Download to read offline
![T ~
Sehingga dari persamaan (3), oω adalah bilangan yang amat kecil ( 0). Kita
nyatakan limit ini dengan diferensial
oω ωd
Maka
π
ω
π
ω
22
1 d
T
o
→= (4)
Akhirnya karena n bilangan - ~ sampai + ~, maka mudah kita fahami onω haruslah
menunjukkan variabel frekuensi , sebab untuk n tak berhingga dan oω mendekati nol,
perkaliannya adalah terbatas, sehingga dapat kita nyatakan :
onω ω (5)
Jika keempat operasi limit ini digunakan untuk persamaan (2), maka kita dapatkan
bahwa cn haruslah mendekati nol, kemudian jika kita mengalikan tiap ruas pada
persamaaan (2) dengan perioda T dan kemudian menggunakan proses limit, maka
diperoleh :
∫−
−
→
~
~
)( dtetfTc tj
n
ω
Ruas kanan fungsi ini adalah fungsi dariω (dan bukan fungsi t), dan pernyataan inilah
yang dipakai oleh Fourier sebagai definisi transformasi Fourier (F(jw)). Jadi definisi
transformasi fourier adalah :
∫−
−
=
~
~
)()( dtetfjwF tjω
Jika kita rangkum definisi transformasi Fourier dan invers transformasi Fourier
adalah :
[ ] ∫−
−
=ℑ=
~
~
)()()( dtetftfjwF tjω
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. SINYAL DAN SISTEM 6](https://image.slidesharecdn.com/analisis-fourier-lanjutan-170214072530/85/Analisis-fourier-lanjutan-5-320.jpg)
![[ ] ∫−
−
=ℑ=
~
~
1
)(
2
1
()( dtejFjFtf tjω
ω
π
ω
6.2 Beberapa Sifat/Teorema Transformasi Fourier
6.2.1 Teorema Linieritas
Jika : [ ])()( 11 tfjF ℑ=ω
dan : [ ])()( 22 tfjF ℑ=ω
maka : [ ] )()()()( 22112211 ωω jFajFatfatfa +=+ℑ
6.2.2 Diferensiasi dan Integrasi
Jika : [ ])()( tfjF ℑ=ω maka : )( ωω jFj
dt
df
=
ℑ
dan )(
1
)( ωjF
jw
dttf
t
o
=
ℑ ∫
6.2.3 Scaling Waktu atau Frekuensi
Jika : [ ])()( tfjF ℑ=ω maka : [ ] )(
1
)(
a
j
F
a
atf
ω
=ℑ
6.2.4 Pergeseran Waktu
Jika : [ ])()( tfjF ℑ=ω maka : [ ] )()( ωω
jFettf otj
o
−
=−ℑ
6.2.5 Pergeseran Frekuensi
Jika : [ ])()( tfjF ℑ=ω maka : [ ])()( tfejjF tj
o
oω
ωω ℑ=−
6.2.6 Diferensiasi dan Integrasi pada Domain Frekuensi
Jika : [ ])()( tfjF ℑ=ω
Maka : [ ])(
)(
tjtf
d
jdF
−ℑ=
ω
ω
Sebagai kesimpulan dibawah ini diberikan tabel sifat/teorema transformasi Fourier
Tabel 1 Sifat/Teorema Transformasi Laplace
No Nama Sifat/Teorema Persamaannya
1 Linieritas [ ] )()()()( 22112211 ωω jFajFatfatfa +=+ℑ
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. SINYAL DAN SISTEM 7](https://image.slidesharecdn.com/analisis-fourier-lanjutan-170214072530/85/Analisis-fourier-lanjutan-6-320.jpg)
![2 Diferensiasi (domain waktu)
)()( ωω jFj
dt
fd n
n
n
=
ℑ
3 Integrasi (domain waktu)
)(
1
)( ωjF
jw
dttf
t
o
=
ℑ ∫
4 Scaling waktu atau Frekuensi [ ] )(
1
)(
a
j
F
a
atf
ω
=ℑ
5 Pergeseran waktu [ ] )()( ωω
jFettf otj
o
−
=−ℑ
6 Pergeseran frekuensi [ ])()( tfejjF tj
o
oω
ωω ℑ=−
7 Diferensiasi (domain frekuensi)
[ ]
ω
ω
d
jdF
jttf
)(
)( =ℑ
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. SINYAL DAN SISTEM 8](https://image.slidesharecdn.com/analisis-fourier-lanjutan-170214072530/85/Analisis-fourier-lanjutan-7-320.jpg)
Analisis fourier-lanjutan
