Penjelasan materi dapat dilihat di https://youtu.be/b53nyqMtSvM

1. Fungsi Pembangkit
Heni Widayani
Matematika Diskrit
Jurusan Matematika
UIN Maulana Malik Ibrahim Malang heniwidayani@mat.uin-malang.ac.id
May 4, 2020
Heni Widayani (UIN Malang) Fgs. Pembangkit May 4, 2020 1 / 18

2. Fungsi Numerik
Fungsi adalah suatu relasi biner yang memberikan kepada setiap unsur di daerah
asal (domain) sebuah nilai tunggal di dalam daerah hasil (range).
Fungsi Numerik Diskrit
Kelas fungsi yang daerah asalnya berupa himpunan bilangan asli dan daerah hasilnya
adalah himpunan bilangan real dinamakan Fungsi Numerik Diskrit
Fungsi numerik diskrit juga disebut sebagai fungsi numerik.
Fungsi numerik dinotasikan dengan huruf kecil cetak tebal
Contoh :
Untuk suatu fungsi numerik a akan digunakan lambang
a0, a1, a2, . . . , ar , . . . untuk menyatakan nilai fungsi di 0,1,2,3,..,r,...
ar = 7r3
+ 1, r ≥ 0
br =
2r, 0 ≤ r ≤ 11
3r
− 1, r ≥ 11
cr =
−4, r = 3, 5, 7
0, r selainnya
dr =
2 + r, 0 ≤ r ≤ 5
2 − r, r > 5, r ganjil
2/r, r > 5, r genap
Heni Widayani (UIN Malang) Fgs. Pembangkit May 4, 2020 2 / 18

3. Contoh
1 Misalkan kita menyimpan $100 dengan bungan 7% per tahun. Pada akhir tahun
pertama, jumlah uang simpanan kita menjadi $107. Pada akhir tahun kedua,
jumlah uang simpanan menjadi $114.49. Pada akhir tahun ketiga, jumlah uang
simpanan menjadi $122.50 dan begitu seterusnya. Jumlah uang simpanan pada
akhir setiap tahun dapat dinyatakan oleh sebuah fungsi numerik a, yang dapat
dituliskan sebagai (100,107,114.49,122.50,...) atau sebagai
ar = 100(1.07)r
, r ≥ 0
2 Misalkan ar menyatakan ketinggian terbang sebuah pesawat, dalam ribuan kaki,
pada menit ke-r. Misalkan pesawat itu mengudara setelah 10 menit diam di
landasan, naik terus sampai ketinggian 30.000 kaki dalam waktu 10 menit, mulai
turun setelah 110 menit terbang, dan lalu mendarat 10 menit kemudian. Dalam
hal ini kita peroleh
ar =
0 , 0 ≤ r ≤ 10
3(r − 10) , 11 ≤ r ≤ 20
30 , 21 ≤ r ≤ 120
3(130 − r) , 121 ≤ r ≤ 130
0 , r ≥ 131
Heni Widayani (UIN Malang) Fgs. Pembangkit May 4, 2020 3 / 18

4. Memanipulasi Fungsi Numerik
Jumlah dua fungsi numerik adalah berupa suatu fungsi numerik yang nilainya di r
sama dengan jumlah nilai-nilai kedua fungsi numerik itu di r
Hasilkali dua fungsi numerik adalah berupa suatu fungsi numerik yang nilainya di r
sama dengan hasilkali nilai-nilai kedua fungsi itu di r
Contoh :
Perhatikan dua fungsi a dan b di bawah ini :
ar =
0, 0 ≤ r ≤ 2
2−r
+ 5, r ≥ 3
dan
br =
3 − 2r
, 0 ≤ r ≤ 1
r + 2, r ≥ 2
Misalkan c adalah jumlah kedua fungsi a dan b, dengan kata lan c=a+b, maka
cr = ar + br =
3 − 2r
, 0 ≤ r ≤ 1
4, r = 2
2−r
+ r + 7, r ≥ 3
Misalkan d adalah hasil kali kedua fungsi a dan b, dengan kata lain d=ab, maka
dr = ar br =
0, 0 ≤ r ≤ 2
r2−r
+ 2−r+1
+ 5r + 10, r ≥ 3
Heni Widayani (UIN Malang) Fgs. Pembangkit May 4, 2020 4 / 18

