Dokumen tersebut membahas tentang: 1. Kemiringan garis singgung dan turunan fungsi; 2. Penyelesaian masalah pencarian persamaan garis singgung dan titik-titik horizontal; 3. Aplikasi turunan untuk menentukan kecepatan, percepatan, dan tingkat perubahan.

1. Aplikasi dari Turunannya
Kemiringan garis singgung pada suatu titik
Jika f '(a) ada, maka kemiringan garis singgung pada grafik fungsi f pada
Titik P (a, f (a)) adalah garis sampai P yang memiliki kemiringan m = f '(a).
MASALAH Temukan persamaan garis singgung pada parabola y=f (x) 𝑥2
+1 pada titik (2, 5).
SOLUSI f `(x)=2x, jadi m=f`(2)= 4. Sekarang, karena intinya (2, 5) ada di Singgung,
persamaan garis yang diinginkan adalah y-𝑦1=m (x-𝑥1),Atau dalam kasus ini
y-5=4(x-2), yang memberikan y=4 (x-2)+5 dan Akhirnya y=4x-3.
MASALAH Temukan persamaan garis singgung dengan y=g(x)= 𝑒3𝑋
di Y-memotong
SOLUSI Karena g`(x)=3 𝑒3𝑥
, solusinya diberikan oleh persamaan Y=g`(0)(x-0)+1 karena
pemotongan-y terjadi pada (0, 1). Karenanya Persamaan yang dibutuhkan
adalah y=3x+1.
MASALAH Temukan semua titik pada kurva y=f(x)=√𝑥4 + 𝑥2 dimana Garis singgung
horizontal.
SOLUSI Garis singgung akan horizontal pada titik x di mana ia memiliki nol lereng; Yaitu,
jika f `(x)=0. Pemeriksaan f`(x)=
(2𝑥3+𝑥)
(𝑥4+𝑥2)
1
2
Mengungkapkan bahwa x=0
adalah satu-satunya nilai yang mungkin bisa membuat Derivatif nol; Tapi pada
nilai ini, f `tidak terdefinisi. Jadi, tidak ada Solusi untuk masalah ini
MASALAH Temukan semua titik pada kurva y=f(x)= 𝑒 𝑥2−cos 𝑥 dimana Garis singgung
horizontal.
SOLUSI f`(x)=(2x+ sin x) 𝑒 𝑥2−cos 𝑥
Jadi jika Anda menetapkan f`(x)=0 dan
menyelesaikannya, Anda Memiliki 𝑒 𝑥2−cos 𝑥
=0 atau (2x+sin x)=0. Ungkapan
pertama tidak pernah Sama dengan 0. Karena itu, anda selesaikan (2x +sin x)=0
atau 2x=-sin x Yang mana, dengan inspeksi, adalah benar hanya jika x =0. Jadi,
(0,f(0))=(0, 𝑒− cos 0
)=(0,
1
𝑒
) adalah solusinya,
By.Alvin, Bobby&chairudin 1ea

2. Selesaikan yang berikut.
1. Temukan kemiringan garis singgung sampai f (x)= 𝑥3 + 𝑒 𝑥+sin(x) di x=-1.
2. Temukan kemiringan garis singgung sampai f (x)=ln(x-1)+ 𝑥2
di x=2.
3. Tentukan persamaan garis yang bersinggungan dengan kurva y=2 𝑥2+4x di (-2,0).
4. Temukan kemiringan garis yang bersinggungan dengan kurva di (x,f(x)) untuk f (x)= 𝑥3
-6𝑥2
+ 9𝑥 − 2.
5. Temukan semua titik pada kurva f (x)= 𝑥2
− 4√ 𝑥 + 1 Dimana garis singgung horizontal.
6. Temukan semua titik pada kurva f (x)= 𝑥5
− 5𝑥3
− 20𝑥 + 7 Dimana garis singgung horizontal.
7. Tentukan persamaan garis yang bersinggungan dengan kurva 𝑥2
+ 3𝑥𝑦 − 𝑦2
= 5 di (1,1).
8. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y=2 𝑥2
+ 3 Itu sejajar Ke baris y=8x+3.
9. Tentukan persamaan garis yang bersinggungan dengan kurva y= 4- 𝑥2
𝑑𝑖 (1,2).
10. Tentukan persamaan garis yang bersinggungan dengan kurva f(x)=
1−sin 𝑥
𝑥+1
di x=(0,1).
Nilai perubahan seketika
Jika f’(t) ada, maka tingkat perubahan (seketika) dari f pada t adalah f ‘(t). Misalnya, jika s (t) adalah
Fungsi posisi benda bergerak pada waktu t, maka kecepatan v, laju sesaat
Perubahan, dari objek pada waktu t adalah s’(t) = v (t). (Ini adalah interpretasi lain dari turunannya.)
Selain itu, akselerasi objek pada waktu t adalah s”(t) = v’(t) = a (t).
