Deret Fourier Waktu Kontinyu

of 17
SISTEM LINIER, - Deret Fourier
Sinyal periodik x(t), dengan memilih himpunan eksponensial kompleks sebagai fungsi basis, maka
dapat dinyatakan sebagai :



 
 

 T
tn2
jexpc)t(x n
m
dimana cn adalah konstanta kompleks, dan diberikan oleh :
dt
T
nt2
jexp)t(x
T
1
c
T
0
n  


 

Tiap-tiap suku dari deret tersebut, mempunyai periode T dan frekwensi (radian) fundamental
2/T=0. Jika deret tersebut konvergen, maka jumlahnya juga periodik dengan periode T. Deret yang
demikian disebut deret Fourier eksponensial kompleks, dan cn disebut koefisien Fourier.
Perlu diperhatikan bahwa karena sifat periodik, maka interval integrasi pada persamaan diatas dapat
diganti dengan sembarang interval dengan panjang T, sebagai contoh, digunakan interval
Tttt 00
 , dimana t0 sembarang. Integrasi dengan interval T ini selanjutnya ditulis dengan
simbol 
T
.
DERET FOURIER Deret Fourier Eksponensial Kompleks

of 17
Koefisien Cn mendefinisikan fungsi bernilai kompleks pada frekwensi diskrit n0, dimana n = 0,  1,
 2,.... Komponen dc dari x(t) adalah sama dengan c0 dan diperoleh dengan mengambil n=0.
Grafik |cn| lawan n0 disebut spektrum amplitudo dari sinyal periodik x(t), sedangkan
Grafik sudut cn ,  cn lawan n0 disebut sebagai spektrum fase dari x(t).
Kedua spektrum diatas terdiri dari garis-garis yang menunjukkan magnitudo dan fase pada frekwensi
=n0, sehingga spektrum tersebut disebut sebagai spektrum garis.
Untuk sinyal bernilai riil (tidak komplek), kompleks sekawan dari Cn diberikan oleh :











 
 

T
n
dt
T
t)n(2j
exp)t(x
T
1
c = c-n
sehingga :
|c-n| = |cn| dan  c-n= - cn
Yang menunjukkan bahwa spektrum amplitudo merupakan fungsi simetri genap, sedangkan
spektrum fase merupakan fungsi simetri ganjil. Sifat ini memungkinkan deret eksponensial dari
sinyal bernilai riil dinyatakan dalam bentuk pasangan kompleks sekawan, kecuali untuk C0.
DERET FOURIER Spektrum Garis

of 17
Sinyal periodik x(t) dapat pula dinyatakan sebagai berikut :
 


 



T
nt2
insb
T
nt2
oscac)t(x nn0
Persamaan ini dikenal sebagai deret fourier trigonometri untuk sinyal periodik x(t). Koefisien an dan
bn diberikan oleh :

T
00
dt)t(x
T
1
ca
  


T
nn
dt
T
nt2
cos)t(x
T
2
cRe2a
  


T
nn
dt
T
nt2
sin)t(x
T
2
cIm2b
Dalam bentuk magnitudo dan fase dari Cn, sinyal bernilai riil x(t) dapat dinyatakan sebagai berikut :
x(t) = 











1n
nn0
T
nt2
cosAc
Dimana : An = 2{cn}, dan
 = n
c
DERET FOURIER Deret Fourier Trigonometri

of 17
Dapatkan spektrum garis sinyal periodik berikut :
-2 -1 0 1 2 t
DERET FOURIER Contoh : Mendapatkan Spektrum Garis
x(t)
Representasi analitik untuk sinyal tersebut
adalah sebagai berikut :
1t0k,
0tk,-1-
x(t)








dan x(t+2)=x(t), sehingga 0=2/2=
Koefisien Fouriernya :
 












 

 



)jnexp()jnexp(
2
1
1
jn
K
dt)tjnexp(Kdt)tjnexp(K
2
1
)tjnexp()t(x
2
1
c
0
1
1
0
1
1
n
=
genapn0,
ganjiln,
jn
K2

|cn| =
genapn0,
ganjiln,
||
2
n
K
Spektrum fase dari x(t) diberikan oleh :
,....2,1m1),--(2mn,2/
0,1,2,....m2m,n,0
1,2,...m1),-(2mn,2/cn




of 17
-5 -4 -3 -2 -1 0 532 41
(a)
2k
5n
2k
n
2k
3n
2k
n
2k
3n 2k
5n
-5 -4 -3 -2 -1 0
53
2 4
1
(b)
n/2 n/2 n/2
-n/2 -n/2 -n/2
Spektrum Garis dari x(t) (a) Spektrum magnitudo (b) Spektrum fase

2k

2k
3
2k
3
2k
5
2k
5
2k
2

2

2

2


2


2


DERET FOURIER Contoh : Mendapatkan Spektrum Garis

of 17
Agar deret fourier konvergen, sinyal x(t) harus memiliki sifat-sifat berikut :
1.x(t) harus “absolutly integrable”, yaitu 