5. Si
a menyatakan suatu fungsi numerik yang nilainya di r sama dengan 0 untuk
r = 0, 1, 2, . . . , i − 1 dan sama dengan ar−i untuk r ≥ i. Sedangkan S−i
a
menyatakan suatu fungsi numerik yang nilainya di r adalah ar+i untuk r ≥ 0
Jumlah kumulatif suatu fungsi numerik a ialah suatu fungsi numerik yang nilainya
di r sama dengan
r
i=0
ai
Selisih langkah maju (∆a) ialah suatu fungsi numerik yang nilainya di r sama
dengan ar+1 − ar
Selisih langkah mundur ( a) ialah suatu fungsi numerik yang nilainya di 0 sama
dengan a0 dan nilainya di r sama dengan ar − ar−1 untuk r ≥ 1.
Misalkan ar =
0, 0 ≤ r ≤ 2
2−r
+ 5, r ≥ 3
, maka
∆a=
0, 0 ≤ r ≤ 1
41/8, r = 2
−2−(r+1)
, r ≥ 3
dan a=
0, 0 ≤ r ≤ 2
41/8, r = 3
−2−r
, r ≥ 4
Tampak bahwa S−1
( a) = ∆a.
Heni Widayani (UIN Malang) Fgs. Pembangkit May 4, 2020 5 / 18

6. Konvolusi
Misalkan a dan b adalah dua fungsi numerik. Konvolusi a dan b
dilambangkan dengan a*b ialah suatu fungsi numerik c sedemikian rupa
sehingga
cr = a0br + a1br−1 + a2br−2 + · · · + ai br−i + · · · + ar−1b1 + ar b0
=
r
i=0
ai br−i
Misalkan a dan b adalah dua fungsi numerik dengan
ar = 3r
, r ≥ 0
dan
br = 2r
, r ≥ 0
maka
c = a ∗ b =
r
i=0
3i
2r−i
, r ≥ 0
Heni Widayani (UIN Malang) Fgs. Pembangkit May 4, 2020 6 / 18

7. Perilaku Asimtotik Suatu Fungsi Numerik
Perilaku Asimtotik suatu fungsi numerik ialah bagaimana nilai fungsi itu bervariasi
untuk r yang besar.
Contoh :
ar = 5, r ≥ 0 → Nilai fungsi tetap
br = 5r2
, r ≥ 0 → Nilai fungsi naik berbanding dgn r2
cr = 5 log r, r ≥ 0 → Nilai fungsi naik sebanding dgn log r
dr = 5
r
, r ≥ 0 → Nilai fungsi turun berbanding dengan 1/r
Dominasi Asimtotik
Misalkan a dan b adalah dua fungsi numerik. Kita katakan bahwa a mendominasi b
secara asimtotik, atau b didominasi secara asimtotik oleh a jika ada konstanta positif k
dan m sedemikian rupa sehingga
|br | ≤ mar untuk r ≥ k
Secara intuitif, a mendominasi b secara asimtotik mempunyai arti bahwa a tumbuh
lebih cepat daripada b.
Untuk r yang cukup besar, nilai mutlak br tidak melebihi sebagian tertentu dari ar .
Heni Widayani (UIN Malang) Fgs. Pembangkit May 4, 2020 7 / 18

8. Contoh
1 Misalkan ar = r + 1, r ≥ 0 dan br = 1
r
+ 7, r ≥ 0
a mendominasi b secara asimtotik, sebab untuk k = 7 dan m = 1
diperoleh
|br | ≤ ar r ≥ 7
b tidak mendominasi a secara asimtotik, sebab untuk sembarang k dan
m, ada r0 sedemikian rupa sehingga r0 ≥ k dan |ar0
| > mbr0
2 Misalkan kita menyimpan $1 di Bank A dan B. Bank A memberikan bunga
tunggal 20% per tahun, sedangkan Bank B memberkan bunga majemuk 12 % per
tahun yang diberikan setiap 4 bulan sekali. Total simpanan di setiap bank setelah r
tahun menjadi
ar = 1 + 0.2r, r ≥ 0 dan br = (1 + 0.03)4r
, r ≥ 0
b mendominasi a secara asimtotik karena untuk k = 9 dan m = 1 diperoleh
|1 + 0.2r| ≤ (1 + 0.03)4r
, r ≥ 9
Ini berarti, laju pertumbuhan simpana di Bank B lebih tinggi daripada di Bank A.
Walaupun pada beberapa tahun pertama total simpanan di Bank B lebih sedikit
daripada di Bank A, namun dalam jangka panjang total simpnana di Bank B akan
melebihi total simpanan di Bank A.
Heni Widayani (UIN Malang) Fgs. Pembangkit May 4, 2020 8 / 18