Tanda dari fungsi kecepatan menunjukkan arah dimana benda bergerak. Kapan
V (t) > 0, objek bergerak ke kanan, dan ketika v (t) < 0, objek bergerak ke kiri. Selanjutnya,
Seperti logika akan mendikte, pada saat objek yang bergerak berubah arah, v (t)= 0
(Karena objek harus berhenti untuk mengubah arah).
Kecepatan didefinisikan sebagai nilai absolut dari kecepatan. Definisi itu adalah alasan utama
Dial di mobil disebut speedometer. Ini memberi Anda kecepatan, tapi bukan arah
perjalanan.
MASALAH Mendiskusikan gerak partikel yang bergerak sepanjang garis horizontal
sehingga Posisi s partikel pada garis horizontal adalah fungsi waktu t sesuai
Ke persamaan s (t) = 𝑡3
− 2 𝑡2
+ 𝑡.
SOLUSI Membedakan fungsi posisi dengan memperhatikan waktu memberikan
Kecepatan Fungsi, s’(t) = v (t) =3 𝑡2
− 4𝑡 + 1. Sebuah analisis cepat fungsi
kuadrat ini. Menunjukkan bahwa v(t) adalah nol pada waktu t =
1
3
dan t = 1.
Selain itu, positif saat t <
1
3
atau ketika t >1 dan negatif di tempat lain.
Dengan demikian, partikel bergerak ke kanan. Untuk nilai t <
1
3
Dan kemudian membalik arah pada t =
1
3
,moving ke kiri; itu. Terus bergerak
ke kiri dan kemudian berbalik arah lagi pada t = 1; itu kemudian
Terus berlanjut, bergerak ke kanan.
By.Alvin, Bobby&chairudin 1ea
Aplikasi Tak Tentu dan Integral Tentu

3. MASALAH Sebagai front dingin mendekati daerah Anda, stasiun cuaca
memperkirakan bahwa Suhu T (dalam derajat) adalah fungsi waktu t
(dalam jam) setelah pukul 10 malam. dari itu Hari sesuai dengan
persamaan T (t) = 40−4𝑡 +
𝑡2
10
,Dimana 0 ≤ t ≤ 14. (a) Apa yang akan
terjadi pada suhu di siang hari keesokan harinya, dan (b) apa yang
terjadi perubahan suhu pukul 3 pagi dan pukul 10 pagi keesokan
harinya?
SOLUSI (a) Siang hari berikutnya adalah 14 jam setelah pukul 10 malam. Dari hari
yang diberikan, jadi T(14) = 40−4(14) +
14
2
10
= 3,6 Derajat. (B) Tingkat
perubahan sesaat (dalam derajat per jam) pada suhu T sehubungan dengan t,
waktu setelah pukul 10 malam. Dari hari yang diberikan, adalah turunannya,
T’(t) = −4 +
𝑡
5
. Jadi, jam 3 pagi, yaitu 5 jam setelah jam 10 pagi, seketika
Laju perubahan suhu adalah T’(5) = −4 +
5
5
= −3 derajat per jam; di 10 a.m,
yaitu 12 jam setelah pukul 10 malam, tingkat perubahan seketika Suhu adalah
T’(12) =−4 +
12
5
= −1.6 derajat per jam.
Selesaikan yang berikut.
1. Kebakaran hutan menyebarluas selama t jam f(t)=80𝑡 − 20𝑡2
daerah yang terbakar. Berapa
luas daerah yang terbakar setelah 1 ½ jam?
2. Kecepatan bola dilemparkan sebagai fungsi waktu t yang diberikan oleh v (t) = 80 - 32t (kaki /
detik). Setelah dibebaskan Berapakah akselerasi bola sebagai fungsi waktu?
3. Diperkirakan seorang pekerja toko bisa membuat coran selama x jam setelah bekerja di 7
A.M. y = 3x+8𝑥2
− 𝑥3
Sesuai dengan persamaan. Pada tingkat berapa (coran per jam)
pekerja bisa membuat coran di 9 A.M. Hari tertentu?
4. Bola kolam dipukul dan melaju dalam garis lurus. Misalkan s (t) = 100𝑡2
+ 100𝑡 .Adalah jarak
(dalam Sentimeter) bola dari posisi awalnya pada t detik. Pada kecepatan apa bola sedang
melaju Kapan bola telah menempuh jarak 39 sentimeter?
5. Sebuah partikel bergerak dalam garis horizontal sesuai dengan rumus s (t) = 𝑡4
− 6𝑡3
+
12𝑡2
− 10𝑡 + 3, Dimana s adalah posisi partikel pada waktu t. Diskusikan gerak partikel.
(Petunjuk:Faktor turunannya).
6. Sebuah partikel bergerak dalam garis lurus sesuai dengan rumus s(t) =
𝑡3
2
− 2𝑡,
Dimana s adalah Posisi partikel pada waktu t (dalam detik). Bandingkan kecepatan dan
percepatan Partikel di akhir 2 detik.
7. Seorang tukang kebun matematika menemukan bahwa tingkat hasil kebunnya adalah y =
60 + 24𝑥
12𝑥2
5
Setengah liter sayuran per x pon kompos yang digunakan. Berapakah tingkat
perubahan hasil dengan. Sehubungan dengan jumlah kompos saat dia menggunakan 3 pon
kompos?
