2
sinˆcos
2
sinˆˆ
zyx
zyx
aaa
aaaa
dan arah aˆ , mempunyai
2
dan sudut untuk aˆ mendahului
2
terhadap r
aˆ ,
sehingga aˆ menjadi :
0cosˆsinˆ
2
cosˆ
2
sin
2
sinˆ
2
cos
2
sinˆˆ
yx
zyx
aa
aaaa
Di tulis dalam hubungan matriks sebagai berikut :
z
y
xr
a
a
a
a
a
a
ˆ
ˆ
ˆ
0cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
ˆ
ˆ
ˆ
matrik transpose :
a
a
a
a
a
a r
z
y
x
ˆ
ˆ
ˆ
0sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
ˆ
ˆ
ˆ
Terapkan aturan diferensial Parsial pada system koordinat Bola
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
zr
z
yr
y
xr
x
r
18. dimana x = r sin θ cos φ ; y = r sin θ sin φ ; z = r cos θ maka :
0cossin
sin
1
atau
0cossinsinsin
sinsincoscoscos
1
sinsincoscoscos
cossinsincossin
yxr
y
r
x
r
zyxr
z
r
y
r
x
r
zyxr
Dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :
z
y
r
r
r x
0cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
sin
1
1
dengan inverse matriks = transpose (karena determinan = 1 ) maka
sin
1
1
0sincos
cossincossinsin
sincoscoscossinx
r
r
r
z
y
b). Volume Diferensial, Elemen-Elemen Permukaan pada Koordinat Bola
ds=r2
sin d d dr
r sin
r sin d
r d
r
d
d
Z
X
Y
Gambar.7 Elemen volume pada sistem koordinat bola
19. Elemen garis diferensial :
2222222
sin
ˆsinˆˆ
drdrdrdl
adradradrdl r
Elemen-elemen permukaan diferensial sebagai pasangan elemen-elemen
garis:
addrradradr
adrdradradr
addradradr
r
r
r
ˆˆˆ
ˆsinˆˆsin
ˆsinˆsinˆ 2
Volume diferensial
dV =(dr)(r d )(r sin d )
dV = r2
sin dr d d
Contoh:
1. Buktikan bahwa volume bola adalah 3
3
4
rV dengan batas-batasnya
adalah 20;0;0 rr
Penyelesaian :
3
4
22
3
1
cos
3
1
sin
sin
3
3
2
00
0
3
0 0
2
0
2
2
r
r
r
dddrrV
dddrrdV
r
r
r
20. 2. Gunakan sistem koordinat bola untuk menetapkan luas jalur pada
permukaan bola dengan jari-jari a (gambar dibawah) dan dengan batas-
batasnya ;20;0 ar . Apa hasilnya bila = 0, dan
= ?
Penyelesaian :
dS = r2
sin d d φ maka
coscos2
sin
2
2
0
2
a
ddaA
Kalau = 0 dan = , A = 4 a2
yakni
seluruh permukaan bola itu.
Z
X
Y
21. Soal-Soal Latihan dan Penyelesaiannya
1. Tentukan vektor A dari posisi (2, -4, 1) sampai (0, -2, 0) pada sistem koordinat
kartesian dan tentukan pula vektor satuannya.
Kunci Jawaban :
zyxA
zyx
aaaa
aaaA
ˆ
3
1
ˆ
3
2
ˆ
3
2
ˆˆ2ˆ2
2. Gunakan sistem koordinat silinder untuk menentukan luas daerah yang diarsir
dari gambar silinder dibawah ini dengan r = 2 m, h = 5 m dan
3
2
6
Kunci Jawaban :
2
5 mA
3. Tentukan sudut antara zy
aaA ˆ2ˆ10 dan zy
aaB ˆ5,0ˆ4 dengan
menggunakan dot product dan cross product.
Kunci Jawaban :
5,161
4. Tentukan sudut antara zy
aaA ˆ55,1ˆ8,5 dan zy
aaB ˆ4ˆ93,6 dengan
menggunakan dot product dan cross product.
Kunci Jawaban :
135
5. Tentukan volume sebuah bola menggunakan sistem koordinat bola dengan
batas-batas .
2
0
2
0,21 danmr
Kunci Jawaban :
3
6
7
mV
6 3
2
X
Y
Z
5 m
22. 6. Diketahui zyx
aaaA ˆ3ˆ4ˆ2 dan yx
aaB ˆˆ , tentukan BA dan BA .
Kunci Jawaban :
zyx
aaaBA
BA
ˆ6ˆ3ˆ3
2
7. Tentukan jarak antara 0,
6
,2 m dan 2,,1 m dengan sistem koordinat
silinder.
Kunci Jawaban :
md 53,3
8. Gunakan sistem koordinat bola untuk menentukan luas permukaan bola
dengan batas 0 dan jarak a meter. Berapakah hasilnya jika 2 .
Kunci Jawaban :
maA
makajika
maA
2
2
4
:,2
2
9. Transformasikan vektor zzyyxx
aAaAaAA ˆˆˆ ke dalam bentuk sistem
koordinat silinder.
Kunci Jawaban :
zzyxryz
aAaAAaAAA ˆˆcossinˆsincos .
10. Transformasikan vektor r
arF ˆ1
pada sistem koordinat bola ke dalam
sistem koordinat kartesian.
Kunci Jawaban :
222
ˆˆˆ
zyx
azayax
F
zyx
23. BAB II
TURUNAN BERARAH (GRADIEN) DAN DIVERGENSI
2.1 Turunan berarah (gradien)
Kita perhatikan fungsi dua variabel f(x,y) turunan parsial fx (x,y) dan fy
(x,y) mengukur laju perubahan (kemiringan garis singgung) pada arah sejajar
sumbu x dan y, sasaran kita sekarang dalah mempelajari laju perubahan f pada
sembarang arah menuju konsep turunan berarah yang kemudian menjelaskan
makna gradien.
y
y
yxFyyxF
x
x
yxFyxxF
yxFyyxFyxFyxxF
FFF yx
,,,,
,,,,
untuk x dan y menuju nol
dyadxa
y
F
a
x
F
adF
dyadxaa
y
F
a
x
F
y
y
F
x
x
F
y
y
yxxFyyxxF
x
x
yxFyxxF
F
yxyx
yxyx
yxx
ˆˆˆˆ
ˆˆˆˆ
),(),(
lim
),(),(
lim
00
Δ
0lim
0y
),( yxF
),( yx
Sb x
sb y
y
yyxx ,(
),( yxx
),( yxxF
yyxxF ,(
Fy
Fx
Fx
x
24. gradiendisebut
d
Fd
y
F
ya
x
dF
xa
d
Fd
d
F
F
ya
x
F
xaFd
ˆˆ
.ˆˆ
Keterangan :
x
F
a x
ˆ turunan parsial F terhadap x dengan y konstan pada arah sb. X
y
F
a y
ˆ turunan parsial F terhadap y dengan x konstan pada arah sb. Y
y
a
x
a yx
ˆˆ
dinamakan operator gradien dibaca DEL atau NABLA
A. Untuk koordinat kartesian
z
a
y
a
x
a zyx
ˆˆˆ
Contoh :
Diketahui :
Untuk sistem koordinat kartesian
2
1
222
ˆˆˆ
zyxr
r
Q
kV
VE
z
a
y
a
x
a zyx
Tentukan E ?
Penyelesaian :
27. C) Untuk koordinat bola
sin
1
1
0sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
ˆ
ˆ
ˆ
0sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
ˆ
ˆ
ˆ
r
r
r
z
y
x
a
a
a
a
a
a r
z
y
x
rr
aa
rrr
aaa
rrr
aaa
z
a
y
a
x
a
r
r
r
zyx
1
sincossinˆcosˆ
sin
1
cos
1
sincossinsin
cosˆsincosˆsinsinˆ
sin
1
sin
1
coscoscossin
sinˆcoscosˆcossinˆ
ˆˆˆ
29. Penyelesaian :
3
2
2
dimˆ
00ˆ
sin
1
ˆ
1
ˆˆ
r
rkQ
E
r
r
aranaa
r
kQ
E
kQraE
r
Q
k
r
a
r
a
r
aE
r
Q
kE
r
r
r
2.2 DIVERGENSI DAN MAKNA FISISNYA
Operator lain yang penting yang pada dasarnya merupakan turunan
adalah operator divergensi. Divergensi suatu vektor didefinisikan sebagai berikut :
Divergensi suatu vektor adalah linit integral permukaan per satuan volum kalau
volum yang terlingkupi oleh permukaan tersebut mendekati nol.
Lambang dari divergensi adalah (dot product) dari V
dengan satu vektor.
Arti fisisnya adalah mencari nilai fluks tiap satu satuan volume :
volume
permukaanluasmasukanjumlahpermukaanluaskeluaranjumlah(
Secara matematik operator divergensi didefinisikan sebagai :
zzyyxxzyx
AaAaAa
z
a
y
a
x
aA ˆˆˆˆˆˆ
Untuk sembarang vektor A
zyx
A
z
A
y
A
x
A
30. a). OPERATOR DIVERGENSI PADA SISTEM KOORDINAT
KARTESIAN
Jika vektor A mempunyai komponen pada sb. X : Ax; pada sb. Y : Ay dan pada sb.
Z :Az melewati suatu ruang seperti pada gambar sebagai berikut :
volume
PenampangLuasmasukanPenampangLuaskeluaran
A
dimana elemen volume = zyx
z
A
y
A
x
A
A
z
zyxAzzyxA
y
zyxAzyyxA
x
zyxAzyxxA
A
z
zyxAzzyxA
y
zyxAzyyxA
x
zyxAzyxxA
zyx
yxzyxAyxzzyxA
zyx
zxzyxAzxzyyxA
zyx
zyzyxAzyzyxxA
A
zyx
zz
z
yy
y
xx
x
z
y
x
zz
yyxx
zz
yyxx
v
,,,,
lim
,,,,
lim
,,,,
lim
,,,,
,,,,,,,,
,,,,
,,,,,,,,
0
00
0
0
0
0
lim
operator divergensi pada sistem koordinat kartesian :
z
A
y
A
x
A
A zyx
dengan demikian terbukti bahwa :
volume
PermukaanLuasmasukannilaiPermukaanLuaskeluarannilai
A
z y
x
Ax
Az
Ay
(x, y, z)
(x + x, y, z)
(x, y+ y, z)
31. listrikfluksKerapaD
magnetfluksKerapaB
tan
tan
Untuk mendapatkan operator divergensi pada sistem koordinat lain maka operator
di dot kan (perkalian skalar) dengan vektor yang akan dicari kerapatannya.
Contoh
1. Diketahui : zyx
axyayzaxA ˆˆˆ2
Tentukan A. ?
Penyelesaian :
zxxy
z
yz
y
x
x
A 2.