- 1. ANALISIS FOURIER (LANJUTAN) Tujuan InstruksionalKhusus : 1. Mahasiswa dapat menghitung respons steady state rangkaian linier dengan fungsi pemaksa periodik 2. Mahasiswa megetahui definisi transformasi Fourier 3. Mahasiswa mengetahui sifat/teorema transformasi Fourier 5.2 Respon Steady State (Tunak) dan terhadap Fungsi Pemaksa Periodik Untuk rangkaian-rangkaian yang kompleks, kita sudah tidak mungkin lagi mendapatkan respons lengkap, sebab kita tidak mengetahui bentuk raspons alaminya, sehingga kita hanya menghitung respons steady state saja. Langkahnya adalah dengan membandingkan keluaran dan masukan (Vo/Vi). Sebagai contoh untuk rangkaian pada gambar 1b mendapat sumber siku-siku pada gambar 1a Gamar 1 : (a) Fungsi pemaksa tegangan gelombang siku-siku ; (b)Rangkaian linier yang mendapat fungsi pemaksa dari gambar (a) pada t = 0 tegangan awal pada kedua kapasitor adalah 0 V Jawab : Tegangan vs(t) adalah : ∑= += ~ ,1 2sin20 5)( ganjiln s n nt tv π Rangkaian diatas jika diubah kedalam bentuk fasor menjadi : PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. SINYAL DAN SISTEM 2
- 2. Gambar ++ + + ++ = jnjn jnjnjnjn jn jnV V i 6 7 6 7 66 7 6 7 6 6 6 0 10.5 10 10.5 10 10.510.5 10 1 10.5 10 10.5 10.5 10.5 ( ) + + + + = nj jn nj jn jn 77 7 6 6 7 77 6 6 1010 10 10.5 10.5 10 1 1010 10.5 10.5 +++ + + = 13 12 1414 77 77 6 6 10.5 10.25 1010 1010 1010 10.5 10.5 jn nj nj nj jn jn () +++ = njjnnj jn jn 21)(4410.25 10.25 212 12 njnV V s 641 1 2 0 +− = Kita akan mencari respons paksaan (respons steady state) dari harmonika ke-n dengan bekerja pada daerah frekuensi, yaitu dengan konsep fasor. Jadi : nttvsn 2sin 20 )( π = Ditulis secara fasor : Vsn = nπ 20 ∠-90o = n j π 20 − PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. SINYAL DAN SISTEM 3
- 3. Maka : − +− = n j njn Vn π 20 641 1 20 njn njn X njn j n 6)41( 6)41( 6)41( 201 2 2 2 −− −− +− − = π ++− −+− = 242 2 361681 12080201 nnn nnjj nπ ++ −+− = )16281( ) 2 8(10120 42 nn n nj π Maka : ( ) ( ) nt nn n n nt nn tvon 2sin 16281 2 810 2cos 16281 120 )( 4242 ++ − − ++ − = ππ Karena respons terhadap komponen dc adalah 5 V, maka dengan menggunakan teorema superposisi, respons paksaan (steady state) dapat dinyatakan sebagai penjumlahan ( ) ( )∑= ++ − − ++ − += ~ ,1 4242 2sin 16281 2 810 2cos 16281 120 5)( ganjiln o nt nn n n nt nn tv ππ Soal latihan : 1. Sebuah sumber tegangan ideal, sebuah kontak penghubung terbuka, sebuah tahanan 2 ohm dan sebuah kapasitor 2,5 F dihubungkan seri. Sumber tegangan menyediakan tegangan pada contoh soal diatas (gambar 1 a). Kontak penghubung ditutup pada t = 0 dan tegangan kapasitor adalah respons yang diinginkan (a) Tentukan respons paksaan (steady state) sebagai deret Fourier trigonometris. (b) Tentukan bentuk respons alami. (c) Tentukan respons lengkap. Jawab : (a) ∑= − + + ~ ,1 2 2cos102sin 1 1001 120 5 ganjiln ntnt nnπ ; (b) t eA 2,0− (c) ∑= − − + ++− ~ ,1 2 2,0 2cos102sin 1 1001 120 5221,4 ganjiln t ntnt nn e π 2. Ulangi contoh soal diatas, gantilah vs(t) dengan : Vs (V) 10 PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. SINYAL DAN SISTEM 4
- 4. t (s) 0 1020 30 40 -10 6. Transformasi Fourier Untuk fungsi-fungsi non periodik (meski dapat juga untuk fungsi periodik), Fourier menggunakan sebuah bentuk transformasi. Transformasi Fourier adalah operasi-operasi yang mengubah fungsi waktu menjadi jw (frekuensi), seperti halnya transformasi Laplace yang mengubah fungsi waktu menjadi s, seperti pernah dibahas pada modul- modul sebelum ini. Meski demikian transformasi Fourier mempunyai beberapa kelemahan, jika dibandingkan dengan transformasi Laplace, diantaranya : 1. Banyak fungsi yang tidak didapat bentuk transformasi Fouriernya, yaitu fungsi- fungsi yang tak mendekati nol untuk t mendekati tak berhingga 2. Menggunakan transformasi