8. Sebuah batu dijatuhkan dari puncak sebuah menara dan lokasi dari titik awal s (di kaki). Dari
batu pada waktu t (dalam detik) diberikan oleh persamaan s(t) = −16𝑡2
, Dimana arah atas
dianggap positif. Jika bangunan setinggi 256 kaki, temukan (a) kecepatan dan (b) Percepatan
batu setelah 2 detik.?
9. Kentang diproyeksikan secara vertikal ke atas dengan kecepatan awal 112 kaki / detik, dan
bergerak Sebagai fungsi dari waktu t (dalam detik) sesuai dengan rumus s(t) = 112𝑡 −
16𝑡2
Dimana s (t) adalah Jarak (di kaki) dari titik awal. (A) Berapakah kecepatan saat t = 3
detik, Dan (b) Berapa tinggi maksimum yang akan dicapai kentang?
By.Alvin, Bobby&chairudin 1ea Aplikasi Tak Tentu

4. 10. Air dikeringkan dari kolam lele komersial dan volume V (dalam galon). Air di kolam setelah t menit
diberikan oleh V(t) = 250(1600 − 80𝑡 + 𝑡2
). Seberapa cepat Air mengalir keluar dari kolam
pada waktu t= 5 menit?
Diferensial dan kontinuitas
Fungsi Diferensial adalah fungsi yang memiliki derivatif. Jika f '(c) ada maka f dapat terdiferensiasi
Di c; Jika tidak, f tidak memiliki derivatif pada c.
Jika fungsi f terdiferensialkan pada c, maka f kontinu pada c; Dengan kata lain, bisa
dibedakan Menyiratkan kontinuitas. Oleh karena itu, jika f tidak kontinu pada c, maka f juga tidak
terdiferensialkan pada c. Peringatan: Kontinuitas tidak menyiratkan perbedaan. Sebuah fungsi dapat
terus berlanjut pada satu titik sekalipun F '(x) tidak ada pada a. Keadaan ini terjadi bila ada titik
puncak (sudut tajam) atau a Garis singgung vertikal pada (a, f (a)). Contoh yang baik adalah fungsi
kontinyu f (x) = | X | Untuk itu Turunannya tidak ada pada 0. Grafik ditunjukkan pada Gambar 10.1.
Gambar 10.1 Grafik fungsi f (x) = | x |
Dimana derivatifnya tidak ada pada 0
MASALAH Tunjukkan bahwa fungsinya f’(x)= 𝑥
2
3 kelanjutan di x = 0, Tapi tidak bisa dibedakan
Di x = 0.
SOLUSI Untuk menyelidiki kita pertimbangkan lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0
𝑥
2
3 = 0 = 𝑓(0), Yang
menunjukkan bahwa Fungsi kontinu pada x = 0. Juga,
f;(0) = lim
𝑥→0
𝑓(𝑥)−𝑓(0)
𝑥−0
= lim
𝑥→0
𝑥
𝑥
2
3
= lim
𝑥→0
1
𝑥
1
3
, Yang tidak ada, menunjukkan bahwa
f tidak terdiferensialkan pada x=0. Oleh karena itu, Fungsi f(x) = 𝑥
2
3 adalah
kelanjutan pada x=0.
MASALAH Tentukan nilai x yang mana f(x) = [𝑥], Fungsi bilangan bulat terbesar adalah Tidak
terdiferensialkan
SOLUSI Fungsi f(x) = [𝑥], Memiliki diskontinuitas melompat pada nilai integer untuk x; bahwa
Adalah, pada nilai integer, batas kiri dan kanan ada dan terbatas, tapi mereka berbeda.
Misalnya, jika x kurang dari bilangan bulat n, karena x mendekati n Dari kiri, f(x) = n-1,
Tetapi jika x lebih besar dari n, karena x mendekati n dari Kanan, f (x) = n.
Dengan demikian fungsi integer terbesar tidak terdiferensialkan pada bilangan
bulat Nilai untuk x. Antara nilai non-integer fungsi konstan dan, dengan demikian,
Terdiferensialkan di sana; Sebenarnya, f '(x) = 0 pada nilai tersebut.
Aplikasi Tak Tentu dan Integral Tentu By.Alvin, Bobby&chairudin 1ea

5. Selesaikan yang berikut.
1. Tentukan nilai x yang mana f(x) =
𝑥2−5𝑥+6
𝑥−3
Tidak dapat dibedakan.
2. Tunjukkan bahwa turunan dari f(x) = |𝑥| tidak ada pada x = 0, tapi derivatifnya tidak
Ada di tempat lain.
3. Tunjukkan itu f(x) = (𝑥 − 2)
1
3 adalah kelanjutan pada x = 2, Namun tidak terdiferensialkan pada 2.
4. Tentukan apakah f(x) = {
5 − 6𝑥 𝑥 ≤ 3
−4 − 𝑥2 𝑥 > 3
} adalah diferensial pada x = 3. (Petunjuk: Pertimbangkan batas
kiri dan Batas kanan.)