2
2. Diketahui : yx
ayaxD ˆ200ˆ10
2
Tentukan : D dititik (1,2,3)
Penyelesaian :
yx
yx
ayaD
a
y
y
a
x
x
D
z
Az
y
Ay
y
Ax
D
ˆ400ˆ10
ˆ
200
ˆ
10
2
D dititik (1,2,3) adalah 810240010D
3. Diketahui : zyx
x
azayaeA ˆ4cos10ˆ5ˆ10
22
Tentukan D dititik (1,2,0)
Penyelesaian :
zyx
x
a
z
z
a
dy
y
a
x
e
A
z
Az
dy
Ay
x
Ax
A
ˆ
4cos10
ˆ
5
ˆ
10
22
zyx
x
azayaeA ˆ4sin40ˆ10ˆ20
2
A dititik (1,2,0) adalah
2020
2
eA
32. b) OPERATOR DIVERGENSI PADA SISTEM KOORDINAT SELINDER
Operator divergensi juga digunakan pada sistem koordinat silinder,
sebagai berikut :
zzrrzr
AaAaAa
z
a
r
a
r
aA ˆˆˆˆ
1
ˆˆ.
Dari pembahasan sebelumnya
sinˆcosˆˆ yxr
aaa
cosˆsinˆˆ yx
aaa
zz
aa ˆˆ
aa
aaa
a
r
aa
r
a
r
r
yxr
r
yxr
ˆˆ
sinˆcosˆˆ
0ˆ
sinˆcosˆˆ
r
yx
yx
aa
aaa
aaa
ˆˆ
sinˆcosˆˆ
cosˆsinˆˆ
0ˆ
ˆˆ
z
zz
a
z
aa
z
Oleh karena itu diferensial parsial dari unit vektor mempunyai harga r
aa ˆˆ
dan aar
ˆˆ selain itu semua berharga 0.
Maka :
35. Operator divergensi pada sistem koordinat bola adalah :
A
r
A
r
Ar
rr
A r
sin
1
sin
sin
11 2
2
Contoh
1. Diketahui : zr
azararA ˆ2ˆcos2ˆsin
2
Ditanya : ?A
Penyelesaian : :
z
z
z
z
r
r
r
rr
A
4
4sin2sin2
2cos2
1
sin
1
.
22
2. Diketahui : 2
3
ˆ
4
10
m
ca
r
D r
Tentukan : D
Penyelesaian :
2
3
4
3
40
4
10
4
1
)
4
10
(
1
)
4
10
(
1
1
)(
1
rD
r
r
D
r
rr
D
rr
rr
D
D
z
D
r
rD
rr
D zr
3. Diketahui : r
arD ˆ
4
10 3
20;100;25 zmr
Tunjukan ruas kiri dan kanan dari teorema divergensi
dvDsdD
Pennyelesaian :
37. 2.3 TEOREMA DIVERGENSI GAUSS
Seperti telah dijelaskan dalam pembuktian makna fisis divergensi bahwa
divergensi adalah nilai kerapatan fluks, sekarang akan kita buktikan teorema
divergensi gauss yang di definisikan :
v s
sdAdvA
s
sdA
= integral permukaan tertutup
v
dv. = integral volume
Contoh
1. Diketahui : ,ˆsin5ˆsin5 aaA
Tentukan A. di
4
;
4
;5.0 = ?
Penyelesaian :
aa
aaA
makarkarena
a
r
a
r
a
r
a
r
r
rr
A
r
A
r
Ar
rr
A r
ˆ10ˆ10
ˆ
4
cos
4
sin5.0
5
ˆ
4
cos
4
sin
5.0
10
:
4
,
4
,5.0
ˆcos
sin
5
ˆcossin
10
0
ˆsin5
sin
1
sinˆsin5
sin
1
0
1
sin
1
sin
sin
11
.
2
2
2
2
2. Diketahui : 2
2
ˆ
4
5
m
carD r
)(
sin
1
)sin(
sin
1
)(
1 2
2
D
r
D
r
Drr
rr
Ditanya : Buktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan dari persamaan
berikut dvDsdD
39. v
Q
v
sdD
D
v
s
v 00
limlim
maka v
D. .................................................................(i)
subtitusikan
vol
v
dvQ ke hukum Gauss
maka
s vol
v
dvdsD ....................................................(ii)
dari (i) dan (ii) didapatkan hasil akhir bentuk divergensi Gauss :
s
vol
dvDdsD
Makna fisis persamaan diatas adalah :
Integral komponen normal dari setiap medan vektor pada seluruh permukaan
tertutup sama dengan integral divergensi vektor tersebut dalam seluruh volume
yang terlingkung oleh permukaan tertutup tersebut.
Soal-soal dan Penyelesaiannya
1. Diketahui zyx
axyayzaxA ˆˆˆ2
, tentukan A .
Penyelesaian :
zxA 2
2. Diketahui x
a
x
xA ˆ
2
sin5
2
, tentukan A jika x = 1.
Penyelesaian :
101x
A
3. Diketahui x
ayxA ˆ2
1
22
, tentukan A pada posisi (2, 2, 0).
Penyelesaian :
2
0,2,2
1084,8A
4. Diketahui 22
ˆ3cos1
m
Car
r
Q
D r
dalam system koordinat bola,
tentukan rapat muatannya.
40. Penyelesaian:
32
3sin
3
m
Cr
r
Q
5. Dalam system koordinat bola diketahui 2
4
ˆ
102
m
Ca
r
D r
dengan
batas mr 10 , dan 22
4
ˆ
104
m
Ca
r
D r
dengan batas mr 1 .
Tentukan rapat muatan untuk kedua batas tersebut.
Penyelesaian :
Untuk mr 10
32
4
102
m
C
r
untuk mr 1
0
6. Diketahui 2ˆcos2ˆsin10
m
CaaD r , tentukan rapat muatannya.
Penyelesaian :
3
2
cot218
sin
m
C
r
7. Buktikan bahwa divergensi dari E sama dengan nol
jika z
aa
r
E ˆ40ˆ
100
.
8. Dalam system koordinat silinder diketahui ro
a
r
ar
D ˆ
2
22
dengan
batas bra , dan ro
a
r
ab
D ˆ
2
22
dengan batas br . Untuk
ar maka 0D . Tentukan pada setiap batas tersebut.
Penyelesaian :
Untuk bra , D = 0
Untuk br , o
D
Untuk ar , D = 0
41. 9. Diketahui aaA r
ˆsin5ˆ10 , tentukan A .
Penyelesaian :
r
A
10
cos2
10. Diketahui r
r
arre
r
D ˆ2211
10 22
2
dalam system koordinat bola,
tentukan rapat muatannya.
Penyelesaian :
3
2
40
m
Ce
r
.
42. BAB III
CURL (ROTASI) DAN MAKNA FISISNYA
Secara matematis operator curl ditulis dalam bentuk simbol )( . Operasi
curl ini jika diterapkan pada vektor akan mendapatkan vektor baru.
Misal kita terapkan )( kepada vektor A
atau ditulis sebagai )( Ax
zzyyxxzyx
AaAaAa
z
a
y
a
x
aA ˆˆˆˆˆˆ
dalam bentuk matriks :
Z
z
Y
y
X
x
A
z
a
A
y
a
A
x
a
A
ˆˆˆ
xyzxzyyzx
A
y
A
x
aA
z
A
x
aA
z
A
y
aA ˆˆˆ
Arti fisis:
Curl atau rotasi dari vektor adalah mencari jumlah kerja lintasan tertutup
persatuan luas
Kerja yang dilakukan dalam lintasan tertutup permukaan y z permukaan
samping)
Lintasan 1 = Ay (x,y,z) y
Lintasan 2 = Az (x,y+ y,z) z
Lintasan 3 = -Ay (x,y+ y,z+ z) y
Lintasan 4 = - Az (x,y,z+ z) z
z y
x
Ax
Az
Ay
(x, y, z) (x + x, y, z)
(x, y+ y, z)
(x, y, z + z)
Az
Ay
Ax
( x,y,z )
43. zzzyxAzzyyxAyzzyyxAyzyxA
jaTotal
zzyy
,,,,,,,,
:ker
sehingga jumlah seluruh kerja pada lintasan tertutup muka samping persatuan luas
( y z) adalah:
y
zzyxAzzyyxA
z
zzyyxAzyxA
zy
zzzyxAzzyyxA
zy
yzzyyxAzyxA
jaTotal
zzyy
z
y
ZZyy
z
y
,,(),,(),,(),,(
lim
,,,,,,,,
ker
0
0
0
0
Jika permukaan atas dan permukaan depan diselesaikan seperti diatas dan
kemudian semuanya dijumlahkan dengan permukaan samping maka kita
dapatkan:
Total kerja dalam lintasan tertutup persatuan luas A , yaitu:
xyzzxyyxx
A
y
A
x
aA
x
A
z
aA
z
A
y
aA ˆˆˆ
dengan demikian terbukti bahwa makna fisis dari rotasi suatu vektor adalah
mencari kerja total yang dilakukan oleh vektor tersebut dalam lintasan tertutup
dibagi oleh luas permukaan dalam lintasan tertutup tersebut.
Untuk curl A dalam koordinat silinder dan bola dapat diturunkan dengan
cara yang sama seperti koordinat kartesian
zr
zr
Z
rrZ
r
Z
AAA
zrr
aaa
matriksara
silindera
A
r
rA
r
a
z
A
r
A
a
z
AA
r
A
1
ˆˆˆ
sec
)(ˆ
1
ˆˆ
1
44. AA
r
A
rrr
aa
r
a
matriksara
bolaa
rA
r
rA
r
a
rA
r
rA
r
ra
AA
r
A
sin
11
ˆˆˆ
sec
)(ˆ
1
ˆ
sin
11
ˆ
sin
sin
1
Catatan:
Arah rotasi (curl) sesuai dengan kaidah tangan kanan. (cros product dari vektor).
Dari pengertian makna fisis Curl, total kerja dalam lintasan tertutup
persatuan luas permukaan lintasan, dapat dituliskan dalam hubungan matematis
sebagai berikut:
S
ldA
A
A
S
0
0ΔS
lim
ΔS
tertutuplintasandalamKerjaTotal
lim
Definisi diatas mempunyai konsekuensi matematis dalam bentuk lain yang
dirumuskan oleh Stokes.
Stokes Theorem:
ldAdsA
*Teorema Stokes
Catatan : Teorema Integral Stokes ini banyak digunakan pada persoalan Hk.
Ampere, Hk. Maxwell untuk medan magnet.
Contoh
Diberikan medan faktor umum zyx
ayzayzxaxzA ˆ2ˆ2ˆ 23
dalam koordinat
kartesian. Carilah curl A pada titik (1, -1, 1).
46. Soal-soal dan Penyelesaiannya
1. Diketahui medan vector z
arA ˆsin5 dalam system koordinat silinder,
tentukan curl A pada posisi (2, , 0).
Penyelesaian :
r
aA ˆ50,,2
2. Diketahui medan vector aA ˆsin10 dalam system koordinat bola.
Tentukan curl A pada posisi 0,
2
,2 .
Penyelesaian :
aA ˆ5
0,
2
,2
3. Buktikan bahwa curl dari
2
3
222
ˆˆˆ
zyx
azayax zyx
sama dengan nol.
4. Diketahui medan vector aeA
z
ˆ
2
1
sin
2
dalam system koordinat
silinder, tentukan curl A pada posisi 500,0;
3
;800,0 .