Th
h
dt|)t(x|
2.x(t) hanya memiliki sejumlah berhingga maksimum dan minimum
3.banyaknya diskontinyuitas harus berhingga
Kondisi diatas merupakan kondisi cukup tetapi bukan merupakan kondisi perlu, yaitu jika sinyal x(t)
memenuhi kondisi Dirichlet maka deret fouriernya perlu konvergen kecuali pada titik
diskontinyuitasnya. Akan tetapi jika kondisi diatas tidak dipenuhi deretnya bisa konvergen bisa tidak.
1t0K,
0t1-K,(t)x:Contoh


, x(t+2)=x(t)
deret fourier trigonometrinya diberikan oleh :
an = 2 Re{cn}=0
bn = -2 Im{cn}=  
genapn,0
ganjiln,
n
K4
ncos1
n
K2


x(t) = 







tnsin
n
1
...t3sin
3
1
tsin
K4
DERET FOURIER Kondisi Dirichlet

of 17
Sifat-sifat deret fourier berikut ini dapat memberikan pamahaman yang lebih baik tentang spektrum
frekwensi dari sinyal waktu kontinyu.
 Pendekatan Kuadrat Terkecil
Misalkan sinyal x(t) dapat didekati dengan deret eksponensial dalam bentuk
xN(t) = 


N
Nn
0
)tjnexp(dn
ingin dicari koefisien dn sedemikian sehingga galat (error) (t) = x(t) - xN(t) memiliki nilai
kuadrat rata-rata terkecil.
 
T
2
dt)t(
T
1
Untuk meminimumkan persamaan di atas, nyatanya harus dipilih : dn = cn ,
sehingga : (MSE)min = 
N|n|
2
n
|c|
hal ini menunjukkan bahwa MSE dapat diminimumkan dentgan mengambil koefisien deret
fourier cn sebagai dn. Atau dengan kata lain, ekspansi deret fourier dari sinyal x(t) merupakan
pendekatan yang memberikan MSE lebih kecil dibandingkan deret eksponensial yang lain.
DERET FOURIER Sifat-sifat Deret Fourier

of 17
 Efek Simetri
Jika sinyal periodik x(t) memiliki sifat simetri, maka penentuan koefisien deret fourier, menjadi
lebih sederhana. Beberapa tipe simetri yang penting diantaranya adalah :
1. Simetri genap, x(t) = x(-t)
2. Simetri ganjil, x(t) = -x(-t)
3. Simetri ganjil setengah gelombang, x(t)=-x(t+T/2)
x(t)
T=3
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3
(a)
(b)
t
-3 -2 -1 0 1 2 3
(c)
x(t)
x(t)
t
a. Simetri genap b. Simetri ganjil c. Simetri ganjil setengah gelombang

of 17
Akibat dari sifat simetri dapat ditabelkan :
TABEL EFEK DARI SIMETRI
Simetri a0 an bn Keterangan
Genap a0  0 an  0 bn = 0 Integral hanya pada T/2, hasilnya dikali 2
Ganjil a0 = 0 an = 0 bn  0 Integral hanya pada T/2, hasilnya dikali 2
Ganjil 1/2 gel. a0 = 0 a2n  0 b2n+1  0 Integral hanya pada T/2, hasilnya dikali 2

of 17
Contoh berikut ini merupakan sinyal simetri genap dan simetri ganjil setengah gelombang.
Sinyal x(t) =
TtT/2,A3t
T
A4
T/2t0,t
T
A4
A


T/2
A
-A
0
T/2
DERET FOURIER Contoh : Efek Simetri
Perlu diperhatikan bahwa sinyal x(t) tersebut
merupakan sinyal genap dan juga sinyal ganjil
setengah gelombang. Karena itu, bn = 0 dan
tidak mempunyai harmonisa genap.
Sehingga :
an = dt
T
tn2
cos
T
At4
A
T
4 2/T
0








=  )ncos(1
)n(
A4
2


=
ganjiln,
)n(
A8
genapn,0
2

dan a0 = 0.

of 17
 Linieritas
Misalkan x(t) dan y(t) sinyal periodik dengan periode sama dan deret fouriernya diberikan :
t)exp(jny(t)
t)exp(jnx(t)
n
0n
n
0n








Dan misalkan z(t)=k1x(t)+k2y(t), dimana k1 dan k2 konstanta sembarang. Maka kita peroleh :




n
0n2n1
)tjnexp()kk()t(z
 Perkalian dua sinyal
Perkalian dua sinyal periodik dengan periode yang sama : z(t) = x(t) y (t)
  )tjlexp(
)t)mm(jexp(
)tjmexp()tjnexp(
0
n m
mml
n m
0mn
n
0m
m
0n



 
 
 













Jadi koefisien Fourier dari z(t) :  

 


m T
0mml
dt)tjlexp()t(y)t(x
T
1
z(t)

of 17
 Konvolusi dua sinyal
Untuk sinyal periodik dengan periode sama konvolusi periodiknya didefinisikan oleh integral :