5. Tentukan apakah f(x) = {
𝑥 − 2 𝑥 < 3
𝑥2 𝑥 ≥ 0
} adalah diferensial pada x = 0.
Fungsi yang meningkat dan menurun,
Ekstrem, dan titik kritis
Turunan dari sebuah fungsi adalah alat yang sangat berharga dalam menganalisa grafiknya.
Misalnya, hanya mengetahui Tanda aljabar derivatif pada suatu titik memberi informasi penting.
Diagram tanda untuk F '(x) adalah diagram sepanjang garis nyata yang menunjukkan tanda-
tanda f' (x) di antara bilangan kritis untuk f. Anda bisa menggunakan diagram tanda untuk
memprediksi bentuk kasar dari grafik f. Definisi berikut dinyatakan untuk kelengkapan dan
sebagai pengingat konsep
1. Jika f kontinyu pada interval tertutup [a, b] dan dapat didiferensiasi pada interval terbuka (a, b),
Maka (i) f meningkat pada [a, b] jika f '(x)> 0 pada (a, b); (Ii) f menurun pada [a, b] jika
F '(x) <0 pada (a, b); Dan (iii) f adalah konstan pada [a, b] jika f '(x) = 0 pada (a, b)
2. Jika f didefinisikan pada interval yang mengandung c, f (c) adalah minimum (juga disebut absolut
Minimum) f dalam interval jika f (c) ≤ f (x) untuk setiap bilangan x dalam interval; demikian pula,
F (c) adalah maksimum (juga disebut maksimum absolut) f dalam interval jika f (c) ≥ f (x)
Untuk setiap bilangan x dalam interval. Nilai minimum dan maksimum fungsi dalam
Interval adalah nilai ekstrim, atau ekstremitas, dari fungsi dalam interval.
3. Nomor f (c) adalah minimum relatif dari fungsi f jika ada interval terbuka
Mengandung c dimana f (c) adalah minimum; Demikian pula, jumlah f (c) adalah maksimum relatif
Dari fungsi f jika ada interval terbuka yang mengandung c dimana f (c) adalah maksimum. Jika
F (c) adalah minimum relatif atau maksimum f, itu disebut ekstrem relatif f.
4. Jika c adalah angka dalam domain f, c disebut bilangan kritis f jika f '(c) = 0 atau
F '(c) tidak ada Angka kritis menentukan titik di mana f '(x) dapat berubah
tanda-tanda; Artinya, ini adalah satu-satunya angka dimana grafik f dapat memiliki titik balik,
Cusps, atau diskontinuitas. Jika c adalah bilangan kritis untuk f, maka f (c) adalah nilai kritis f dan
Titik (c, f (c)) adalah titik kritis grafik.
5. Jika f kontinyu dan memiliki ekstremitas relatif pada c, maka f '(c) = 0 atau f' (c) tidak ada. Namun,
sebaliknya tidak selalu valid. Misalnya, jika f(x) = 𝑥3
, kemudian
f’(x) = 3𝑥2
𝑑𝑎𝑛 𝑓′(0) = 0; 𝑡𝑎𝑝𝑖 𝑓(0) = 0 Adalah tidak relatif maksimum atau minimum relatif dari
fungsinya.
By.Alvin, Bobby&chairudin 1ea Aplikasi derivative

6. 6. Teorema Nilai Ekstrim menyatakan bahwa jika f kontinyu pada interval tertutup [a, b], maka
F memiliki nilai minimum dan maksimum pada [a, b].
Semua gagasan ini disatukan adalah alat yang bisa digunakan untuk memprediksi sifat dan bentuk a
Grafik, terutama jika alat grafik tidak berlaku atau tersedia. Apalagi jika grafik tidak dibutuhkan,
Gagasan ini juga bisa sangat berharga dalam menjawab pertanyaan maksimum dan minimum.
Fungsi grafik yang digambarkan pada Gambar 10.2 memiliki nilai maksimum relatif dan absolut dari 1
Pada
𝜋
2
𝑑𝑎𝑛
5𝜋
2
, Minimum relatif dan absolut -1 pada
−𝜋
2
𝑑𝑎𝑛
3𝜋
2
Meningkat pada interval
[
−𝜋
2
,
𝜋
2
] 𝑑𝑎𝑛 [
3𝜋
2
,
5𝜋
2
] Dan menurun pada interval[−𝑥,
−𝜋
2
] , [
𝜋
2
,
3𝜋
2
] 𝑑𝑎𝑛 [
5𝜋
2
, 3𝑥].
Angka kritisnya adalah
−𝜋
2
,
𝜋
2
,
3𝜋
2
𝑑𝑎𝑛
5𝜋
2
Dimana derivatifnya adalah 0.
Gambar 10.2 Grafik yang menggambarkan maksimal dan minimal
Contoh berikut dirancang untuk memperkuat konsep di atas dan memberi Anda latihan
Dalam mendekati masalah yang berhubungan dengan gagasan maksimum dan minimum.
MASALAH Mengingat f(x) = 𝑥2
− 6𝑥2
+ 9𝑥 + 1. (A) Temukan angka-angka kritis; (B) temukan
yang kritis Nilai; Dan (c) menentukan dimana fungsinya meningkat dan menurun.
