1. SISTEM DIGITAL
Penyederhanaan Fungsi Boolean
(K-Map, Kondisi Don’t Care)

2. Penyederhanaan diagram logika
• Untuk mendapatkan se-efisien mungkin desain
rangkaian dan jumlah gerbang logika yang digunakan
• Tujuan:
– Proses lebih cepat
– Biaya lebih murah
• Metode:
– Menggunakan aturan aljabar boolean (secara matematis)
– Menggunakan Karnaugh map (K-map)
– Menggunakan tabulasi (Quine McCluskey)
2

3. Penyederhanaan secara matematis
Elemen identitas x + 0 = x x . 1 = x
Komplemen x + x’ = 1 x . x’ = 0
Tertutup x + x = x x . x = x
x + 1 = 1 x . 0 = 0
Involusi (x’)’ = x
Komutatif x + y = y + x xy = yx
Asosiatif x + (y + z) = (x + y) + z x(yz) = (xy)z
Distributif x (y + z) = xy + xz x + (yz) = (x + y) (x + z)
DeMorgan (x + y)’ = x’y’ (xy)’ = x’ + y’
Absorpsi x + xy = x x (x + y) = x
3

4. Penyederhanaan secara matematis
Contoh:
F1 = (A’+B)A
= AA’ + AB
= 0 + AB
= AB
F2 = (A+B’)(A+B)
= AA + AB + AB’ + BB’
= A + AB + AB’ + 0
= A(1 + B + B’)
= A(1)
= A
4

5. Penyederhanaan secara matematis
F3 = AB + A’C + BC
= AB + A’C + BC(A+A’)
= AB + A’C + ABC + A’BC
= AB(1+C) + A’C(1+B)
= AB + A’C
F4 = y+xy’
= (y+x)(y+y’)
= y+x
= x+y
5

6. K-map
• Setiap kombinasi variabel (minterms)
dipetakan ke kotak yang unik
• Setiap 2n
kotak bernilai 1 yang berdekatan
(mempunyai beda nomor kotak 1 bit)
digabungkan
• Hasil yang didapatkan dalam bentuk sum of
product (SOP)
• Bisa untuk menyederhanakan fungsi boolean
dengan jumlah variabel 2, 3, 4, dst.
6

7. K-map 2 variabel
• Contoh
– F = xy’ + x’y’
F = y’
– F = x + x’y + xy
F = x + y
7

8. K-map 3 variabel
8
• Contoh
– F = x’y’z’ + x’yz’ + xyz + xy’z
F = xz + x’z’
– F(x,y,z) = Σ(0,2,4,5,6,7)
F = x + z’
– F(x,y,z) = Σ(1,3,5,7)
F = z

9. K-map 4 variabel
9
• Jumlah kotak yang digabungkan menentukan jumlah variabel dalam suatu
minterms
– 1 kotak merepresentasikan 4 variabel
– 2 kotak merepresentasikan 3 variabel
– 4 kotak merepresentasikan 2 variabel
– 8 kotak merepresentasikan 1 variabel
– 16 kotak merepresentasikan nilai 1

10. K-map 4 variabel
• F(w,x,y,z) =
Σ(1,3,4,6,9,11,12,14)
F(w,x,y,z) = xz’ + x’z
10
• F(w,x,y,z) = m0+ m2+ m8+ m9+
m10+ m11+ m12+ m14

11. K-map
• Contoh:
– Menentukan sum of minterms dan menyederhanakan
fungsi boolean:
F = A(B+C)+A’B+BC
= AB + AC + A’B + BC
= AB(C+C’) + AC(B+B’) + A’B(C+C’) + BC(A+A’)
= ABC + ABC’ + ABC + AB’C + A’BC + A’BC’ + ABC + A’BC
= ABC + ABC’ + AB’C + A’BC + A’BC’
11

12. K-map
F = ABC + AB’C’ + AB’C + A’BC + A’BC’
F = AB’ + BC + A’B
12

13. K-map
• Penyederhanaan dari bentuk product of sum
– Menggabungkan kotak dengan nilai 0 untuk mendapatkan
F’
– Dengan menggunakan aturan DeMorgan, didapatkan F =
(F’)’
• Contoh:
– Dari tabel kebenaran berikut, fungsi boolean dapat
dinyatakan dalam dua bentuk:
• sum of products dan product of sums;
• kedua bentuk tersebut dapat disederhanakan menggunakan K-
map
13