9. Sifat-sifat Dominasi Asimptotik
1 Untuk sembarang fungsi numerik a, |a| secara asimptotik mendominasi a
2 Jika b secara asimptotik didominasi oleh a, maka untuk sembarang konstanta α,
αb juga didominasi oleh a secara asimptotik.
3 Jika b secara asimptotik didominasi oleh a, maka untuk sembarang bilangan bulat
i, Si
b secara asimptotik juga didominasi oleh Si
a
4 Jika b dan c secara asimptotik didominasi oleh a, maka untuk sembarang
konstanta α dan β, αb+βc juga didominasi oleh a secara asimptotik.
5 Jika c secara asimptotik didominasi oleh b dan b secara asimptotik didominasi oleh
a, maka c secara asimptotik didominasi oleh a
6 Ada kemungkinan bahwa a secara asimptotik mendominasi b, namun b juga
mendominasi a secara asimptotik.
ar = r2
+ r + 1, r ≥ 0
br = 0.05r2
− r1/3
− 9, r ≥ 0
7 Ada kemungkinan bahwa bahwa a tidak mendominasi b secara asimptotik, dan b
juga tidak mendominasi a secara asimptotik.
8 Ada kemungkinan a dan b keduanya mendominasi c secara asimptotik, namun a
tidak mendominasi b secara asimptotik, dan begitu pula b tidak mendominasi a
secara asimptotik.
Heni Widayani (UIN Malang) Fgs. Pembangkit May 4, 2020 9 / 18

10. Contoh Soal
1 Tentukan banyaknya cr yakni banyaknya barisan dengan panjang r yang tersusun
dari huruf-huruf {x, y, z, α, β}. Jika bagian pertama setiap barisan tersusun dari
huruf Latin dan bagian kedua tersusun dari huruf Yunani. Misalkan a adalah
banyaknya barisan dengan panjang r yang tersusun dari huruf-huruf {x, y, z} dan
b adalah banyaknya barisan dengan panjang r yang tersusun dari huruf-huruf
{α, β}, diperoleh ar = 3r
dan br = 2r
maka cr =
r
i=0
3i
2r−i
.
2 Sebuah bank memberikan bunga 7% per tahun. Misalkan kita pada awalnya
menyimpan $100, $110 pada akhir tahun pertama, $120 pada akhir tahun kedua,
$100(1+0.1r) pada akhir tahun ke-r. Kita ingin tahu jumlah total simpanan di
bank pada akhir tahun ke-r. Misalkan fungsi numerik a menyatakan uang yang
tersimpan setiap tahun dan br menyatakan jumlah uang simpanan pada akhir
tahun ke-r jika pada awalnya (atau pada akhir tahun ke-0) kita menyimpan $1,
maka diperoleh fungsi numerik
ar = 100(1 + 0.1r), r ≥ 0 dan br = (1.07)r
, ≥ 0
Jadi, jika ai dolar disimpan pada akhir tahun ke-i, maka simpanan itu akan menjadi
ai br−i dolar setelah r − i tahun kemudian, dengan demikian cr =
r
i=0
ai br−i .
Heni Widayani (UIN Malang) Fgs. Pembangkit May 4, 2020 10 / 18