SOLUSI Membedakan, Anda punya f’(x) = 3𝑥2
− 12𝑥 + 9. (𝑎)Pengaturan f’(x) = 0, Anda
mendapatkan 3𝑥2
− 12𝑥 + 9 = 3(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) = 0. Demikian x = 1 dan x = 3 Adalah
angka kritis untuk f. (B) Nilai kritisnya adalah f(1) = 5 dan f(3) = 1. (C) Bila x <1, f; (x)
positif Dan jadi f meningkat untuk nilai x kurang dari 1; Bila 1 <x <3, f '(x) negatif Dan
jadi f menurun saat x antara 1 dan 3; Bila x> 3, f '(x) positif dan begitu F meningkat
untuk nilai x lebih besar dari 3.
Aplikasi Derivatif dan Integral Pasti By.Alvin, Bobby&chairudin 1ea

7. Dalam masalah di atas, sejak f’(1) = 0 = f’(3), Fungsi memiliki garis singgung horizontal pada 1 dan
3, dan, dengan demikian, mungkin relatif atau mutlak maksimum atau minimum pada satu atau kedua titik ini.
Dugaan ini untuk titik x = 1 dapat diselidiki dengan mengevaluasi fungsi di titik terdekat
Seperti f (0,99) = 4,999699 dan f (1,01) = 4,999701, yang nampaknya menunjukkan maksimum relatif pada
X = 1. Namun, pendekatan ini bisa berakibat pada hasil yang keliru karena bilangan real padat
Dan nomor close-by lainnya mungkin memberikan hasil yang berbeda.
Teorema berikut memberi Anda alat analisis untuk membuat keputusan positif terkait
Maksimum dan minimum.
Uji Derivatif Pertama menetapkan bahwa jika c adalah bilangan kritis fungsi f yang kontinyu
Pada interval terbuka (a, b) yang mengandung c, maka (i) jika f '(x) berubah dari negatif ke
Positif pada c, maka f (c) adalah minimum relatif f; Dan (ii) jika f '(x) berubah dari positif ke
Negatif pada c, maka f (c) adalah maksimum relatif f.
Uji Derivatif Kedua memberikan bahwa jika f '(c) = 0 dan f "(c) ada pada interval terbuka
Yang mengandung c, maka (i) f (c) adalah minimum relatif f jika f �� (c) � 0; Dan (ii) f (c) adalah maksimum
relatif
Dari f jika f "(c) <0.If f" (c) = 0, tesnya tidak meyakinkan.
MASALAH diberikan f(x) = 2𝑥3
− 9𝑥2
+ 2, Temukan titik kritis dan ekstrem relatif dari
fungsi.
SOLUSI Atur turunan pertama f’(x) = 6𝑥2
− 18𝑥 = 6𝑥(𝑥 − 3) = 0 untuk mendapatkan x=0 dan
x = 3 Sebagai poin kritis Amati saat itu x < 0 atau jika x > 3, f’(x) Positif, dan Bahwa
ketika 0 <x <3, f '(x) negatif. Akibatnya, dengan Uji Derivatif Pertama, F (0) = 2 adalah
maksimum relatif karena f '(x) berubah dari positif ke Negatif pada 0, dan f (3) = -25
adalah minimum relatif karena f '(x) berubah tanda Dari negatif ke positif pada
3.MASALAH diberikan f(x) = 2𝑥3
− 9𝑥2
+ 2, Temukan titik kritis dan ekstrem relatif dari
fungsi.
SOLUSI Atur f’(x) = 6𝑥2
− 18𝑥 = 6𝑥(𝑥 − 3) = 0 untuk mendapatkan x = 0 dan x = 3 Sebagai
poin kritis Selanjutnya, evaluasi derivatif kedua f "(x) = 12x -18 = 6 (2x - 3) pada critical
Poin untuk mendapatkan f "(0) = -18 dan f" (3) = 18. Jadi, dengan Derivatif Kedua Uji,
f (0) = 2 adalah maksimum relatif karena f "(0) = -18 <0, dan f (3) = -25 Adalah
minimum relatif karena f "(3) = 18> 0, yang merupakan hasil yang sama seperti
Diperoleh pada masalah pertama.
Catatan: Uji Derivatif Kedua biasanya dipanggil jika derivatif kedua agak sederhana
perhitungan. Dalam banyak kasus, lebih mudah menggunakan Uji Derivatif Pertama
daripada menghitung yang kedua Turunan dan kemudian mengujinya. Pengalaman dengan
tes ini mungkin cara terbaik untuk menentukan Yang tes untuk digunakan pada waktu
tertentu.
MASALAH diberikan f(x) =
𝑥5
5
−
𝑥3
3
+ 4𝑥 + 1. (A) Temukan angka kritis dan nilai kritis;
(B) tentukan interval di mana f meningkat dan di mana f adalah Menurun;
Dan (c) mengidentifikasi minimum atau minimum relatif f.