14. K-map
w x y z F
0 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
• Tabel kebenaran
14
• Dapat dituliskan sebagai:
F(w,x,y,z) =
Σ(0,1,2,3,12,13,14,15) atau
F(w,x,y,z) = Π(4,5,6,7,8,9,10,11)

15. K-map
• Untuk sum of products, digabungkan kotak yang
bernilai 1, didapatkan:
F= w’x’+wx
• Untuk product of sums, digabungkan kotak yang
bernilai 0, didapatkan komplemen dari F:
F’= w’x+wx’
komplemen dari F’ didapatkan
F=(F’)’= (w’x+wx’)’ = (w+x’)(w’+x)
dimana, (w+x’)(w’+x) = w’x’+wx
15

16. Kondisi don’t care
• Nilai yang dihasilkan suatu fungsi boolean
yang tidak mempengaruhi hasil output
• Bisa diasumsikan bernilai 0 atau 1
• Bisa digunakan untuk penyederhanaan fungsi
boolean
• Dinotasikan dengan ‘x’
• Contoh:
– F(w,x,y,z) = Σ(0,1,3,5,6,7,11)
– d(w,x,y,z) = Σ(4,15)
16

17. Kondisi don’t care
• Dengan don’t care
F=w’x + yz + w’y’
• Tanpa don’t care
F=x’yz + w’z + w’x’y’ + w’xy
17

18. Gerbang NAND - NOR
18
• Rangkaian digital sering diimplementasikan
menggunakan gerbang NAND atau NOR
• Perlu konversi dari gerbang selain NAND dan
NOR ke gerbang NAND atau NOR

19. Gerbang NAND
19
• Operasi logika dengan gerbang NAND
• Gerbang NAND dapat dinyatakan sebagai

20. Gerbang NAND
• Prosedur untuk mengkonversikan rangkaian logika
yang terdiri dari gerbang AND dan OR ke gerbang
NAND:
– Konversi semua gerbang AND ke NAND dalam bentuk
AND-invert
– Konversi semua gerbang OR ke NAND dalam bentuk
invert-OR
– Periksa semua lingkaran (simbol NOT)
• Jika pada pada garis yang sama tidak ada pasangan lingkaran,
maka tambahkan inverter atau ubah variabel input menjadi
komplemennya
20

21. Gerbang NAND
21
• Dari fungsi boolean F = (xy’ + yz) (y + z’)
dikonversi menjadi

22. Gerbang NOR
22
• Operasi logika dengan gerbang NOR
• Gerbang NOR dapat dinyatakan sebagai

23. Gerbang NOR
• Prosedur untuk mengkonversikan rangkaian logika
yang terdiri dari gerbang AND dan OR ke gerbang
NOR adalah ekivalen dengan konversi ke gerbang
NAND
– Setiap gerbang OR dikonversi ke OR-invert
– Setiap gerbang AND dikonversi ke invert-AND
– Jika pada pada garis yang sama tidak ada pasangan
lingkaran (simbol NOT), maka tambahkan inverter atau
ubah variabel input menjadi komplemennya
23

24. Gerbang NOR
24
• Dari fungsi boolean F = (xz’ + xy) (y’ + z)
dikonversi menjadi

25. Referensi
• Morris Mano, Digital Design 5th
Edition,
Pearson Prentice Hall, 2011
25

26. Latihan
1. Sederhanakan fungsi berikut menggunakan K-map
a) F(w,x,y,z) = Σ(1,4,5,6,12,13,14)
b) F(w,x,y,z) = Σ(1,3,5,7,8,10,12,14)
2. Sederhanakan fungsi berikut
a) F(w,x,y,z) = Π(1,3,5,7,13,15)
b) F = B + AB’
3. Sederhanakan fungsi boolean dengan kondisi don’t
care berikut ini:
a) F(A,B,C,D) = Σ(1,3,8,10,15); d(A,B,C,D) = Σ(0,2,9)
b) F(A,B,C,D) = Σ(5,6,7,12,14,15); d(A,B,C,D) = Σ(3,9,11,15)
26

27. Latihan
4. Gambarkan rangkaian menggunakan gerbang
NAND dari fungsi berikut:
a) F = (x’yz’ + x’z) (xz’ + xyz) (x + y’)
b) F = abc’ + bc + a’b + ab’c’
5. Sederhanakan fungsi berikut dan implementasikan
menggunakan dua level gerbang NAND
F = w’ + x + z’ + x’y
6. Gambarkan rangkaian NAND untuk
mengimplementasikan komplemen dari fungsi
berikut
F(w,x,y,z) = Σ(0,1,2,3,6,10,11,14)
27