T
d)t(y)(x
T
1
)t(z
z(t) dapat dituliskan dalam bentuk deret dengan koefisien :
n = n n
dimana n adalah koefisien deret fourier dari x(t) dan n koefisien dari y(t).
 Teorema Parseval
Teorema Parseval menunjukkan relasi antara daya rata-rata suatu sinyal periodik dan daya dari
harmonisanya yang diberikan oleh persamaan berikut :




m
2
m
T
2
||dt|)t(x|
T
1
Persamaan ini menunjukkan bahwa daya rata-rata total dari x(t) merupakan penjumlahan dari
daya rata-rata komponen harmonisanya.

of 17
 Pergesaran Waktu
Jika x(t) mempunyai koefisien deret fourier Cn, maka sinyal x(t-) mempunyai koefisien :
)jnexp(c
d)jnexp()(x
T
1
)jnexp(
dt)tjnexp()t(x
T
1
d
0
T
00
T
0n







n
 Integrasi Sinyal Periodik
Deret Fourier dari sinyal x(t) :
 tjnexpc)t(x 0n
m
 


Integrasi kedua sisi persamaan ini menghasilkan :
 





n
0
0
n
t
,tjnexp
jn
c
d)(x 0n
Jadi amplitudo relatif dari harmonisa sinyal terintegrasi dari sinyal dasarnya adalah lebih kecil
atau berkurang dibandingkan sinyal asli tak terintegrasi. Dengan kata lain, proses integrasi
memperlemah magnitudo dari komponen frekwensi tinggi dari sinyal.

of 17
Sinyal x(t) = x1(t) + x2(t), dimana :
)t(x)/2t(x
;
/t0,tsinE
0t/-0,
)t(x
101
00
0
1







mempunyai koefisien :












ganjiln,0
1n,
4
jnE-
genapn,
)n1(
E
2
n
dan x2(t) = x1(t-/0).
Apabila n dan n adalah koefisien deret fourier dari x1(t) dan x2(t), maka :
  n
n
n
0
0nn
)1(jnexp
jnexp










Koefisien deret fourier dari x(t) adalah :


 


ganjiln0,
genapn,2
)1(
n
n
n
n
n







ganjiln0,
genapn,
)n(1
2E
2
n

of 17
Tinjau sistem LTI dengan respon impuls h(t), respon sistem y(t) terhadap input x(t) diberikan oleh :



 d)t(x)(h)t(y
jika diberikan input periodik x(t) =-exp(jt), maka output sistem tersebut menjadi :
)tjexp()(H)t(y 
didefinisikan : 


 d)jexp()(h)(H
H() disebut fungsi alih sistem, dan merupakan konstanta untuk  tertentu. Magnitudo |H()|
disebut fungsi magnitudo sistem dan H() disebut fungsi fase dari sistem.
Respon terhadap input dengan representasi deret, kita dapatkan sebagai :




n
0n0
]tjnexp[c)n(H)t(y
Terlihat bahwa sinyal output merupakan jumlahan deret eksponensial dengan koefisien dn = H(n0)cn.
Sedangkan H(n0) merupakan konstanta kompleks untuk tiap n, maka output tersebut periodik
dengan koefisien deret dn, dan karena frekwensi fundamental output y(t) adalah sama dengan
frekwensi fundamental input x(t), yaitu 0, maka priode output juga sama dengan periode input.
DERET FOURIER Sistem Dengan Input Periodik

of 17
Dapatkan output y(t) untuk sistem berikut :
x(t) y(t)
L=1
R=1
Dalam kasus ini 0 = 1 dan R/L = 1, sehingga outputnya :
)63t2cos(
5
2
)45tcos(22
)t2jexp(
2j1
1
)t2jexp(
2j1
1
)jtexp(
j1
2
)jtexp(
j1
2
)t(y











DERET FOURIER Contoh : Sistem Dengan Input Periodik
x(t) = 4cos t - 2cos 2t
Untuk rangkaian tersebut diperoleh :
)t(x
L
R
)t(y
L
R
dt
)t(dy

Jika x(t) = exp(jt), maka y(t) = H() exp(jt), shg :
  )tjexp(
L
R
)tjexp()(H
L
R
tjexp)(Hj 
atau


j
L
R
L
R
)(H , untuk  = n0 :
0
0
jn
L
R
L
R
)n(H



of 17
Perhatikan persamaan deret Fourier eksponensial terpotong berikut :






ganjiln
n
N )tjnexp(
n
1
j
K2
)t(x
Deret terpotong ini ditunjukkan pada gambar berikut untuk N = 1, 2, 3, . . .9.
DERET FOURIER Fenomena Gibbs
0 20 40 60 80 100 120 140 160
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
The building of a square wave: Gibbs' effect

Deret Fourier Waktu Kontinyu

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Deret Fourier Waktu Kontinyu

Similar to Deret Fourier Waktu Kontinyu (20)

More from yusufbf

More from yusufbf (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Deret Fourier Waktu Kontinyu