SOLUSI f’(x)=𝑥4
− 5𝑥2
+ 4 = ( 𝑥2
− 1)( 𝑥2
− 4) = ( 𝑥 − 1)( 𝑥 + 1)( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 2) 𝑑𝑎𝑛
𝑓"(𝑥) = 4𝑥3
− 10𝑥 = 2𝑥(2𝑥2
− 5). (𝑎) 𝐴𝑡𝑢𝑟 𝑓′(𝑥) = 0; Untuk mendapatkan angka
kritis x = ± 1 dan x = ± 2 Dengan demikian, nilai kritisnya adalah
𝑓(1) =
53
15
, 𝑓(−1) = −
23
15
, 𝑓(2) =
31
15
, 𝑑𝑎𝑛 𝑓(−2) = −
23
15
, 𝑓(2) =
31
15
, 𝑑𝑎𝑛 𝑓(−2)
= −
1
15
.
By.Alvin, Bobby&chairudin 1ea Aplikasi turunannya

8. (B) Fungsi meningkat pada interval ([-∞,-2],[-1,1], dan [2, ∞]) Karena turunan pertama positif pada interval ini
dan menurun pada Interval [-2, -1] dan [1, 2] karena turunan pertama negatif pada interval ini.
(C) f "(1) <0, f" (- 1)> 0, f "(2)> 0, dan f" (- 2) <0, oleh karena itu, 𝑓(1) =
53
15
adalah Relatif maksimal,
𝑓(−1) =
23
15
adalah relative minimum, 𝑓(2) =
31
15
adalah relatif minimum, dan 𝑓(−2) = −
1
15
adalah relative
maksimal.
MASALAH 20 kaki kawat harus dialokasikan untuk membentuk dua sosok yang tidak menyentuh: a
Segitiga sama sisi dan persegi. Berapa banyak kabel yang harus dialokasikan untuk
masing-masing. Angka sehingga total area terlampir adalah maksimal?
SOLUSI Ada kendala pada masalah yang tidak bisa diabaikan. Kendala ini. Adalah sebagai
berikut: jumlah kawat yang tersedia dan properti dari. Angka geometris Misalkan x
menunjukkan panjang sisi alun-alun, s menunjukkan. Panjang sisi segitiga sama sisi, dan
T menunjukkan luas area terlampir. Oleh dua tokoh tersebut. Kemudian,
4x + 3s = 20, 0≤ x ≤
20
4
= 5,0 ≤ 𝑠 ≤
20
3
, Daerah Persegi adalah x2, dan luas
segitiga itu
1
2
(𝑠) (
√3
2
𝑠) =
√3
2
𝑠2
. Demikian, Total area yang dilingkupi oleh dua
tokoh tersebut adalah T= 𝑥2
+
√3
2
𝑠2
. Mengungkapkan T sebagai a
Fungsi x, selesaikan 4x + 3s = 20 untuk s dan ganti hasilnya dalam persamaan Untuk T.
Jadi T(x) = 𝑥2
+
√3
4
(
20−4𝑥
3
)
2
. Sekarang
T’(x) = 2x−
2√3
4
(20 − 4𝑥) = (
18+8√3
9
) 𝑥 −
4√3
9
, Yaitu 0 saat
x=
20√3
9+4√3
= 2175. 𝑘𝑒𝑚𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛, 𝑇"(𝑥) = (
18+8√3
9
) > 0, lalu angka kritis T(
20√3
9+4√3
)
Adalah minimum relatif. Oleh Teorema Nilai Ekstrim, T memiliki maksimum
absolut pada 0 ≤ x≤
20
4
= 5. Sejak Maksimum tidak terjadi pada bilangan kritis, harus
terjadi pada salah satu Titik akhir interval. Karena
T (0) =
100√3
9
= 19245 𝑑𝑎𝑛 𝑇(5) = 20, itu Luas maksimum tercapai bila semua
kawat digunakan untuk membentuk kotak.
Untuk masalah 1-6 lakukan hal berikut: (a) temukan angka kritis dan poin kritis;
(B) menentukan interval dimana f meningkat dan selama mana f menurun; dan
(C) mengidentifikasi ekstrem relatif.
By.Alvin, Bobby&chairudin 1ea Aplikasi turunannya

9. 7. Temukan a dan b sehingga fungsi f (x) = 𝑥3
+ 𝑎𝑥2
+ 𝑏 akan memiliki nilai relatif ekstrim
pada (2,3).
8. Seorang peternak memiliki kawat 100 kaki untuk membuat pena atau pulpen kecil untuk ayam.
Pena bisa masuk Bentuk persegi dan / atau pentagon biasa dan jangan sentuh. Berapa kawat harus
Digunakan untuk setiap gambar sehingga total area terlampir maksimal? Catatan: Luas a
Pentagon diberikan dengan rumus 𝐴 𝑝 =
5𝑠2 cot(36)
2
Dimana s adalah panjang sisi.
9. Asumsikan bahwa jumlah uang yang disetorkan ke bank sebanding dengan kuadrat
Suku bunga bank membayar uang ini. Selanjutnya, bank bisa menginvestasikan kembali uang ini di
9%. Temukan suku bunga yang harus dibayar bank untuk memaksimalkan keuntungannya.