Fourier hanya dapat untuk menghitung respons steady state saja. 3. Menggunakan transformasi Fourier hanya dapat menganalisis sistem linier tanpa kondisi awal (kondisi awal sama dengan nol) 6.1 Definisi Transformasi Fourier Fourier mendefinisikan transformasi Fourier dari deret Fourier bentuk kompleks (eksponensial), yaitu dengan menganggap fungsi non periodik adalah fungsi periodik dengan perioda tak berhingga. Kita mulai dengan bentuk bentuk eksponensial deret Fourier : ∑−= = ~ ~ )( n tjn n o ectf ω (1) dengan : ∫− − = 2/ 2/ )( 1 T T tjn n dtetf T c oω (2) dan T o π ω 2 = (3) seperti telah dijelaskan diatas fungsi non periodik, boleh kita sebut fungsi periodik dengan perioda tak berhinggga, sehingga dapat ditulis : PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. SINYAL DAN SISTEM 5
- 5. T ~ Sehingga daripersamaan (3), oω adalah bilangan yang amat kecil ( 0). Kita nyatakan limit ini dengan diferensial oω ωd Maka π ω π ω 22 1 d T o →= (4) Akhirnya karena n bilangan - ~ sampai + ~, maka mudah kita fahami onω haruslah menunjukkan variabel frekuensi , sebab untuk n tak berhingga dan oω mendekati nol, perkaliannya adalah terbatas, sehingga dapat kita nyatakan : onω ω (5) Jika keempat operasi limit ini digunakan untuk persamaan (2), maka kita dapatkan bahwa cn haruslah mendekati nol, kemudian jika kita mengalikan tiap ruas pada persamaaan (2) dengan perioda T dan kemudian menggunakan proses limit, maka diperoleh : ∫− − → ~ ~ )( dtetfTc tj n ω Ruas kanan fungsi ini adalah fungsi dariω (dan bukan fungsi t), dan pernyataan inilah yang dipakai oleh Fourier sebagai definisi transformasi Fourier (F(jw)). Jadi definisi transformasi fourier adalah : ∫− − = ~ ~ )()( dtetfjwF tjω Jika kita rangkum definisi transformasi Fourier dan invers transformasi Fourier adalah : [ ] ∫− − =ℑ= ~ ~ )()()( dtetftfjwF tjω PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. SINYAL DAN SISTEM 6
- 6. [ ] ∫− − =ℑ= ~ ~ 1 )( 2 1 ()(dtejFjFtf tjω ω π ω 6.2 Beberapa Sifat/Teorema Transformasi Fourier 6.2.1 Teorema Linieritas Jika : [ ])()( 11 tfjF ℑ=ω dan : [ ])()( 22 tfjF ℑ=ω maka : [ ] )()()()( 22112211 ωω jFajFatfatfa +=+ℑ 6.2.2 Diferensiasi dan Integrasi Jika : [ ])()( tfjF ℑ=ω maka : )( ωω jFj dt df = ℑ dan )( 1 )( ωjF jw dttf t o = ℑ ∫ 6.2.3 Scaling Waktu atau Frekuensi Jika : [ ])()( tfjF ℑ=ω maka : [ ] )( 1 )( a j F a atf ω =ℑ 6.2.4 Pergeseran Waktu Jika : [ ])()( tfjF ℑ=ω maka : [ ] )()( ωω jFettf otj o − =−ℑ 6.2.5 Pergeseran Frekuensi Jika : [ ])()( tfjF ℑ=ω maka : [ ])()( tfejjF tj o oω ωω ℑ=− 6.2.6 Diferensiasi dan Integrasi pada Domain Frekuensi Jika : [ ])()( tfjF ℑ=ω Maka : [ ])( )( tjtf d jdF −ℑ= ω ω Sebagai kesimpulan dibawah ini diberikan tabel sifat/teorema transformasi Fourier Tabel 1 Sifat/Teorema Transformasi Laplace No Nama Sifat/Teorema Persamaannya 1 Linieritas [ ] )()()()( 22112211 ωω jFajFatfatfa +=+ℑ PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. SINYAL DAN SISTEM 7
- 7. 2 Diferensiasi (domainwaktu) )()( ωω jFj dt fd n n n = ℑ 3 Integrasi (domain waktu) )( 1 )( ωjF jw dttf t o = ℑ ∫ 4 Scaling waktu atau Frekuensi [ ] )( 1 )( a j F a atf ω =ℑ 5 Pergeseran waktu [ ] )()( ωω jFettf otj o − =−ℑ 6 Pergeseran frekuensi [ ])()( tfejjF tj o oω ωω ℑ=− 7 Diferensiasi (domain frekuensi) [ ] ω ω d jdF jttf )( )( =ℑ PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. SINYAL DAN SISTEM 8