Penyelesaian :
zr
aaA ˆ230,0ˆ368,0
500,0;
3
;800,0
5. Buktikan bahwa curl dari a
r
a
r
A r
ˆ
sin
ˆ
cos2
33
adalah nol.
6. Diketahui medan vector zr
r
aaeA ˆcos5ˆcos5 dalam system
koordinat silinder, tentukan curl A pada posisi 0,
2
3
,2 .
Penyelesaian :
zr
aaA ˆ34,0ˆ5,2
0,
2
3
,2
47. 7. Diketahui vector aaA ˆ5ˆ5,2 dalam system koordinat bola, tentukan
curl dari A pada posisi 0,
6
,2 .
Penyelesaian :
aaaA r
ˆ25,1ˆ5,2ˆ33,4
0,
6
,2
8. Diketahui vector aaA r
ˆsinˆsin dalam system koodinat bola,
tentukan curl dari A pada posisi 0,
2
,2 .
Penyelesaian :
0
0,
2
,2
A
9. Buktikan bahwa curl dari sebuah gradient adalah nol.
10. Diketahui vector aA ˆ2sin dalam system koordinat silinder, tentukan
curl dari A pada posisi 0,
4
,2 .
Penyelesaian :
z
aA ˆ5,0
0,
4
,2
.
48. BAB IV
GAYA COULOMB DAN INTENSITAS MEDAN LISTRIK
4.1 HUKUM COULOMB
Dari hasil empiris didapatkan bahwa antara dua muatan listrik (Q1 dan Q2)
yang berjarak d dalam ruang yang permitivitas listriknya terdapat gaya interaksi
sebesar:
d
a
d
QQ
F ˆ
4
1
2
21
d = jarak antara Q1 dan Q2
d
aˆ satuan yang menunjukan arah gaya
(d jauh lebih besar dari ukuran benda yang bermuatan Q1 dan Q2)
213
21
21
12
212
21
21
12
4
1
4
1
rr
rr
QQ
F
rr
rr
QQ
F
dimana : 21
rr
adalah vektor satuan yang arahnya dari Q2 ke Q1.
12
F
= adalah gaya pada muatan Q1 oleh muatan Q2.
zyx
zyx
zyx
azzayyaxxrr
azayaxr
azayaxr
ˆ)(ˆ)(ˆ)(
ˆˆˆ
ˆˆˆ
21212121
2222
1111
12
F
21
rr
Q1
Q2
1
r
2
r
X
Y
Z
49. Dengan demikian kita bisa tuliskan F
yang merupakan gaya pada muatan Q2 oleh
muatan Q1 yaitu :
122
12
21
21
ˆˆ
4
1
rr
rr
QQ
F
atau : 2112
FF
yang merupakan gaya aksi reaksi.
= o r
o = permitivitas vakum
mFmFx /
36
10
/10854,8
9
12
r = permitivitas relative.
Dari penjelasan diatas dapat diturunkan bahwa :
vakum
r
medium
FF
1
didalam udara F
harganya hampir sama dengan di vakum.
Gaya pada satu muatan Q yang disebabkan oleh banyak muatan ditulis dalam
bentuk hubungan matematik
N
i
i
i
R
rr
rrQQ
F
1
3
1
ˆˆ
4
1
Gaya interaksi akibat muatan-muatan listrik ini ada yang tarik menarik (jika jenis
muatannya berbeda) dan tolak-menolak jika jenis muatannya sama.
50. Q2
Q1
2
r
1
r
12
F
-
Y
Z
Contoh
1. Hitung gaya di Q1 jika diketahui :
Q1 = 2 mC pada posisi (3,-2,-4);
Q2 = 2 C pada posisi (1,-4,2)
Penyelesaian :
NewtonF
F
F
aaaF
aaaF
rr
rrQQ
KF
rr
aaarr
zyx
zyx
zyx
04,2
174,4
)848,1()616,0()616,0(
ˆ8484,1ˆ616,0ˆ616,0
)ˆ6ˆ2ˆ2(
44
10.510.2
109
)(
44622
ˆ6ˆ2ˆ2
12
12
222
12
12
3
63
9
12
3
21
212!
12
222
21
21
2. Empat muatan masing-masing
Q1= -2 C pada posisi (0,3,0) m;
Q2= 1 C pada posisi (1,4,0) m;
Q3= 3 C pada posisi (4,0,0) m;
Q4= -1 C pada posisi (0,-3,0) m.
Tentukan besar gaya interaksi
pada muatan Q3 jika muatan-muatan
tersebut terdapat pada ruang
vakum/udara.
X
Z
X
Y
Q
4
Q
3
Q
2
Q
1
32
F
31
F
34
F
52. 4.2 INTENSITAS MEDAN LISTRIK
Medan listrik adalah suatu besaran yang mempunyai harga pada tiap titik
dalam ruang ( medan adalah seuatu yang merupakan fungsi kontinu dari posisi
dalam ruang ).
Dalam membahas suatu medan dipakai istilah kuat medan. Untuk medan
gaya Coulomb intensitas medan listrik ( kuat medan listrik = electric field
intensity ) adalah vektor gaya coulomb yang bekerja pada satu satuan muatan
yang kita letakan pada suatu titik dalam medan gaya ini dengan simbol rE .
Misal kita mempunyai muatan sumber Q berupa titik dan ingin kita test harga
medannya dengan muatan 0t
Q maka )(rE
harus sama dengan :
)(
'4
)(
'
'4
1),(
)(
1
3
0
2
0
rr
rr
Q
rE
rr
Qrr
QQ
Q
QrF
rE
t
t
t
t
dimana: )( 21
rr
adalah vektor satuan yang arahnya dari Q ke Qt (arah menjauhi
muatan sumber).
12
F
1
rr
Q (sumber)
Q
(test)
1
r
r
X
Y
Z
53. Satuan Intensitas Medan Listrik
Satuan intensitas medan listrik diukur dalam satuan Newton per Coulomb
(gaya per satuan muatan) atau volt per meter, karena volt = Newton meter per
Coulomb.
Contoh :
Hitung E pada Q2 pada titik (3,-4,2) yang disebabkan oleh muatan Q1 = 2
nC di titik (0,0,0).
Penyelesaian :
)(
4
29
243
ˆ2ˆ4ˆ3
123
12
1
12
222
12
2
rr
rr
Q
E
rr
rr
aaar
o
zyx
zyx
aaaE ˆ2ˆ4ˆ3
29
102
109 3
9
9
zyx
aaaE ˆ2ˆ4ˆ3
2929
18
zyx
aaaE ˆ2ˆ4ˆ3115,0
mNaaaE zyx
/)ˆ230,0ˆ460,0ˆ345,0(
222
23,0)46,0(345,0E
mNE /619,0
54. 4.3 MEDAN LISTRIK OLEH MUATAN-MUATAN TITIK
Karena gaya coloumb adalah linier, intensitas medan listrik yang
disebabkan oleh dua muatan titik Q1 di r1 dan Q2 di r2 adalah jumlah gaya pada
muatan Qt yang ditimbulkan Q1 dan Q2 yang bekerja sendiri-sendiri atau :
3
20
202
0
3
10
101
)(
4
1)(
4
1
)(
rr
rrQ
rr
rrQ
rE
Jika kita tambahkan lebih banyak muatan pada kedudukan lain, medan
yang disebabkan oleh muatan titik adalah :
)()(
1
rErE
N
i
atau
N
i
i
ii
rr
rrQ
rE
1
3
)(
4
1
)(
Contoh :
Hitung E pada titik A0 jika diketahui : A0 = (1,1,1), A1 = (1,1,0), A2 = (-
1,1,0), A3 =(-1,-1,0), A4 = (1,-1,0) dan Q1 = Q2 = Q3 = Q4 = 3 nC
Penyelesaian :
512
ˆˆ2
11
ˆ
22
20
20
2
10
10
rr
aarr
rr
arr
zx
z
E1 (ro)
E0 (ro)
E1 (ro)
Z
X
Y
1
r
0
r
2
r
Q1
Q
2
Q
E
56. p
muatan sumber berbentuk permukaan.
l
l
rr
dlrr
rE 3
'
''
)(
4
)(
muatan sumber berbentuk garis.
Contoh :
Muatan tersebar secara merata pada garis lurus yang panjangnya tak
berhingga dengan kecepatan l
tentukan E
disuatu titik p sejauh r dari muatan
garis.
Penyelesaian : Gunakan sistem koordinat silinder
'
'
2
'
2
1
22'
'
'
4
)(
ˆ
ˆ
'
rr
rr
rr
dq
Ed
dzld
zrrr
drr
arr
azr
dzdrdq
o
r
z
ll
2/122
2/12222
)(4
)ˆˆ(
)(
)ˆˆ(
)(4
zr
azardz
Ed
zr
azar
zr
dz
Ed
o
zrl
zr
o
l
karena pada setiap dq pada z ada dq pada –z sehingga komponen z saling
menghilangkan maka :
dE
dE
r 1
= z
r 1
= -z
r – r’
r
58. 4.5 MEDAN LISTRIK AKIBAT MUATAN BERBENTUK LEMPENG
Terapkan ungkapan
)'(
.
4
1
3
'
1
0
rr
rr
dl
Ed
Z
azr ˆ
r
arr ˆ'
rddsdl
karena simetris dzaˆ r saling
meniadakan.
Muatan tersebar merata dalam bidang datar tak berhingga dengan kerapatan S
.
Tentukan besar medan (intensitas medan) akibat muatan tersebut.
)(
4
1 '
3
'
0
rr
rr
dq
Ed
222
2
1
22
0
)0()..()0(
ˆˆ
...
4
1
zdrdrr
zr
araz
drd
Ed
rz
S
)ˆˆ(
)(
..
4
1
2
3
220
rz
S
araz
zr
drdr
Ed
karena simetris komponen radial saling meniadakan.
z
S
az
zr
drrd
Ed ˆ
)(4
1
2/322
0
0
2
0
2/322
0
2/322
0
ˆ
)(4
2
ˆ
)(4
1
r
z
S
z
S
a
zr
rdrz
az
zr
drrd
E
lihat tabel
zr
az
zr
a
z
E zS
z
S 11
2
ˆ
)(
1
ˆ
2 0
2/122
0
z
S
aE
0
2
'r
r
'rr
Ed
Ed
Z
X
Y
59. Contoh
Tentukan E disemua titik jika diketahui lempeng seluas 100 cm2
yang
mengandung distribusi muatan yang serba sama sebesar C
9
10
. Tentukan medan
listrik disekitar muatan tersebut.
Penyelesaian :
o
o
o
E
2
1036
1
109
4
1
9
9
dimana :
S
Q
m
V
E
m
C
o
5
9
4
2
4
4
6
10
4
5
1036
1
2
10
9
10
2
10
9
10
10100
10
9
10
60. BAB V
FLUKS LISTRIK DAN HUKUM GAUSS
5.1. MEDAN SKALAR DAN MEDAN VEKTOR
dikatakan medan skalar jika terdefinisi suatu skalar di setiap titik
dalam ruang, yaitu φ (x,y,z ) atau (suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan
dengan tiap titik didalam ruang). Medan u dikatakan medan vektor jika :
Terdefinisi suatu vektor u disetiap titik didalam ruang atau ditulis dalam
hubungan ruu
atau suatu fungsi u yang berkaitan dengan tiap titik r
diruang.