(Gunakan yang sederhana Rumus bunga.)
10. Tabung kaca silinder memiliki atasan timah datar. Biaya teratas tiga kali lipat dari gelas
Per satuan luas Tentukan proporsinya, dalam hal tinggi h dan r radius jar, dari
Toples paling mahal yang memegang volume tertentu V.
Rongga dan titik-titik infleksi
Jika f adalah fungsi yang derivatif pertama dan kedua ada pada beberapa interval terbuka yang
mengandung
Angka c, maka (i) grafik f adalah cekung ke atas pada (c,f(c))jika f”(c) > 0, dan (ii) Grafik f
Cekung ke bawah di (c,f(c))jika f”(c) < 0.
Titik (c, f (c)) adalah titik infleksi jika cekung grafik perubahan f pada (c, f (c)). Dan jika
grafik f memiliki garis singgung di sana.
Catatan: Saat Anda mengerjakan contoh dan latihan di bagian ini, Anda akan merasa terbantu
Ketahuilah bahwa grafik fungsi memiliki garis singgung vertikal pada titik 𝑥0, 𝑓(𝑥0)) jika dan hanya
jika f’(x) pendekatan ∞ atau -∞ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑘𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑥0.
Fungsi grafik yang digambarkan pada Gambar 10.4 adalah cekung di atas [−𝜋, 0], cekung
ke bawah [0, 𝜋], 𝑑𝑎𝑛 cekung ke atas [𝜋, 2𝜋]. Ada titik infleksi pada (0,0) dan (𝜋, −𝜋). Fungsinya
Memiliki garis singgung horizontal pada (0,0).
Gambar 10.4 Penggambaran cekungan dan Titik infleksi

10. 10.5 Pada masalah 1-9, tentukan titik cekung dan titik-titik infleksi grafik fungsi.
.
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥4
– 6x + 2
2. 𝑓(𝑥) = 𝑥4
− 12𝑥2
− 8𝑥
3. 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 7
4. 𝑦 = 3𝑥 + (𝑥 + 2)
3
5
5. F(x)={
𝑥2
+ 1 𝑖𝑓 𝑥 < 2
7 − 𝑥2
𝑖𝑓 𝑥 ≥ 2
6. F(x)={
𝑥3
𝑖𝑓 𝑥 < 0
𝑥4
𝑖𝑓 𝑥 ≥ 0
7. F(x) = 2 sin 3x untuk x in [-𝜋, 𝜋]
8. 𝑦 = (𝑥 − 1)
1
3 -2
9. 𝑦 = 𝑥4
− 18𝑥2
+ 1
untuk h(x)= 𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐𝑥 + 𝑑 Cari nilai untuk a, b, c, and d Sehingga ada
titik infleksi pada (1, -1) dan maksimum relatif pada (0, 3)
Teorema Nilai Rata-rata
The Mean Value Theorem (MVT) menyatakan bahwa jika fungsi f kontinu dalam interval
tertutup [a, b] dan jika f '(x) ada pada interval terbuka (a, b), maka ada sejumlah c pada ( A,
b) sedemikian rupa sehingga f (b0-f (a) = (ba) f '(c)
Teorema ini berharga untuk banyak tujuan sehingga merupakan latihan yang baik untuk
mengenal beberapa nuansanya. Misalnya, teorema tersebut menjamin bahwa jumlah c ada,
namun perhatikan bahwa teorema tersebut tidak menentukan nilai c. Banyak masalah yang
terkait dengan konsep ini melibatkan temuan nilai c. Di sisi lain, dalam beberapa kasus,
mungkin cukup untuk mengetahui bahwa c ada. Anda mungkin juga mengamati bahwa
persamaan akhir teorema dapat ditulis ulang sebagai
𝑓′(𝑐) =
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
Gambaran grafis dari konsep ini diberikan pada Gambar 10.5, di mana garis singgung atas
adalah garis melintang (1, 3) dengan kemiringan -2, yang sama dengan kemiringan jalur
secant yang menghubungkan titik-titik (0, f ( 0)) dan (2, f (2)).
Figure 10.5 Graphical concept of the
Mean Value Theorem
Teorema tersebut menyatakan bahwa ada titik antara 0 dan 2 yang bersinggungan
dengan kurva memiliki kemiringan yang sama dengan kemiringan garis secant yang
digambarkan. MASALAH: Temukan nilai c yang dijelaskan oleh MVT untukf (x)= 𝑥2
dan interval [1, 3].
SOLUSI: Fungsi f kontinu pada [1, 3] dan dapat dibedakan pada (1, 3). Oleh karena itu, MVT
berlaku untuk fungsi pada interval [1, 3]. Anda harus menemukan c seperti itu.

11. f’(c)=
𝑓(3)−𝑓(1)
3−1
=
9−1
3−1
= 4.Karena f '(x) = 2x, Anda perlu menyelesaikan 2c = 4 untuk
mendapatkan = 2
.