11. Latihan Soal
1 Di dalam sebuah sistem kendali proses, suatu alat pemantau mengukur suhu di
bagian dalam sebuah kamar reaksi kimia sekali setiap 30 detik. Misalkan ar
menyatakan suhu dalam derajat Celcius hasil pembacaan yang ke-r. Tentukan
suatu rumus bagi ar jika diketahui bahwa suhu naik dari 1000
ke 1200
pada laju
yang tetap selama 300 detik yang pertama dan kemudian tetap pada 1200
sejak
itu. (TUGAS)
2 Misalkan a sebuah fungsi numerik dengan ar sama dengan sisa yang diperoleh bilai
r dibagi dengan 17. Misalkan b sebuah fungsi numerik dengan br sama dengan 0
jika r habis dibagi 3 dan sama dengan 1 jika tidak habis dibagi 3.
Misalkan cr = ar + br , tuliskan fungsi numerik untuk cr !
Misalkan dr = ar br , tuliskan fungsi numerik untuk dr !
3 Misalkan a sebuah fungsi numerik dengan
ar = {
2, 0 ≤ r ≤ 3
2−r
+ 5 r ≥ 4
Tentukan S2
a dan S−2
a !
Heni Widayani (UIN Malang) Fgs. Pembangkit May 4, 2020 11 / 18

12. Latihan soal (lanjutan)
1 Tentukan a∗b untuk ar = 2r
untuk semua r dan br =
0, 0 ≤ r ≤ 2
2r
, r ≥ 3
(TGS)
2 Misalkan a,b, dan c tiga fungsi numerik sedemikian rupa sehingga
a∗b=c.Tentukanlah b, jika diketahui bahwa
ar =
1, r = 0
2, r = 1
0, r ≥ 2
dan cr =
1, r = 0
0, r ≥ 1
3 Misalkan a,b, dan c tiga fungsi numerik : a=3r-2, b=2
r
+ 7 dan c=r ln r.
Apakah a secara asimptotik mendominasi b? dan apakah a secara asimptotik
mendominasi b?
Apakah b secara asimptotik mendominasi a? dan apakah b secara asimptotik
mendominasi c?
Apakah c secara asimptotik mendominasi a? dan apakah c secara asimptotik
mendominasi b?
4 Misalkan ar = 3r
dan b = 2r
(TUGAS)
Apakah a mendominasi b secara asimptotik?
Apakah b mendominasi a secara asimptotik?
Apakah a∗b mendominasi a secara asimptotik?
Apakah a∗b mendominasi b secara asimptotik?
Heni Widayani (UIN Malang) Fgs. Pembangkit May 4, 2020 12 / 18

13. Fungsi Pembangkit
Fungsi Pembangkit (generating function)
Misalkan diketahui suatu fungsi numerik (a0, a1, a2, . . . , ar , . . . ).
Fungsi pembangkit bagi fungsi numerik a didefinisikan sebagai suatu deret tak hingga
a0 + a1z + a2z2
+ · · · + ar zr
+ . . .
Koefisien bagi zr
merupakan nilai fungsi numerik itu di r.
Bagi suatu fungsi numerik a, A(z) menyatakan fungsi pembangkit dari a.
Contoh :
Fungsi pembangkit bagi fungsi numerik (30
, 31
, 32
, . . . , 3r
, . . . ) adalah
A(z) = 30
+ 3z + 32
z2
+ 33
z3
+ · · · + 3r
zr
+ · · · =
1
1 − 3z
Heni Widayani (UIN Malang) Fgs. Pembangkit May 4, 2020 13 / 18

14. Sifat Fungsi Pembangkit
Jika b=αa, maka fungsi pembangkit untuk b adalah B(z) = αA(z)
Jika c=a+b maka fungsi pembangkit untuk c adalah C(z) = A(z) + B(z)
Misalkan badalah fungsi numerik sedemikian sehingga br = αr
ar maka
B(z) = A(αz).
Misalkan A(z) adalah fungsi pembangkit bagi a, maka zi
A(z) merupakan fungsi
pembangkit bagi Si
a untuk sembarang bilangan bulat positif i. Fungsi pembangkit
untuk S−i
a adalah
z−i
A(z) − a0 − a1z − a2z2
− · · · − ai−1zi−1
Untuk b=∆a diperoleh
B(z) =
1
z
[A(z) − a0] − A(z)
Untuk b= a diperoleh
B(z) = A(z) − zA(z)
Misalkan c=a∗b, maka C(z) = A(z)B(z)
Heni Widayani (UIN Malang) Fgs. Pembangkit May 4, 2020 14 / 18