Dalam koordinat kartesian :
zyx ,, medan scalar
zyxzuzazyxyuyazyxxuxau ,,ˆ,,ˆ,,ˆ (medan vektor)
Dalam koordinat silinder :
zr ,, medan skalar
,zr,zuza,zr,ua,zr,rurau ˆˆˆ (medan vektor)
Dalam koordinat bola :
,,r medan skalar
,,ˆ,,ˆ,,ˆ ruaruarrurau (medan vektor)
Kita lihat, suatu medan vektor adalah ekuivalen dengan 3 komponen
medan skalar ini karena u ekuivalen dengan komponen
Bolarururu
Silinderrururu
Kartesianrururu
r
zr
zyx
,,
,,
,,
Dari pengertian definisi medan skalar dan medan vektor terlihat bahwa :
Medan vektor berkaitan dengan sumber medan berupa fungsi bernilai vektor.
Contoh : medan gaya coulomb, medan gaya magnet, medan gaya gravitasi, dan
sebagainya.
61. Medan skalar berkaitan dengan sumber medan berupa fungsi bernilai
bilangan.
Contoh : fungsi yang memberikan suhu pada tiap titik diruangan.
Suatu visualisasi medan skalar adalah dengan jalan melukiskan sistem
“permukaan-permukaan tutupnya”. Permukaan-permukaan ini adalah tempat
kedudukan titik-titik dengan nilai yang sama dan biasanya digambarkan dengan
beda harga , yang sama antara setiap permukaan yang berdekatan.
Cara melukiskan medan vektor salah satunya adalah dengan cara
melukiskan garis medan dalam medan gaya, garis medan ini disebut garis gaya.
Garis gaya listrik dilukiskan sehingga arah medan listrik menyinggung garis gaya
tersebut.
Kuat lemahnya medan listrik ditentukan oleh kerapatan garis gaya
tersebut. Perhatikan gambar dibawah ini.
Keterangan :
Garis gaya keluar dari muatan positif menuju ke muatan negatife.
permukaan tetap
3
1
2
E (Q)
E (P)
Q
P
+
( b )
+ +
( c
)
(a
)
62. Untuk muatan positif yang tidak ada pasangan muatan negatifnya, garis gaya
menuju ke tempat tak berhingga.
Untuk muatan yang sejenis garis gayanya saling menjauhi.
5.2 FLUKS LISTRIK
Fluks listrik didefinisikan sebagai jumlah garis gaya yang menembus
permukaan yang saling tegak lurus. Dengan demikian muatan satu coulomb
menimbulkan fluks listrik satu coulomb. Maka Ψ = Q Coulomb.
Jika fluks Ψ adalah besaran skalar, maka kerapatan fluks listrik (density of electric
flux) D adalah medan vektor.
Gambar dibawah memperlihatkan distribusi muatan ruang kerapatan muatan ρ
yang ditutupi oleh permukaan S.
Maka untuk elemen kecil permukaan ds, kita memperoleh differensial fluks yang
menembus ds sebagai berikut :
cos
ˆ
dsD
sdnD
sdDd
Ini karena D tidak selalu dalam arah normal terhadap permukaan dan misalkan
adalah sudut antara D dengan normal permukaan dan d s adalah vektor elemen
permukaan yang mempunyai arah n
a (normal).
Kerapatan Fluks listrik (Density of Electrical Flux) D
D adalah medan vektor yang arahnya sama dengan arah garis gaya.
2
/ˆ mCa
dA
d
D n
( n
aˆ adalah unit vektor dari D)
5.3 HUKUM GAUSS
“Flux total yang keluar dari suatu permukaan tertutup adalah
sama dengan jumlah muatan di dalam permukaan tersebut.”
D
ρ
n
a
63. Fluks total yang menembus permukaan yang tertutup didapat dengan
menjumlahkan differensial yang menembus permukaan ds.
sdD
sehingga bentuk matematik hukum gauss sebagai berikut :
QdilingkupiyangmuatansdD
Muatan yang dilingkupi bisa terdiri dari :
Beberapa muatan titik
Distribusi muatan garis
Distribusi muatan permukaan (tidak perlu permukaan tertutup)
Distribusi muatan volume
5.4 HUBUNGAN ANTARA KERAPATAN FLUX DAN KUAT
MEDAN LISTRIK
Kita pandang suatu muatan Q positif yang terletak di pusat bola yang
berjari-jari r, dari definisi garis gaya yang terjadi akibat muatan Q ini akan menuju
tak hingga (~) sehingga DaD r
ˆ (berarah keluar sesuai dengan arah r
aˆ ).
Gunakan hukum Gauss
ddraDasdDQ rr
sinˆˆ 2
Z
X
Q
Y
dsadsasd rn
ˆˆ
64. dimana r
aˆ dan n
aˆ sejajar sehingga r
aˆ . n
aˆ = l
Untuk permukaan bola = 0 s/d
= 0 s/d 2
Sehingga Dr
2
4Q
2
..4 r
Q
D
r
a
r
Q
D ˆ
..4
2
Kita tahu intensitas medan listrik radial oleh sebuah muatan titik dipusat
bola dalam vakum adalah :
r
r
Q
E
o
ˆ
..4
2
Maka ED o
. berlaku untuk ruang vacuum dan umumnya untuk setiap medium
yang mempunyai permitivitas listrik ED
5.5 DISTRIBUSI MUATAN
a) Muatan ruang
Jika muatan tersebar dalam suatu volume, rapat muatan didefinisikan
sebagai 3
m
C
dv
dQ
atau
dvQ
v
dvdQ atau dapat ditulis
v
dvQ . .
b) Muatan permukaan
Jika permukaan tersebar dalam suatu lembaran permukaan
s
dsQ . begitu pula
dengan muatan garis
s
dlQ .
Contoh
Tentukan jumlah muatan yang ada didalam bola yang ditentukan oleh
1 r 2 m dan kerapatannya adalah 24
2
cos5
m
C
r
Penyelesaian :
65. Coulomb
r
dddr
r
dddrr
r
dvQ
r
r
10
025
2sin
4
1
2
1
cos
5
cossin.
5
sin
cos5
2
0
0
2
1
2
0 0
2
1
2
2
2
0 0
2
1
2
4
2
5.6 PEMAKAIAN HUKUM GAUSS
a) Beberapa distribusi muatan
Hukum Gauss sdDQ
Pemecahannya akan mudah jika dipilih permukaan tertutup yang memenuhi syarat
sebagai berikut :
DS normal terhadap permukaan sehingga dsDsdD ss
dan juga
menyinggung permukaan sehingga 0dsD s
Pada harga 0sdD S
, DS adalah suatu konstanta.
Contoh :
Muatan titik dipusat koordinat bola, kita pilih permukaan tertutup yang memenuhi
kedua syarat tersebut, yaitu permukaan bola yang pusatnya dipusat koordinat dan
jari-jarinya r.
Penyelesaian :
Arah DS di setiap titik pada permukaan adalah normal terhadap permukaan
tersebut, dan besar DS di setiap titik adalah sama.
2
2
2
0
2
0
4
4
sin.
r
Q
D
atau
rD
ddrDdsD
sdDQ
s
s
ss
S
s
Karena harga r diambil sembarang
DS mempunyai arah radial keluar
66. Maka r
a
r
Q
D ˆ
.4
2
Tinjau distribusi muatan garis dengan kerapatan muatan serba sama ρD.
Misalkan distribusi muatan tersebut memanjang sepanjang sumbu z dari
(- ~) ke (~).
Penyelesaian :
Kita pilih permukaan tertutup yang memenuhi kedua syarat tersebut yaitu
permukaan silinder. Besar D
tetap dan arahnya selalu tegak lurus terhadap
permukaan silinder di setiap titik pada permukaan tersebut datarbidangD
.
Sehingga :
321
sdDsdDsdD
sdDQ
Karena untuk tutup atas dan tutup bawah sdD S
sehingga harga 0sdD S
r
l
Lz
z
a
r
D
maka
lQrlD
dzrdDQ
ˆ
2
2
2
00
Kabel koaksial
Kita pilih permukaan Gauss yang memenuhi syarat yaitu permukaan
tabung dengan panjang L dan jari-jari a<r<b.
Dari hukum Gauss, sdDQ
Sehingga :
Q = Ds (2 r L) Ds =
Lr
Q
..2
Muatan total pada konduktor dalam (r = a)
dengan panjang L :
br
a
+~
- ~
D
D
D
ds
ds
ds
ρL
67. ss
L
z
aLdzdaQ .2
2
00
Sehingga ss
r
a
D atau rss
a
r
a
D ˆ (a < r < b)
Jika konduktor dalam panjangnya menjadi 1 m, maka r
LL
a
rar
a
D ˆ
22
(sama dengan muatan garis tak berhingga).
Karena tiap garis fluks listrik :
Berawal dari muatan positif pada tabung dalam ( inner surface) ke muatan negatif
tabung luar (outer surface).
Maka :
Q (tabung luar) = -Q (tabung dalam)
ss
ss
sehingga
aLbL
'
'
22
Jika dipilih r > b untuk permukaan Gauss, maka Qtotal = 0 (karena ada muatan
yang besarnya sama tapi tanda berlawanan).
Sehingga Ds = 0 (r > b)
Demikian juga untuk r < a, untuk Ds = 0
5.7 TEOREMA DIVERGENSI GAUSS
Seperti telah dijelaskan dalam pembuktian makna fisis divergensi bahwa
divergensi adalah nilai kerapatan fluks, sekarang akan kita buktikan teorema
divergensi Gauss yang didefinisikan :
dsA integral permukaan tertutup
dvA integral volume dari divergensi A
untuk membuktikan teorema di atas kita lihat dalam koordinat yang paling kita
kenal “kartesian”.
68. Dipilih suatu kubus kecil dengan sisi x, y, z yang sejajar dengan sb x, y, z
sepeti pada gambar :
misal titik P dengan posisi (x, y, z)
yang dimaksud integral permukaan
tertutup adalah :
dsA harus diungkapkan
untuk ke-6 muka kubus sehingga :
bawahataskanankiriblkdepan
s
dsAdsAdsAdsAdsAdsAdsA 654321
Ambil muka kiri dan kanan (dengan memperbesar gambar) :
kiri
y
zxyAdsA )(
kanan
y
zxyyAdsA )(
Gunakan deret Taylor zxy
y
A
yAzxyyA
y
yy
)(
Sehingga :
z
x
y
y
x
P
z
ds
A(x, y, z)
z
y
x
A (x, y+ y, z)
ds
z
y
x
69. zyx
y
A
dsAdsA
y
kanankiri
43
zyx
x
A
dsAdsA x
belakangdepan
21
zyx
z
A
dsAdsA z
atasbawah
56
atau : zyx
z
A
y
A
x
A
dsA zyx
Dengan membagi ruas kiri dan kanan oleh ( V) di mana V = dx dy dz dan
membuat V menuju nol maka didapat :
Maka : AdivA
v
sdA
v
.