MASALAH : Temukan nilai c yang dijelaskan dalam MVT for 𝑓(𝑥)𝑐 =
5
𝑥+3
dan
interval [-2,2].
SOLUSI : Fungsi f kontinyu pada [-2, 2] dan dapat dibedakan pada (-2,2). Oleh
karena itu, MVT berlaku untuk fungsi pada interval [-2, 2]. Sejak
f’(x)
−5
(𝑥+3)2 and f(-2)=5 dan f(2)=1, Anda harus menyelesaikannya
−5
(𝑐+3)2 =
1−5
2−(−2)
= -
4
4
= -1 or (𝑐 + 3)2
, pemberian yang mana c= -3±√5.
Dari dua nilai yang mungkin untuk c, hanya nilai -3 + √5 yang terletak
pada interval [-2, 2]. Jadi, c = -3 + √ (5) adalah nilai yang diinginkan.
MASALAH : Temukan nilai c yang dijelaskan dalam MVT untuk f (x) = | X | Dan
interval [-1, 3].
SOLUSI : Fungsi f kontinyu pada [-1, 3]; Namun, bila x <0, f '(x) = - 1 dan ketika
x> 0, f' (x) = 1; lalu f '(0) tidak ada. Oleh karena itu, f tidak memenuhi
hipotesis MVT karena 0 berada dalam interval terbuka (-1, 3), namun f
'(0) tidak ada. Dengan demikian, MTV tidak berlaku untuk f, jadi hasilnya
tidak terjamin.
MASALAH : Misalkan Anda rata-rata 50 mph pada perjalanan yang mencakup
300 mil. Tunjukkan bahwa pada suatu saat selama perjalanan Anda
melakukan perjalanan tepat 50 mph.
SOLUSI : Jika s (t) menunjukkan jarak Anda dari titik awal pada waktu t maka s '(t)
Adalah Kecepatan pada waktu t. Jika Anda mulai pada waktu a dan akhir
pada waktu b kemudian s’c=
𝑠(𝑏)−𝑠(𝑎)
𝑏−𝑎
Untuk beberapa waktu c antara
a dan b. Tapi t
𝑠(𝑏)−𝑠(𝑎)
𝑏−𝑎
Adalah kecepatan rata-rata, jadi ada. Sebuah
instan, c, sedemikian rupa sehingga s '(c) = 50 mph. (Ini tentu saja
mengasumsikan kemampuan mengemudi Anda pas Hipotesis MVT.)
MASALAH : Tunjukkan itu
1
5
< 𝑙𝑛 (
5
4
) <
1
4
.
SOLUSI : Misalkan f (x) = ln x dan perhatikan intervalnya [4, 5]. Fungsi f
Memenuhi Hipotesis MVT, jadi anda tahu ada c di [4, 5] begitulah
f’(c) =
1
𝑐
=
𝑙𝑛5−𝑙𝑛4
5−4
= ln(
5
4
) 𝑜𝑟 𝑐 =
1
ln(
5
4
)
. Dengan mensubstitusikan nilai
ini menjadi 4 <c <5 hasil 4 <
1
ln(
5
4
)
< 5, Yang bisa ditulis ulang sebagai
ketimpangan setara
1
5
< ln (
5
4
) <
1
4
, Hasil yang diinginkan
MASALAH : Temukan nilai c dimana nilai rata-rata dicapai untuk
f (x) = x + sinx on [
𝜋
2
, 𝜋]
SOLUSI : f’(x) = 1+ cos x,
Jadi Anda perlu untuk memecahkan 1+cos(c) =
𝜋+sin 𝜋
−( 𝜋
2+sin( 𝜋
2))
𝜋−
𝜋
2
=
𝜋 −( 𝜋
2+1)
𝜋
2
= 1-
2
𝜋
jadi itu c = arc cos( −
2
𝜋
)

12. 10.6 Carilah nilai dari c dimana nilai rata-rata dicapai pada masalah 1-9..
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥3
+ 𝑥 − 4 𝑜𝑛 [−1, 2]
2. 𝑓(𝑥) = 𝑥 +
1
𝑥
on [-1,
1
2
]
3. 𝑔(𝑥) = 𝑥 − √ 𝑥 on [1, 4]
4. 𝑓(𝑥) =
𝑥+1
𝑥−1
on [0, 2]
5. 𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 3𝑥2
𝑜𝑛 [−1, 3]
6. ℎ(𝑥) = 𝑥2
− 𝑥
2
5 0𝑛 [−1, 1]
7. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − cos 𝑥 0𝑛 [𝜋,
3𝜋
2
]
8. 𝑓(𝑥) = 8𝑥3
+ 18𝑥2
+ 3𝑥 − 7 𝑜𝑛 [−2, 1]
9. 𝑓(𝑥) =
sin 𝑥
1+cos 𝑥
𝑜𝑛 [0,
𝜋
2
]
menunjukkan bahwa
1
8
< ln (
8
7
) <
1
7
𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑡𝑖𝑚𝑏𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑛 ln 𝑥 𝑝𝑎𝑑𝑎 [ 1,
8
7
]
By.Alvin, Bobby&chairudin 1ea Aplikasi derivative