15. Contoh Soal
Tentukan fungsi numerik untuk A(z) = 1
1−3z !
Fungsi numerik untuk fungsi pembangkit tersebut adalah ar = 3r
Tentukan fungsi numerik untuk A(z) = 7
1−2z + 1
1−3z !
Fungsi numerik untuk fungsi pembangkit tersebut adalah
ar = 7.2r + 3r
Tentukan fungsi numerik untuk A(z) = 2
1−4z2 !
Fungsi pembangkit tersebut dapat ditulis ulang sebagai
A(z) = a
1−2z + b
1+2z = a(1+2z)+b(1−2z)
1−4z2
= a+b+(2a−2b)z
1−4z2 = 2
1−4z2
Sehingga a + b = 2 dan 2a − 2b = 0. Diperoleh a = 1 dan b = 1,
artinya A(z) = 1
1−2z + 1
1+2z . Fungsi numerik yang bersesuaian
ar = 2r + (−2)r , r ≥ 0
Heni Widayani (UIN Malang) Fgs. Pembangkit May 4, 2020 15 / 18

16. Contoh Soal
Hitung jumlah 12
+ 22
+ 32
+ · · · + r2
Jawab :
Diketahui bahwa
1
1 − z
= 1 + z + z2
+ z3
+ z4
+ · · · + zr
+ . . .
Ruas kiri dan kanan diturunkan sekali terhadap z sehingga diperoleh
1
(1 − z)2
= 1 + 2z + 3z2
+ 4z3
+ · · · + rzr−1
+ . . .
Kalikan kedua ruas dengan z lalu turunkan terhadap z diperoleh
z
(1−z)2 = z + 2z2
+ 3z3
+ 4z4
+ · · · + rzr
+ . . .
d
dz
z
(1−z)2 = 12
+ 22
z + 32
z2
+ 42
z3
+ · · · + r2
zr−1
+ . . .
z d
dz
z
(1−z)2 = 02
+ 12
z + 22
z2
+ 32
z3
+ 42
z4
+ · · · + r2
zr
+ . . .
Fungsi pembangkit dari fungsi numerik (02
, 12
, 22
, 32
, . . . , r2
, . . . ) adalah
A(z) = z
d
dz
z
(1 − z)2
=
z(1 + z)
(1 − z)3
Heni Widayani (UIN Malang) Fgs. Pembangkit May 4, 2020 16 / 18

17. Fungsi pembangkit dari fungsi numerik
(02
, 02
+ 12
, 02
+ 12
+ 22
, 02
+ 12
+ 22
+ 32
, . . . , 02
+ 12
+ 22
+ 32
+ · · · + r2
, . . . ) adalah
z(1+z)
(1−z)4
Ingat bahwa
(1 + z)n
= 1 +
n
r=1
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)
r!
zr
sehingga koefisien zr
di dalam 1
(1−z)4 adalah
(−4)(−4 − 1)(−4 − 2) . . . (−4 − r + 1)
r!
(−1)r
=
4 × 5 × 6 × · · · × (r + 3)
r!
=
(r + 1)(r + 2)(r + 3)
1.2.3
Oleh karenanya, koefisien bagi zr
dalam penjabaran z(1+z)
(1−z)4 adalah
r(r + 1)(r + 2)
1.2.3
+
(r − 1)r(r + 1)
1.2.3
=
r(r + 1)(2r + 1)
6
Hal ini berarti
12
+ 22
+ 32
+ · · · + r2
=
r(r + 1)(2r + 1)
6
Heni Widayani (UIN Malang) Fgs. Pembangkit May 4, 2020 17 / 18

18. Latihan Soal
1 Carilah bentuk sederhana bagi fungsi pembangkit untuk setiap fungsi
numerik diskrit berikut
1, −2, 3, −4, 5, −6, . . . (TUGAS)
1, 2/3, 3/9, 4/27, . . . , (r + 1)/3r
0 × 50
, 1 × 51
, 2 × 52
, . . . , r × 5r
2 Tentukan fungsi numerik diskrit untuk setiap fungsi pembangkit
berikut :
A(z) = 1
1−z3
A(z) = (1+z)2
(1−z)4
A(z) = 1
5−6z+z2
A(z) = 7z2
(1−2z)(1+3z) (TUGAS)
A(z) = 1
(1−z)(1−z2)(1−z3)
Heni Widayani (UIN Malang) Fgs. Pembangkit May 4, 2020 18 / 18