.
lim
0
Soal-soal dengan penyelesaiannya
1. Tentukanlah muatan total dalam volume yang didefinisikan oleh
mx 10 , my 10 dan mz 10 , kalau yx
2
30 . Bagaimana
pula hasilnya kalau pembatasan y diubah menjadi my 01 ?
Penyelesaian :
karena dQ = ρ dv
Coulomb
zyx
dzdydxyxQ
5
1
2
1
10
2
1
3
30
30
1
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
1
0
1
0
untuk batas-batas y yang diubah,
70. Coulomb
zyx
dzdydxyxQ
5
1
2
1
10
2
1
3
30
30
1
0
0
1
2
1
0
3
2
1
0
0
1
1
0
2. Tetapkanlah jumlah muatan dalam volume yang ditentukan oleh mr 21
dalam koordinat bola. Kerapatannya adalah
4
2
cos5
r
Penyelesaian :
Coulomb
r
drddr
r
Q
10
25
cos2sin
4
1
2
15
sin
cos5
0
2
0
2
1
2
4
22
10
2
0
3. Tiga muatan titik Q1 = 30 nC, Q2 = 150 nC dan Q3 =-70 nC, dikelilingi oleh
permukaan tertutup S. Berapa besarnya fluks netto yang melalui S ?
Penyelesaian :
Karena fluks listrik didefinisikan sebagai bersumber dimuatan positif dan
brakhir dimuatan negaatif, sebagian fluks dari muatan-muatan itu berakhir di
muatan negatif.
nCnetQnet 1107015030
4. Berapa fluks netto melalui permukaan tertutup S di gambar 1 yang berisi
distribusi muatan dalam bentuk lempeng berjari-jari 4 m dengan kerapatan
zs
a
r
D ˆ
2
sin
2
C/m2
dan z
addrrsd ˆ
Penyelesaian :
r
71. Tesla
r
drdra
r
a
dsDQ
zz
2
2
2
1
2sin
4
1
2
1
ˆ
2
sin
ˆ
4
0
2
0
24
0
2
0
5. Dua muatan yang sama besar tapi berlawanan tanda dilingkupi oleh
permukaan S apakah fluks dapat melalui permukaan itu ?
Penyelesaian :
fluks dapat melalui permukaan itu, sepeerti ditunjukkan di gambar 2, tapi
fluks total yang dari S adalah nol, asalkan jumlah muatan didalam S adalah
nol.
6. Suatu piringan bulat berjari- jari 4 m dengan rapat muatan sin12D
dikelilingi permukaan tertutup S. Berapa fluks total yang melalui S ?
Penyelesaian :
Tesla
r
drdr
dsDQ
r
192
2812
cos
2
1
12
sin12
2
0
4
0
2
2
0
4
0
7. Muatan titik Q = 30 nC terletak di titik asal suatu koordinat katesian.
Tentukan kerapatan fluks D di ( 1, 3, -4 ) m.
Penyelesaian :
73. Karena ρ bukan fungsi Ø atau z, maka fluks adalah semata-mata radial.
Juga bahwa pada r yang tetap harga D pastilah konstan. Maka permukaan
gauss khusus yang sesuai untuk hal ini adalah silinder lingkaran yang
tegak. Integral pada permukaan ujung-ujung silinder itu hilang, sehingga
hukum gauss menjadi
2
2
2
2
0
2
00
2
2
0
2
00
2
00
ˆ
115
2
1110
11102
152
5ˆˆ
m
Ca
r
er
rl
erl
D
erlrlD
zerrlD
dzdrdrredzdraDa
QdsD
r
r
r
r
lrr
r
r
r
l
z
rr
l
z
enc
10. Volume dalam koordinat bola yang ditentukan oleh r ≤ a , dimana a jari-
jari bola. Berisi muatan dengan kerapatan yang serba sama. Pakai hukum gauss
untuk menentukan D. Berapa besarnya muatan dititik asal yang akan
menghasilkan medan D yang sama untuk r > a ?
Penyelesaian :
2
2
3
32
32
0
2
0
3
3
4
4
3
4
sinˆˆ
m
C
r
a
D
arD
addraDa
QdsD
rr
enc
kalau suatu muatan titik Q = (4/3) пa3
ρ diletakkan dititik asal, medan D untuk r >
a, yang dibangkitkannya akan sama besar dengan bola yang bermuatan yang
berdistribusi merata
74. BAB VI
ENERGI DAN POTENSIAL
6.1 ENERGI YANG DIPELUKAN UNTUK MENGGERAKKAN MUATAN
TITIK DALAM MEDAN LISTRIK.
Muatan Q dalam medan listrik E akan mengalami gaya interaksi Coulomb
sebesar : QEFE
(Newton), jika ingin menggerakkan Q dengan arah melawan E
diperlukan gaya yang melawan E
F .
QE
FF Epakai
pakai
F sama dengan E
F dan arahnya berlawanan. Dengan demikian jika kita ingin
memidahkan Q sejauh dl dengan arah melawan medan harus menyediakan energi
(dilakukan usaha) sebesar:
dldanEantarasudutdlQEdW
vektorduadariproductdotdlQEdW
cos
Untuk memindahkan Q pada jarak tertentu (berhingga) harus ditentukan dengan
mengintegrasikan:
ldW
akhir
awal
AB
E
dimana :
bolaadrardadrdl
silinderadzardadrdl
kartesianadzadyadxdl
r
zr
zyx
ˆsinˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
Usaha yang dilakukan untuk memindahkan muatan titik dari titik awal (B) ke titik
akhir (A) dalam medan listrik E serba sama, pada setiap lintasan tertutup adalah
nol.
StatisMedandlE 0
medan vektor dengan sifat tersebut disebut medan konservatif.
75. 6.2 INTEGRAL GARIS
Persamaan
akhir
awal
dlEQW merupakan contoh integral garis. Integral
garis diatas dalam medan (E) yang serba sama tidak bergantung pada lintasan
yang dipilih, hal inipun berlaku untuk medan yang tidak serba sama, tetapi pada
umumnya tidak berlaku untuk E yang merupakan fungsi waktu.
Sebagai contoh kita lihat gambar dibawah ini kita pilih kedudukan awal titik B
dan kedudukan akhir diberi tanda A dalam medan listrik yang serba sama lintasan
dibagi dalam segmen-segmen kecil .....L,L,L 4321
1
EL proyeksi E pada 1
L
2
EL proyeksi E pada 2
L
3
EL proyeksi E pada 3
L
4
EL proyeksi E pada 4
L
Besarnya kerja yang diperlukan dari B ke A adalah :
)( 44332211
LELLELLELLELQW AB
atau dengan memakai notasi vektor
)( 44332211
LELELELEQW AB
EL1
EL2
EL3
EL4
E1
E2
E3
E4
B
A
1
L
2
L
3
L
4
L
76. Karena kita menjumlahkan terhadap medan yang serba sama
EEEEE 4321
)LLLL(QEW 4321
Penjumlahan 4321
LLLL merupakan penjumlahan vektor
(penjumlahan jajaran genjang) yang hasilnya merupakan vektor yang mempunyai
arah dari titik awal B ke titik akhir A, LBA (tidak tergantung lintasan yang dipilih).
BA
LQEW . (E serba sama)
Bentuk integral dari penjumlahan di atas :
BA
A
B
A
B
QEL
samaserbaEdlQE
dlEQW
................
.
dengan dl adalah elemen panjang, ditulis dalam bentuk sebagai berikut :
bolaadrardadrdl
silinderadzardadrdl
kartesianadzadyadxdl
r
zr
zyx
ˆsinˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
Pada pembicaraan interaksi Coulumb dan intensitas medan listrik, kuat medan
listrik yang diakibatkan oleh muatan garis lurus adalah
Medan listrik sekitar muatan garis
adalah arah radial
r
o
a
r
E ˆ
2
untuk memindahkan muatan dari 1
r
ke 2
r diperlukan kerja.
Y
X
Z
r1
r2
77. 2
1
2
1
2
2
2
ˆˆˆˆ
2
21
r
r o
r
r o
akhir
awal o
zrr
akhir
awal o
akhir
awal
r
Q
dr
r
Q
dr
r
Q
dzardadraa
r
Q
dlEQW
1
2
ln
2
2
2
1
r
r
Q
r
Q
o
r
r o
1
2
21
ln
2 r
rQ
W
o
Jika ingin memindahkan Q dalam arah z
aˆ dan arah aˆ tidak memerlukan
usaha, sebab dlE (ingat aturan dot pruduct dari vektor).
6.3 DEFINISI BEDA POTENSIAL DAN POTENSIAL
Kerja yang diperlukan oleh gaya luar untuk memindahkan muatan Q dari
satu titik ke titik lain dalam medan listrik
_
E :
dlEQW
akhir
awal
Beda potensial didefinisikan sebagai energi (yang dikerjakan oleh sumber luar)
untuk memindahkan satu satuan muatan dari satu titik ke titik lain dalam medan
listrik, atau dalanm bentuk matematik.
Beda potensial
akhir
awal
dlE
Q
W
V
78. AB
V didefinisikan sebagai kerja yang diperluka untuk memindahkan satu satuan
muatan dari B ke A atau AB
V adalah perbedaan potensial antara titik A dan B.
A
B
BAAB
dlEVVV
satuan yang dipakai adalah volt yang identik dengan dengan (joule/Coulumb)
Contoh
1. Disekitar muatan garis panjang dengan kerapatan jika kita ingin
memindahkan muatan Q dari 2
r ke 1
r diperlukan energi sebesar ?
Penyelesaian :
1
2
1
2
ln
2
ln
2
r
r
QW
QVW
r
rQ
W
o
o
jadi beda potensial
1
2
12
ln
2 r
r
Q
W
V
o
Bukti :
Unsur diferensial dl dipilih dalam koordinat tabung dan lintasan radial yang
dipilih mengharuskan dz dan dradld r
ˆ;0
Sehingga
1
2
ln
2
2
ˆˆ
2
1
2
r
rQ
r
dr
r
Q
adra
r
W
o
r
r o
rr
akhir
awal o
jadi beda potensial
1
2
12
ln
2 r
r
V
o
Z
r1
r2l
Muatan garis tak terhingga
79. 2. Disekitar muatan titik jika kita ingin memindahkan 2 dari titik B ke A
diperlukan energi sebesar ?
Penyelesaian :
A
B
AB
A
B
ldE
Q
W
V
ldEQW
.
BA
s
BAAB
BA
s
A
B
s
r
r
A
B
AB
r
Q
r
Q
VVV
rr
Q
r
drQ
drardadra
r
aQ
V
00
0
2
0
2
0
44
)
11
(
44
sinˆˆˆ
ˆ.
4
1
Jika AB
rr beda potensial 0AB
V , secara fisis berarti : diperlukan
energi oleh sumber luar untuk membawa muatan Q positif dari B
r ke A
r (karena 2
muatan yang sejenis selalu tolak-menolak). Kalau kita membicarakan potensial
mutlak (bukan beda potensial) maka harus dipilih suatu acuan potensial nol,
misal:
Acuan nol diperlukan bumi (eksperimental/empiris)
Acuan nol dititik tak berhingga (teoritis)
Untuk persoalan simetri tabung, misal dalam kabel koaksial, konduktor
luarnya bisa dipilih sebagai acuan potensial nol.
Beda potensial di titik A dan B adalah beda potensial di titik A relatif terhadap
beda potensial di titik B. Jika potensial dititik A adalah A
V dan potensial dititik B
adalah B
V maka beda potensial titik A dan titik B adalah :
BAAB
VVV
80. 6.4 MEDAN POTENSIAL SEBUAH MUATAN TITIK
Dari contoh di atas VAB = VA – VB =
BA
rr
Q 11
4 0
walaupun titik A
dan B mempunyai , yang berbeda hasil VAB hanya ditentukan oleh
rekapitalisasi rA dan rekapitalisasiB, tidak ditentukan oleh lintasan yang diambil.
komponen , dan tidak berpengaruh karena E berarah radial EaE r
ˆ .
jika titik potensial nol didefinisikan sebagai titik terjauah tak hingga maka
potensial di titik A adalah
Ar
AoAo
Aao
r
Q
dr
rr
Q
VVV
~
2
4
1
4
)0(
sehingga VA =
A
r
Q
0
4
sama halnya dengan potensial di titik B
B
B
r
Q
V
0
4
atau biasa ditulis:
r
Q
V
0
4
cara menyatakan potensial tanpa memilih acuan nol diperoleh dengan
mengindetifikasikan rekapitalisasi rA sebagai r dan
B
r
Q
0
4
sebagai konstan,
sehingga: C
r
Q
V
0
4
C dipilih supaya V = 0 pada r tertentu.
Atau kita bisa memilih acuan V = V0 pada r = r0, karena beda potensial bukanlah
fungsi dari C.
Definisi permukaan equipotensial
Permukaan Equipotensial adalah permukaan yang mirip tempat kedudukan
semua titik yang mempunyai potensial yang sama. Untuk memindahkan sebuah
muatan pada permukaan equipotensial tidak diperlukan kerja. Permukaan
equipotensial dalam medan potensial sebuah muatan titik adalah bola yang
berpusat pada muatan titik tersebut.
81. 6.5 MEDAN POTENSIAL AKIBAT DISTRIBUSI MUATAN.
a) Medan Potensial Akibat Muatan Titik
Untuk mencari medan potensial akiabat muatan-muatan titik, sama seperti
mencari medan gaya yang diakibatkan oleh muatan-muatan titik berlaku cara
superposisi. Titik yang ingin diketahui medan potensialnya yaitu titik titik P.
Titik yang ingin diketahui
medan potensialnya yaitu titik P.
n
i
i
rrπε
i
Q
(r)
V
...
rrπε
Q
rrπε
Q
rrπε
Q
(r)
V
1
0
4
30
4
3
20
4
2
10
4
1
b) Medan Potensial Akibat Distribusi Muatan Kontinu
Medan potensial yang diakibatkan oleh muatan terdistribusi kontinu
caranya sama seperti ketika kita mencari medan gaya listrik. Untuk muatan
berbentuk ruang dipakai rumus :
1
(r)
4
)'(
V
rr
dvr
o
Untuk muatan terdistribusi kontinu dalam bidang:
s o
s
rr
dsr
4
)'(
V
1
(r)
r1
r2
r3
r
Q1 Q2
Q3
P
Y
Z
X
82. Dan untuk muatan yang terdistribusi kontinu dalam garis :
l o
s
rr
dlr
1
r
4
)'(
V
Hasil-hasil di atas didapat dengan memilih titik acuan (medan potensial = 0) pada
titik ~ (tak hingga) atau :
A
dlE
~
A
V
A
B
dlEAB
V
Seperti yang telah dijelaskan dimuka bahwa integrasi di atas tidak
bergantung pada lintasannya hanya melihat titik awal dan akhir saja, dengan
demikian maka jika kita pilih lintasan tertutup akan menghasilkan harga
statismedanuntukdlEV 0
KirchoffpernyataandengansesuaidlEV
C
0
Berlaku 0dlEV dalam lintasan tertutup medan potensialnya sama dengan
nol.
C
DE
83. 6.6 GRADIEN POTENSIAL
Perhatikan rumusan medan potensial: dlE.-V atau dapat ditulis dalam
bentuk 0)L(L-V E
Jika antara berlakuakanmakasudutmembentukLdanE
atau cos
V
Lcos-E.V
E
dl
d
Persamaan terakhir ini akan mempunyai nilai maksimum jika (arah
perubahan potensial berlawanan dengan arah pertambahan jarak).
E
dl
dV
max
(a) Besar E sama dengan harga maksimum perubahan potensial terhadap jarak.
(b) Pertambahan jarak berlawanan arah dengan arah pertambahan potensial.
max
max
V
-E
dl
d
Dari rumus : L-EV
Pada bidang yang mempunyai harga potensial sama (sepotensial bidang =
bidang equipotensial) pada bidang ini 0.V
0LE dimana harga E dan L tidak nol dengan demikian LE . Dalam
hal ini L mempunyai arah menyinggung bidang sepotensial maka E tegak lurus
bidang sepotensial (arah pertambahan potensial terbesar adalah tegak lurus pada
permukaan sepotensial yaitu dalam arah potensial bertambah).
Jika n
aˆ merupakan arah normal dari permukaan sepotensial (dan mempunyai arah
ke potensial yang lebih besar) maka :
n
mak
a
dl
d
E ˆ
V_
Menunjukan bahwa besarnya E sama dengan laju perubahan maksimum V dan
arah E adalah normal terhadap permukaan sepotensial (dalam arah
pengurangan potensial)
dn
d
dl
d
mak
vV
84. Karena laju perubahan V yang maksimum terjadi untuk arah yang sama dengan
arah E, maka :
n
a
dn
d
E ˆ
V_
kartesian.ˆˆˆ
_
V
z
a
y
a
x
aE zyx
atau
n
a
E
ˆ
n
V
-
V
_
n
aˆ merupakan vektor satuan yang normal terhadap permukaan sepotensial, dan
arah normalnya dipilih dalam arah pertambahan harga V.
ingat : kartesianˆˆˆˆ
z
a
y
a
x
aa
n
zyxn
dimana
zyx
V
E;
V
E;
V
E zyx
atau
bolaV
r
a
r
a
r
aV
silinderV
z
a
r
a
r
aV
kartesianV
z
a
y
a
x
aV
r
zr
zyx
sin
1
ˆ
1
ˆˆ
ˆ
1
ˆˆ
ˆˆˆ
85. 6.7 KERAPATAN ENERGI DALAM MEDAN ELEKTROSTATIK
(LISTRIK STATIS)
Sekarang kita tinjau usaha untuk memindahkan 3 buah muatan, muatan
demi muatan (satu demi satu) pada ruangan yang mula- mula bebas
muatan.perhatikan gambar sebagai berikut:
~
Dari definisi energi QVdLEQW
Misalkan urutan pemindahan muatan adalah Q1,Q2, Qn maka :
011
dLEQW
(karena pada saat Q1 datang, ruang belum ada medan)
01011
VQW
1tan2212122
muaolehdisebabkandititikpotensialVVQW
313232123
VVQVQW
1........................................................32313212
321
VVQVQ
WWWW E
Jika urutan pemindahan muatan dibalik mula-mula Q3 kemudian Q2 dan Q1 maka
2...........................................................0 13121232
123
VVQVQ
WWWW E
Jika pers (1) dan pers (2) dijumlahkan maka :
323132321213121
2 VVQVVQVVQW E
Jika kita ingat kembali cara mencari potensial oleh distribusi muatan titik maka:
32313
23212
13121
VVV
VVV
VVV
86. Dengan demikian kita akan dapatkan
VQVQVQW
VQVQVQW
E
E
32211
332211
2
1
2
Dapat kita simpulkan energi dalam medan listrik statis oleh muatan n buah
ditulis:
JouleQW
n
n
nE
12
1
Untuk distribusi muatan kontinu dalam bentuk ruang :
vol
E
dVVW
2
1
Dapat ditunjukan bahwa :
v
E
v
E
v
E
dVEDW
Vd
D
W
dVEW
2
2
2
2
1
2
1
2
1
Bukti:
3..........................................................
2...............................................................
1................................................................
2
1
VDVDDV
VDDVVD
D
dVVW
v
E
dengan menggunakan koordinat bola
Terapkan pers 1, 2, dan 3
Volume Bola
88. Sepanjang lintasan itu, maka :
).1111(
24)164(
)164())(2(84
2
0
JCmC
N
m
vingat
JouledxxW
dxxdxxxdxdW
2. Sebuah muatan titik 1,6 nC diletakan di titik asal dalam ruang hampa. Carilah
potensial pada r = 0,7 m jika :
a). Acuan nol di tak berhingga
b). Acuan nol di r =0,5
Penyelesaian :
a). Pada r = ~
2
2
12
108548
11
4
Nm
C,dengan ε
rrπε
Q
V
o
BAo
AB
Volt,V
rhingga)bab tak be(se,V
~,
,
V
AB
AB
AB
5520
05520
1
70
1
10854,814,34
1061
12
9
b). Pada r = 0,5
VoltV
V
V
rr
Q
V
AB
AB
AB
BAo
AB
2215,8
78,2855,20
5,0
1
7,0
1
10854,8()14,3()4(
106,1
11
4
)12
9
89. 3. Berapa potensial di titik P jika diketahui :
nCQQ
aaar
ar
aar
zyx
z
yx
6,1
ˆ10ˆ8ˆ6
ˆ10
ˆ8ˆ6
21
2
1
Penyelesaian :
1086
101086
1010
861086
44
22
2222
2
2
22222
1
2
2
1
1
rr
rr
rr
Q
rr
Q
rV
oo
VoltV
V
xx
V
x
x
x
x
V
r
r
r
r
88,2
44,144,1
206,111
106,1
206,111
106,1
1010854,814,34
106,1
1010854,814,34
106,1
22
12
9
12
9
Q1
Q2
P
Z
Y
X
90. 4. Diketahui medan potensial 22
2050 yyzxV volt dalam ruang hampa.
Carilah :
a. V pada (1,2,3)
b. EP
Penyelesaian :
a. P (1,2,3) disubstitusikan pada 22
2050 yyzxV
volt
V
380
22032150
22
b.
m
VaaaE
ayxayzxaxyzE
a
dz
dV
a
dy
dV
a
dx
dV
E
VE
zyxP
zyxP
zyxP
P
ˆ100ˆ230ˆ600
ˆ)50(ˆ)4050(ˆ)100(
ˆˆˆ
22
5. Diberikan fungsi potensial yxV 42 yang berada dalam vacum, tetapkan
energi yang tersimpan dalam volume 1 m3
yang berpusat dititik asal. Periksa
pula volume-volume lain yang besarnya juga 1 m3
.
Penyelesaian :
m
V
E
m
Vaa
yxa
z
a
y
a
x
VE
yx
zyx
20
42
ˆ4ˆ2
42ˆˆˆ
22
Medan ini konstan dalam besaran
m
V
E 20 dan arahnya ke seluruh
ruang, maka energi total yang tersimpan adalah tak berhingga besarnya. (medan
ini bisa berupa medan didalam sebuah kapasitor pelat sejajar yang tak berhingga
ukurannya. Diperlukan suatu usaha yang besarnya tak berhingga untuk memuati
kapasitor seperti itu ).
91. Walaupun demikian adalah mungkin berbicara mengenai kerapatan energi
untuk medan ini dan medan lainya.
dvEWE
2
2
1
Menyarankan suatu cara yang mendukung bahwa dengan setiap elemen volume
dV terkait kandungan energi sebesar w dV dimana
2
2
1
EW
Bagi medan yang sekarang ditinjau kerapatan energi itu konstan, maka :
3
8
36
10
20
1
m
J
o
W o
Sehingga setiap volume 1 m3
mengandung 36
10
8
Joule energi.
92. BAB VII
MEDAN MAGNET TUNAK (STEADY)
Medan adalah daerah disekitar sumber medan yang masih memiliki/
mendapat pengaruh dari sumber medan. Sejauh ini telah dikenal adanya dua
medan, yaitu medan magnet dan medan listrik. Muatan-muatan yang merupakan
sumber medan menimbulkan gaya terukur yang bekerja pada muatan lainnya yang
dapat dianggap sebagai muatan detektor. Kenyataan bahwa pemberian sifat medan
pada sumber muatan dan penentuan efek medan pada muatan detektor, maka hal
ini dapat diartikan bahwa telah terjadi pembagian persoalan dasar menjadi dua
bagian.
Medan magnet dapat ditimbulkan oleh distribusi arus (Hk. Ampere, Biot
Savart). Hukum Ampere menyatakan bahwa integral garis kuat medan magnetik
H sepanjang lintasan tertutup sama dengan arus I yang mengalir di sepanjang
lintasan tersebut. Atau:
IdLH
Hukum Biot Savart menyatakan bahwa diferensial kuat medan magnet dH
didapat dari hasi bagi antara cross product IdL and ar dibagi dengan jarak
kuadrat. Atau:
m
A
r
adli
dH r
2
4
ˆ
Hukum Biot Savart kadang-kadang disebut hukum Ampere untuk unsur
arus.
Hubungan antara medan magnet tunak (steady) dengan sumbernya lebih
rumit daripada hubungan antara medan elektrostatik dengan sumbernya.
7.1 Medan Magnet oleh Arus Listrik
Sumber medan magnetik dapat merupakan sebuah magnet permanen,
suatu medan listrik yang berubah secara linier terhadap waktu atau dari suatu arus
searah. Biot Savart telah mengembangkan hubungan antara medan magnet yang
ditimbulkan oleh unsur diferensial arus searah dalam ruang hampa. Unsur arus
diferensial yang dikembangkan oleh Biot Savart dibayangkan sebagai bagian kecil
dari filamen konduktor yang dialiri arus yang filamennya merupakan limit dari
tabung konduktor berpenampang lingkaran yang jejarinya menuju nol
93. . Hukum Biot Savart menyatakan bahwa pada setiap titik P, besar
intensitas medan magnetik yang ditimbulkan oleh unsur diferensial berbanding
lurus dengan perkalian arus, besar panjang diferensial, dan sinus sudut antara
filamen dengan garis yang menghubungkan filamen tersebut ke titik P. Besar
intensitas medan magnetic berbanding terbalik dengan dengan jarak kuadrat r.
Atau secara matematis, hukum Biot Savart dituliskan dengan notasi:
m
A
r
adli
dH r
2
4
ˆ
di mana:
dH = diferensial intensitas medan magnet
i dl = elemen diferensia arus
âr = unit vektor r
r = jarak antara elemen arus dengan titik yang ditinjau besar medannya.
Atau secara umum dapat ditulis dengan persamaan matematis sebagai berikut:
3
'
'
4
rr
rrdliodB
catatan:
3
'
''ˆˆ
rr
rr
rr
P (titik yang ingin diketahui
besar medannya)
Penghantar yang dialiri arusidl
r
idl r-r’
r
r’
( 0, 0, 0 )
P
94. Contoh :
1. Medan listrik akibat arus searah pada penghantar yang panjang dan berjarak r
dari penghantar ke titik yang ditinjau seperti pada gambar:
Gunakan kordinat silinder, sumber terletak di z
azr ˆ'
sedang r
arr ˆ
dan zr
azarrr ˆˆ'
. Sehingga:
2
3
22
ˆˆˆ
4
zr
zazrarzaidz
π
oμ
Bd
2
3
22
ˆ
4
zr
aidzr
B o
2
3
22
ˆ
4
zr
dz
a
iro
232
ˆ
4 zrr
z
a
iro
zr
z
zr
z
a
iro
22
ˆ
4
a
r
i
r
a
ir
B oo
ˆ
2
2
ˆ
4
2
a
r
i
B o
ˆ
2
i dl = i dz
r - r’r’
r( 0, 0, 0 )
P
I
95. 2. Besarnya induksi magnetik akibat penghantar yang berbentuk lingkaran
dengan jari-jari r.
3
'
'
4 rr
rrdli
Bd
o
2
3
22
ˆˆˆ
4
zr
rarzazxadri
oBd
2
3
22
ˆ2ˆ
4
zr
zadriradrioBd
Karena simetris, komponen z saling menghilangkan.
2
3
22
ˆ2
4
zr
z
adri
oBd
z
a
zrπ
πri
o
μ
B ˆ
2
3
22
4
2
2
2
02
3
22
2
4
ˆ
d
zr
ari
B zo
z
o
a
zr
ri
B ˆ
4
2
2
3
22
2
untuk r<<z, maka;
za
z
rio
B ˆ
3
4
2
2
za
z
iro
B ˆ
3
4
2
2
za
z
mo
B
za
z
Aio
B
ˆ
3
2
4
ˆ
3
4
2
r’
r
r – r’
i dl
96. E
P
r2
r1
r
q-q
d
ER
catatan:
Aim
7.2 Besaran Induksi Magnetik
za
z
mo
B ˆ
3
2
4
dapat digambarkan sebagai berikut:
Analog dengan medan listrik akibat dua
muatan titik yang berjarak d seperti gambaran
berikut:
3
2
4
1
r
p
E
o
3
cos2
4
1
r
p
E
o
r
3
sin2
4
1
r
p
E
o
Aim
97. Sehinga besaran B di atas dapat diuraikan menjadi komponen r dan θ
BaBraB ˆˆ
3
cos2
4 z
mo
rB
3
sin
4 z
mo
B
Lihat kembali medan
akibat dua muatan yang terpisah sejauh d dan d<< r. Untuk menyelesaikan
masalah ini, cari terlebih dahulu potensialnya dengan cara sebagai berikut:
21
44 r
q
r
q
V
oo
p
cos
2
cos
1
d
r
Ar
PAPCr
o
cos
2
cos
002
d
r
OBr
POr
21
11
4
,
rr
q
rVVp
o
sin
2
1
cos
2
1
4
,
d
r
d
ro
q
rVVp
2
cos
sin
2
cos
2
4
,
d
r
d
r
d
r
o
q
rVVp
B
Br
DC
r
r1 r2
P
Y
Z
A q-q ( 0, 0, 0 )
98. r
d
karena
r
d
o
q
rVVp
2
cos
2
;
2
cos
4
,
2
4
cos
,
ro
P
rVVp
qdp disebut momen dipol listrik dan ,, rV
r
rE r
adalah
koordinat polar, maka:
3
4
cos2
,
ro
p
rrE , ,
1
, rV
rr
rE
3
sin
4
1
,
r
p
o
rE
Ingat: ,
1
,,, rV
r
rV
r
rVrE
A. Hukum Integral Ampere
Persoalan elektrostatik sederhana dapat dengan mudah dipecahkan dengan
menggunakan hukum Coulomb. Tetapi bila persoalan elektrostatik tersebut
membutuhkan tingkat kesimetrian yang tinggi, maka akan lebih mudah bila
menggunakan hukum Gauss. Prosedur pemecahan masalah dalam medan
magnetik baik dengan menggunakan hukum Coulomb atau hukum Gauss adalah
sama. Dan dengan prosedur yang sama pula pemecahan masalah elektrostatik
akan jauh lebih mudah bila menggunakan hukum integral Ampere (Ampere’s
Circuital Law) atau kadang-kadang disebut sebagai hukum kerja Ampere.
Ampere’s Circuital Law merupakan penurunan dari hukum Biot Savart.
Hukum integral Ampere menyatakan bahwa integral garis kuat medan
magnet H sepanjang lintasan tertutup sama dengan arus yang dilingkupi oleh
lintasan tersebut. Atau secara matematis dapat ditulis:
ildH
99. Arus i dikatakan positif bila arah alirannya searah putaran jarum jam. Dan
sebaliknya adalah negatif. Gambar berikut memperlihatkan pernyataan ini.
Pemakaian hukum Gauss adalah mencaari muatan total yang dilingkupi
oleh permukaaan tertutup. Sedangkan pemakaian hukum integral Ampere adalah
mencari arus total yang dilingkupi oleh lintasan.
Meskipun penggunaan hukum integral Ampere lebih memudahkan dalam
perhitungan kuat medan elektrostatik, ada beberapa syarat tertentu yang harus di
penuhi terlebih dahulu, yaitu:
1. H
harus normal atau tangensial pada tiap titik lintasannya.
2. Jika H
tangensial, maka besarnya harus konstan.
Misalkan lintasan arus berbentuk lingkaran dan berjejari r, makaberlaku
hukum integral Ampere:
a
r
i
H
irH
idraHadlH
ˆ
2
2
ˆˆ
2
0
Misalkan induksi magnetik akibat penghantar panjang yang dialiri arus
searah:
2
2
0
2
2
ˆˆ
m
W
r
i
B
irB
idraBa
idlB
o
o
o
o
dl
i
positif
dl
i
negatif
S = r d
B
I
r
d
100. Arah B dapat ditentukan dengan menggunakan kaidah tangan kanan. “Arah ibu
jari merupakan arah arus i dan merupakan arah lipatan empat jari lainnya
menunjukkan arah B
.” Untuk pernyataan ini berlaku:
a
πr
ioμ
B ˆ
2
7.4 Medan Magnet dalam Kumparan
Ada dua macam kumparan yang sering digunakan, yaitu solenoida dan
toronoida (cincin).
Solenoida
Pada bagian tengah solenoida, medan magnet serba sama pada bagian tepi
yaitu menyebar (tak homogen). Untuk lilitan yang cukup rapat, kebocoran fliks
sangat kecil sehingga induksi magnetic di luar kumparan dianggap nol. Jika
kumparan cukup panjang, maka medan magnet di tengah solenoida dianggap
homogen.
( b )
d c
ba
1
( a )
101. Untuk mencari besarnya induksi magnet B dengan menggunakan hukum
Ampere seperti pada gambar b adalah sebagai berikut:
ildB 0
ab bc cd da
ildBldBldBldB 0
ilB 0
l
i
B o
Jika tiap lilitan dialiri arus sebesar I dan rapat lilitan
L
N
n , maka
disepanjang l terdapat arus sebesar l
L
NI
i . Sehinga
L
NI
B 0
Toroida
r
i
B
irB
irdaBa
idlB
o
o
o
o
2
2
ˆˆ
2
0
Sehingga untuk toroida berlaku:
r
Ni
B
o
2
Kosong tanpa
bahan
r
102. 7.5 Hukum Maxwell tentang Induksi Magnet
Sampai saat ini belum ditemukan adanya monopole magnet, maka jumlah
garis gaya magnet total yang keluar dikurangi yang masuk pada suatu permukaan
tertutup selalu sama dengan nol. Atau secara matematis dapat ditulis:
s
sdB 0
Dari hukum integral divergensi diperoleh:
0dvBsdB
; (berlaku untuk semua volume)
maka:
0B
v
dsB
B
secara fisis :
volume
masukanflukskeluaranfluks
B
untuk fluks magnetic selalu sama dengan nol.
103. TEOREMA MAXWELL
(UMUM)
Persoalan-persoalan elektromagnetik adalah persoalan yang menyangkut
atau yang berhubungan dengan medan magnetik dan medan elektrik. Medan-
medan tersbut adalah berupa besaran-besaran vector yang telah ditetapkan melalui
hukum-hukum yang disebut Persamaan-persamaan (teorema) Maxwell.
A. E
; Hukum Gauss
Perhatikan hukum Gauss:
QsdD
v
dvsdD
; Hukum Maxwell (dalam bentuk integral)
Dari teorema divergensi Gauss:
v
dvDsdD
v v
dvD
sehingga:
ρD
karena:
ED
maka:
E
B.
t
B
E
; bentuk lain dari hukum Faraday
Hukum Faraday:
104. t
e
s
sdB
t
e
dlEfmee
s
dsBdlE ; bentuk integral dari hukum Maxwell-Faraday
dengan teorema integral Stokes:
dsEdlE
s
maka:
s
dsB
t
dsE
karena terjadi pada permukaan yang identik, maka:
B
t
E ; bentuk titik Faraday-Maxwell
C. Hukum Maxwell tentang Induksi Magnet
Dengan beranggapan bahwa di dunia ini tidak ada monopole magnetic,
maka netto garis gaya yang melalui suatu permukaan tertutup selalu sama dengan
nol.
0
s
dsB
Bentuk Maxwell dalam integral yang menyatakan ketidakadaan monopole.
Jika diterapkan teorema divergnsiGauss, maka:
vs
dvBdsB 0
v
dvB 0
Dan berlaku untuk sembarang volume, maka:
0B
Ini juga bias ditafsirkan dari arti fisis divergensi:
105. volume
permukaanluasmasukgayagarispermukaanluaskeluargayagaris
B
netto
fluks magnetik dari permukaan tertutup selalu nol.
D. Hukum Integral Ampere
menyatakan bahwa integral garis H sepanjang lintasan tertutup dengan arus searah
yang dilingkupi oleh lintasa tersebut.
idlH
Dari definisi fluks HoμB (dalam vakum), maka:
idlB 0
(vakum)
untuk definisi fluks di dalam suatu lintasan :
IldH
sd
t
F
JldH
sd
t
F
JsdH
t
F
JH
106. BAB VIII
PERSAMAAN POISSON DAN LAPLACE
Persamaan Poisson dan Laplace didapat dari persaman Maxwell dan
pernyataan bahwa medan listrik adalah negatif gradien potensial sebagai
berikut :
1. E
2. VE
dari pers. (1) dan (2) didapat :
V
V
divergensi dari gradien ditulis VV
2
V
2
disebut persamaan Poisson untuk daerah yang bebas muatan =0; maka
persamaan diatas akan menjadi 0
2
V
8.1 Bentuk-Bentuk Explisit Persamaan Laplace dan Poisson
Simbol bisa diuraikan dalam berbagai bentuk sistem koordinat yakni
dengan cara mencari divergensi dari gradien dalam sistem koordinat tersebut
untuk sistem koordinat kartesian.
z
V
zy
V
yx
V
x
z
V
a
y
V
a
x
V
a
z
a
y
a
x
aV zyxzyx
ˆˆˆˆˆˆ
maka persamaan laplace dalam koordinat kartesis adalah :
02
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
V
Sedang persamaan Poisson adalah :
2
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
V
107. Pada sistem koordinat lain didapat dengan cara yang sama untuk koordinat
silinder
z
V
a
V
r
a
r
V
a
z
aa
r
a
VV
zrzr
ˆ
1
ˆˆˆˆˆ
2
Yang perlu diperhatikan dalam hal ini adalah operator sebelah kiri, jika dikerjakan
ke suku yang ada dikanannya harus dioperasikan sebagai operasi diferensial
seperti :
Dot product antara dua unit vektor yang tidak sejenis menghasilkan harga nol
(tidak berharga) sehingga hasil akhir untuk koordinat silinder adalah :
2
2
2
2
22
2
2 11
z
VV
rr
V
rr
V
V
Atau :
2
2
2
2
2
2 11
z
VV
rr
V
r
rr
V
Maka persamaan Laplace untuk sistem koordinat silinder adalah :
0
11
2
2
2
2
2
2
z
VV
rr
V
r
rr
V
Dan persamaan Poissonnya adalah :
2
2
2
2
2
11
z
VV
rr
V
r
rr
Dengan metoda yang sama dapat diturunkan persamaan Laplace dan Poisson
dalam koordinat Bola.
2
2
222
2
2
2
sin
1
sin
sin
11
0
0
V
r
V
rr
V
r
rr
V
sehingga dapat diperoleh persamaan Laplace untuk system koordinat bola adalah
0
sin
1
sin
sin
11
2
2
222
2
2
2 V
r
V
rr
V
r
rr
V
Dan persamaan Poisson dalam kordinat Bola adalah:
2
2
222
2
2
sin
1
sin
sin
11 V
r
V
rr
V
r
rr
108. mmr 11
mmr 202
8.2 Teorema Keunikan
Penyelesaian persamaan Laplace atau Poisson harus menghasilkan
jawaban yang unik, untuk itu diperlukan syarat-syarat batas yang lengkap. Dua
jawaban dari persamaan Laplace atau Poisson, keduanya harus memenuhi syarat
batas yang sama maka kedua jawaban harus identik satu sama lain.
Perhatikan contoh soal di bawah ini yang menggambarkan persoalan lengkap
dengan syarat-syaratnya .
Contoh :
1. Tetapkan fungsi potensial dan identitas medan listrik di dalam ruangan di
antara dua silinder tegak yang konsentris, jika V=0 pada r=1 mm dan V = 150
Volt pada r =20 mm, abaikan efek-efek sisi.
Penyelesaian :
Dari syarat batas potensial dalam persoalan ini konstan tehadap perubahan y
dan z maka persamaan Laplace dalam bentuk koordinat silinder hanya dipakai
komponen r nya saja :
0
1
dr
dv
r
dr
d
r
Karena deferensial tidak tergantung pada Q dan Z maka akan menjadi
deferensial biasa dan kalikan kiri kanan dengan r maka
0
dr
dv
r
dr
d
Integralkan kiri kanan akan menjadi
taKonscc
dr
dv
r tan
109. Maka :
r
dr
cdv
r
cdr
dv
Maka
BrCV ln
Terapkan syarat batas :
V = 0 ; untuk r = 1 mm = 1x 10-3
m
V = 150 V ; untuk r = 20 mm = 2x 10-2
m
2,346
91,61,50
10ln
13
3...........................50,1C
102ln10ln
150-
C
150102ln10lnC
150.102lnC
010lnC
:21
2..........102lnC150
150VUntuk
1.................10lnC0
0VUntuk
3
2-3-
2-3-
2-
3-
2-
3-
CB
perskeperskansubstitusi
B
B
danpersdari
B
B
Sehingga
voltrV 2,346ln1,50
Untuk mendapatkan E gunakan hubungan
m
volta
r
r
z
a
r
a
r
a
VE
r
zr
ˆ
1,50
2,346ln1,50ˆ
1
ˆˆ
110. 2. Dua plat paralel seperti pada gambar dimana daerah diantara kedua plat bebas
muatan ( =0). Tentukan V dan E ?
Penyelesaian :
Dari gambar terlihat bahwa :
pada Y = 0 V = 200 Volt
Y = d V = 0 volt
Karena =0 , maka :
takonsBBCyV
takonsCC
y
V
y
V
V
tan
tan
0
0
2
2
2
berdasarkan syarat batas :
1.....................200
2000
B
voltVy
volty
d
V
adalahVpersmaka
d
C
didapatdanpersdari
BCy
voltVdy
200
200
200
:21
2.................0
0
d
200 volt
111. untuk menentukan E digunakan hubungan :
m
volta
d
y
dz
a
y
a
x
a
VE
y
zyx
ˆ
200
200
200
ˆˆˆ
3. Jika efek sisi diabaikan dan sumbu z diisolasi, carilah V dan E diantara
permukaan keping dalam gambar dibawah ini ?
Penyelesaian :
Karena potensial konstan terhadap r dan z , persamaan laplace menjadi
takonsBBAV
takonsAA
V
V
d
Vd
r
tan
tan
0
0
1
2
2
2
2
Dengan syarat batas
1.........................0
00
00
B
BA
V
2..........400
400
BA
V
dari pers (1) dan (2) diperoleh :
400
400
A
A
V= 400 volt
112. sehingga persamaannya menjadi :
voltV
400
untuk menentukan harga E digunakan hubungan :
m
Va
r
z
a
r
a
r
a
VE
zr
ˆ
400
400
ˆ
1
ˆˆ
4. Dalam koordinat bola V = 0 ; untuk r = 10 cm dan V = 95 Volt untuk r = 2 m.
Carilah V dan E diantara kedua permukaan bola tersebut .
Penyelesaian :
Syarat batas :
takonsBB
r
C
V
r
C
r
V
takonsCC
r
V
r
tan
tan
2
2
0
0
1
0
:
295
1,0100
2
2
2
2
r
V
r
r
r
V
r
rr
V
adalahLaplacenyapersamaan
mrV
mcmrV
114. Syarat Batas :
dZvoltV
ZvoltV
250
0100
Persamaan laplacenya adalah ;
takonsBBAzV
takonsAA
z
V
z
V
V
tan
tan
0
0
2
2
2
berdasarkan syarat batas
2.....................250
250
1...............................100
0100
0100
BdA
dZvoltV
B
BA
ZvoltV
dari pers (1) dan (2) diperoleh :
voltz
d
V
maka
d
A
100
150
150
Untuk menentukan E gunakan hubungan :
m
Va
d
z
dz
a
r
a
r
a
VE
z
zr
ˆ
150
100
150
ˆ
1
ˆˆ
115. DAFTAR PUSTAKA
1. Boas, Mary L. Mathematical Methads in The Physical Sciences. 1983, Jhon
Wiley & Sons. Inc
2. Edminister, Josep A. Theory And Problems Of Electromagnetics (Schaum
Series). 1984, Mc Graw – Hill. Inc
3. Feymen, Richard. The Feymen Lecturey on Physics Mainly
Electromagneticsm and Matter. 1966. Addis on-Wesly Publishing
Company.
4. Sadiku, Mathew N. O. Elements Of Electromagnetics. 1989, Saundres
College Publishing.
5. Spiegel, Murray R. Theory And Problems Of Vektor Analysis (Schaum
Series). 1959, Mc Graw- Hill. Inc
